5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB. b) Bestem E og siden EC. 2 I trekanten ABC er A = 45,2, siden AC = 11,0 cm og siden BC = 13,0 cm. Regn ut høyden fra C på AB. Bestem C. 3 I en trekant ABC er AB = 7,0 cm, BC = 4,0 cm og A = 32. Regn ut vinkelen C. Finn arealet av trekanten ABC. Vi øker vinkelen A mens sidene AB og BC har uendret lengde. Hvor stor kan vinkelen A bli? 4 En firkantet tomt har form som på figuren nedenfor. AD = 24,5 m, BC = 18,0 m, AB = 30,0 m, B = 90 og BAD = 75.

a) Finn BAC og siden AC. Normalen fra D på AC treffer AC i E. b) Finn sidene DE og AE. c) Regn ut arealet av tomta. 5 En vertikal mast ST er plassert mellom punktene A og B på en horisontal mark. Bestem høyden til masten når SAT = 18, SBT = 32 og avstanden AB er 100 m. 6 En tomt har form som trapeset ABCD nedenfor. Sidene AB og DC er parallelle. AB = 25,7 m, AD = 21,5 m, A = 80,2 og B = 84,9. DE står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene DE, AE, BC og DC. b) Bestem arealet av tomta. 7 En tomt med hjørnene A, B, C og D har mål som vist på figuren nedenfor. Siden AD = 27,0 m, siden BC = 34,0 m, DAC = 32,0, ACD = 35,0 og B = 58,0. DE står normalt på AC.

a) Finn lengden av sidene DE, CD og AC. b) Bestem BAC. c) Regn ut arealet av tomta. 8 En familie har arvet en tomt. Tomta har form som en trekant med hjørnene A, B og C. Siden AB = 22,0 m, siden BC = 28,0 m og ABC = 115. a) Regn ut siden AC og CAB. Familien ønsker å bygge et hus på tomta. For at tomta skal bli bedre egnet for husbygging kjøper familien et tilleggsareal med hjørnene A, C og D. Siden CD = 18,0 m og BCD = 78,0. b) Hvor lang er siden AD? Grunnflaten på huset skal være 120 m 2. c) Hvor stor brøkdel av hele tomta blir bebygd? 9 Et utstillingsområde skal gjerdes inn. Området skal ha form som en regulær femkant. Alle sidene har lengden 60 m. Midtpunktet i femkanten kaller vi S. S har da samme avstand til alle hjørnene (se figuren nedenfor). a) Bestem vinklene i trekanten ABS. b) Regn ut avstanden fra midtpunktet S til hjørnene i femkanten. c) Bestem arealet av utstillingsområdet. Ved neste utstilling skal det gjerdes inn et område som har dobbelt så stort areal og den samme formen som det eksisterende området. d) Hvor langt må gjerdet da være? 10 En lekeplass har form som firkanten ABCD på figuren nedenfor. A = CAD = 90, BAC = 28, siden AC = 88 m og siden AD = 41 m.

a) Finn lengden av sidene AB og BC. b) Finn ACD og siden CD. c) Regn ut arealet av lekeplassen. d) Finn lengden av diagonalen BD. 11 Figuren nedenfor viser de to sjømerkene T og S. To landemerker A og B på stranden ligger 240 meter fra hverandre. Med en teodolitt (vinkelmåler) finner vi vinklene nedenfor når vi måler fra A og når vi måler fra B: SAT = 45 BAS = 29 TBA = 49 SBT = 26 a) Regn ut avstanden BT og BS. b) Hva er avstanden mellom de to sjømerkene S og T? 12 I en kystby har kaiområdet form som en trekant med hjørnene A, B og C. Siden AB = 200 m, siden AC = 183 m og siden BC = 84 m. a) Regn ut BAC og finn arealet av området. Kaiområdet utvides slik at det samlede området får form som et trapes ABCD med AB og DC som parallelle sider. Det nye området ACD skal være på 5000 m 2. b) Vis at siden CD blir 130 m. Det planlegges enda en utvidelse av kaiområdet slik at hele området får form som en trekant ned hjørnene A, B og E. Hjørnet E skal plasseres slik at punktene A, D og E ligger på en rett linje. Det samme gjør punktene B, C og E. c) Finn arealet av den planlagte utvidelsen DCE.

