Forelesning 6 STK3100/4100
|
|
- Severin Farstad
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Binomiske eller binære responser Forelesning 6 STK3100/ september 2008 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning logistisk regresjon 4. Parameterfortolkning andre linkfunksjoner 5. Goodness-of-fit: Hosmer-Lemeshow-test Anta Y i Bin(n i,π i ) er uavhengige. Kan alltid definere 1 for j = 1,...,Y i Y i,j = 0 for j = Y i + 1,...,n i som gir oss binære data. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 1/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 3/43 Binomiske responser Anta Y i Bin(n i,π i ) er uavhengige. Da har vi data fra en eksponensiell klasse. ( ) ni f(y,θ i,φ i ) = π y i y (1 π i) n i y i =c(y) ep(yθ i a(θ i )) der θ i = log(π i /(1 π i )),a(θ i ) = n i log(1 + ep(θ i )) mens spredningsleddet φ i = 1 er kjent og c(y) = ( n i y ). Som kjent blir E[Y i ] = a (θ i ) = n i ep(θ i ) 1+ep(θ i ) = n iπ i = µ i og Var[Y i ] = φ i a (θ i ) = n i ep(θ i ) (1+ep(θ i )) 2 = n i π i (1 π i ). Binære responser eller grupperte data? Y i Bin(n i,π i ),i = 1,...,k eller Y i Bin(1,π i ),i = 1,...,n = i n i Estimering ekvivalent ved begge representasjoner Testing for sammenlikning av modeller også ekvivalent Goodness-of-fit test (devians) blir forskjellig! χ 2 n q n = k for grupperte data n = k i=1 n i for binære data Krav devians goodness-of-fit test: Y i Bin(n i,π i ) der n i π i > 5 og n i (1 π i ) > 5 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 2/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 4/43
2 Biller > dim(beetle) [1] 8 3 > glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,family=binomial,data=beetle) (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); Null Deviance: Residual Deviance: AIC: > dim(beetle2) [1] > glm(dode Dose,family=binomial,data=beetle2) (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 480 Total (i.e. Null); Null Deviance: Residual Deviance: AIC: Residual 479 Residual Forelesning 6 STK3100/4100 p. 5/43 Krav til linkfunksjon for binære responser g() bør være glatt (deriverbar) strengt monoton (voksende) verdier over alle reelle tall g([0, 1]) = R eller ekvivalent g 1 (R) = [0, 1] g 1 (η) kumulativ fordelingsfunksjon for kontinuerlig fordeling på R Logit-linken tilfredstiller disse kravene. Spesielt er g 1 (η) kumulativ i "logistisk fordeling" der tettheten er ep(η) (1 + ep(η)) 2 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 7/43 GLM binære responser Uavhengige binære Y i med suksess-sannsynlighet π i (n i = 1 her) Lineær prediktor η i = β T i Linkfunksjon g(π i ) = η i Vi har så langt hovedsaklig sett på link-funksjonen som gir π i g(π i ) = log( ) = logit(π i ) 1 π i π i = ep(η i) 1 + ep(η i ) = g 1 (η i ) Spesielt er dette den kanoniske link-funksjonen, i.e. kanonisk parameter θ i = η i Som kjent gir logit-linken logistisk regresjon. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 6/43 Kumulativ og tetthet i "standard" logistisk fordeling F() Kumulativ logistisk fordeling f() Tetthet logistisk fordeling Tettheten er symmetrisk om = 0, så forventningen er lik 0. Dessuten kan det vises at variansen i standard-logistisk 2 ep() π2 (1 + ep()) 2d = 3 = Forelesning 6 STK3100/4100 p. 8/43
