KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette går, der etter trekkes resten av fra det minste så mange ganger dette går, og slik fortsettes det. Dersom den siste resten er én enhet er de to opprinnelig tallene innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker. Dersom to tall AB og CD er primiske til hverandre, vil bare én enhet gå opp i begge, for dersom de to ikke er primiske til hverandre, vil et tall (forskjellig fra null) gå opp i begge. Anta at et tall, E, går opp i begge. Ved divisjon (gjentatt subtraksjon) av AB med CD, vil vi få AF som rest der AF = AB DG (og DG er et multiplum av CD). AF < CD Ved divisjon av DG med AF, finner vi på tilsvarende måte resten GC - og videre ved divisjon av FH med GC, finner vi AH. A Da E går opp i CD, og BF er et multiplum av CD, må E gå opp i BF. Da E går opp i BA, vil den og gå opp i resten AF, dvs BA - BF. H F C Men, som vi husker, går E også opp i CD, derfor går E opp i CG, dvs CD - DG. G Siden CG går opp i FH, går E også opp i FH. Og som vi husker, E går opp i AF, da vil E også gå opp i resten AH, men siden denne er en enhet, må E også være en enhet dvs = 1. B D E Euklid s setning, Euklids algoritme, fra Bok 7 Hvordan man finner største felles divisor (mål) for to ulike tall som ikke er innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form (tilsvarende som for setning 1)der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker I dette beviset går Euklid frem som i setning 1, inntil han finner et tall AB som går opp i foregående med rest CD, slik at CD går opp i AB, og dermed er en enhet. Siden tallene ikke er innbyrdes primiske, må denne enheten, største felles divisor, være forskjellig fra 1. Euklid s setning sier oss at for et hvert tallpar, k og n, finnes det to andre tall r og q, slik at vi har k = r n + q og at denne formen er unik, dvs det finnes ingen andre tall enn r og q som har denne egenskapen.
Oversatt til tall, kan Euklid s algoritme vises slik: Vi skal finne største felles divisor for tallene 43 og 11. Vi finner at 3 er det største multiplum av 11 mindre enn 43, resten blir 90 43 = 3 x 11 + 90 Vi ser at dersom 43 og 1 har en felles divisor, må denne også være divisor i 90. Ved å finne resten ved divisjon av 11 med 90, finner vi en ny rest som har divisor felles med 90. Vi ser at 90 går 1 gang opp i 11 med som rest 11 = 1 x 90 + Vi ser at går 3 ganger opp i 90 med 1 som rest 90 = 3 x + 1 Videre har vi at 1 går 1 gang opp i med 10 som rest = 1 x 1 + Siden går opp i 1, må være største felles divisor Det er for øvrig interessant at i Arithmetika angir Nichomachus (ca 140 e.kr) samme regel og sier om algoritmen at den vil ende med en enhet eller med det samme tall (største felles divisor) og han gir dette eksemplet: Med hensyn på 1 og 49, trekker jeg det minste fra det første, så trekker jeg 1 fra differensen 8 og får differensen 7 - så trekker 7 fra 8 og får 14 som han igjen trekker 7 fra - og fortsetter så, men 7 kan ikke trekkes fra 7(!) Vi må oppfatte ham her som ender med det samme tall. Lineære diofantiske ligninger Hvilke hele tall kan vi lage som sum av multipla av heltallene a og b? Eventuelt kan vi spørre om hvilke multipla av to hele tall kan i sum bli lik et tredje helt tall c. Dette problemet tilsvarer ligningen (1) nedenfor der x og y er hele tall. (1) ax + by = c a, b, c Z Dersom tallene ikke er for store, kan vi løse (1) ved inspeksjon dvs innsetting og prøving, men dersom tallene er store, blir denne metoden for tidkrevende. Ligningen ovenfor kaller vi en lineær diofantisk ligning siden de ukjente er lineære, dvs i første potens. Diofant (ca. 0 f.kr) er kjent for sine arbeider over kvadratiske og kubiske ubestemte ligninger i hele tall. Vi kjenner arbeidene hans fra det nevnte verket Aritmetika