13 En storbonde skal selge to tomter. Den ene tomta har hjørnene A, B og C. Sidene har lengdene AB = 40,0 m, AC = 75,0 m og BC = 51,5 m. a) Bestem A og B. b) Finn arealet av tomta. Den andre tomta har hjørnene B og C felles med den første tomta. Det tredje hjørnet D ligger på forlengelsen av AB. De to tomtene er like store. c) Hvor lang er siden BD? d) Regn ut BDC. 14 En bonde vil selge en tomt. Tomta har form som et trapes med hjørnene A, B, C og D. Sidene AB og DC er parallelle. Siden AB = 53,2 m, siden BC = 38,4 m og diagonalen AC = 49,6 m. a) Regn ut BAC. Bonden at arealet av trekanten ACD er 460 m 2. b) Finn arealet av tomta. c) Regn ut CAD. 15 To båter ligger i posisjonene A og B som vist på figuren nedenfor. Kari står på stranden i punktet P og ser båtene i vinklene 40 og 50 i forhold til strandlinjen. I vannet rett utenfor der hvor Kari står, ligger skjæret S 190 m fra land. Punktene A, B og S ligger på en rett linje, og PSB = 90. a) Regn ut hvor langt Kari befinner seg fra hver av båtene. b) Finn avstanden mellom båtene.

16 Heron fra Aleksandria levde i det første århundret av vår tidsregning. Vi vet ikke mye om Heron, men han har fått en bemerkelsesverdig formel oppkalt etter seg. Ved hjelp av Herons formel kan vi finne arealet av en trekant dersom vi kjenner alle sidene i trekanten. Vi lar en trekant ha sidene a, b og c, og setter a + b + c s = (s er altså halvparten av omkretsen til trekanten.) 2 Arealet, A, av trekanten er da gitt ved A = s( s a)( s b)( s c) En hyttetomt har form som en trekant. Ved hjelp av målebånd finner du at sidene er henholdsvis 39,6 m, 33,4 m og 42,0 m lange. a) Bruk Herons formel for å finne arealet av hyttetomta. Du skal grave en grøft fra hjørnet C til siden AB, som skal stå vinkelrett på AB. b) Hvor lang blir grøfta? 17 En orienteringsløper starter ved post A. Hun løper til post B, som ligger 560 m fra post A. Fra post B til post C er avstanden 750 m. Post D ligger 330 m fra post C. Av kartet ser vi at ABC = 118 og BCD = 75. AC er diagonalen i firkanten ABCD. Postene ligger i samme høyde, og alle avstandene er målt i luftlinje. a) Regn ut avstanden mellom postene A og C. b) Finn ACB. c) Regn ut avstanden mellom postene A og D. 18 Figuren nedenfor viser snittet gjennom loftsetasjen i en planlagt enebolig.

Bredden AB på huset er 8,0 m. Høyden på sideveggene AD og BC er 0,6 m. Høyden MF er 1,8 m. F ligger midt mellom A og B. a) Hvor stor er vinkelen v? Eieren regner med at det nyttige arealet av loftet er den delen av etasjen der takhøyden er minimum 1,2 m. For å gjøre denne delen større får han disse to alternativene av bygningsmyndighetene: å øke høyden MF med 0,2 m, men ha samme høyde på sideveggene som opprinnelig planlagt å øke høyden på sideveggene med 0,2 m, men ha samme høyde MF som opprinnelig planlagt b) Hvilket av de to alternativene bør huseieren velge for at det nyttige arealet skal bli størst mulig? Begrunn svaret. 19 På figuren nedenfor ser vi et snitt av en vanngrav foran en mur. I punktene A og B er det gjort vinkelmålinger mot toppen D av muren. Vinklene er henholdsvis 23,8 og 56,4. Lengden AB er målt til 20,0 m. Vi trekker linjen BE vinkelrett på AD. a) Regn ut ADB og lengdene BE og BD. b) Regn ut høyden av CD, høyden av muren, og bredden BC av vanngraven. Snittet BFGC av vanngraven er et trapes der siden FG er parallell med siden BC. B = C = 62. Vanngraven er 3,2 m dyp og 50 m lang. c) Hvor mange liter vann inneholder vanngraven når den er full?