3 Probit-link: Invers av kumulativ for standard-normal Siden kravet til en link-funksjon er at den er invers av en kumulativ er en naturlig kandiat til link: der Φ(y) = y g(η) = Φ 1 (η) 1 2π ep( )d. Siden tettheten i standardnormalfordelingen er symmetrisk om y = 0 får vi ofte resultater tilsvarende logist regresjon med probit link (probit analyse). Imidlertid Normalfordelingen har lettere haler enn logistisk fordeling, kan ha situasjoner der probit passer bedre Sammenlikning estimater E[Y i ] =g 1 (η i ) g 1 (0) + (g 1 ) (0)η i ηi l logit = φ(0)η p i probit Dvs for η i 0, ηi l ηp φ(0)/0.25 = (8/π) 1.6 eller β l j 1.6 βp j Forelesning 6 STK3100/4100 p. 9/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 11/43 Kumulativ og tetthet for logit og probit R-utskrift Biller: Logit vs. Probit F() Kumulative fordelingsfunksjoner logistisk probit (skalert) f() Tettheter > logfit<-glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,binomial(link=logit),beetle) > profit<-glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,binomial(link=probit),beetle) > logfit (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); 6 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: > profit (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); 6 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: Forelesning 6 STK3100/4100 p. 10/43 > logfit$coef/profit$coef (Intercept) Dose Forelesning 6 STK3100/4100 p. 12/43
4 varians π 2 / Forelesning 6 STK3100/4100 p. 16/43 Akaike informasjonskriterium (AIC) defineres generelt ved AIC = 2ˆl + 2q der q = antall parametre i modellen og ˆl maksimum log-likelihood under modellen. Akaike-kriteriet benyttes ved å velge den modellen med minst AIC-verdi. R-utskrift Biller: Probit > summary(profit) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Ma Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) <2e-16 *** Dose <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 7 degrees of freedom Residual deviance: on 6 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 13/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 15/43 R-utskrift Biller: Logit > summary(logfit) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Ma Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) <2e-16 *** Dose <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 7 degrees of freedom Residual deviance: on 6 degrees of freedom AIC: clog-log-link basert på Gumbel-fordelingen Linken η i = g(π i ) = log( log(1 π i )) kalles den "komplementære log-log-linken" Dens inverse er gitt ved π i = 1 ep( ep(η i )) = F(η i ) som er kumulativ for (den standardiserte) Gumbelfordelingen. Egenskaper: ikke er symmetrisk veldig lette haler mot + haler som logistisk fordeling mot forventning er - Eulers s konstant 0.58 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 14/43
5 Kumulativ og tetthet Gumbelfordeling Kumulative fordelingsfunksjon Gumbel Tetthet Gumbel F() f() Sammenlikning med AIC > AIC(logfit,profit,clogfit) df AIC logfit profit clogfit cloglog-link gir best tilpasning Forelesning 6 STK3100/4100 p. 17/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 19/43 R-utskrift Biller: Clog-log > clogfit<-glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,binomial(link=cloglog),beetle) > summary(clogfit) Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) <2e-16 *** Dose <2e-16 *** Null deviance: on 7 degrees of freedom Residual deviance: on 6 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 > logfit$coef/clogfit$coef (Intercept) Dose Forelesning 6 STK3100/4100 p. 18/43 Tilpassede sannsynligheter for billedata med logistisk regresjon og cloglog-link: andel dode biller logistisk cloglog dose (log_10) Cloglog-linken treffer observerte andeler bedre enn logistisk regr., svarer til residual-devians på 3.45 for cloglog og for logistisk regresjon. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 20/43
