ECON342: Nytte-kostnadsanalyser Det mikroøkonomiske fundament

Transkript

1 ECON342: Nytte-kostnadsanalyser Det mikroøkonomiske fundament Arild Aakvik Vår Cobb-Douglas nyttefunksjon Anta at vi har to personer (A og B) og to goder (C og F ). Vi velger å jobbe med en konkret Cobb-Douglas nyttefunksjon: U(C, F ) = C α F β. Denne er lik for begge personene. 1 Hva er den deriverte av U(C, F )? U(C, F ) C = αc α 1 F β og U(C, F ) F = βc α F β 1 Hva blir MRS 1C:F? MRS 1C:F = df dc = MU C U=konstant MU F = αcα 1 F β = αf βc α F β 1 βc som sier noe om hvor mye vi må endre konsumet av F dersom vi endrer konsumet av C med en enhet og vi skal ha samme nytte (være på samme indifferenskurve). Helningen på indifferenskurvene er avhengig av hva vi har på x-aksen og y-aksen. I dette tilfellet vil C være på x-aksen, og F på y-aksen, men vi kan selvfølgelig snu på det og skrive MRS 1F :C = dc df = MU F = βc U=konstant MU C αf 1 Andre typer spesifisering av konkrete nyttefunksjoner kan være U(C, F ) = (C + 1) α F β eller U(C, F ) = v(c) + F, hvor v(c) = ac.5bc 2. 1

2 hvor nå F er på x-aksen. Helningen på indifferenskurven i dette tilfellet sier hvor mye vi må gi opp av gode C når vi mottar en ekstra enhet av gode F og gitt at vi skal ha samme nytte. 2 Helningen på indifferenskurvene Hvorfor er MRS 1C:F = df dc U=konstant = MU C MU F? I dette tilfellet kan vi tenke oss et C F godediagram med C på x-aksen og F på y-aksen. Helningen langs en indifferenskurve er da F = df C dc. Et uttrykk for denne helningen finner vi ved å totaldifferensiere nyttefunksjon U(C, F ) og sette endringen lik null (fordi vi skal holde oss på samme nyttenivå): du = U C U F U df dc = C dc + U F df = df = U C dc U F = MU C MU F = MRS 1C:F 2 Nyttemaksimering og etterspørsel Vi maksimerer nytte U(C, F ) = C α F β gitt budsjettbetingelsen p C C + F = I. Vi setter opp Lagrange-funksjonen: L = C α F β + λ[i p C C F ] Vi har følgende førsteordensbetingelser: L C = αcα 1 F β λp C = L F = βcα F β 1 λ = L λ = I p CC F = 2 Helningen på indifferenskurvene vil alltid være negativ, men ved tolkning dropper vi gjerne minustegnet, hvor vi antar at alle skjønner at kurvene har negativ helning. Det samme gjelder budsjettlinjene og det relative prisforholdet, hvor vi ofte dropper å presisere at disse har en negativ helning i et godediagram. Det korrekte er å skrive MRS= p C /, men ofte (også i dette dokumentet) ser en MRS=p C /. 2

3 Vi har fra de første to ligningene at λ = αcα 1 F β p C λ = βcα F β 1 Setter vi disse sammen får vi αc α 1 F β p C αc α 1 F β βc α F = p C β 1 αf βc = p C = βcα F β 1 ( dvs MRS 1C:F = p ) C som vi også kan skrive som F = β α p CC. Vi kan plugge denne inn i budsjettbetingelsen. Dersom vi antar at α + β = 1 får vi: I = p C C + F = p C C + β ( ) 1 α α p CC = p C C + p C C α ( = p C C α ) = 1 α α p CC. Etterspørsel og indirekte nytte Løser vi denne får vi etterspørselsfunksjonene: C = αi p C = C (p C,, I) (1) F = βi = F (p C,, I) (2) Dette er de ukompenserte (Marshal) etterspørselsfunksjonene, hvor etterspørselen er en funksjon av priser og inntekt. Plugger vi disse inn i nyttefunksjonen får vi den indirekte nyttefunksjonen, dvs nyttefunksjonen definert i priser og inntekt: ( ) α ( ) β αi βi V (p C,, I) = U(C, F ) = (3) p C 3

4 Dersom vi antar at α =.5 og β =.5, får vi: ( ) α ( ) β αi βi V (p C,, I) = = p C I 2p.5 C p.5 F Vi har altså at U(C, F ) = V (p C,, I), som er to måter å uttrykke nytte på. Vi reptererer uttrykkene for Marshal etterspørsel og indirekte nytte:. C (p C,, I) = αi p C (ukompensert etterspørsel) F (p C,, I) = βi (ukompensert etterspørsel) V (p C,, I) = I 2pC.5p.5 F (indirekte nytte). Kompensert etterspørsel Vi har nå funnet (Marshal) etterspørselsfunksjoner og indirekte nytte. For å finne de kompenserte (Hicks) etterspørselsfunksjonene, som er viktig når vi skal finne konsumentoverskudd, løser vi de indirekte nyttefunksjonene mhp. I, for så å plugge denne inn i etterspørselsfunksjonene. Vi har I V (p C,, I) = 2p.5 C p.5 F I = V (p C,, I) 2pC.5 pf.5 Deretter plugger vi I inn i etterspørselsfunksjonene og får: C c = α I = α [V (p C,, I) 2pC.5p.5 F ] = V (p C,, I) p.5 p C p C C p.5 F = V ( ) p.5 F p.5 C F c = β I = β [V (p C,, I) 2p.5 C p.5 F ] = V (p C,, I) p.5 C p.5 F = V ( ) p.5 C p.5 F 4

5 Vi kan bruker V = U, som bare er to forskjellige måter å uttrykke nytte på i tilpasningspunktet, og skrive C c (p C,, U) = α I p C = p.5 F p.5 C U( ) (4) F c (p C,, U) = β I = p.5 C p.5 F U( ) (5) som er de kompenserte etterspørselsfunksjonene. Notasjonsmessig kan vi også skrive F c (p C,, U) = h F (p C,, U) og C c (p C,, U) = h C (p C,, U) for å indikere at vi snakker om Hicks etterspørsel. 3 Utgiftsfunksjonen Denne delen kan du hoppe over dersom du godtar at nyttemaksimering gir samme resultat som utgiftsminimering, og at E(p C,,U) p C = C( ), hvor E(p C,, U) er utgiftsfunksjonen. Nyttemaksimering har sin motpart i utgiftsminimering, som går ut på å allokere inntekt mest mulig effektivt (billigst mulig) for å oppnå et gitt nyttenivå. Vi starter med å minimere inntekt for å oppnå en gitt nytte. Deretter plugger vi inn FOB i inntektsfunksjonen, og får utgiftfunksjonen. Det kan være en fordel å operere med utgiftsfunksjon fordi dette er noe som kan observeres, mens nytte ikke kan det. Utgiftsfunksjonen finner vi ved å minimere E = p C C + F gitt Ū = U(C, F ). Vi får da E(C, F, U). Generelt har vi at E = V 1, dvs at utgiftsfunksjonen er den inverse av den indirekte nyttefunksjonen. Vi kan formulere minimeringsproblemet ved Lagrange metode. La oss anta som tidligere at U(C, F ) = C α F β. Vi setter opp Lagrangefunksjonen: L = [I p C C F ] + λ[ū Cα F β ] Vi har følgende førsteordensbetingelser: L C = p C + λαc α 1 F β = L F = + λβc α F β 1 = L λ = Ū Cα F β = 5

6 Vi har fra de første to ligningene at p C λ = αc α 1 F β λ = βc α F β 1 Setter vi disse sammen får vi αc α 1 F β = βcα F β 1 p C αc α 1 F β βc α F = p C β 1 αf βc = p C som vi kan skrive som F = β p C C α. Vi plugger denne inn i siste ligning i FOB og får [ ] β β Ū = C α F β = C α pc C α [ ],5, 5 = C,5 pc C,5,5 = C p C, 5 Vi gjør tilsvarende for C = α F β p C. Vi plugger denne inn i siste ligning i FOB og får [ ] α α Ū = C α F β pf F = F β β p C [ ],5, 5 pf F = F β,5,5 = p C F, 5 p C Vi har nå C = Ū p C,5,5 og F = Ū,5 p C,5. Utgiftene er da gitt ved E(p C,, U) = p C [Ū p C,5,5 ] + [Ū,5 p C,5 ] = Ū p C,5,5 + Ū +,5 p C,5 = 2p C,5,5 U slik som tidligere. Plugger vi inn for den indirekte nyttefunksjonen, dvs V (p C,, I) = I 2p.5 C p.5 F, få vi vi at E = I: E(p C,, U) = 2p C,5,5 [ I 2pC.5p.5 F ] = I = p C C + F 6