Fra funksjonsteorien vet vi at ligningen svarer til en rettlinjet graf dersom x og y er reelle tall. Løsningene av ligningen for hele tall tilsvarer punkter på linjen. Vi finner disse punktene på linjen gitt ved funksjonsuttrykket: () a c y = x + b b Det er umiddelbart lett å se at et krav for at ligningen (1) har minst én løsning, er at c er et multiplum av (a, b), største felles divisor av a og b og motsatt - om c ikke er et multiplum av (a, b), har ligningen ingen løsning. Delelighetsreglene sier at venstre side alltid er delelig med (a, b). Ligningen kan derfor ikke ha heltallige løsninger i fall høyre side, c, ikke er delelig med (a, b). Vi skal nå se på en teknikk for å løse en lineær diofantisk ligning, og tar et talleksempel: (3) x + y = 3 Vi løser imidlertid først en hjelpeligning: (4) x + y = 1 Nå har vi : = dvs = + 1 og vi ser () 1 = 1 + (- ) Dvs hjelpeligningen har en løsning x = 1 og y = - Vi multipliserer ligningen (4) ovenfor med 3 på begge sider og får: (6) 3 = 3 + (- 6) Dvs at utgangsligningen (3) har løsningen x = 3 og y = -6, som vi kan kontrollere ved innsetting. Dette er imidlertid bare én løsning. Har (3) andre løsninger og i så fall hvilke? Vi antar at den alminnelige løsningen av (3) har formen: (7) x = 3 + α og y = -6 + β. Innsatt i ligning (3) gir dette oss: (8) (3 + α) + (-6 + β)= 3 Ut fra (6) finner vi denne ligningen for α og β: (9) α + β = 0 som gir oss: (10) β = α
Ligningen (9) sier oss at vi finner løsninger når α er et multiplum av. Som eksempel kan vi velge α = 4, dermed blir β = -10. Vi finner nå ved innsetting i (7) løsningen x =7 og y = -16. Vi kan nå skrive den alminnelige løsningen tilsvarende (7) på formen; (11) x = 3 + m og y = -6 + -m Et annet ord for c er en lineærkombinasjon av a og b. Vi kan skrive (1) ax + by = (a,b) Vi ser på ligningen (13) 19x + 7y = 1 Vi har nå (14a) 19 = 7 + = 1 19-7 (14b) 7 = 1 + = 1 7-1 (14c) = + 1 1 = 1 - Nå nøster vi oss tilbake ved å starte med siste ligning (14c), sette inn for fra ligning (14b): (1) 1 = 1 - (1 7-1 ) Deretter setter vi inn for fra første ligning (14a) og får: (16) 1 = 1 [1 19-7] - (1 7-1 [1 19-7] ) Nå har vi fått 1 som lineærkombinasjon av 19 og 7 og regner ut: 1 = 19-7 - 7 + 19 4 7 1 = (1 + ) 19 ( + + 4) 7 = 3 19 8 7 Dermed har vi: (17) 19 3 + 7 (-8) = 1 Ved multiplikasjon på begge sider med et vilkårlig tall M, finner vi løsningen av (18) 19x + 7y = M som x = 3M og y = -8M Generelt gjelder at vi kan forkorte med felles faktor inntil koeffisientene til x og y er innbyrdes primiske. Vi har og løsningen av ligning (19) (19) 19x0 + 7 y0 = 0 som er oppfylt for x 0 = 7 y0 = 19
(19 og (18) gir oss den fullstendige løsningen (1) av den diofantiske ligningen (0) (0) 19x y = M 0 + 7 0 (1) x = x + M y = y 8M Bhaskara s metode 0 3 0 Vi skal nå se på en alternativ løsningsmetode for lineære diofantiske ligninger oppkalt etter den indiske matematiker Bhaskara og starter med ligningen () 19x + 7y = 1 Vi har da en funksjonell sammenheng mellom x og y: (3) y = 19 x +1 7 Vi spalter så ut multipla av 7 fra første ledd: (4) y = ( 14 + ) x + 1 x + 1 = x + 7 7 Siden både y og -x er et hele tall, må også brøken være et helt tall, vi kaller denne m Vi har nå: () x +1 m = x + 1 = 7m 7 Vi kan skrive denne på formen (6) som er en ny Diofantisk ligning. (6) x + 7m = 1 Her anvender vi divisjonslemmaet nok en gang (7) x = 7 m + 1 m + 1 = m + Som etter samme resonnement som ovenfor, brøken er et heltatt, gir oss (8) m + 1 = n som vi kan skrive på formen (9) m + n = 1