20 Et oljeselskap planlegger å føre olje fra et felt ute i havet til en terminal inne på land gjennom en rørledning. Figuren ovenfor viser situasjonen. Oljefeltet ligger i punktet A, 24 km fra land. Den rette linjen gjennom punktene B og C markerer kysten. Terminalen befinner seg i punktet T, 10 km fra kysten. Punktene B og C ligger slik at ABC = BCT = 90. Avstanden mellom B og C er 50 km. Vi ser bort fra eventuelle høydeforskjeller. Det koster 2000 kroner per meter å legge rørledning i sjøen og 1000 kroner per meter å legge rørledning på land. a) Vis at det vil koste ca. 99 millioner kroner å legge rørledningen i rett linje fra A til B, og deretter i rett linje fra B til T. b) Hva vil det koste å legge rørledningen i rett linje fra A til C, og direkte fra C til T? Oljeselskapet vurderer å føre oljen i land i et punkt D på linjen mellom B og C. Ledningen vil da gå i rett linje fra A til D, og videre i rett linje fra D til T. La avstanden mellom B og D være x km. c) Bruk lommeregneren til å bestemme hvilken verdi av x som gir lavest kostnad ved legging av rørledningen.

21 Radien i en rett kjegle er R = 0,80 m, og høyden er h = 2,10 m. a) Regn ut volumet av kjeglen. b) Finn siden AT i kjeglen. En kule med radius r ligger på kjeglens grunnflate, som vist på figuren ovenfor. Kulen berører sideflaten i kjeglen. c) Regn ut volumet av kulen. 22 Vi sammenlikner overflaten til en kule med overflaten til en rett kjegle. Kulen har en radius på 8,5 cm. Grunnflaten i kjeglen har også en radius på 8,5 cm. Kjeglen er tre ganger så høy som radien. Er det kulen eller kjeglen som har størst overflate? 23 En fabrikk lager ulike typer blykuler og blylodd. En type av blyloddene har sylinderform. Radien i grunnflaten er 1,2 cm, og høyden er 4,0 cm. a) Hvor stor er overflaten og volumet til et slikt blylodd? En annen type blylodd har kjegleform. De har samme grunnflate og høyde som loddene med sylinderform i a). b) Hvor stor er overflaten til et slikt blylodd? Av en viss mengde bly kan fabrikken lage 300 sylinderformede blylodd. c) Hvor mange kjegleformede blylodd kan fabrikken lage av den samme blymengden? En type blykuler har diameter 3,4 cm. d) Regn ut volumet av en blykule. Skriv svaret på standardform med både kvadratcentimeter og kvadratmeter som enhet (se avsnitt 9.2 i læreboka). e) Hvor mange blykuler kan fabrikken lage av 0,85 m 3 bly?

