EKSAMENSOPPGAVE. Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator med tomt dataminne

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-0100 Generell fysikk Dato: 9. desember 2016 Klokkeslett: kl. 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator med tomt dataminne Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Rute Oppgavesettet er på 18 sider inkludert forside og vedlegg Bokmålsversjon: side 2 7 Nynorskversjon: side 8 13 Kontaktperson under eksamen: Carita E. Eira Varjola Telefon/mobil: / NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Side 2 av 18 Først noen generelle råd: Les raskt gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Les hver oppgavetekst nøye før du begynner på oppgaven. Tegn gode gurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler og antakelser, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra en ligning til en annen. Skriv opp mellomregninger. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Lykke til!

3 Side 3 av 18 Oppgave 1 En beholder er fylt opp med vann. En likesidet kloss, med like sider som har lengde L, blir festet i en snor. Hele klossen senkes så ned i vannet (se gur). Vi setter på en fjærvekt øverst på snora, som viser at snordraget T > 0 når klossen henger i ro. Massetettheten til vannet er ρ v og massetettheten til klossen er ρ k. 1 a) Finn et uttrykk for oppdriften til klossen. 1 b) Vis at tettheten til klossen ρ k må være større enn tettheten til vannet ρ v. 1 c) Tråden klippes rett over klossen. Finn klossens akselerasjon, rett etter at snora er klipt, uttrykt ved tettheten til vann ρ v, tettheten til klossen ρ k og tyngdekonstanten g.

4 Side 4 av 18 Oppgave 2 Figuren viser en enkel atwoodmaskin. Den har en trinse med masse m T og radius R. Treghetsmomentet til trinsa om en akse gjennom trinsas massesenter er gitt ved I cm = 1 2 m T R 2. Over trinsa går det en lett snor. I hver av endene til snora er det festet en kloss. Klossene har masse m 1 og m 2, der m 2 > m 1. 2 a) I denne deloppgaven antar vi at trinsa er masseløs (m T = 0). Finn et uttrykk for akselerasjonen til hver av klossene. Videre antar vi at trinsa har en uniformt fordelt masse m T > 0 2 b) Hva vil akselerasjonen til klossene være nå (når m T > 0)? 2 c) Finn farten til kloss 2 etter at den har falt en høyde h. Klossen starter fra ro. 2 d) Vi gjør et eksperiment, og nner at den faktiske farten til v 2 er mindre enn det vi fant i deloppgave c. Hva kan dette skyldes? Nevn minst 2 grunner. Begrunn svaret.

5 Side 5 av 18 Oppgave 3 Et skråplan er satt inntil en vegg. Skråplanet danner en vinkel θ med horisontalen. Skråplanet har en lengde L målt fra kulas massesenter ned til bunnen av skråplanet. En solid kule, med masse M og radius R, er plassert på toppen av skråplanet. En snor er festet i veggen og i toppen av den solide kula. Treghetsmomentet om en akse igjennom massesenteret til en solid kule, med uniformt fordelt masse, er gitt ved I solidcm = 2 5 MR2 3 a) Hva må den statiske friksjonskoesienten minst være for at kula skal bli værende i ro? Finn denne friksjonskoesienten uttrykt ved θ. 3 b) Vi kutter snora, slik at den solide kula ruller uten å gli ned langs skråplanet. Finn farten til kulas massesenter ved bunnen av skråplanet uttrykt ved g, L og θ.

6 Side 6 av 18 Vi tar kula av skråplanet, og fester en stang ytterst på skallet til kula (se gur). Vi lar kula stå i ro. 3 c) Vis at treghetsmomentet til en solid kule rundt en akse gjennom kulas ytterkant (se gur) er gitt ved: I = 7 5 MR2 Vi skyter et prosjektil med masse m = 3 20M, som kolliderer fullstendig uelastisk med kula. I det prosjektilet kolliderer har den en fart v. Prosjektilet treer ytterst på kula, altså i en avstand 2R fra stanga (se gur). 3 d) Redegjør for at spinnet er bevart. 3 e) Finn den nye vinkelhastigheten ω 1, som kula og prosjektilet har i lag.