6 2. ordens ledd > form = cbind(dode,ant-dode) Dose+I(Doseˆ2) > logfit2<-glm(form,binomial(link=logit),beetle) > profit2<-glm(form,binomial(link=probit),beetle) > clogfit2<-glm(form,binomial(link=cloglog),beetle) > AIC(clogfit,logfit2,profit2,caufit2,clogfit2) df AIC clogfit logfit profit clogfit GLM Binomiske / binære responser Y i Bin(n i,π i ) der linkfunskjonen g(π i ) = η i = β T i er invers av kontinuerlig kumulativ fordelingsfunksjon på R. Følgende linkfunksjoner er implementert i R: Logistisk regresjon: g(π i ) = log(π i /(1 π i )) ekvivalent med g 1 (η i ) = ep(η i) 1+ep(η i ) Probit-analyse: g(π i ) = Φ 1 (π i ) clog-log-link g(π i ) = log( log(1 π i )) ekvivalent med π i = 1 ep( ep(η i )) "Cauchit-analyse" g(π i ) = tan(π(π i 0.5)) log-link g(π i ) = log(π i ) (ikke invers av kumulativ over R) Forelesning 6 STK3100/4100 p. 21/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 23/43 Tilpassede sannsynligheter for billedata også med logistisk regresjon og 2. gradsledd i Dose andel dode biller logistisk cloglog logistisk, 2. gradsledd Parameterfortolkning logistisk regresjon Vi definerer odds for begivenhet ved: π = Odds 1 π For logistisk regresjon blir oddsen, med η = β T, dvs Odds = ep(η) 1+ep(η) 1 ep(η) 1+ep(η) = η = log Odds ep(η) 1+ep(η) 1 1+ep(η) = ep(η) dose (log_10) 2. gradsledd ga en devians på 3.19 sammenlignet med 3.44 for cloglog-linken. AIC-verdier ble med 2. gradsledd og for cloglog. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 22/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 24/43
7 Parameterfortolkning logistisk regresjon: Odds-ratio La k = k,k j, j = j + 1, dvs = (0,...,0, 1, 0,..., 0), Forholdet mellom oddsene med kovariater og, kalt odds-ratioen, (med π = e η /(1 + e η ) og η = β T ) OR j = π 1 π π 1 π eller omvendt = ep(β j ) = Odds Odds = ep(η η) = ep(β T ( )) β j = log(or j ), dvs. regresjonsparametrene fortolkes som log-odds-ratioer eller relativ endring i odds (på log skala) Tilnærmelsen OR RR Relativ risk Odds-ratio π π = π = π = π = π = π = π = Forelesning 6 STK3100/4100 p. 25/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 27/43 Odds-ratio Relativ Risk når sannsynlighetene er små En "relativ risk" er definert som forholdet mellom to sannsynligheter, f.eks. RR = π π Spesielt når både π og π er små blir 1 π 1 og 1 π 1. Dermed får vi OR = π π 1 π 1 π π π = RR Dvs for små sannsynligheter måler ep(β j ) (tilnærmet) relativ endring i sannsynlighet når j øker med en enhet. Sannsynlighetene er nær 0.5 Anta π = δ og π = 0.5 δ. Da blir 1 π = 0.5 δ = π og 1 π = δ = π slik at ( ) OR = π 1 π π 2 = = RR 2 π 1 π π dvs. ikke tilnærmelse mellom størrelsene og OR avviker vesentlig mer fra 1 enn RR Forelesning 6 STK3100/4100 p. 26/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 28/43
8 Uttrykket odds: Spill I ett pengespill satser man en innsats 1 og får deretter utbetalt U = G hvis man vinner. Hvis man taper får man ikke innsatsen tilbake. Gevinsten etter å ha spilt er derfor 1 hvis en taper spillet G = hvis en vinner spillet G 0 Eksempel: Studie av dødelighet med Wilm s tumor > glm(d unfav+factor(stg),family=binomial(link=logit))$coef (Intercept) unfav factor(stg)2 factor(stg)3 factor(stg) > glm(d unfav+factor(stg),family=binomial(link=cloglog))$coef (Intercept) unfav factor(stg)2 factor(stg)3 factor(stg) Vi antar at sannsynlighet for å tape er π. Hvis spillet er rettferdig er dvs. 0 = E[G] = G 0 (1 π) 1 π, G 0 = π 1 π = Odds for å tape Forelesning 6 STK3100/4100 p. 29/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 31/43 Parameter-fortolkning med clog-log-link eller π =1 ep( ep(β T )) η =β T = log( log(1 π)) For π liten er log(1 π) π (Taylor) som gir og dermed η log(π) π ep(η) RR j = π π ep(β j) Forelesning 6 STK3100/4100 p. 30/43 Fortolkning av parametre med probitanalyse Noen ganger har vi kontinuerlige responser, Y i0 N(β T i,σ 2 ) (f.eks. normalfordelt), men velger å studere 1 hvis Y i0 < γ = terskelverdi Y i = 0 hvis ikke Eks. Y i0 = fødselsvekt 1 hvis Y i0 < 2500 gram Y i = 0 hvis ikke Eks. Psykometriske målinger, Y i0 = score på depresjonsskala 1 hvis Y i0 > terskelverdi Y i = 0 hvis ikke Forelesning 6 STK3100/4100 p. 32/43