24 I en kommune stilte de fire politiske partiene A, B, C og D liste til kommunevalget i 1991. Resultatet av valget er vist i tabellen nedenfor. Parti A B C D Antall stemmer 3205 2510 802 1235 a) Finn den relative (prosentvise) fordelingen av stemmene. Resultatet skal presenteres i et sektordiagram. b) Regn ut gradtallet for hver sektor og skisser sektordiagrammet. Sektordiagrammet nedenfor viser resultatet ved stortingsvalget i 1993 for de samme fire partiene. Partiet D fikk 1950 stemmer i 1993. c) Hvor mange stemmer fikk partiene A, B og C ved valget i 1993? 25 Kåre kjøper en kjeks-is. Den kjegleformede kjeksen med sidekant 12 cm er helt fylt med is. Toppen av isen er formet som en halvkule med diameter 6 cm. a) Hvor stor er overflaten av kjeksen? b) Regn ut volumet av isen. 26 Vi regner med at én liter maling dekker et areal på 12 m 2. a) Hvor tykt er laget med maling i dette tilfellet? Diameteren i den sirkelformede åpningen til en tannkremtube er 7 mm. Tuben inneholder 75 ml tannkrem. b) Hvor lang «tannkremstreng» får du ut av en slik tube?

27 Anne vil bygge tak over en del av terrassen utenfor huset sitt (se figuren nedenfor). Utbygget har tverrsnittet ABC. De nødvendige målene står på figuren. a) Regn ut sidene CD og AD. b) Hvor langt ut kommer taket (AB)? c) Finn avstanden CE. 28 En sandhaug har form som en kjegle med diameter 2,6 m og høyde 1,8 m. a) Finn volumet av kjeglen. Sanden skal legges på en rett vei som er 3,0 m bred. b) Hvor lang veistrekning kan dekkes når sandlaget skal være 2 cm tykt? 29 Figuren nedenfor viser en isblokk med form som et rett prisme med lengde 7 cm, bredde 4 cm og høyde 5 cm. Vi tenker oss at isblokken smelter slik at både lengden, bredden og høyden minker med like mange centimeter. Etter en stund har volumet av isblokken minket til halvparten av det opprinnelige volumet. Bruk lommeregneren til å finne ut hvilken lengde, bredde og høyde isblokken har etter smeltingen. 30 En 12,0 m høy mast står på en slette. Masten er festet med de to bardunene TA og TC. Bardunen TA går fra toppen av masten T til punktet A på bakken. Bardunen danner en vinkel på 52 med bakken. Bardunen TC går fra mastetoppen til et punkt C på en loddrett mur, 3,5 m over bakken. Fra punktet A på bakken til murveggen er det 25,0 m.

a) Regn ut lengden av bardunen TA og avstanden AB fra punktet A til masten. b) Regn ut lengden av bardunen TC. Bestem vinkelen BTC som bardunen danner med masten. 31 Den generelle formelen for en sirkel som har sentrum i origo, er x 2 + y 2 = r 2 2 2 a) Vis at y = ± x r b) Tegn en sirkel med radius 5 cm. Lag en x- og y-tabell for x-verdiene 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Bruk menyen «conics» på lommeregneren. (På grunn av det rektangulære vinduet på lommeregneren blir sirklene ellipseformede.) 32 Den generelle formelen for en sirkel som har sentrum i et vilkårlig punkt (x 1, y 1 ) i koordinatsystemet, er (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = r 2 a) Tegn en sirkel med sentrum i punktet (1, 2) med en radius på 4 cm. Lag en x- og y- tabell for x = 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Bruk menyen «conics» på lommeregneren. b) Vis at likningen for denne sirkelen kan skrives som x 2 + y 2 2x 4y 11 = 0 33 Finn en hyssing som er 10 cm lang. Fest en tegnestift i hver ende av hyssingen og fest endene på et papir slik at de er 6 cm fra hverandre. Bruk en blyant og tegn den kurven du får når du lar blyanten gå hele veien langs hyssingen (hyssingen skal være stram). a) Hva slags kurve får du? b) Hva kaller du de punktene der tegnestiftene står? c) Hva er spesielt med disse punktene?

