Forelesning 9 STK3100

Transkript

1 > = A ( A ( + + arameterfortolkning listisk regresjon Forelesning STK300 oktober 00 S O Samuelsen lan for forelesning arameterfortolkning listisk regresjon arameterfortolkning andre linkfunksjoner 3 Goodnessoffit HosmerLemeshowtest Kasuskontroll studier (Retrospektive studier Forelesning STK300 p/6 Vi definerer odds for begivenhet ved For listisk regresjon blir oddsen med '&( $ &( $ * '&( $ $ &( * La kovariatvektor for individ være at individ har kovariatvektor slik at for ( ( '&( '&( $ $ * '&( $ * kovariatene aviker bare for anta der Forelesning STK300 p3/6 GLM Binomiske / binære responser der linkfunskjonen invers av kontinuerlig kumulativ fordelingsfunksjon på Følgende linkfunksjoner er implementert i R Listisk regresjon med robitanalyse N(0 "Cauchitanalyse" clllink llink over '&( $ '&( $ * 0 / der 3 er ekvivalent er kumulativ for ekvivalent med (som ikke er invers av kumulativ Forelesning STK300 p/6 arameterfortolkning listisk regresjon ratio Da blir forholdet mellom oddsene til eller omvendt B AC ( B A ( C ( ( kalt oddsratioen dvs regresjonsparametrene fortolkes som loddsratioer (eller loddsforhold Legg merke til at D Forelesning STK300 p/6

2 Derimot når sannsynlighetene er nær 05 får vi oddsratio Feks 3 3 eller litt mer generelt slik at Da blir dvs ikke tilnærmelse mellom størrelsene avviker vesentlig mer fra enn Forelesning STK300 p/6 å den annen side Hvis sannsynlighetene er nær blir 3 3 Feks hvis mens 3 så har en symmetriegenskap som "fanger" opp at (I slike tilfeller vil en antagelig redefinere responsen Forelesning STK300 p/6 ratio Relativ Risk når sannsynlighetene er små En "relativ risk" er definert som forholdet mellom to sannsynligheter feks er små blir Spesielt når både Dermed får vi er så store Faktisk Tilnærmelsen er rimelig god selv når som 0 Forelesning STK300 p5/6 for små sannsynligheter Tilnærmelsen Relativ risk ratio Forelesning STK300 p6/6

3 @ Uttrykket odds Spill I ett pengespill satser man en innsats får deretter utbetalt hvis man vinner Hvis man taper får man ikke innsatsen tilbake Gevinsten etter å ha spilt er derfor hvis en taper spillet hvis en vinner spillet Vi antar at sannsynlighet for å vinne er rettferdig er dvs der E Hvis spillet er D Forelesning STK300 p/6 Eksempel Fra Langodds /H /U /B /H+/U+/B Forelesning STK300 p/6 Uttrykket odds forts en i spill som "Langoddsen" tar imidlertid utgangspunkt i utbetalt beløp med rettferdig spill skulle For et spill som Langoddsen (fotballtipping kan man tippe på hjemmeseier ( H Uavgjort ( U borteseier (med B Med et rettferdig spill skulle da (Hjemmeseier + (Uavgjort + (Borteseier H U B Det kommer imidlerid på en provisjon slik at typisk Llink for binære data Anta la som før aviker bare for komponent (eller Da får vi kovariatene dvs llink gir at regresjonsparametrene er en lrelativ risk Desverre kan være større enn det er derfor praktiske problemer med å benytte denne linkfunksjonen H U B Forelesning STK300 p0/6 Forelesning STK300 p/6