7 slik at E(p C,, U) p C = C c ( ). siden vi holde U konstant. I optimum vil C = C c. Slutsky-ligningen Vi er interessert i å finne hvordan den kompenserte (Hicks) etterspørselen endrer seg når prisen på varen endrer seg. Den kompenserte etterspørselskurven kompenserer for at prisen går opp ved at vi er på samme indifferenskurve (nyttenivå). Den deriverte av den kompenserte etterspørselskurven mhp. pris, dvs C c / p C, er helningen langs en enkel indifferenskurve, og gir oss substitusjonseffekten. Substitusjonseffekten er en viktig størrelse fordi den er relatert til effektivitetstapet ved f.eks. skattlegging. Vi kan finne substitusjonseffekten ved å derivere de kompenserte (Hicks) etterspørselsfunksjonene [C c (p C,, U) og F c (p C,, U)] mhp. pris. På samme måte som at U = V har vi at C c = C, dvs direkte versus indirekte nytte, og kompensert versus ukompensert etterspørsel, er bare ulike måter å uttrykke det samme på, og i optimum (tilpasningspunktet) vil de være like. Vi kan (per definisjon) skrive den kompenserte etterspørselsfunksjonen som C c (p C,, U) = C[p C,, I)] = C[p C,, E(p C,, U)] hvor E(p C,, U) er utgiftsfunksjonen, som gir minimumsbeløpet vi trenger for å oppnå nytte lik U. Hvis vi partiell deriverer C[p C,, E(p C,, U)] får vi C c = C + C p C p C E E p C som, hvis vi snur litt på ligningen, gir Slutsky-ligningen: C p C = Cc p C C E E p C. (6) Denne ligningen viser at den totale endringen i etterspørselen som følge av en prisendring kan deles inn i en substitusjonseffekt og en inntektseffekt. Vi kan skrive inntektseffekten, dvs. siste ledd i ligning (6), som Inntektseffekt = C E E = C p C I E = C p C I Cc = C c C I 7

8 siden endring i inntekt (I) og utgifter (E) er det samme i etterspørselsfunksjonen C c (p C,, I), og at E/ p C = C c (vises senere). Substitusjonseffekten kan vi formulere på følgende vis: Substitusjonseffekt = Cc = C p C p C. U=konstant Vi kan nå skrive Slutsky-ligningen som C = C p C p C Husk at i nyttemaks har vi at C = C c. U= Ū C C I (7) Cobb-Douglas parametrisering Med Cobb-Douglas nyttefunksjon, hadde vi følgende etterspørselsfunksjoner: Indirekte nytte er gitt ved C = αi p C og F = βi. ( ) α ( αi βi V (p C,, I) = p C jfr. ligningene (1)-(3). Dersom vi antar at α =.5 og β =.5, får vi V (p C,, I) = I 2p.5 C p.5 F Vi får da de kompenserte (Hicks) etterspørselsfunksjonene: og I = V (p C,, I) 2p.5 C p.5 F ) β C c = V p.5 F p.5 C og F c = V p.5 C. pf.5 Slutsky-ligningen Vi finner først de to substitusjonseffektene: C c p C = F c =.5 V p.5 F p 1.5 C.5 V p.5 C p 1.5 F 8