(30) m = n + 1 n + 1 = n + som igjen gir: (31) n + 1= k n = k + 1 Av denne ligningen finner vi m n + 1 ( k + 1) + 1 (3) m = n + = ( k + 1) + (3) m= k (k ) + 1 10k + (33) x = ( k ) + = k + + = 7k + 3 19( 7k + 3) + 1 (34) y = = 19k 8 7 Vi finner dermed løsningen (x, y)= ( 7k + 3, 19k 8). Husk at her ser vi på løsningen av ligning med høyreside = 1 og ikke M Vi skal til slutt se hvordan vi kan konvertere en kongruensligning til en diofantisk ligning. Vi skal også se hvordan vi kan løse kongruensligninger ved en alternativ metode. (3) mx b (mod p) mx np = b tilsv mx np = 1 Kongruensligningen 17 x 6 (mod 9) kan alternativt løses som vist nedenfor. Forklar hvert av stegene. 17x 6 (mod 9) 9x 9 (mod 9) 9x 17x 9 6 (mod 9) 1x 3 (mod 9) 17x 1x 6 3 (mod 9) x 1 (mod 9) 30x 7 (mod 9) x 43 (mod 9) x 0 = 14 (mod 9) Vi ser at dette svarer til følgende: (36) ax c (mod y) yx 0 (mod y) Slik at vi kan omformulere problemet som å finne to tall m og n slik at: (37) ( ma nb) = 1
KAPITTEL 11. KRYPTOGRAFI Additive og multiplikative koder Vi skal her se på noen enkle former for kryptografering. Kryptografering vil si at et tegn i den originale teksten, klarteksten, oversettes til et annet tegn ved en prosess som er kalt koding eller kryptografering 1. Den omvendte prosessen som vi kaller dekryptograffering fører det kodede tegnet tilbake til det opprinnelige. Det finnes flere systemer for kryptografering. Det første prinsippet vi skal to for oss er en additiv kode. Her får hver bokstav et nummer. Den kodede bokstaven til en nøkkel- bokstav blir da en bokstav med nummer lik nøkkelbokstavens nummer pluss et fast tillegg. Dersom vi nummerer bokstavene 1,, osv fra A, og bruker tillegg 4 vil vi kode EUKLID som IYOPMH E + 4 = 9 I U 1 + 4 = Y K 11 + 4 = 1 O L 1 + 4 = 16 P I 9 + 4 = 13 M D 4 + 4 = 8 H Vi får imidlertid et problem. Når vi har 9 bokstaver i alfabetet og nummeret til den kodede bokstaven blir større enn 9. Det er da vi kan benytte oss av kongruensregning. Nå nummeret til nøkkelbokstaven er m, og tillegget er d, finner vi nummeret til den kodede bokstaven n, som m + d = n (mod 9) Vi får imidlertid et bedre system ved å bruke en multiplikativ kode. Da multipliserer vi nøkkelbokstavens nummer med en fast faktor. Vi skal se på dette systemet: A 1 1 = 1 1 (mod 9) O B 1 = 30 1 (mod 9) A E 1 = 7 17 (mod 9) Q L 1 1 =180 6 (mod 9) F Både den additive og den multiplikative kode kan forbedres ved at tillegg og faktor ikke er faste, men varierer enten periodisk eller i et på forhånd avtalt mønster. E 7 = 3 6 (mod 9) F U 1 9 = 189 1 (mod 9) 0 K 11 = (mod 9) V L 1 7 = 84 6 (mod 9) Z I 9 9 = 81 3 (mod 9) W D 4 = 8 8 (mod 9) H 1 Et annet navn på kryptograffering er chifrering tilsvarende dechifrering. En kodet tekst kalles også chiffer.
Et annet prinsipp for kryptografi er permutasjon dvs at numrene for bokstaver i alfabetet systematisk kastes om. La oss si at en gruppe på bokstaver f eks HERON som svarer til numrene 8--18-1-14, utsettes for en omkastning 18-8-1-14-: H 8 18 R E 8 H R 18 1 O O 1 14 N N 14 E En slik omkastning er gitt ved en kodenøkkel eller krypterings-nøkkel. På tilsvarende måte må det finnes en omvendt omkastning, en dekodenøkkel eller en dekrypteringsnøkkel. I det følgende skal vi forenkle alfabetet noe og bare se på de fem første bokstavene, A,B,C,D,E, F som vi nummererer 1,, 3, 4,, 6 Vi lar nå numrene være eksponenter i potenser av 3 og regner modulo 7. Da finner vi denne tabellen, her er 3n m (mod 7): n 1 3 4 6 3n 3 9 7 81 43 79 m 3 6 4 1 Fra denne tabellen, krypteringsnøkkelen, kan vi konstruere en dekrypteringsnøkkel. Vi skal nå se hvordan vi kan bruke teorien for Diofantiske ligninger til dekryptere en kodet melding der vi vet multiplikator. Vi antar nå at vi kjenner multiplikator = 17. Vi koder nå først N som har nummer 14. 14 17 = 38 = 8 9 + 6 Nå vet den som får den krypterte meldingen at den kodede bokstaven er F som har nummer 6. Det gir kongruensligningen: 17a 6 (mod 9) som vi kan skrive som den diofantiske ligningen: 17a + 9 b = 6 17x + 9 y = 1 som igjen svarer til den diofantiske ligningen der a = 6x og b = 6y 17x + 9 y = 1 9 = 1 17 + 1 1 = 9 17 17 = 1 1 + = 17 1 1 = + = 1 = + 1 1 =
