siffer og desimal Matematisk verktøy for læring av: Grunnleggende begreper plass antall retning størrelse forandring Fagbegreper siffer hele tall desimaler titallsystemet posisjonssystemet desimaltall grunntall brøk teller nevner c o n c e p t u a l l e a r n i n g
SIFFER OG DESIMALTALL Består av: En tosidet temalinjal med sifferplasser for desimaltall, desimaler og omgjøring av vanlig brøk, samt et veiledningshefte med begrepsforklaringer og oppgaver. Læringsmål: Målet med M2 Siffer er: - å utvikle elevenes tallforståelse av hele tall med opptil femten sifre - å utvikle forståelse av titall- og posisjonssystemet - å utvikle forståelsen av tall med desimaler og omgjøring av brøk til desimaltall - å gi elevene et solid grunnlag for videre læring i matematikk. M2 er laget for å synliggjøre: - titallsystemet fra en- til femtende sifferplass - posisjonssystemet navnsatt fra enerplass til hundre billionplass - posisjonssystemet med fargekoder som viser vårt tallsystem - desimaltall med tre desimaler - at brøk kan omgjøres til desimaltall. Gjennom bruk av M2 skal eleven: - lære at et antall blir ti ganger større for hver plass mot venstre det flyttes - bli i stand til å lese, skrive, regne og forstå tall med opptil femte sifre - bli i stand til å forstå tall med desimalkomma - bli i stand til å forstå at sifre etter desimalkomma uttrykker henholdsvis ti-, hundre- og tusendeler av et helt tall - bli i stand til å se sammenhengen mellom desimalen tidel og tidels brøk, desimalen hundredel og hundredels brøk og desimalen tusendel og tusendels brøk. M2 gir elevene mulighet til å jobbe med opptil femten-sifrede tall, med desimaler og omgjøring av brøk til desimaltall. M2 er et læringsverktøy som gir visuell støtte for hukommelsen der det matematiske språket, med tilhørende symboler som ennå ikke er automatisert. i:see har laget en serie med ulike temalinjaler som forklarer og visualiserer de mest grunnleggende begrepene i matematikk. Linjalene er laget slik at de kan oppbevares i en ringperm. Vi håper du får glede av M2 linjalen. Lykke til! Ønsker du mer informasjon om våre produkter kan du finne det her: http://www.i-see.no 2
HVORDAN BRUKE TEMALINJALEN M2 For å få best læringsutbytte av M2, må elevene beherske det matematiske språket tilstrekkelig. De bør derfor ha god forståelse av ordene (begrepene) siffer, ener-, tier-, hundreplass osv, symbol, antall, antall i en gruppe, tierovergang, veksle, retning, rekkefølge, større enn, mindre enn. Dersom eleven er usikker på hva disse ordene betyr, anbefaler vi å gå til temalinjalen M1- Siffer og tierovergang for repetisjon. På side 15 i dette heftet er det begrepsgjennomgang av de begrepene som knytter seg til temaene på M2. En av i:see s målsettinger er at eleven skal forstå både hva ordene betyr, og at de skal bli i stand til å tenke ved hjelp av dem. Det matematiske språket er vanskelig, og det er ikke bestandig eleven forstår hvilken matematisk operasjon som knytter seg til ordet. Tips: Ordet addisjon blir ofte forklart med å legge sammen. En så enkel forklaring kan, men behøver ikke, være tilstrekkelig for å forstå det abstrakte begrepet. Klær kan jo også legges sammen, så her kan ting blandes sammen. Addisjon betyr også å summere, og går vi til matematisk etymologi, får vi vite at addisjon opprinnelig betydde tilføyelse, det å legge til. En annen støtte til forståelse av ordet kan være å gå til det engelske add, to add som betyr legge sammen, tilføye, føye til og forøke, gjøre større. Når vi legger et antall til et annet, gjør vi antallet større. Side A: På denne siden har M2 femten sifferplasser. Det gjør det mulig å skrive tall fra null til 999 billioner, 999 milliarder, 999 millioner, 999 tusen, 9 hundre og nitti ni. M2 viser tallenes plass og sifferplassenes navn. Oppgave 1: Før eleven har begynt å bruke M2 skrives et femtensifret tall, f.eks. 837216432010526, på tavla. Be eleven lese tallet. Demonstrer posisjons- og titallssystemet med fargesoner for ener-, tier- og hundreplass, tusenplassene, millionplassene, milliardplassene og billionplassene. Dette gir oversikt og et system å tenke ut fra. 3