9 Underliggende skala 1 hvis Y i0 < γ = terskelverdi Y i = 0 hvis ikke Sammenheng parametre i probit og underliggende skala Forventning for E[Y i0 ] = β T i = β 0 + β 1 i1 + + β p ip svarer altså til probitmodell Φ 1 (π i ) = α 0 + α 1 i1 + + α p ip tetthet der α 0 = γ β 0 σ α j = β j for j = 1,...,p σ Merk: Standardavviket σ for den underliggende skalaen er ikke mulig å identifisere. Y0 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 33/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 35/43 Probit, forts. Hvorfor binære respons? Tradisjon for tabellanalyse Direkte score Y i0 kan være svært skjevfordelt Direkte score er kanskje ikke registert, bare noe vi forestiller oss ("latent" variabel) Vi finner sammenhengen mellom Y i0 N(β T i,σ 2 ) Y i = I(Y i0 γ) Eksempel: Fødselsvekt og svangerskapsvarighet > summary(lm(vekt svlengde+se)) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) svlengde e-06 *** se * --- Residual standard error: on 21 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.64, Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 21 DF, p-value: 2.194e-05 Vi får altså estimert ˆσ = ved π i = P(Y i = 1) = P(Y i0 γ) = Φ( γ σ (β σ ) i ) Forelesning 6 STK3100/4100 p. 34/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 36/43
10 Eksempel: Fødselsvekt og svangerskapsvarighet, forts. > lavvekt<-1*(vekt<2800) > table(lavvekt) > > glm(lavvekt svlengde+se,family=binomial(link=probit))$coef (Intercept) svlengde se > lm(vekt svlengde+se)$coef/177.1 (Intercept) svlengde se To strategier for goodness-of fit med binære data Med kategoriske kovariater: Aggreger til binomiske data Hosmer-Lemeshow test Aggregering består i å Tell opp antall individer etter alle nivåer av de kategoriske variablene Tell opp antall Y i = 1 etter alle nivåer av de kategoriske variablene Gjør glm-tilpasning på aggregerte data Definerer Y i = 1 hvis fødselsvekten er mindre enn 2800 gram. Får probit-estimater ˆα j ˆβ j ˆσ fra lineær regresjon. Modellen er OK hvis D og X 2 små i forhold til χ 2 Ñ p der Ñ er antall komb. av nivåer over de kategoriske variablene Krever forventet antall suksesser/fiaskoer i hver gruppe > 5 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 37/43 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 39/43 Goodness of fit-tester for binomiske data Hvis Y i Bin(n i,π i ) og (a) n i π i > 5 og (b) n i (1 π i ) > 5 for i = 1,...,N er tilnærmet Residual devians Pearson kjikvadrat = 2( l ˆl) χ 2 N p X 2 = n (Y i n iˆπ i ) 2 i=1 n iˆπ i (1 ˆπ i ) χ2 N p der l er log-likelihood i mettet modell, ˆl log-likelihood for den tilpassede modellen med p parametre og ˆπ i estimerte sannsynligheter in denne modellen. Hvis D og X 2 er vesentlig større enn N p tyder det på at modellen passer dårlig. Ofte er imidlertid Y i -ene binære og betingelsen (a) og (b) er da ikke oppfylt. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 38/43 Eks. Aggregering: Wilm s tumor > unfavaggr<-c(rep(0,4),rep(1,4)) > stgaggr<-rep(1:4,2) > naggr<-numeric(0) > for (i in 1:8) naggr[i]<-sum(unfav==unfavaggr[i]&stg==stgaggr[i]) > daggr<-numeric(0) > for (i in 1:8) daggr[i]<-sum(d[unfav==unfavaggr[i]&stg==stgaggr[i]]) > glmfit<-glm(cbind(daggr,naggr-daggr) unfavaggr+factor(stgaggr), family=binomial) > glmfit (Intercept) unfavaggr factor(stgaggr)2 factor(stgaggr)3 factor(stgaggr) Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); 3 Residual Null Deviance: Residual Deviance: 3.33 AIC: > X2<-sum(residuals(glmfit,type="pearson")ˆ2) > X2 [1] Forelesning 6 STK3100/4100 p. 40/43
11 Eks. Aggregering: Wilm s tumor Siden residual devians D = 3.33 X 2 = 3.26 = Pearson kjikvadrat er lite sammenlignet med residualt antall frihetsgrader df = 3 virker modellen OK. Men er forventet antall suksesser og "fiaskoer" > 5? Ja, beregner disse: > round(naggr*glmfit$fit,2) > round(naggr*(1-glmfit$fit),2) Forelesning 6 STK3100/4100 p. 41/43 Eks. X 2 hl : Wilm s tumor > glmfit<-glm(d unfav+factor(stg)+yr.regis+age,family=binomial) > kuttoff<-sort(glmfit$fit)[c(round(length(d)*(1:10)/10))] > gr<-rep(1,length(d)) > for (i in 1:9) gr<-gr+(glmfit$fit>kuttoff[i]) > table(gr) > ngr<-as.numeric(table(gr)) > ngr [1] > dgr<-numeric(0) > for (i in 1:10) dgr[i]<-sum(d[gr==i]) > dgr [1] > for (i in 1:10) pigr[i]<-mean(glmfit$fit[gr==i]) > round(pigr,3) [1] > X2HL<-sum((dgr-ngr*pigr)ˆ2/(ngr*pigr*(1-pigr))) > X2HL [1] > 1-pchisq(X2HL,8) [1] Forelesning 6 STK3100/4100 p. 43/43 Hosmer-Lemeshow test Hvis mange kategoriske variable eller skala-kovariater vil ikke aggregering hjelpe. Kan istedet bruke Hosmer-Lemeshow test: Gjør glm-tilpasning Ordner individene etter tilpassede sannsynligheter ˆπ (1) ˆπ (2) ˆπ (n) Lager 10 like store grupper etter ordningen Beregner π gr = gj.sn. av ˆπ (i) i gruppe gr = 1, 2,..., 10 Beregner antall observasjoner n gr og antall suksesser Y gr i gruppe gr Beregner Hosmer-Lemeshow Xhl 2 = 10 (Y gr n gr π gr) 2 gr=1 n gr π gr(1 π gr) Hvis modellen er OK has tilnærmet X 2 hl χ2 8, dvs. df = 10 2 = 8 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 42/43
Forelesning 6 STK3100/4100
Forelesning 6 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 6 STK3100/4100 4. oktober 2012 Presentasjon av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning
DetaljerForelesning 7 STK3100
Parameterfortolkning logistisk regresjon Forelesning 7 STK3100 6. oktober 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Parameterfortolkning logistisk regresjon 2. Parameterfortolkning andre linkfunksjoner
DetaljerForelesning 6 STK3100
Scorefunksjon og estimeringsligninger for GLM Forelesning 6 STK3100 29. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Observert og forventet informasjon 2. Optimeringsrutiner 3. Iterative revektede
DetaljerForelesning 8 STK3100
$ $ $ # Fortolkning av Dermed blir -ene Vi får variasjonen i '& '& $ Dermed har fortolkning som andel av variasjonen forklart av regresjonen Alternativt: pga identiteten Forelesning 8 STK3100 p3/3 Multippel
DetaljerGeneraliserte Lineære Modeller
Lineær regresjon er en GLM Generaliserte Lineære Modeller Responser (Y i -er) fra normalfordelinger Lineær komponent η i = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip E[Y i ] = µ i = η i, dvs. linkfunksjonen g(µ i ) =
DetaljerGeneraliserte Lineære Modeller
Eksponensiell klasse Generaliserte Lineære Modeller Y i f(y i ;θ i ) = c(y i ;φ) exp((θ i y i a(θ i ))/φ) µ i = E[Y i ] = a (θ i ) σ 2 i = Var[Y i ] = φa (θ i ) = φv (µ i ) STK3100-4. september 2011 Geir
DetaljerForelesning 10 STK3100
Momenter i multinomisk fordeling Forelesning 0 STK300 3. november 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning:. Multinomisk fordeling 2. Multinomisk regresjon - ikke-ordnede kategorier 3. Multinomisk regresjon
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) p. 1/25 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-23. august 2010 Sven Ove Samuelsen/Anders Rygh Swensen Plan for første forelesning:
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Literatur / program Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-20. august 2007 Sven Ove Samuelsen Plan for første forelesning: 1. Introduksjon, Literatur, Program 2. ksempler 3. Uformell
DetaljerPrøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011.
Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Oppgave 1 (a) Angi tetthet/punktsannsynlighet for eksponensielle klasser med og uten sprednings(dispersjons)ledd. Nevn alle fordelingsklassene du kjenner som kan
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller
Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller p. 1/34 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller STK3100/4100-23. august 2011 Geir Storvik (Oppdatert
DetaljerForelesning 7 STK3100/4100
Forelesning 7 STK3100/4100 p. 1/2 Forelesning 7 STK3100/4100 8. november 2012 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Forelesning
DetaljerForelesning 7 STK3100
( % - -! " stimering: MK = ML Forelesning 7 STK3100 1 oktober 2007 S O Samuelsen Plan for forelesning: 1 Generelt om lineære modeller 2 Variansanalyse - Kategoriske kovariater 3 Koding av kategoriske kovariater
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i STK3100 Innføring i generaliserte lineære modeller Eksamensdag: Mandag 6. desember 2010 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet
DetaljerForelesning 7 STK3100/4100
Gamma regresjon Forelesning 7 STK3100/4100 26. september 2008 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Modell: Har y Gamma(µ,ν),
DetaljerForelesning 11 STK3100/4100
Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 3. oktober 20 Geir Storvik. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode - generell formulering av modell Tillater innbygging av avhengigheter mellom
DetaljerForelesning 3 STK3100
Eks. Fødselsvekt mot svangerskapslengde og kjønn Forelesning 3 STK3100 8. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Generelt om lineære modeller 2. Variansanalyse - Kategoriske kovariater
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag 14. desember 2006 Tid: 09:0013:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerForelesning 5 STK3100/4100
Forelesning 5 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 5 STK3100/4100 27. september 2012 Presentasjon laget av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. Poissonfordeling 2. Overspredning
DetaljerForelesning 9 STK3100
Poissonfordelingen: Forelesning 9 STK3100 20. oktober 2007 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Poissonregresjon 2. Overspredning 3. Quasi-likelihood 4. Andre GLM-er Poissonfordelingen kan oppstå ved
DetaljerSTK juni 2016
Løsningsforslag til eksamen i STK220 3 juni 206 Oppgave a N i er binomisk fordelt og EN i np i, der n 204 Hvis H 0 er sann, er forventningen lik E i n 204/6 34 for i, 2,, 6 6 Hvis H 0 er sann er χ 2 6
DetaljerTilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015
Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0
DetaljerForelesning STK september 2011
Forelesning STK3100 12. setember 2011 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer En Mettet (saturate) moell er en moell
DetaljerForelesning 8 STK3100/4100
Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 0. oktober 0 Geir Storvik. Lineære blandede modeller. Eksempler - data og modeller 3. lme 4. Indusert korrelasjonsstruktur. Marginale modeller. Estimering -
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 202 Statistiske slutninger for den eksponentielle fordelingsklasse. Eksamensdag: Fredag 15. desember 1995. Tid for eksamen:
DetaljerEksponensielle klasser
Eksponensielle klasser, de Jong & Heller, Kap. 3 Eksponensielle klasser STK3100-1. september 2008 Sven Ove Samuelsen En stokastisk variabel Y sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse dersom
DetaljerForelesning 9 STK3100
> = = @ A ( A ( + + arameterfortolkning listisk regresjon Forelesning STK300 oktober 00 S O Samuelsen lan for forelesning arameterfortolkning listisk regresjon arameterfortolkning andre linkfunksjoner
DetaljerEksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget
FA K U L T E T FO R NA T U R V I T E N S K A P O G TE K N O L O G I EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerEksponensielle klasser og GLM
!! 3 ksponensielle klasser, Dobson, Kap 3 ksponensielle klasser GLM n stokastisk variabel sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse som tettheten pktsannsh til kan skrives på formen STK3-3
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerForelesning 6 STK3100
Forelesning STK3 september 7 S O Samuelsen Plan for forelesning: Mer om evians GLM resiualer 3 Test for H : Offset Observert forventet informasjon Optimeringsrutiner Iterative revektee minste kvarater
DetaljerForelesning 9 STK3100/4100
