Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 97589418 EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Tirsdag 8. desember 2009 Tid: 09:00 14:00 Sensurdato 8. januar 2010 Hjelpemidler: Alle trykte og håndskrevne. Alle typer kalkulatorer. Kopier av tabeller fra læreboka nnes til slutt i eksamenssettet. Alle deloppgaver teller likt. Oppgave 1 Finn det korrekte svaralternativet på hvert spørsmål. Utregningen skal ikke være med. a) En bedriftslege antar at vektene til de mannlige ansatte er normalfordelte med forventning 85 og standardavvik 10 kg. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig mannlig ansatt som blir undersøkt av bedriftslegen, har en vekt mellom 70 og 100 kg? A) 0.95 B) 0.93 C) 0.87 D) 0.98 E) 0.84 b) La x være gjennomsnittet av et tilfeldig utvalg av størrelse n = 4 fra en normalfordelt populasjon med forventning µ = 5 og standardavvik σ = 4. Hva er sannsynligheten for at x ligger mellom 6 og 8? A) 0.24 B) 0.43 C) 0.19 D) 0.08 E) 0.37
Side 2 av 10 c) Hva er sannsynligheten for at summen av to terningkast er 6, hvis det er gitt at ingen av terningene viser 1? A) 0.08 B) 0.24 C) 0.60 D) 0.12 E) 0.14 d) En fruktbolle inneholder 6 appelsiner, hvorav 2 er råtne. Du trekker tilfeldig to appelsiner. Hva er sannsynligheten for at ingen av dem er råtne? A) 0.17 B) 0.44 C) 0.56 D) 0.67 E) 0.40 e) I en stor industribedrift jobber 70% av de ansatte i produksjonen og 30% i administrasjonen. Gjennomsnittlig sykefravær er 8% for de ansatte i produksjonen, mens den er 4% for ansatte i administrasjonen. På en tilfeldig valgt dag trekkes et tilfeldig navn blant de ansatte i bedriften, og det viser seg at vedkommende er syk denne dagen. Hva er da sannsynligheten for at denne ansatte jobber i administrasjonen? A) 0.012 B) 0.309 C) 0.176 D) 0.040 E) 0.150 f) La x være en diskret tilfeldig variabel med sannsynlighetsfordeling x 0 1 2 3 4 P(x) 0.15 0.20 0.33 0.22 0.10 Hva er forventningsverdien til x? A) 2.32 B) 1.02 C) 2.00 D) 1.92 E) 1.67 g) En håndballspiller tar 4 straekast i løpet av en kamp. Det antas at spilleren har en sannsynlighet p = 0.8 for å få mål på hvert straekast og at straekastene resulterer i mål eller ikke mål uavhengig av hverandre. Hva er sannsynligheten for at spilleren får mål på minst 3 av de 4 kastene? A) 0.82 B) 0.75 C) 0.51 D) 0.92 E) 0.24
Side 3 av 10 Oppgave 2 Det er blitt gjennomført en studie av inntak av koein for universitetsstudenter. Et tilfeldig utvalg av 22 studenter konsumerte i gjennomsnitt x = 274 mg koein daglig, med et utvalgsstandardavvik s = 48 mg. Anta i det følgende at daglig inntak av koein for en universitetsstudent er normalfordelt med ukjente populasjonsparametre µ (forventning) og σ (standardavvik). a) Kan man på grunnlag av studien konkludere med at gjennomsnittlig inntak av koein for universitetsstudenter er høyere enn 250 mg pr dag? Formuler denne problemstillingen som en hypotesetest og utfør testen med signikansnivå 0.05. Gjør dette både ved klassisk metode og ved å beregne en tilnærmet p-verdi. Hvordan fortolkes en p-verdi? Hva blir konklusjonen på testen? b) Finn et 90% kondensintervall for µ basert på studien. Hva blir maksimal feil for estimatet, E, for dette intervallet? c) Man ønsker nå å gjøre en studie med et større utvalg enn 22. Det er ønskelig at maksimal feil for estimatet i et 90% kondensintervall for µ blir E = 5.0. Hvor stort må utvalget gjøres hvis σ nå antas kjent lik 50 (mg)? Oppgave 3 Forurensningsmyndighetene har anklaget en kjemisk bedrift for å være årsak til giftforurensning av fjordbunnen utenfor bedriften. Bedriften får derfor påbud om å fjerne giften. Bedriften på sin side mener at hele fjorden er forurenset, og at forurensningen derfor må ha andre kilder. Forurensningsmyndighetene hevder imidlertid at forurensningen er sterkest i nærheten av bedriften og at den avtar lenger ut i fjorden. For å undersøke holdbarheten av denne påstanden gjøres 10 målinger av giftkonsentrasjonen på fjordbunnen i ulike avstander utenfor bedriften. Avstandene x (i meter) og de tilhørende målingene av giftkonsentrasjon y (i mg/cm 3 ) er gitt i tabellen nedenfor: x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 y 12.9 12.0 10.9 10.9 9.8 9.9 9.1 9.9 8.5 7.1 Det oppgis at x = 450, x 2 = 28500, y = 101.0, y 2 = 1045.56, xy = 4110.0, SS(x) = 8250, SS(xy) = 435.0, SS(y) = 25.46. Et spredningsplott for dataene er gitt på neste side til informasjon.
Side 4 av 10 Modellen som brukes for sammenheng mellom avstand x og giftkonsentrasjon y er y = β 0 + β 1 x + ɛ der de tilfeldige feilene ɛ er uavhengige og normalfordelte med forventning 0 og varians σ 2 ɛ. a) Beregn punktestimatene b 0 og b 1 for β 0 og β 1 ved å bruke de oppgitte resultatene. Finn også punktestimatet s 2 e for σ2 ɛ. b) Utfør en test for H 0 : β 1 = 0 mot H a : β 1 < 0 med signikansnivå 0.01 ved å bruke klassisk metode med beregning av kritisk verdi. c) Med bakgrunn i den foreliggende situasjonen skal du formulere med ord hvilken hypotese du har testet i forrige punkt, og hva konklusjonen på testen blir. Tyder resultatet på at forurensningsmyndighetenes påstand er korrekt?
Side 5 av 10 Oppgave 4 Et reisebyrå har i lengre tid arrangert bussturer i samarbeid med en turoperatør. Byrået har målt kundenes tilfredshet ved å be dem fylle ut et spørreskjema som bl.a. inneholder følgende spørsmål: Hvor fornøyd er du med turen? Ut fra ere års erfaring med den samme turoperatøren har reisebyrået satt opp følgende fordeling for kundenes svar: Svaralternativ Prosentvis svar Svært fornøyd 25% Ganske fornøyd 15% Fornøyd 40% Noe misfornøyd 15% Svært misfornøyd 5% Sist sommer skiftet reisebyrået til en annen turoperatør. Spørsmålet hvor fornøyd er du med turen er deretter stilt til n = 200 kunder som har reist med den nye turoperatøren. Svarene fordeler seg slik: Svaralternativ Antall svar Svært fornøyd 42 Ganske fornøyd 36 Fornøyd 70 Noe misfornøyd 37 Svært misfornøyd 15 Tyder svarene på at fordelingen for de ulike svaralternativene nå er annerledes enn den var for den første turoperatøren? Formuler dette spørsmålet som en hypotesetest. Gjennomfør testingen og skriv konklusjonen med ord. Bruk signikansnivå 0.05.
Side 6 av 10
Side 7 av 10
Side 8 av 10
Side 9 av 10
Side 10 av 10