Etter gjennomgang av sifferplassenes navn og antall sifre, skriv på nytt et femtensifret tall. La eleven lese tallet. Oppgaver: Begynn med tallet 1. Hvor har det plass på sifferlinjalen? La elevene skrive inn. Visk ut svaret. Multipliser 1 med 2 og skriv inn svaret på riktig plass. Visk ut. Svaret multipliseres med to for hver gang, og svaret skrives inn på riktig sifferplass. Eleven skal lese høyt det svarene hun/han kommer fram til. Variasjonsmuligheter innenfor oppgaven: Multipliser svarene med 3, 4 osv for hver gang, eller multipliser svaret med seg selv. Oppgavene gir god øvelse i multiplikasjon og trene opp evnen til å sette opp multiplikasjonsstykker dersom eleven ikke bruker kalkulator. Øv på å lese store antall hvor null forekommer på sifrene innenfor billiardplassene, innenfor milliardplassene, millionplassene osv. Side B: Denne siden viser sifre med desimalkomma. Desimaltall med komma er en brøk der antall deler av en hel blir skrevet etter desimalkommaet. Tallet f.eks. 45,20 viser at det er 20 hundredeler eller to tideler av en hel, i tillegg til de 45 hele. Når vi teller sifre etter komma i en desimalbrøk, starter vi ved desimalkommaet og teller mot høyre. Teller i vanlig brøk deles med nevner, og brøkstreken betyr det samme som symbolet (:), dividere. Vanlig brøk 1, 1 og 1 gjøres om til desimaltall 10 100 1000 slik: 1 10 1 100 1 1000 = 1:10 = 0,1 = 1:100 = 0,01 = 1:1000 = 0,001 4
Tideler skrives med en desimal etter komma, og viser tilbake til tideler av et hele. Eks.: 0,6. Her er antallet tideler seks. Hundredeler skrives med to desimaler etter komma, viser tilbake til hundre deler av et hele. Eks.: 0,07. Her er antallet hundredeler syv. Tusendeler skrives med tre desimaler etter komma, og viser tilbake til tusendeler av et hele. Eks.: 0,008. Her er antallet tusendeler 8. Desi betyr 10 i måleenheter 0,10, i ord som desiliter, desimeter. Centi betyr 100 i måleenheter 0,01, i ord som centiliter, centimeter. Milli betyr 1000 i måleenheter 0,001, i ord som milliliter, millimeter. Antall sifre og sifferplasser i hele tall, telles fra enerplassen mot venstre. Antall desimaler etter komma, telles fra desimalkommaet mot høyre. OPPGAVER: Skriv inn på riktig sifferplass: Nitti milliarder Fem hundre tusen to hundre og nitti fire Tolv Sju hundre og femti Nitti billioner to hundre og ti milliarder tre tusen og fem Fire hundre millioner tre hundre og førtito tusen sju hundre Hvor mange sifre har: Nitti millioner... Fem hundre milliarder... Seks billioner... Sju hundre tusen... Trettifem milliarder... Femtiseks... Hva heter disse tallene: 902 224 005 5
973 50 000 40 854 320 6 032 759 100 100 320 250 340 Skriv tallverdiene når tallsymbolet fem flyttes til ulike sifferplasser mellom enerplassen og 100 billionplassen. Forklar posisjonssystemet Forklar tusenplassene, millionplassene, milliardplassene og billiardplassene ved hjelp av M2. 6
Hvordan skal vi forstå tier-, hundre- og tusenovergangene? Hvor mange sifre kan et tall ha?... Hva kommer etter billionplassene? Hvilket grunntall har vårt tallsystem? Kjenner du til andre grunntall? Hvor mange primtall er det i tusenplassene? Gjør disse brøkene om til desimaltall: 5 10 4 100 9 1000 8 10 7 1000 3 100 15 10 14 100 999 1000 50 10 70 1000 35 100 Hva betyr desi, centi og milli? Hva betyr desimaltall? 7