p. 1/3 Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 18. oktober 2012 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 2/3 Modell med
DetaljerLogistisk regresjon 1
Logistisk regresjon Hovedideen: Binær logistisk regresjon håndterer avhengige, dikotome variable Et hovedmål er å predikere sannsynligheter for å ha verdien på avhengig variabel for bestemte (sosiale)
DetaljerMedisinsk statistikk Del I høsten 2009:
Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X
Detaljer7. november 2011 Geir Storvik
Forelesning 13 STK3100/4100 Plan for forelesning: 7. november 2011 Geir Storvik Generaliserte lineære blandede modeller 1. Sammenlikning ulike estimeringsmetoder 2. Tolkning parametre 3. Inferens Konfidensintervaller
DetaljerForelesning 11 STK3100/4100
Forelesning 11 STK3100/4100 Plan for forelesning: 1. november 2012 Geir Storvik 1. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode GLMM - generell formulering av modell Likelihood og estimering
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
DetaljerForelesning 9 STK3100/4100
Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 17. oktober 2011 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 1 Modell med alle antagelser
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004 Dato: 29.september 2016 Klokkeslett: 09 13 Sted: Tillatte hjelpemidler: B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Fredag 7. juni 2013. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004. Dato: Mandag 24. september 2018. Klokkeslett: 09-13. Sted: Administrasjonsbygget K1.04 Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Mandag 3. desember 2018. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på
DetaljerLøsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave.
Løsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave. Oppgave 1 a) Legg merke til at X er gamma-fordelt med formparameter 1 og skalaparameter λ. Da er E[X] = 1/λ. Små verdier av X tyder derfor på at
DetaljerEksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas Tlf: 988 47 649 Eksamensdato: 22. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerEKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? Bokmål Kontakt under eksamen: Thiago G. Martins 46 93 74 29 EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2018) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
DetaljerEKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland (92 66 30 96) EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Tirsdag
DetaljerEKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Kontakt under eksamen: Thiago G. Martins 46 93 74 29 EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR Torsdag
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Tirsdag 26. september 2017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»
DetaljerLøsningsforsalg til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Løsningsforsalg til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 R-kode for alle oppgaver er gitt bakerst. Oppgave 1 (a) Boksplottet antyder at verdiene er høyere for kvinner enn for menn.
Detaljerj=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.
FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Bio 2150A Biostatistikk og studiedesign Eksamensdag: 6. desember 2013 Tid for eksamen: 14:30-17:30 (3 timer) Oppgavesettet er
DetaljerForelesning 5 STK3100
Devians Forelesning 5 STK3100 22. setember 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer 4. Observert og forventet informasjon 5. Otimeringsrutiner
DetaljerKategoriske data, del I: Kategoriske data - del 2 (Rosner, ) Kategoriske data, del II: 2x2 tabell, parede data (Mc Nemar s test)
Kategoriske data, del I: Kategoriske data - del (Rosner, 10.3-10.7) 1 januar 009 Stian Lydersen To behandlinger og to utfall. (generelt: variable, verdier). x tabell. Uavhengige observasjoner Sammenheng
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 4. juni 2007. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er
Detaljervekt. vol bruk
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: 10. desember 2010. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerIntroduksjon Lineære blanda modellar Generaliserte lineære blanda modellar Analyser av modellar Eit randproblem Oppsummering. Blanda modellar i R
Blanda modellar i R Jorunn Slagstad Universitetet i Bergen 20. desember 2006 1 Introduksjon 2 Lineære blanda modellar 3 Generaliserte lineære blanda modellar 4 Analyser av modellar 5 Eit randproblem 6
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerEksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas Tlf: 988 47 649 Eksamensdato: 4. juni 2016 Eksamenstid (fra til): 09.00