4 arameterfortolkning med clllink Sammenligning HR eller Fikserer HR= lotter HR for Når sannsynlighetene Dette fordi når er liten er små får vi faktisk så Denne linken har en nær tilknytning til proporsjonale hazardmodeller som benyttes mye for levetidsdata Vi skal derfor kalle HR "hazardratio" med denne linken Relativ risk HR Forelesning STK300 p3/6 p0 Forelesning STK300 p5/6 Sammenligning HR med Vi antar at clllinken er korrekt Nokså generelt has enten eller HR HR dvs avviker mest fra minst Feks la slik at Sett Da får vi dvs begge uttrykt ved med binær kovariat samt HR HR Forelesning STK300 p/6 Eksempel Studie av dødelighet med Wilm s tumor Error no valid set of coefficients has been found please supply > bglm(d unfav+factor(stgfamily=binomial(link=cll$coef > glm(d unfav+factor(stgfamily=binomial(link=lstart=startve > glm(d unfav+factor(stgfamily=binomial(link=lit$coef (Intercept unfav factor(stg factor(stg3 factor(stg > glm(d unfav+factor(stgfamily=binomial(link=cll$coef (Intercept unfav factor(stg factor(stg3 factor(stg > glm(d unfav+factor(stgfamily=binomial(link=l$coef > > bglm(d unfav+factor(stgfamily=binomial(link=lit$coef > startverdib(bb > startverdi (Intercept unfav factor(stg factor(stg3 factor(stg > Coefficients (Intercept unfav factor(stg factor(stg3 factor(stg Degrees of Freedom 3 Total (ie Null Null Deviance 6 Forelesning STK300 p6/6 30 Residual

5 * * Eksempel Sammendrag Vi ser her armeterestimater lit med listisk regresjon større enn med cll ( cll Initielt ingen konvergens med llink Foreslår startverdi cll lit cll (gjetter at cllestimater ligger midt mellom lit lestimater Med startverdien får vi konvergens så for llink Har Dermed l cll HR lit ratio i xtabell La være sannsynligheten for sykdom i gruppe 0 gruppe (hhv Da blir vi estimerer ratio defineres tilsvarende listisk regresjon ved estimeres ved * * * * Forelesning STK300 p/6 Forelesning STK300 p/6 Spesialtilfelle En binær kovariat slik at (jfr Oppgave 0 Vi betegner individene med for gruppe dem med for gruppe Vi lar så at være en indikator for sykdom Dataene kan da aggregeres til en x tabell Tabell Gruppe Gruppe 0 Totalt Syke A B A+B Friske C D C+D Totalt A+C B+D n=a+b+c+d Fra oppgave punkt n has at variansen til lodds tilsvarende variansen til siden estimeres med estimert ved der de to loddsene er uavhengige blir variansestimatet for Forelesning STK300 p/6 Forelesning STK300 p0/6

6 5 Konfidensintervall (KI for Fra N et tilnærmet 5 KI for D blir Dette betyr at men denne ulikheten er ekvivalent med har samme sannsynlighet Derfor får vi at blir et tilnærmet 5 KI for Forelesning STK300 p/6 Fortolkning av parametre med probitanalyse Noen ganger har vi kontinuerlige responser (feks normalfordelt men velger å studere Eks fødselsvekt hvis hvis ikke hvis Eks sykometriske målinger hvis ikke hvis hvis ikke N terskelverdi gram score på depresjonsskala terskelverdi Forelesning STK300 p3/6 Eksempel Dødelighet blant barn med Wilm s tumor Underliggende skala > table(dunfav unfav d hvis hvis ikke terskelverdi > (*306/(65*0 > [] 6 > sesq/306+/65+/0+/ > *exp(c(*6*sesqˆ05 [] Vi finner altså at estimert med 5 KI blir 3 tetthet Forelesning STK300 p/6 Y0 Forelesning STK300 p/6

7 + robit forts Hvorfor binære respons? Tradisjon for tabellanalyse Direkte score kan være svært skjevfordelt Direkte score er kanskje ikke registert bare noe vi forestiller oss ("latent" variabel Vi finner sammenhengen mellom Eksempel Fødselsvekt svangerskapsvarighet > summary(lm(vekt svlengde+sex Coefficients Estimate Std Error t value r(> t (Intercept svlengde e06 *** sex * Residual standard error on degrees of freedom Multiple RSquared 06 Adjusted Rsquared 0605 Fstatistic 6 on and DF pvalue e05 N Vi får altså estimert ved I Forelesning STK300 p5/6 Forelesning STK300 p/6 Sammenheng paramtre i probit underliggende skala Forventning for E altså til probitmodell der svarer Eksempel Fødselsvekt svangerskapsvarighet forts > lavvekt*(vekt00 > table(lavvekt 0 > > glm(lavvekt svlengde+sexfamily=binomial(link=probit$coef (Intercept svlengde sex for Merk Standardavviket for den underliggende skalaen er ikke > lm(vekt svlengde+sex$coef/ (Intercept svlengde sex mulig å identifisere Definerer hvis fødselsvekten er mindre enn 00 gram Får probitestimater fra lineær regresjon Forelesning STK300 p6/6 Forelesning STK300 p/6