Så nøster vi oss tilbake: 1 = = (17 1) (1 ) =17 3 1 + 4 = 17 3(9 17) + 4(17 1) = 8 17 3 9 + 4 1 = 1 17 3 9 4 (9 17) = 1 17 7 9 Dette gir oss løsningen av den partikulære ligningen: (a, b) = (7, 4) I tillegg kommer løsningene av: 17e + 9f = 0 Dermed finner vi for den fullstendige løsningen x = 7 + 9n y = 4 17n For å finne en x som ligger i mengden {1,..,9} setter vi n = Da finner vi x = 14 Det vi har benyttet oss av her, er at vi kan overføre en kongruensligning til en diofantisk ligning som vi har en løsningsalgoritme for. En annen måte for å danne krypteringsnøkler finner vi ved å se på multiplikasjonstabeller modulo et primtall. Vi skal se på dette og starter med å sette opp addisjons- og multiplikasjonstabeller for kongruensregning. Tabellene for regning modulo er ganske enkle. For regning modulo 3 finner vi for addisjon og multiplikasjon: Addisjon x 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 Multiplikasjon x 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 Ser vi på tabellutsnittet for [1, ] for multiplikasjonstabellen ser vi at dette er en permutasjon av 1,. Vi vil undersøke dette nærmere og tar for oss multiplikasjon modulo som er et primtall og ser bare på tabellutsnittet for [1,, 3, 4]
I tabellen nedenfor som altså gir rester ved divisjon med av produkter der faktorene er innehold i {1,, 3, 4}, finner vi dette: 1 3 4 1 1 3 4 4 1 3 3 3 1 4 4 4 3 1 Vi ser nå at tabellen gir alle permutasjoner av {1,,3,4}. Vi ser også at tabellen er symmetrisk om begge diagonalene. Hvorfor? Vi ser også at dersom vi betrakter en rad som en bestemt permutasjon av {1,,3,4}, vil en bestemt av de andre radene gi den motsatte eller inverse permutasjonen. Hva er sammenhengen? Vi ser at å multiplisere med og deretter med 3, fører tilbake til utgangspunktet. x 3 = 6 x 1 (mod ) Vi skal gå litt nøyere inn på dette og bruker en større tabell 6 x 6 modulo 7. Vi har satt opp tabellen nedenfor: Vi ser at denne tabellen også er symmetrisk om begge diagonalene Vi ser også at gangerekkene er permutasjoner av elementene {1,,3,4,,6} 1 3 4 6 1 1 3 4 6 4 6 1 3 3 3 6 1 4 4 4 1 6 3 3 1 6 4 6 6 4 3 1 Nå beskriver vi på en permutasjon ved en tabell eller en vektor: f eks [1,,3,4,,6] og den permutasjonen vi får frem ved å multiplisere hvert ledd med tallet n, beskriver vi som: T(n) [1,,3,4,,6], f eks: T() [1,,3,4,,6] = [,4,6,1,3,] Vi gjør nå to slike operasjoner og ser hva som skjer: T(3)T() [1,,3,4,,6] = T(3)[,4,6,1,3,] =[6,,4,3,,1] som vi ser er T(6) [1,,3,4,,6] Vi forsøker to andre operasjoner: T(3)T() [1,,3,4,,6] = T(3) [,3,1,6,4,] = [1,,3,4,,6] som vi ser er T(1) [1,,3,4,,6] T(4) T(3) [1,,3,4,,6] = T(4) [3,6,,1,,4] = [,3,1,6,4,] som vi ser er T() [1,,3,4,,6] T(6) T(4) [4,1,,,6,3] = T(6) [4,1,,,6,3] = [3,6,,,1,4] som vi ser er T(3) [1,,3,4,,6] Vi ser at vi har sammenhengen: T(m) T(n) = T(k) der vi har m n k (mod 7)