BEGREPSANALYSE Begrepsanalysen foregår i fire trinn. Par assosiasjon (PA) (par forbindelse). Læreren eller en forelder velger to tosifrede tall, f.eks. 12 og 78. Det er viktig at lærer/forelder først viser tallene hver for seg, navngir dem, og sier at de begge er tosifrede tall. Deretter vises tallene sammen, og det presiseres at begge er tosifrede tall. Selektiv assosiasjon (SA) (en utvalgt likhet). Eleven skal finne tall de mener er tosifrede tall. De skal velge tall som de mener har fellestrekk med de to tallene som ble demonstrert. Assosiasjonslæring av begrepet, knyttet til taleferdighet, gir begrepsrelevante erfaringer. Ved å spørre seg selv om de tallene de har funnet fram til, er tosifrede, må de sammenligne disse med de tallene som ble demonstrert. Hver for seg skal eleven vurdere om tallene er tosifrede tall. Selektiv diskriminering (SD) (forskjellsoppdagelse). Her er dialogen mellom lærer/forelder og eleven(e) viktig. Om nødvendig må de to tosifrede tallene læreren demonstrerte, demonstreres på nytt. Gjennom diskusjon skal eleven komme fram til om hans/hennes vurdering var riktig. De tallene som gjennom diskusjonen viser seg ikke å være tosifrede, diskrimineres ut og skal bli igjen i denne boksen. Resten skal legges i generaliseringsboksen. Selektiv generalisering (SG) (oppdagelse av delvise likheter). Gå gjennom alle enkelteksemplene som er samlet her. Hva er alle tallene i generaliseringsboksen like i? Hva har de til felles som gjør at de tilhører kategorien tosifrede tall? Ved å bytte ut begrepet f.eks tosifret tall med et annet begrep, kan de aller fleste begrep analyseres på denne måten. En slik analyse kan være viktig i forhold til begrepsavklaring, jf (SA) i begrepsanalysen. 8
1 PAR ASSOSIASJON (PA) Lærer/forelder velg ut to tosifrede tall, f.eks. tallene 12 og 78. 2 SELEKTIV ASSOSIASJON (SA) Eleven finner tall de mener er tosifrede. 3 SELEKTIV DISTRIMINERING (SD) Forslagene vurderes, eventuelle ensifrede, tresifrede e l, blir igjen her. Tosifrede tall flytes til SG 4 SELEKTIV GENERALISERING (SG) Alle tall i denne boksen har det til felles at de er tosifrede tall. 9
GRUNNLEGGENDE BEGREPER: FARGE FORM linjeform: rettlinjet - bueformet - vinkelformet flateform: trekantede - firkantede - runde romform: trekantede - firkantede - runde STILLING vannrett - loddrett - skrå STØRRELSE lengde - høyde - bredde - dybde PLASS i rekke av hendelser - rekkefølge - først - sist ANTALL antall deler - et hele - deler av et hele MØNSTER RETNING omfatter bevegelse FUNKSJON brukes til STOFF art - egenskaper LEVENDE/IKKE LEVENDE LYD språklyd OVERFLATE TEMPERATUR SMAK sur - søtt - salt - bitter LUKT TID FORANDRING FART VEKT KRAFT tyngdekraft - elektromagnetisk kraft - trykk VERDI pengeverdi - affeksjonsverdi - rett/galt-vurderinger KJØNN hannkjønn - hunnkjønn - intetkjønn BEGREPSGJENNOMGANG Desimal: (kortord av desimaltall; fra latin, av decimus TIENDE ). Siffer etter komma i en desimalbrøk (tiende betyr tidel, se nedenfor)). Desimaler er sifre etter desimajkomma. - regne ut svaret med to desimaler - brøk, brøk der nevneren er en potens av ti, og der telleren blir skrevet etter komma. - 7/10 skrives 0,7 som desimalbrøk - 67/100 skrives 0,67 som desimalbrøk - 1/1000 skrives som 0,001 som desimalbrøk - komma, komma foran telleren i en desimalbrøk - system målesystem for mynt, lengdemål og vekt der hver enhet inneholder ti enheter av nærmeste mindre enhet - tall, 1) desimalbrøk 2) desimal - vekt, vekt der loddene veier 1/10, 1/100 osv av gjenstanden som skal veies Tiende: (norrøn tíund TIDEL etter latin) om eldre forhold: avgift til kirken som ofte utgjorde en tidel av årets avling, fangst eller inntekt - betale tiende Brøk: (lavtysk, brok, brök, samme ord som brokk, egentlig BRUDD ) tall som betegner et antall deler av en enhet, der en teller uttrykker delene og nevner hvor mange deler enheten er delt i 10
- 2/5 er en brøk - ekte brøk, der telleren er mindre enn nevneren - uekte brøk, der telleren er større enn nevneren - brudden brøk, der telleren og nevneren selv er brøker Brøkstrek: strek mellom telleren og nevneren Komma: (gresk, DEL AV SETNING, av koptein HOGGE AV ) lite skilletegn (,) som brukes i skrift og desimaltall. Teller: den delen av en brøk som står over brøkstreken Nevner: den delen av en brøk som står under brøkstreken Synonym: (fra gresk, av syn- og onyma NAVN ) som betyr det samme eller nesten det samme. Tall og siffer er synonyme. Hele tall, et helt tall som angir et antall, kardinaltall. Kardinaltall: naturlige tall Naturlige tall: tallene 0, 1, 2, 3, 4 osv er naturlige tall Ordinaltall: ordinale (av latin ordo REKKEFØLGE ) ordenstall. 1., 2., 3. osv er ordenstall. Den 3. er nr. 3 i en rekke. Den 3. januar betyr den tredje dagen i januar. Primtal: tall som bare er delelig med 1 og tallet selv. 3, 11, 17 er primtall Partall: tall som er delelig med 2 Oddetal: tall som ikke er delelig med 2, ulike tall. 3 og 7 er oddetal Grunntall: det samme som kardinaltall, et helt tall som angir et antall. Grunntallet i et tallsystem angir hvor mange ulike tallsymbol som kan skrives i en siffer, og som tallsystemet er bygd opp av. 10 er grunntall i vårt standard tallsystem. Det betyr at vi kan skrive tallsymboler mellom 0 til 9 i hver siffer. Posisjon: (fra latin, av ponere STILLE, SETTE ) plassering, stilling. Posisjonssystem, der sifrenes plass i tallet bestemmer dets verdi. I vårt vanlige tallsystem, desimalsystemet, blir tallverdien av et siffer ti ganger større hvis det flyttes ett skritt til venstre. I tallet 333 er sifrenes verdi enten 300, 30 eller 3. Man sier at tallsystemet har ti som grunntall. Tallsystem: system til å uttrykke hele tall med noen få sifre, f.eks. desimalsystem med 10 sifre. Ulike systemer for telling har vært i bruk innen forskjellige folkeslag. Mest utbredt er ti-tallsystemet eller det 11
dekadiske tallsystem, som naturlig svarer til telling på fingrene. Det er et posisjonssystem med tallsymboler 0, 1, 2, 3, osv til 9, og deres posisjon i tallet angir hvilken høyere enhet de representerer. F.eks. er tallet 9543 i 10-tallsystemet det samme som 9 10 3 + 5 10 2 + 4 10 + 3. Ti-tallsystemer har eksistert i alle fall så langt tilbake som hos egypterne ca. 3400 f. Kr. Om det tallet som skrives som 13 i 10-tallsystemet, skulle skrives i to-tallsystemet, ville det få formelen 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1. To-tallsystemet eller det binære tallsystem har vært i bruk hos enkelte folkeslag, men er mest kjent for sin anvendbarhet i elektroniske regnemaskiner og datamaskiner. Tidligere har vi brukt 12-, 20- og 60-tallsystemer. 60-tallsystemet har vi i timeinndelingen, 12 betegner dusin og gross (12 12). Fra 20-tallsystemet, som også har vært utbredt i f.eks. den gamle mayakulturen, og hos kelterne, har vi betegnelser som snes (20) og skokk (3 20). Multiplisere: (latin multiplicare MANGFOLDIG- GJØRE, av plicare FOLDE) finne produktet av to eller flere tall, gange. 3 multiplisert med 8 er 24 (3 8 = 24). Mulitplikator: (latin MANGFOLDIGGJØRER ) tall som en multipliserer med. Multiplikand: (fra latin MANGFOLGIGGJØRE ) tall som skal multipliseres md et annet. Multiplikand og multiplikator blir med en fellesbetegnelse kalt faktorer. Million: (fra italiensk, av mille) tusen ganger tusen, grunntall 1000 000. Milliard: (fransk, av million) tusen millioner, grunntall 1000 000 000. Billion: (fransk av bi- prefisk (latin bis to ganger ) og million, egentlig million i andre potens) 1) en million millioner, grunntallet 1000 000 000 000 2) i USA og det tidligere Sovjetunionen er en billion det samme som en milliard i Europa, tusen millioner 1000 000 000. Desi-: tidel, dl, dm Centi-: (prefiks) (av latin centum HUNDRE forledd som markerer at hele ordet står for en hundre del av den måleenheten som etterleddet nevner. Milli-: (latin mille TUSEN markerer at hele ordet står for en tusendel av den måleenheten som etterleddet nevner. Potens: (fra latin MAKT, KRAFT, av potens MEKTIG ) matematikk: produkt av et antall like faktorer tre (opphøyd) i fjerde potens (skrevet 3 4 ). 12