7 Side 7 av 18 Oppgave 4 Betrakt en ideell gass som gjennomgår en syklisk prosess med tilstandene a, b og c. Syklusen starter i a og går så til b, så fra b til c før den går tilbake igjen til a. Fra tilstand a til b varmes gassen igjennom en isokor prosess til trykket er 3p 0. Fra tilstand b til c utvides gassen igjennom en isoterm prosess. Fra tilstand c til a komprimeres gassen igjennom en isobar prosess. I tilstand a er trykket p 0 = 1.00atm og temperaturen T 0 = 300.0K. Gassen er énatomig og består av 2.00mol. 4 a) Tegn et P V -diagram for syklusen. 4 b) Finn gassens temperatur, trykk og volum i tilstand b og tilstand c. 4 c) Finn arbeidet, endringen i indre energi og varme i alle prosessene. Oppgave 5 Vis at trykkforskjellen over og under vingen til et y i fart fører til en oppoverrettet nettokraft. (Husk å forklar hvilken fysisk forståelse som ligger bak)

8 Side 8 av 18 Først nokre generelle råd: Les raskt gjennom heile oppgåveteksta og lag ein plan for korleis du bruker eksamenstida. Les kvar oppgåvetekst nøye før du byrjar på oppgåva. Teikn gode gurar. Skriv tydeleg og presenter oppgåvene oversiktleg. Ikkje berre skriv opp formlar og føresetnader, men forklar kvifor du bruker dei og kva for ei fysisk forståing som ligg bak. Forklar overgangar frå ei likning til ei anna. Skriv opp mellomrekningar. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet bli vekta likt, men vi tek atterhald om at dette kan bli justert. Lykke til!

9 Side 9 av 18 Oppgåve 1 Eit kar er fylt opp med vatn. Ein likesida kloss, med like sider som har lengd L, blir festa i ei snor. Heile klossen vert deretter senka ned i vatnet (sjå gur). Vi set på ei fjørvekt øvst på snora, som viser at snordraget T > 0 når klossen heng i ro. Massetettleiken til vatnet er ρ v og massetettleiken til klossen ρ k. 1 a) Finn eit uttrykk for oppdrifta til klossen. 1 b) Vis at tettleiken til klossen ρ k må vere større enn tettleiken til vatnet ρ v. 1 c) Tråden vert klipt rett over klossen. Finn akselerasjonen til klossen, rett etter at snora er klipt, uttrykt ved tettleiken til vatn ρ v, tettleiken til klossen ρ k og tyngdekonstanten g.

10 Side 10 av 18 Oppgåve 2 Figuren viser ei enkel atwoodmaskin. Ho har ei trinse med masse m T og radius R. Tregleiksmomentet til trinsa om ein akse gjennom trinsas massesenter er gitt ved I cm = 1 2 m T R 2. Over trinsa går det ei lett snor. I kvar av endane til snora er det festa ein kloss. Klossane har masse m 1 og m 2, der m 2 > m 1. 2 a) I denne deloppgåva går vi ut ifrå at trinsa er masselaus (m T = 0). Finn eit uttrykk for akselerasjonen til kvar av klossane. Vidare går vi ut frå at trinsa har ein uniformt fordelt masse m T > 0 2 b) Kva vil akselerasjonen til klossane vere no (når m T > 0)? 2 c) Finn farten til kloss 2 etter at han har falle ei høgd h. Klossen startar frå ro. 2 d) Vi gjer eit eksperiment, og nn at den faktiske farten til v 2 er mindre enn det vi fann i deloppgåve c. Kva kan dette kome av? Nemn minst 2 grunnar. Begrunn svaret.

11 Side 11 av 18 Oppgåve 3 Eit skråplan er sett inntil ein vegg. Skråplanet lagar ein vinkel θ med horisontalen. Skråplanet har ein lengde L målt fra kulas massesenter ned til botn av skråplanet. Ei solid kule, med masse M og radius R, er plassert på toppen av skråplanet. Ei snor er festa i veggen og i toppen av den solide kula. Tregleiksmomentet om en akse gjennom massesenteret til ei solid kule, med uniformt fordelt masse, er gitt ved I solidcm = 2 5 MR2 3 a) Kva må den statiske friksjonskoesienten minst vere for at kula skal bli verande i ro? Finn denne friksjonskoesienten uttrykt ved θ. 3 b) Vi kuttar snora, slik at den solide kula rullar utan å gli ned langs skråplanet. Finn farten til kula sitt massesenter ved botnen av skråplanet uttrykt ved g, L og θ.

12 Side 12 av 18 Vi tek kula av skråplanet, og festar ei stong ytst på skalet til kula (sjå gur). Vi lèt kula stå i ro. 3 c) Vis at tregleiksmomentet til ei solid kule rundt ein akse gjennom ytterkanten til kula (sjå gur) er gitt ved: I = 7 5 MR2 Vi skyt eit prosjektil med masse m = 3 20M, som kolliderer fullstendig uelastisk med kula. I det prosjektilet kolliderer har det ein fart v. Prosjektilet tre ytst på kula, altså i ein avstand 2R frå stonga (sjå gur). 3 d) Gjer greie for at spinnet er bevart. 3 e) Finn den nye vinkelhastigheita ω 1, som kula og prosjektilet har i lag.

13 Side 13 av 18 Oppgåve 4 Sjå på ein ideell gass som gjennomgår ein syklisk prosess med tilstandane a, b og c. Syklusen startar i a og går så til b, så frå b til c før han går tilbake igjen til a. Frå tilstand a til b blir gassen varma igjennom ein isokor prosess til trykket er 3p 0. Frå tilstand b til c blir gassen utvida igjennom ein isoterm prosess. Frå tilstand c til a blir gassen komprimert igjennom ein isobar prosess. I tilstand a er trykket p 0 = 1.00atm og temperaturen T 0 = 300.0K. Gassen er éinatomig og består av 2.00mol. 4 a) Teikn eit P V -diagram for syklusen. 4 b) Finn temperaturen, trykket og volumet til gassen i tilstand b og tilstand c. 4 c) Finn arbeidet, endringa i indre energi og varme i alle prosessane. Oppgåve 5 Vis at trykkskilnaden over og under vengen til eit y i fart fører til ei oppoverretta nettokraft. (Hugs å forklare den fysiske forståinga som ligg bak)

14 Side 14 av 18 Vedlegg Tabell I: Spesifikk- og molar varmekapasitet Tabell II: Smelte- og fordampingsvarme

15 Side 15 av 18 Formelsamling FYS-0100 Oppdatert 29.nov 2016 Mekanikk K = 1 2 mv2 (6.5) v x = v 0x + a x t (2.8) x = x 0 + v 0x t a xt 2 (2.12) v 2 x = v 2 0x + 2a x (x x 0 ) (2.13) x x 0 = ( v 0x + v x )t (2.14) 2 v x = v 0x + x = x 0 + t 0 t v av = r 2 r 1 = r t 2 t 1 t r v = lim t 0 t = d r dt 0 a av = v 2 v 1 t 2 t 1 a x dt (2.17) v x dt (2.18) = v t v a = lim t 0 t = d v dt (3.2) (3.3) (3.8) (3.9) a rad = v2 (uniform sirkul r bevegelse) R (3.28) v P/A = v P/B + v B/A (3.36) F = m a (4.7) F AB = F BA (4.11) f k = µ k F n (5.5) f s µ s F n (5.6) F g = G m 1m 2 r 2 (13.1) W = W = F s cos φ (6.2) W = F s (6.3) P2 P 1 F d l (6.14) W tot = K 2 K 1 (6.6) P av = W t (6.15) U grav = mgy (7.2) W grav = U grav (7.3) U el = 1 2 kx2 (7.9) K 1 + U 1 = K 2 + U 2 (7.4 / 7.11) K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 (7.14) J = p = m v (8.2) J = F t (8.5) P2 r cm = m 1 r 1 + m 2 r m 1 + m P 1 F dt (8.7) P = p 1 + p p n (8.14) i m i r i = i m i (8.29) α z = dω z = d2 θ z dt dt 2 (9.6) ω z = ω 0z + α z t (9.7) θ z θ 0z = 1 2 (ω 0z + ω z )t (9.10) θ z = θ 0z + ω 0z t α zt 2 (9.11) ω 2 z ω 2 0z = 2α z (θ θ 0 ) (9.12) v = rω (9.13) a tan = dv dt = d(rω) = rα dt (9.14) a rad = ω 2 r (9.15) I = m 1 r m 2 r = i mr 2 i (9.16) K = 1 2 Iω2 (9.17)