34 Den generelle formelen for en ellipse som har sentrum i origo, er x a 2 2 + b y 2 2 = 1 der a og b er ellipsens halvakser. a er den store halvaksen som går langs x-aksen. b er den lille halvaksen som går langs y-aksen (se figuren nedenfor). Vi kan vise at uttrykket for y kan skrives som y = ± Prøv selv! b a a 2 x 2 a) Lag en verditabell der x = 5, 4, 3,..., 5 når du bruker a = 5 cm og b = 4 cm. b) Tegn grafen i koordinatsystemet. Bruk 1 cm som enhet på begge aksene. Den grafen du får, likner mye på den du fikk i oppgave 33. Av figuren ser du at ellipsen skjærer x-aksen i 5 og 5, og y-aksen i 4 og 4. Punktene B 1 og B 2 kaller vi brennpunkter, og avstanden mellom disse to punktene er 6 cm i denne oppgaven. Avstanden fra et brennpunkt til ellipsens sentrum kaller vi c. Ved bruk av Pytagoras får vi a 2 = b 2 + c 2 Vi hadde oppgitt at a = 5 og b = 4. Av setningen ovenfor kan vi finne c. 5 2 = 4 2 + c 2 c = 3 Det vil si at avstanden fra et brennpunkt til sentrum er 3 cm. Bruk «conics»-menyen for å kontrollere svaret.

Forholdet mellom avstanden fra brennpunktet til ellipsens sentrum kaller vi ellipsens eksentrisitet, e, dvs. e = a c Denne brøken forteller hvor «flatklemt» ellipsen er. Hvis e = 1, er «ellipsen» en sirkel. 35 a) Finn stoff om den tyske astronomen og fysikeren Johannes Kepler og hans teorier eller lover om planetbevegelsene. b) Er planeten Tellus sentrum i vårt verdensbilde? I så fall, har det alltid vært slik? c) Finn stoff om jorda, sola og deres posisjoner, slik de gamle greske tenkerne (og andre) så det. 36 Gjør rede for ellipsens refleksjonsegenskaper. Hvilken betydning tillegger vi brennpunktene? 37 En generell formel for en parabel med topp-/bunnpunkt i origo, og der symmetriaksen er parallell med y-aksen, er y = ax 2, a 0 Formelen for en parabel som har topp-/bunnpunkt i punktet (x 1, 0), er y = a(x x 1 ) 2, a 0 Symmetriaksen er også her parallell med y-aksen. Formelen for en parabel med topp-/bunnpunkt i punktet (x 1, y 1 ) og med symmetriakse parallell med y-aksen, er y y 1 = a(x x 1 ) 2 Det er disse tre variantene som er brukt i kapittel 10 i læreboka om funksjoner. Vi har også parabler med symmetriakse som er parallell med x-aksen. Likningen for en parabel som har toppunkt i origo (vi kaller punktet for toppunkt), er y 2 = 4px der avstanden fra origo til brennpunktet er p. Hvis p er positiv, vender parabelen til høyre. Hvis p er negativ, vender den mot venstre. a) Tegn parabelen for p = 1, og bruk x-verdiene fra og med 0 til og med 10.

Den generelle parabellikningen for en parabel med symmetriakse som er parallell med x- aksen og med toppunkt i (x 1, y 1 ), er (y y 1 ) 2 = 4p(x x 1 ) der p er avstanden mellom brennpunktet og toppunktet. b) Tegn parabelen når p = 2,25 og går gjennom punktet (2, 1). c) Vis at denne parabellikningen kan skrives som y 2 2y 9x + 19 = 0. d) Finn stoff om paraboler, paraboloider, lyskastere og lykter. Hvilken betydning har brennpunktet? Gjør rede for parabelens refleksjonsegenskaper. e) I læreboka er det nevnt noe om styrelinje. Gjør rede for denne linjen. f) Bevis formelen y 2 = 4px nå p er avstanden fra brennpunktet, og at avstanden mellom styrelinjen og brennpunktet er 2p. (Bruk alle tilgjengelige hjelpemidler, for eksempel Internett.)