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011
EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011 Løsningsforslag Oppgave 1 (Med referanse til Tabell 1) a) De 3 fiskene på 2 år hadde lengder på henholdsvis 48, 46 og 35 cm. Finn de manglende tallene i Tabell 1. Test
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:
MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,
DetaljerOppsummering av STK2120. Geir Storvik
Oppsummering av STK2120 Geir Storvik Vår 2011 Hovedtemaer Generelle inferensmetoder Spesielle modeller/metoder Bruk av R Vil ikke bli testet på kommandoer, men må forstå generelle utskrifter Generelle
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST110 Statistiske metoder og dataanalyse Eksamensdag: Mandag 30. mai 2005. Tid for eksamen: 14.30 20.30. Oppgavesettet er på
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerGenerelle lineære modeller i praksis
Generelle lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y en eller flere uavhengige
DetaljerPrøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018
Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018 Geir Storvik Vår 2018 Oppgave 1 (a) Vi har at E = Y Ŷ =Xβ + ε X(XT X) 1 X T (Xβ + ε) =[I X(X T X) 1 X T ]ε Dette gir direkte at E[E] = 0. Vi får at kovariansmatrisen
DetaljerTillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler
EKSAMENSOPPGAVER Institutt: Eksamen i: Tid: IKBM STAT100 Torsdag 13.des 2012 STATISTIKK 09.00-12.30 (3.5 timer) Emneansvarlig: Solve Sæbø ( 90065281) Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE STA-2004.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004. Dato: Torsdag 28. september 2017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Tillatte hjelpemidler: Teorifagsbygget. «Tabeller og formler i
DetaljerEkstraoppgaver STK3100 h10
Ekstraoppgaver STK3100 h10 Oppgave 1 En-veis variansanalyse modellen kan formuleres som Y ij = µ + α i + ɛ ij (1) der α i = 0 og ɛ ij er i.i.d N(0, σ 2 ). Her representerer er Y ij j te observasjon fra
DetaljerKapittel 6 - modell seleksjon og regularisering
Kapittel 6 - modell seleksjon og regularisering Geir Storvik 21. februar 2017 1/22 Lineær regresjon med mange forklaringsvariable Lineær modell: Y = β 0 + β 1 x 1 + + β p x p + ε Data: {(x 1, y 1 ),...,
DetaljerLogistisk regresjon 2
Logistisk regresjon 2 SPSS Utskrift: Trivariat regresjon a KJONN UTDAAR Constant Variables in the Equation B S.E. Wald df Sig. Exp(B) -,536,3 84,56,000,25,84,08 09,956,000,202 -,469,083 35,7,000,230 a.
DetaljerNotater i ST2304 H. T. L. 1 Fordelingsfunksjonene i R α-kvantilen... 3
Notater i ST2304 H. T. L Innhold 1 Fordelingsfunksjonene i R 2 1.1 α-kvantilen....................................... 3 2 Fisher test for ubalanserte modeller 4 2.1 Test mellom alternative modeller...........................
DetaljerEksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerAnvendt medisinsk statistikk, vår Repeterte målinger, del II
Anvendt medisinsk statistikk, vår 009 Repeterte målinger, del II Eirik Skogvoll Overlege, Klinikk for anestesi og akuttmedisin 1. amanuensis, Enhet for anvendt klinisk forskning (med bidrag fra Harald
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Fredag 26. mai 2006
DetaljerBioberegninger, ST1301 Onsdag 1. juni 2005 Løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bioberegninger, ST1301 Onsdag 1. juni 2005 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Verdien av uttrykkene blir som følger: >
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK2120 Skisse til løsning/fasit. Eksamensdag: Torsdag 5. juni 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerEksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf: 975 89 418 Eksamensdato: Lørdag 31. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerVariansanalyse og lineær regresjon notat til STK2120
Variansanalyse og lineær regresjon notat til STK2120 Ørulf Borgan februar 2013 Formålet med dette notatet er å beskrive sammenhengen mellom variansanalyse med faste effekter og multippel lineær regresjon
Detaljer10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon
Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerFra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og (alle er basert på samme datasett).
Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og 10.37 (alle er basert på samme datasett). ############ OPPGAVE 10.32 # Vannkvalitet. n=49 målinger i ulike områder. # Forutsetter at datasettene til boka (i
Detaljer