Vi kan nå stille opp disse transformasjonene i en tabell T() T(3) T(4) T() T(6) T() T(4) T(6) T(1) T(3) T() T(3) T(6) T() T() T(1) T(4) T(4) T(1) T() T() T(6) T(3) T() T(3) T(1) T(6) T(4) T() T(6) T() T(4) T(3) T() T(1) Vi ser her at vi har at T() er invers til T(4) og omvendt T(3) er invers til T() og omvendt videre er T(6) invers til seg selv. Vi skal se at slike sammenhenger også gjelder for produkter som er potenser: n Vi ser på potenser av modulo m (mod ): n 1 3 4 6 7 8 n 4 8 16 3 64 18 6 m 4 3 1 4 3 1 n Vi ser så på potenser av 3 modulo 7 3 m (mod 7) 1 3 4 6 7 8 9 3 9 7 81 43 79 187 661 19 683 4 6 4 1 3 6 Vi ser at i begge tilfelle danner restene en følge av permutasjoner av tallene opp til p Public Key systemer Vi skal til slutt gi et eksempel på et såkalt Public Key system RSA systemet. Dette er oppkalt etter de tre som konstruerte det i 1977, Ron Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman. Poenget ved det hele er at noe av systemet er offentlig. Prinsippet kan illustreres slik: jeg legger en melding i en eske og låser den med en hengelås (delkode) som jeg har nøkkel til så sender jeg den til mottager som låser den med en ny hengelås (delkode) som mottager har nøkkel til så sender mottager den tilbake til sender som låser opp sin hengelås og sender esken på nytt til mottager som låser opp sin hengelås. Vi illustrerer dette med et eksempel, men først repeterer vi Euler s teorem: Vi husker at vi der definerte en ϕ(n) som antall naturlige tall mindre enn n som ikke har felles faktor med n. Vi husker også at for et primtall p, har vi ϕ(p) = p 1 Dersom vi har to primtall p og q, kan vi vise at ϕ(p q) = (p 1)(q -1) Nå kan vi skrive Euler s teorem på denne formen: ( pq) ( p 1)( q 1) a ϕ = a 1 (mod pq) Der a og pq ikke har felles faktor.
Her kommer eksemplet. Ada vil etablere en hemmelig kode med Bo. Hun velger først to primtall, f eks 7 og 13, som har produkt 91. Av tallet 91 som altså er et sammensatt, finner hun ϕ(91)= 7. Der etter velger hun to tall slik at produktet får 1 til rest ved divisjon med ϕ(91)= 7, f eks 9 og, som har produkt 14. Vi har da: 14 = 7 + 1 Nå offentliggjør hun de to tallene 91 og 9. Det er disse som er public keyes Bo skal nå sende en melding til Ada og krypterer f eks 3 som 9 3 61 (mod 91) Når Ada dekrypterer 3, går hun frem slik: 61 3 (mod 91) Forklaringen på denne prosessen er: (3 9 ) = 3 14 = 3 7+ 1 = (3 7 ) 3 1 3 mod (91) Poenget med denne krypteringen er at man velger så store primtall at det i praksis blir svært vanskelig (nærmest umulig innenfor de tidsmarginer man har) å dekomponerere det sammensatte tallet svarende til 91 de aktuelle primtallene. Feilrettingskoder. Alle bøker klassifiseres etter den såkalte ISBN koden. Denne koden består av et 10 sifret tall. Vi kan kontrollere denne koden ved hjelp av kongruensregning. Vi skriver de 10 sifrene som { x 1, x, x3,..., x10} Kontrollen ligger nå i at denne kongruensligningen skal være oppfylt x + x + 3x +... + 10x 0 (mod 11) 1 3 10 Vi skal se på et eksempel. Number Theory av Andrews har ISBN nummer: 0-716-1-. Setter vi dette inn i ligningen, finner vi summen 09 som er 19 11. Denne koden er et eksempel på en feilrettingskode. Den er konstruert på en slik måte at dersom det gjøres en feil ved overføringen av koden, vil kontrollen som oftes avsløre denne.
Det norske personnummersystemet er en tilsvarende feilrettingskode. Personnummeret vårt består av 11 sifre, de seks første er fødselsdato og de tre neste er et personlig nummer som skiller mellom mennesker født på samme dato. De to siste er kontrollsiffer og regnes slik: x 8 + x (mod 11) 10 x1 + 4x + x3 + 10x4 + 3x + x6 + 7x7 + 6x8 9 9 x 6 + x (mod 11) 11 x1 + 7x + 8x3 + 9x4 + 4x + x6 + 6x7 + 7x8 + 8x9 9 10 De tre kontrollsifrene må velges slik at man unngår å få 10 som rest ved divisjon med 11, Aktuell litteratur er: Tallteori Reinert Rinvold Caspar Forlag Alt er tall Viggo Brun Universitetsforlaget Elementær Talteori Trygve Nagell Almquist & Wicksell Theory of Numbers George Andrews Dover Books The Code Book Simon Singh Anchor Books The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography