Bøyninger i bjelker. Vi skal betrakte en lengde-enhet av bjelken, stykket AB. Når bjelken bøyer seg, kan vi

Transkript

1 HIN Tenologis avd. R Side 1 av 8 Rev Bøninger i bjeler Irgens ap Hibbeler Sec. 16. n bjele som belastes vil bøes. Selv om tøningene loalt er besjedne, vil smmen alle negative tøninger på oversiden og smmen av positive tøninger på ndersiden (ved positivt bøemoment) gi en meget snlig tbøning av bjelen. Vi sal søe fnsjonen ( ) som gir oss bøningsrven, altså forløpet til nøtral-linjen når bjelen bøes. R bjele Vi sal betrate en lengde-enhet av bjelen, stet B. Når bjelen bøer seg, an vi 1 tilordne en rmningsradis, R. Fra beformelen har vi: l 1 R. R Vinelen, som er bestet mellom og B, viser altså tangent-rotasjonen når vi går fra til B. Pntet p (som er i trsonen) får en forsvning mot venstre idet det er en lengdetøning i bjelens -retning. Forsvningen er l 1. Vi sal anta at tangentrotasjon er en liten vinel. For den lille treanten ved p har vi 1 tan, og dermed, når regnes i radianer. egg mere til at alltid R er positiv. p lbe 1 Fra matematien har vi formelen for rmningsradis når stigningen d d 1 d 1 R, d d d d d B n.a er liten: idet vi toler fortegnet til den andre-deriverte sli at når den er positiv, peer R oppover (bjelen har positiv nedbøning) og når den er negativ, peer R nedover. 1 d ltså. R d (det motsatte av vanlig, da -asen peer nedover)

2 HIN Tenologis avd. R Side av 8 Rev Så tar vi inn materialegensapene: (vi regner i -retning). Vi setter inn for bøespenningsformelen og får d 1 M 1 1 M, altså d I I d d M ( ), som alles den elastise linjes differensialligning. I Vi fi ie en ferdig ligning, men en. ordens differensialligning. Denne sier noe om den andre-deriverte (for små bøninger), som er li bjelens rmning: Jo større bøemomentet M er, jo mer rmmer bjelen (bøemomentet er en fnsjon av, M( )). Jo større bøestivheten, I, er, jo mindre rmmer bjelen. Størrelsen I er bjelens bøestivhet Da gjenstår det å integrere differensialligningen for forsjellige belastnings-tilfeller (forsjellige moment-forløp, M( )). Dette sal vi gjøre i meani. Her sal vi bare angi noen resltater for de masimale nedbøningene. Nedbøning på midten betegnes, og masimal nedbøning betegnes ma. F B F ma / / Bjele Bjele B ma ma 1 F 8 I 1 F 5 F I 8 I Sje bjeletabellen for flere esempler. egg mere til at alle formler for bjeler med F pntlast F vil inneholde fatoren, mens bjeler med jevnt fordelt last q, vil inneholde I q fatoren I.

3 HIN Tenologis avd. R Side av 8 Rev sempel 1 n fast innspent bjele med lengde 5 meter er belastet med 1 N i den frie enden. Bjelen er tført i bredflensprofil, H 00. Beregn nedbøningen i den frie enden. Se bort fra bjelens egentngde. Fra tabell for H 00, Bøningsformel ma I F I 6 6 6,9 10 mm 6,9 10 m. Stål: 10 GPa ,065 m 6,5 mm ,9 10 ma 9 6 sempel t prosesststr sal plasseres på fritt opplagte stålbjeler som har lengde 1 m. Det er beregnet at egenvet av rammever, bjeler og annen fordelt last belaster hver bjele med en jevnt fordelt last på q N/m. n stor prosessomponent er plassert midt på rammeveret og tgjør en pntlast på F 5 N pr bjele. Dimensjoner bjelene t fra et brsrav om at masimal nedbøning ie må være større enn 1 00 av bjelelengden. Det sal bres IP-profil. astsjema-tegningen for hver bjele blir som vist på figren F 5 N q N/m 6 6 [m] Formler: Fritt opplagt bjele med jevnt fordelt last ma 5q (se formelsamling). 8I Fritt opplagt bjele med pntlast midt på Ved sperponering av lastene: ma F 8I ma I 8 8 I 8 8 I 1 5q F , m 1 Tillatt bøning ma 0,0 m 00 00

4 HIN Tenologis avd. R Side av 8 Rev For 10 GPa : 1 1 0, 0 1, ,98 10 I 1010 I 6 I,1 10 m 110 mm 6 6 ma 9 6 Fra bjeletabell for IP ser vi at IP 50 har I 7, 10 mm, der indierer ster bøeretning på tverrsnittstegningen. Den slanere IP 00 har annet arealmoment nder det 6 som reves ( 1, 10 mm ). Svar: Vi må bentte IP 50 bjeler. Oppgave til ettertane n stang av herdet stål sties inn i et hll i veggen og belastes i den frie enden med 15 N. Stangen stier meter t av veggen og har vadratis tverrsnitt, 5 5 mm. Se bort fra stangens egentngde. -modlen er 0 GPa. 15 N a) Forsø å beregne nedbøningen i den frie enden. Gi en vrdering av resltatet. m b) Fltegrensen for stålet er 1800 MPa. Forsø å beregne bøespenningene og ontroller om materialet vil flte. Gi en vrdering av resltatet. nmerning til svarene: a) Nedbøningen beregnet med de formlene blir rimelig stor. Vi ligger langt tenfor gldighetsområdet for de vanlige bøe-formlene, som n gjelder for små rmninger. b) Bøespenningene er nder fltegrensen. Imidlertid overestimerer vi masimalt bøemoment betdelig ved å regne med M F. Bøespenningene vil være en god del lavere fordi momentarmen minser, se figren nder. n data-basert ielineær 1 beregning med elementmetoden viser en nedbøning på 19 mm og bøespenninger omring 960 MPa 1 beregnet med iterasjoner strtren antas bgget opp av mange små elementer som hver for seg følger enle forsvningsformler

5 HIN Tenologis avd. R Side 5 av 8 Rev Kneing (Bcling) Irgens ap, Hibbeler sec. 17 Figr a) viser en søle. n søle er et langt ste material som bærer en last, sli at man får ønset avstand f.es. mellom glv og ta. B P I sølen er det trraft. Så lengde sølen står loddrett sli som vist på figr a), vil dens bæreevne være bestemt av trfastheten til materialet i sølen, og den virer som en asialstav. Dersom sølen er slan, an den bøe t. Vi antar at sølens ender an rotere (f.es. dersom sølen ie er fast innspent hveren i bnn eller topp). n søle an i prasis betrates som fastholdt sidelengs både i topp og bnn. Vi a) b) an derfor bentte figr b) til å besrive den som en bjele med trraft P som samtidig an få en tbøning,. Det masimale bøemoment i bjelen oppstår i et snitt på midten, i pnt Q, og har verdi M P. Vi ser at jo mer bjelen bøer t, jo større blir bøemomentet. Dette er en stabilitet og en farlig tilstand, dersom lasten P er over en viss størrelse. Utbøningen varierer og er generelt, ( ) der er bjelen lengde-oordinat. Innsatt i den elastise linjes differensialligning får vi: d P ( ) d I Dette er en andreordens differensialligning med generell løsning P P C1sin Ccos I I d Randbetingelsene er gitt ved (0) ( ) 0 og 0, som fører til at d integrasjonsonstantene blir C 0, mens C 1 blir gitt ved sin P C 0 1 I. øsningen er derfor todelt: 1) C1 0, som er den trivielle løsningen, bjelen forblir rett Q ) P n og C 1 vilårlig, som betr at bjelen antar en sinsform med I bestemt amplitde, altså ma 0 men ellers bestemt. I For løsningen, del ), fås lasten P når n 1. Dette er den lasten som fører til bøning i sølen hvis den bringes t av sin rettlinjede form, og vi antar at dette tgjør grensen for aseptabel trlast.

6 8 HIN Tenologis avd. R Side 6 av 8 Rev Staven på figr b) alles en lerstav og lasten grensen for elastis stabilitet. P I er lerlasten. lerlasten er For lerstaven regnes lerlasten for å være ritis nelast. Ved å ombinere innfestinger får vi andre søletper som an avledes fra lerstaven, idet vi orrigerer for nelengden,. Kneformer i staver Vi har dermed en generell formel for nelast i søler: Knelast i søle P I, der er nelengden ttrt som en fator gange stavens fsise lengde, se figren sempel Fagveret er tført i stålprofil H100 og belastet som vist på figren med 00 N. C Det er beregnet at stavreftene er N 5 N. BC N 150 N og B 00 N Kontroller fagveret for neing. øsning: Det er n trstaver som an nee, dvs. stav B med trraft 150 N må ontrolleres. [m] B For H100 finner vi 6 I,9 10 mm og 6 I 1, 10 mm. Kneing vil sje i den 6 6 svaeste retning og vi må bentte I 1, 10 mm 1, 10 m. Staven B er leddet i endene, som derfor er en lerstav, stav nr (1) på figren over neformer, dvs. m.

7 HIN Tenologis avd. R Side 7 av 8 Rev Tillatt nelast: Opptredende trlast 9 6 I P 17 N P B N 150 N. Staven B tåler større last enn den som opptrer, P P neing. B B. OK. Fagveret er siert mot sempel 5 t rør i alminim 5 meter står loddrett opp av en fast innspenning. Røret har tre diameter 50 mmog veggtelsen er,5 mm. Hvor stor last er det trgt å plassere i toppen av røret med tane på neing. Vi ønser en sierhetsfator på. -modl for alminim er 70 GPa. nnet arealmoment for røret er I 1,9 10 m (an regnes t med I d di, der d og d i er hhv. tre og indre diameter, 6 d 50 mm, d d t 50,5 mm ). n stav som er fast innspent i den ene i enden og fri i den andre, har neform () med nelengde 5 10 m. 7 Knelasten er P Tillatt trraft er 9 7 I N 10 P 960 Ptillatt 0 N. n Svar: Vi an ie plassere mer enn 0 N i den frie enden når sierhetsfatoren sal være. nmerning til elastis neing av staver Som nevnt er neing en stabilitet idet en perfet, rett stav teoretis an bære en trlast bestemt av materialfastheten, mens en liten tbøning pltselig redserer bæreevnen til nelasten. Dersom tbøningen blir betdelig, er det også betdelig rmning, og den enle elastise differensialligningen gjelder ie. n stav av fjærstål, eller en stav til stavsprang, ter en raft som er betdelig større enn lers nelast, P, når den er stert tbød. Plastis neing og loal neing I esemplene har vi behandlet elastis neing. lastis neing an foreomme i lange og slane staver. Dersom trspenningen ommer nær fltespenningen, vil neformelen ie gjelde lengder, idet det an oppstå plastis neing pga. loal flting. For å ndersøe dette an man se på lerspenningen, som er definert ved P. lerspenningen beregnes dog vanligvis med en omsrevet formel: toleranser i retthet og dimensjoner gjør at men bentter en sierhetsfator

8 HIN Tenologis avd. R Side 8 av 8 Rev I der alles slanheten, og i alles arealtreghetsradien, i. i 7 I For esempel 5 er arealtreghetsradis i d di 5 Slanheten er 0 og lerspenningen blir i 1, ,65 10 m ,5 MPa. 0 Dette er langt nder fltespenning for alminim (som er MPa). n neing av denne staven vil forløpe som en ren elastis instabilitet ten plastis bidrag. Den elastise beregningen godtas. P Vi nne enlere ha beregnet lerspenningen direte fra, men vi ønset å illstrere slanheten,, som er et vitig mål i neingsberegninger. For en stål-stav vil slanhet 100 bet at man an nøe seg med elastis neingsontroll. Slanhet er også en vesentlig størrelse ved ontroll mot loal neing, som man an få i trpåjente deler ved bøning, f.es. i anal-profilen som er vist på figren nder:. oal neing (bcling) i anal-profil ved bøning. Den loale neingen oppstår i frie flenser som får trspenninger. Profiler med raftig godstelse vil ie svite før materialet flter. Profiler med tnt gods vil svite pga. elastis instabilitet, loal neing. oal neing behandles i onstrsjonsteni.