8 Goodness of fittester for binomiske data Hvis (a er tilnærmet Residual devians earson kjikvadrat ( (b ( ( ( ( der er llikelihood i mettet modell llikelihood for den tilpassede modellen med parametre estimerte sannsynligheter in denne modellen Hvis er vesentlig større enn tyder det på at modellen passer dårlig Ofte er imidlertid da ikke oppfylt ene binære betingelsen (a (b er Forelesning STK300 p/6 Eks Aggregering Wilm s tumor > unfavaggrc(rep(0rep( > stgaggrrep( > naggrnumeric(0 > for (i in naggr[i]sum(unfav==unfavaggr[i]&stg==stgaggr[i] > daggrnumeric(0 > for (i in daggr[i]sum(d[unfav==unfavaggr[i]&stg==stgaggr[i]] > glmfitglm(cbind(daggrnaggr unfavaggr+factor(stgaggr family=binomial > glmfit (Intercept unfavaggr factor(stgaggr factor(stgaggr3 factor(st Degrees of Freedom Total (ie Null 3 Residual Null Deviance 3 Residual Deviance AIC 55 > Xsum(residuals(glmfittype="pearson"ˆ > X [] 53 Forelesning STK300 p3/6 To strategier for goodnessof fit med binære data Med kategoriske kovariater Aggreger til binomiske data HosmerLemeshow test Aggregering består i å Tell opp antall individer etter alle nivåer av de kategoriske variablene Tell opp antall variablene etter alle nivåer av de kategoriske Gjør glmtilpasning på aggregerte data Modellen er OK hvis små i forhold til der er antall komb av nivåer over de kategoriske variablene Dette krever at forventet antall suksesser fiaskoer i hver gruppe Forelesning STK300 p30/6 Eks Aggregering Wilm s tumor Siden residual devians earson kjikvadrat er lite sammenlignet med residualt antall frihetsgrader virker modellen OK Men er forventet antall suksesser "fiaskoer" disse? Ja beregner > round(naggr*glmfit$fit > round(naggr*(glmfit$fit Forelesning STK300 p3/6

9 HosmerLemeshow test Hvis mange kategoriske variable eller skalakovariater vil ikke aggregering hjelpe Kan istedet bruke HosmerLemeshow test Gjør glmtilpasning Ordner individene etter tilpassede sannsynligheter Lager 0 like store grupper etter ordningen Beregner gjsn av Beregner antall observasjoner gruppe Beregner HosmerLemeshow i gruppe Hvis modellen er OK has tilnærmet i dvs antall suksesser Cohort and CaseControl Cohort study (prospective Exposure at start of study Disease after followup of all individuals Casecontrol study (retrospective Casestatus from registry Exposure on cases and sample of eligible controls Forelesning STK300 p33/6 Forelesning STK300 p35/6 Eks Wilm s tumor > glmfitglm(d unfav+factor(stg+yrregis+agefamily=binomial > kuttoffsort(glmfit$fit[c(round(length(d*(0/0] > grrep(length(d > for (i in grgr+(glmfit$fit>kuttoff[i] > table(gr > ngrasnumeric(table(gr > ngr [] > dgrnumeric(0 > for (i in 0 dgr[i]sum(d[gr==i] > dgr [] > for (i in 0 pigr[i]mean(glmfit$fit[gr==i] > round(pigr3 [] > XHLsum((dgrngr*pigrˆ/(ngr*pigr*(pigr > XHL [] 306 > pchisq(xhl [] 0005 Forelesning STK300 p3/6 Main ideas Cohort study Compare disease rates between exposed individuals nonexposed individuals Higher incidence among exposed points to causes of disease Casecontrols study Compare exposure characteristics between diseased individuals cases nondiseased individuals controls Higher level of exposure among cases also points to exposure being associated with causes of disease Forelesning STK300 p36/6