16 Side 16 av 18 I p = I cm + Md 2 (9.19) τ = rf sin θ (10.2) τ = r F (10.3) τz = Iα z (10.7) K = 1 2 Mv2 cm I cmω 2 (10.8) ω = mgd I (14.38) x = Ae (b/2m)t cos(ω t + φ) (14.42) k ω = m b2 4m 2 (14.43) Fluidmekanikk Rulling uten glidning: ρ = m V (12.1) v cm = Rω (10.11) W = θ2 θ 1 τ z dθ (10.20) L = r p = r m v (10.24) L = I ω (10.28) dl τ = (10.29) dt Likevektsbetingelser: F = 0, τ = 0 (11.1 / 11.2) Y = F /A = F l 0 l/l 0 A l (11.10) B = p (11.13) V/V 0 S = F /A x/h = F h A x f = ω 2π = 1 2π f = ω 2π = 1 2π (11.17) f = 1 T (14.1) ω = 2πf (14.2) F x = kx (14.3) k (14.11) m g (14.33) L E = 1 2 mv2 x+ 1 2 kx2 = 1 Monoatomisk ideel gass: 2 ka2 = konstant (14.21) p = F A (12.3) p = p 0 + ρgh (12.6) A 1 v 1 = A 2 v 2 (12.10) p 1 + ρgy ρv2 1 = p 2 + ρgy ρv2 2 (12.17) Termodynamikk L = αl 0 T (17.6) V = βv 0 T (17.8) Q = mc T (17.13) Q = nc T (17.18) Q = ±ml (17.20) H = dq dt = kat H T C L H = A T H T C R (17.21) (17.23) R = L k (17.24) H = AɛσT 4 (17.25) H net = Aɛσ(T 4 T 4 s ) (17.26) m total = nm (18.2) pv = nrt (18.3) pv = NkT (18.3) K tr = 3 nrt (18.14) 2

17 Side 17 av m(v2 ) av = 3 kt 2 (18.16) v rms = 3kT (v 2 ) av = m (18.19) C v = 3 R punktpartikler (18.25) 2 C v = 5 R diatomisk gas (18.26) 2 C v = 3R monoatomisk fast sto (18.7) V2 W = p dv (19.2) V 1 Dersom p = konstant: W = p V = p(v 2 V 1 ) (19.3) U = Q W (19.4) Q = nc V T (19.12) U = nc V T (19.13) Q = nc p T (19.14) C p = C V + R (19.17) γ = C p C V (19.18) C V = R γ 1 Adiabatisk prosess - ideel gass: T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2 (19.22) p 1 V γ 1 = p 2V γ 2 (19.24) W = nc V (T 1 T 2 ) (19.25) W = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ) (19.26) e = W Q H = 1 Q C Q H (20.4) Virkningsgrad Otto-syklus: e = 1 1 r γ 1 (20.6) K = Q C W (20.9) e carnot = 1 T C T H (20.14) T C K Carnot = (20.15) T H T C S = 2 1 dq T (20.19) S = k ln w (20.22)

18 Side 18 av 18 Tabell 1: Prekser Symbol Navn Verdi p piko n nano 10 9 µ mikro 10 6 m milli 10 3 k kilo 10 3 M mega 10 6 G giga 10 9 T terra Tabell 2: Konstanter Atommasseenhen u = 1, kg Avogadrokonstanten N A = 6, mol 1 Boltzmannkonstanten k = 1, J/K Element rladningen e = 1, C Elektronvolt 1eV = 1, J Elektronmassen m e = 9, kg Protonmassen m p = 1, kg Gravitasjonskonstanten G = 6, Nm 2 /kg 2 Lyshastigheten i vakuum c = 2, m/s Molar gasskonstant R = 8, 314 J/(mol*K) Planckkonstanten h = 6, Js Permitiviten i vakuum ɛ 0 = 8, C 2 /Nm 2 1 4πɛ 0 = k = 8, Nm 2 /C 2 Permeabiliteten i vakuum µ 0 = 4π 10 7 Wb/Am Normalt lufttrykk p 0 = 1, Pa = 1atm Stefan-Boltzmannkonstanten σ = 5, W/m 2 K 4 Tabell 3: Sammenheng translasjon og rotasjon Translasjon Rotasjon Sammenheng x θ x = rθ v x ω z v x = rω z a x α z a x = rα z F τ r m I I = m i r2 i K = 1 2 mv2 K = 1 2 Iω2 W = F s W = τ θ W = F d s W = τdθ W tot = K 2 K 1 W tot = K 2 K 1 p = m v L = I ω L = r p F = m a τz = Iα z F = dp dt τ = dl Dersom F = 0 p =konstant Dersom dt τ = 0 L =konstant i=1