Akkurat den samme begrunnelsen som vi brukte med variabelen X 2. "Jeg bruker internett mye mer på i-phone nå enn det jeg gjorde før på mobilen.

Transkript

1 1 Øving 1 Oppgave 1.5 (Leie av studentbolig) Et datasett gir oversikt over ledige studentboliger til leie. Opplysninger om boligene er angitt. Hensikten med denne oppgave er å bestemme hva slags type variablene er. Disse variablene er: X 1 = {månedelig leie} X 2 = {Om strøm er inkludert i boligleie eller ikke} X 3 = {Om det er tillat å ha med seg kjæledyr eller ikke} X 4 = {(x, y) der x er antall rom og y er avtstanden til campus} Variabelen X 1 er tydelig kvantitativ. Vi kan tro at variabelen tar verdier i intervallet [0, ) hvor målenheten kan være "norske kroner" eller en annen valuta. X 2 kan ansees som kategorisk "ja" eller "nei" men også numerisk hvis man velger "nei"= 0 og "ja"= 1. Akkurat den samme begrunnelsen som vi brukte med variabelen X 2. X 4 er en kvantitativ variabel som kan bli splittet i to kvantitative variabler. Antall rom x tar verdier i tallmengden {0, 1, 2, 3,... } og avstanden til campus kan ta "diskré" verdier {0, 1, 2, 3, 4, 5,... }, der enheten, for eksempel, er "meter" eller "km" osv. eller den kan ta verdier i [0, ) hvis man vil være mer nøyaktig i målingene. Oppgave 1.22 (Bruk av internett p mobil og i-phone) i-phone brukere ble spurt om å svare på følgende setning "Jeg bruker internett mye mer på i-phone nå enn det jeg gjorde før på mobilen." Svar ble innhentet som en kategorisk variabel med fire mulige svar: Variabelen her er, Svar Prosent (%) Veldig enig 54 Enig 22 Uenig 16 Veldig uenig 8 X = {Enighetsgrad i utsagnet "Jeg bruker internett mye mer..."}

2 2 (a) Lag en "bar" graf (søylediagram) til å vise fordelingen av svaret. Man kan bruke Minitab i alle oppgavene for sikkerhetskyld men her er det ment at oppgaven skal utføres for hånd. I grafen skriver vi variabelen X i vannrette aksen med de fire mulige svarene. Vi skriver frekvensen i Y-aksen i prosent. Ved hjelp av Minitab må vi gjøre følgende: Graph > Bar charts > Velg: Bars represent: values from a table > simple > Velg: Graph var. = Percent & Cat. variable = Response. (b) Lag et "cake" plott (sektordiagram). I sirkelen (dvs 360 o ) ønsker vi å regne hvor mange grader tilsvarer 54% av det hele 100%. Derfor utfører vi Regula de tri. 360 o 100% =? 54%? = = o Vi gjør akkurat det samme med, 22%, 16% og 8%. Vi får, henholdsvis, 79, 2 o, 57, 6 o og 28, 8 o. Hvis dere skal plotte dette for hånd er det nødvendig å bruke transportør. Ved hjelp av Minitab: Graph > Pie Chart > Velg: Chart values from a table >Velg: Categorical Var = Response & Summary variable = Percent

3 3 (c) Vi kan oppsummere informasjonen som 76% av hele utvalget er, i det minste, enige om at de bruker internett mye mer og derfor kan vi konkludere med at det er en økning i internettforbruk på den fancy i-phone. Også er det viktig å understreke at, av alle de som er enige (både enige og veldig enige) så er 71.05% veldig enige. Dette regnes på følgende måte: 54% ut av 76% er lik = 71.05% 76 (d) "Kake"-plottet viser bedre oversikt av flertallet i dette tilfellet hvor vi får responsvariabelen i prosentform. Oppgave 1.33 (Diabetes og Glykose) Et utvalg med diabetiske pasienter ønsker å kontrollere glykosenivået i blodet. Målet er å holde nivået innenfor intervallet [90, 130] mg/dl. Her er det 18 pasienter som er meldt på "diabetes kontroll" kurs. Fem måneder etter kursen er slutt får vi følgende tabell: Vi skal lage stilk-blad-plott, ulempen med datasettet er at det er altfor færre stilker, så vi skal dele opp 100-tall i to mindre grupper, de som går fra 100 til 150 og de fra 150 til 200. Vi kan velge å gjøre det samme med 200-tallene. Vi betegner 1 som tallene med 100 tallet mellom og 1(5) de som går fra 150 til 200. Det anbefales å sette observasjonene i en stigende rekkefølge: Uten å splitte 200-tallene i to:

4 4 Hvis vi, i tillegg, splitter 200-tallene i to: Stem L e a v e s (5) Stem L e a v e s (5) (5) Vi kunne, for eksempel, kutte stilken 1 (tall fra 100 til 150) i to mindre stilker hvis vi ville. Eller gjøre det samme med 0-stilken, kutte den fra 0 til 80, og 80 til 100: Stem L e a v e s 0 7 0(8) (5) (5) Det er vanskelig å se uteliggere, det blir lettere å se det jo flere stilker vi har. For eksempel, 70 og 359 ser ut til å være potensielle uteliggere. Oppsummert, så ser vi at kun 4 av de 18 observasjonene ligger inn i intervallet [90, 130] som tyder på en dårlig oppnåelse av målet. Oppgave 1.34 (Sammenlign mellom gruppe og individuelt kurs) Akkurat som på forrige oppgave, får vi et utvalg med 16 individer. Denne gangen har de fått individuell opplæring. Data er: Stem-and-leaf plott blir:

5 5 Stem L e a v e s (5) (5) 8 Data virker mindre spredt. Nå er det kun 2 observasjoner av 16 som ligger inn i målintervallet, som er et veldig dårlig resultat. (Takker studenten som har funnet feilen, beklager! :) ) Oppgave 1.62 (M) (Alkohol innhold i ølet) Å brygge øl innebærer en lang prosess som kan påvirke alkohol innholdet i ølet. datasett med 86 forskjellige innlandsflasker øl. Vi får et (a) Vi er bare interessert i kolonnen "PercentAlcohol". Vi viser her descriptive statistics tabellen, bilde av histogram og stem-and-leaf plott for å se litt på fordelingen av data og mulige uteliggere. Minitab oppskrift: Stat > Basic statistics > Display descriptive statistics > Velg: Variables: PercentAlcohol i samme vindu kan dere velge "Graphs... > Histogram of data" eller andre grafer. I knappen "Statistics..." i samme vindu kan dere velge å ha med andre statistiske målinger eller fjerne dem. Her ser vi et utvalg med forskellige grafer... disse finner dere i "Graph"-knappen.

6 6 (b) Det er en tydelig uteligger. En uteligger er en observasjon som avviker høyt og ligger langt fra data. Vanligvis, pga. unøyaktighet i målingene eller feil i en prosess. Man kan finne dem ved å se på stem-and-leaf plott (observasjonen som ligger langt fra hoved stilken) eller boksplott, Q-Q plott eller histogram... Boksplott er kanskje lettest, venstreklikk på stjernen i boksplott så finner dere verdien til uteliggeren. I dette tilfellet er det sannsynlig at det lave innholdet av alkohol er forårsaket pga. naturlig eller kunstig feil i prosessen. Oppgave 1.63 (M) (En uteligger for alkohol innhold i ølet) Hensikten med denne oppgaven er å sammenligne de beskrivelig statistiske målingene med de fra oppg ved å utelukke observasjonen 0.4 som er en uteligger. For å fjerne uteliggeren fra datasettet bruker vi stjerne. Ikke erstatt observasjon med 0!! Stjerne betyr at utvalget går ned en observasjon slik at den målingen ikke blir tatt i hensyn. Vi gjør det følgende:

7 7 (i) (Opprett ny variabel) Dobbeltklikk under C6 og skriv inn: "PercentAlcohol*" eller hva du vil. (ii) Høyreklikk på søylen "PercentAlcohol > Copy Cells (iii) Høyreklikk på den nye variabelen "PercentAlcohol*" > Paste Cells (iv) Høyreklikk på den nye variabelen "PercentAlcohol*" > Find, og sett inn uteliggerens verdi: 0,4 og erstatt den med. NB! Minitab legger forskjell mellom "punktum" og "komma", så bruk "komma" for desimale siffere. Utfør en statistisk analyse på begge variablene slik: Stat > Basic statistics > Display Basic Statistics > Dobbeltklikk "PercentAlcohol" og "PercentAlcohol*" > OK

8 8 N er antall individer. N betyr at variabelen inneholder en utelukket observasjon, dvs. en verdi som ikke er tatt i hensyn i regningene. Observér at, ved fjern av uteliggeren, har gjennomsnitt økt (siden uteliggeren var veldig lav), og spredningen blir selvsagt mindre. Til slutt, observerer vi at interkvantil avstanden blir litt mindre. Oppgave 1.69 (Blodproteiner i barn fra Papua New Guinea) Uten å gå dypt i detaljer om tekniske begrep så er vi kun interessert i fordelingen til datasettet. Oppgaven vil at vi skal finne "five-number" oppsummeringen (dvs. kvantilene og gjennomsnitt), boksplott og histogrammet. Vi gjør alt på en gang: Stat > Basic Statistics > Display descriptive statistics > Graphs... > Merk: Histogram of data & Boxplot of data > OK > Velg: variables = CRP > OK Først, ser vi at data er veldig skjev mot høyre noe som medfører at mange observasjoner blir mistenkt for å være uteliggere. Skjevheten kan vi også se på grunn av den lange avstanden mellom medianen og gjennomsnittet. Histogrammet viser bedre oversikt over fordelingen og dens skjevhet.

9 [Oppgave 1.70] (Transformasjon av data) Denne oppgaven er frivillig. Her skal jeg bare gi oppskrift om hvordan man kan endre data via en funksjon. Vi legger 1 enhet til variabelen CRP og anvender logaritmen etterpå: Opprett en ny variabel, f. eks., "CRP+1", i søylen C2. Deretter, (i) Høyreklikk på variabelen > Formulas > Assign formula 9 (ii) Skriv inn i "Expression" vindu: Dobbeltklikk på "CRP" og skriv "+1". CRP +1 inn i vinduet. Du skal se (iii) Klikk OK. Opprett en annen variabel, f. eks., "log(crp+1)" i søylen C3. Deretter, (i) Høyreklikk på variabelen > Formulas > Assign formula (ii) Skriv inn i "Expression" vindu: log( CRP ). (iii) Klikk OK. NB! Legg merke til at du kunne ha gjort alt dette på en gang ved å skrive inn i Expression-vinduet dette: log( CRP + 1). Oppgave 1.73 (Median vs Gjennomsnitt) Forskjellen mellom medianen og gjennomsnitt forteller hvor skjev fordelingen er, jo større avstanden er mellom disse to mlåingene, desto mer skjevhet finnes det. Hvis medianen er mindre enn gjennomsnitt så har vi en fordeling som er skjev mot høyre, ellers blir det omvendt. Av nysgjerrighet, kan avstanden mellom gjennomsnitt og medianen ikke være større enn standard avvik. I oppgaven har vi at medianen er $ og gjennomsnitt $. Her har vi en fordeling som tydelig er skjev mot høyre. Dette betyr at det er flere familier med liten inntekt og noen færre med betraktelig stor inntekt som gjør at, selv om det ikke er vanlig å ha inntekt på $, så er gjennomsnitt såpass stort likevel. Oppgave 1.93 (St. avviks konkurranse) Vi skal velge fire heltall fra mengden {0, 1, 2, 3,..., 19, 20}. (a) Med minst mulig avvik. Det minst mulige avviket er 0. Husk at avvik kan være sett som et gjennomsnitt av alle avstandene mellom observasjonene og det empiriske gjennomsnittet. At avviket er 0 betyr at avstandene mellom observasjonene og det empiriske gjennomsnittet faktisk er 0. Dette er kun mulig hvis alle observasjonene er like: Så hvis vi velger fire like tall og regner st. avvik får vi null.

10 10 (b) For å få størst mulig avvik må vi ha observasjoner som ligger mest mulig langt fra hverandre. I denne oppgaven er dette kun mulig hvis vi velger 0,0 20 og 20. Gjennomsnitt i dette tilfellet er 10. Avstandene fra 0 og 20 til gjennomsnitt 10 er 10, og gjennomsnitt av fire ganger 10 er 10. Så det størte avviket vi kan få er 10. Oppgave (Skissér normale tetthetskurver) Meningen er at dere skal skissere det, men det som teller er at man kan se de viktigste egenskapene ut fra skissen. (a) Tettheten til N(10, 3). Det som er viktig er at gjennomsnittet ligger i midten, der toppen ligger. For å plotte med Minitab gjør vi slik: Graph > Probability Distribution Plot > View Simple Skriv inn Gjennomsnitt Mean = 10, og Standard deviation = st. avvik = 3. Figure 1: Density function of a normal distribution with µ = 10 and σ = 3

11 11 (b) Legg til tetthetskurven til N(20, 3). Kurven blir forskjøvet til høyre men ser likt ut siden spredning er den samme. For å gjøre dette på Minitab: Graph > Probability Distribution Plot > Two distributions Velg fordelingene dere vil sammenligne og skriv inn parameterne som trengs. Figure 2: Density functions of a normal distributions with µ = 10, σ = 3 and µ = 20, σ = 3. (c) Den blir forskjøvet til sidene. Oppgave (Påvirkning ved å endre standard avvik) (a) Se forrige oppgave. (b) Legg til tetthetskurven til N(10, 1). Nøyaktighet av plottet er ikke viktig. Det som teller er at jo mindre avviket er, desto høyere blir toppen av kurven og mindre spredning. Omvendt, jo større blir avviket, desto lavere er høydepunktet og dermed øker spredningen.

12 12 Figure 3: Density function of a normal distribution with µ = 10, σ = 3 and µ = 10, σ = 1 (c) Den vokser opp hvis avviket minker eller "smelter" ned hvis avviket øker. Oppgave (Bli kjent med din tetthetskurve) Tetthetskurvene er alltid positive (dvs. ligger alltid over vannrette aksen) og arealet under grafen er alltid lik 1. (a) (b)

13 13