10 Cohort or CaseControl? One will typically only take a sample of all eligible nondiseased individuals Casecontrol study will be cheaper and less timeconsuming than a cohort study and can provide almost as precise risk estimates However casecontrol studies can be subject to Selection bias Cases and controls not selected from same population Recall bias Retrospective information gathered from cases and controls need not be equally reliable Example Bladder cancer in suspect industry 35 cases of bladder cancer 36 controls (no bladder cancer Employed in suspect industry Case Controls Yes 6 No 5 Total = = exposed among cases exposed among control Exposure "suspect industry" seems to be associated with disease Forelesning STK300 p3/6 Forelesning STK300 p3/6 Data sources casecontrol Cases Controls Registries Within cohort study atients with a specific disease in a hospital General population Within same cohort study atients with other diseases in the hospital Cases and controls should be selected from the same population Forelesning STK300 p3/6 Example Smoking and lung cancer Doll & Hill (5 No cigarettes Lung cancer cases Hospital controls The distribution of cigarettes smoked seems to be shifted towards higher values among the lung cancer cases We can test for differences between distributions among cases and controls in several ways for instance Chisquare test for "homeneity" in table Tota ttest assigning a number of cigarettes to each exposure group Forelesning STK300 p0/6

11 Lung cancer example cont For this table the earson 3 on 5 df 3 Assigning no cigarettes to groups 0 etc cigarettes per day we get Mean cig among lung cancer cases 0 (std dev 0 Mean cig among control patients 5 (std dev 6 which leads to a tstatistic Example Bladder cancer and suspect industry Assume we had complete population data for the bladder cancer data (we don t with data as in this table Suspect industry Case Nondiseased Total Yes No 5 we would estimate disease rates = = and again a pvalue 3 3 (Actually this study was matched on age and sex and somewhat different tests are more appropriate D E leading to and D E D E D E 3 3 Bladder cancer twice as common in suspect industry 3 More on matching later Forelesning STK300 p/6 Forelesning STK300 p3/6 Relative risks in cohort study (population Cohort (or prospective study Exposure for all in a population at start of study Disease registered during study With dichotomous (0/ exposure E=exposed E D=disease (case D nonexposed nondiseased (control we have the rates (or probability of disease among exposed and nonexposed as D E and D E ratio Instead of relative risks we often use oddsratios defined by means of Among exposed Among unexposed The ratio is then defined as D E D E D E D E (D E (D E (D E (D E (D E (D E D E D E D E D E Relative risk ( is thus given as D E D E Forelesning STK300 p/6 Forelesning STK300 p/6

12 * * Why ratio? arameterinterpretation in listic regression Can be estimated in casecontrol studies (as we will see Approximation to relative risk when incidence is low In general we either have = = Thus is always closer to one Forelesning STK300 p5/6 Estimation of and in cohort study From x table over a = no of subjects that are exposed and diseased etc D D E a b a+b E c d c+d we estimate D E with estimate for relative risk becomes and while the oddsratio is estimated by * D E * * with Thus the * Forelesning STK300 p/6 Approximation when incidence is small Let D E and D E The artificial cohort Bladdercancer data We assumed we had cohort data as in the table Relativ risk ratio Suspect industry Case Nondiseased Total Yes = No 5 = Then (as previously calculated whereas Thus difference is acceptably small with and as high as 00 Forelesning STK300 p6/6 Forelesning STK300 p/6

13 * x table in unmatched casecontrol In a casecontrol study we know the number of cases and the number of controls D D E a b E c d Total thus now the column marginals are fixed Then we may estimate (E D by and of (E D by * Why? If you really want to verify this mathematical fact use that conditional probabilities are defined as (E D (E and D (D and similarly for other terms involved This is standard algebra although rather boring and somewhat tedious However without knowledge of sampling fractions we can not estimate D E relative risk and D E and so neither can we estimate the Forelesning STK300 p/6 Forelesning STK300 p5/6 ratio from casecontrol studies However the oddsratio estimate casecontrol studies is valid also in This is so because the casecontrol study allows estimation of the odds of exposure for cases and controls and since Among cases Among controls (E D (E D (E D (E D (E D (E D Estimation of in casecontrol study The estimates of exposureodds among cases and controls are and this gives also in a casecontrol study (Cornfield 5 Forelesning STK300 p50/6 Forelesning STK300 p5/6

14 * Alternative argument Exposed Not exp opulation Casecontrol Disease Not disease Case Control Exposed Not exp With probabilities of being included in casecontrol study * for cases for controls Confidence interval for Wolfe s formula Variance estimate for loddsratio se var This gives a 5 confidence interval for by a normal distribution approximation when a b c and d are all "large" se we have and and hence Forelesning STK300 p53/6 Forelesning STK300 p55/6 Example Lung cancer and no cigarettes The argument can be made for more than two exposure levels fex groups of no cigarettes No sigarettes Cancer cases Controls ratio Total For instance the oddsratio nonsmoker and those that smoke cigarettes becomes Examples CI Ex Lungcancer cig vs Nonsmoke se so the 5 CI = The normal approximation this CI relies on though is shaky (b= isn t really big Exact methods may give a better confidence interval Forelesning STK300 p5/6 Forelesning STK300 p/6

15 Efficiency between study designs Assume that two designs allows estimation of the same quantity The efficiency of design relative to design is then defined as Variance with design Variance with design Efficiency casecontrol vs cohort contd By Wolfe s formula the casecontroll variance The efficiency becomes Then since variances approximately are proportional to Cohort variance Casecontrol variance sample size when K large and little gain by more than K= 5 the interpretation of an efficiency is Reduction in sample size with design Efficiency that gives the same precision as design These efficiencies are approximately valid when not very dif (if design more efficient than design ferent from and exposure not very rare Forelesning STK300 p5/6 Forelesning STK300 p5/6 Efficiency casecontrol vs cohort Example Efficiency Bladder cancer When the disease is rare the number of available controls in the Casecontrol study cohort and is large compared to the number of cases thus the cohort variance is approximately and var 3 Artificial cohort study where =no exposed cases and =no nonexposed cases var Assume an casecontrol study with all controls per case Total no controls is then cases with Efficiency somewhat smaller 05 corresponding to Assume also = thus no effect of exposure We would then have c K a and d K b a casecontrol ratio Forelesning STK300 p5/6 Forelesning STK300 p60/6

16 Artificial bladdercancer data contd Assumed casecontrol study with controls per case Suspect industry Case Nondiseased Yes No 5 Listic regression and binary exposure Let if an individual is exposed and if the individual is unexposed Then the model for disease can be written as a listic regression model For different values of we get the following efficiencies with Efficiency 3 3 and so Forelesning STK300 p6/6 Forelesning STK300 p63/6 Listic regression model for cohort studies Let be an indicator for disease and a covariate for an individual Assume that the probability the individual has the disease can be written Binary exposure and x table This framework with binary exposure and binary outcome can be put up in a x table Then the odds of having the disease equals * * $ $ * * $ * and the oddsratio between two individuals with covariates and becomes Forelesning STK300 p6/6 Will use notation D D E a b a+b E c d c+d instead of D etc henceforth Forelesning STK300 p6/6

17 = B B B B B B Listic regression for unmatched casecontrol studies Assume that Then where sampling to casecontrol study does only depend on diseasestatus not on covariates ( sampled ( sampled Can estimate oddsratio sampled ( sampled ( sampled from casecontrol data Multivariate listic regression for cohort studies Several covariates (confounders adjusted for in model In this setting where and other = may be Forelesning STK300 p65/6 Forelesning STK300 p6/6 roof Listic regression unmatched studies Let be the indicator for being sampled as case or control By Bayes rule * Multivariate listic regression for unmatched casecontrol studies Again assume that sampling to casecontrol study does only depend on diseasestatus not on covariates and are sampling fractions among cases and controls * Then just like for univariate listic regression * * $ $ * sampled Note The argument shows that the estimates are valid We actually have that the estimates are maximum likelihood so standard error tests etc are also valid where Can estimate adjusted oddsratios data Only the intercept is changed from casecontrol Forelesning STK300 p66/6 Forelesning STK300 p6/6

18 Ex Dysmeli = missing fingers parts of arm toes etc cases and 0 controls from Grenland and Mo i Rana Cr 5 CI Adj 5 CI regnant after using ppills No rev spontaneous abortion No regnant in spring time No High maternal education Low Mother smokes No Forelesning STK300 p6/6