9 Vi kan plugge inn for V og får da: C c =.5 ( I 2p.5 p C F c =.5 ( I 2p.5 C p.5 F pc 1.5 C p.5 F pf 1.5 ) p.5 F ) p.5 C = =.5 I p.5 F pc 1.52p.5 C p.5 F.5 I p.5 C pf 1.52p.5 C p.5 F =.25 I p 2 C =.25 I p 2 F som er substitusjonseffekten. Inntektseffekten finner vi ved å derivere mhp. inntekt: C C I F F I ( )( ) ( ).5 I.5.25 I = = p C p C p 2 C ( )( ) ( ).5 I.5.25 I = = hvor vi fremdeles antar at α =.5 og β =.5. Vi har da Slutsky-ligningen: C =.25 I p C F p 2 C =.25 I p 2 F ( ).25 I p 2 C ( ).25 I. Ved første øyekast ser dette litt rart ut siden substitusjons- og inntektseffekten er nøyaktig den samme. Det er kjekt å jobbe med Cobb-Douglas-funksjoner, men det er ikke alltid uttrykkene er like realistiske, som at substitusjonseffekten er lik inntektseffekten. p 2 F p 2 F Oppgave 1: Finn Slutsky-ligningen når U(C, F ) = C.3 F.7 gitt budsjettbetingelsen p C C + F = I. Oppgave 2: Anta at nyttefunksjonen er gitt ved: U(C, F ) = (C + 1) α F β. Vis da at F = β(i + p C) C = αi β p C ( β V = (I + p C ) ( pf E = U β ) β ( pc α 9 ) β ( α p C ) α ) α p C

10 Anta at C = og at en investering gjør at vi kan konsumere positive mengder av C, men at det relative prisforholdet vil endre seg. Vi definerer EV = E(p 1, U 1 ) E(p, U 1 ). Vis at EV = E(p 1, U 1 ) E(p, U 1 ) = I U 1 B + p C, hvor B = ( α )α ( p C β )β. Oppgave 3: Vi antar at følgende (kvasi-lineære) nyttefunksjoner: U(C, F ) = v(c) + F, hvor v(c) = ac.5bc 2. Vi har at v (C) er marginal betalingsvillighet (marginal benefit) for C. Vis at MRS 1C:F = MU C MU F = a bc, og at (de inverse) etterspørselskurvene er gitt ved p C = a bc og = a bf. 4 Empiriske analyser I empiriske analyser ønsker vi å estimere substitusjons- og inntektseffekten fra en (Marshal) etterspørselsfunksjon. Vi starter gjerne ut med følgende lineære additive regresjonsmodell: C = β + β 1 p C + β 2 + β 3 I + ɛ. Vi vet fra ECON34 at effektene vil være avhengig av hvordan kvantum, priser og inntekt blir målt. For å gjøre effektene sammenlignbare (over land og tid), tar vi gjerne logaritmen av variablene: ln C = β + β 1 ln p C + β 2 ln + β 3 ln I + ɛ. Betakoeffisientene tolkes da som elastisiteter: β 1 er egenpriselastisitet (e C,pC ), β 2 er krysspriselastisitet (e C,pF ), og β 3 er inntektselastisitet (e C,I ). Nå er ikke verden så enkel at vi bare kan estimere denne ligningen sånn uten videre. Observert kjøp/kvantum er en likevektsstørrelse, slik at det vi observerer i et marked påvirkes både av etterspørsel og tilbud. Skal vi estimere en etterspørselsfunksjon, må vi holde tilbudssiden konstant. Vi må da bruke InstrumentVariabel (IV) metoden. 5 Gevinst og tap ved kvantums- og prisendring Equivalent variation (EV) Anta at vi har et prosjekt som endrer priser og inntekt, f.eks. en skatteøkning. Prisene og inntekten før endringen er p og I. I Figur 1 har vi at prisen på C går opp fra p C 1

11 til p 1 C, mens prisen på F er uforandret. Det relative prisnivået endres da fra p = p C pf til p 1 = p1 C pf, noe som fører til at vi får en brattere budsjettkurve i figuren. Prisene og inntekten etter endringen er p 1 og I 1. Indirekte nytte i de to tilstandene er gitt ved Figur 1: Compensating variation, equivalent variation henholdsvis V (p, I ) og V (p 1, I 1 ). Utgiftsfunksjonen er gitt ved E(p, U ) og E(p 1, U 1 ), eller E(p C,, U ) og E(p 1 C, p1 F, U 1) om en vil. I figuren har vi at den (minste) utgiften som gir nytte lik U til prisene p er gitt ved E(p, U ), som er punkt A i Figur 1. Dette er startpunktet vårt i figuren. Den minste utgiften som gir nytte lik U men til nye prisene p C er gitt ved E(p 1, U ), som er punkt C i figuren. Den minste utgiften som gir det nye nyttenivået U 1 men til nye prisene p C er gitt ved E(p 1, U 1 ), som er punkt B i figuren. Vi definerer compensating variation (CV) som CV = E(p 1, U ) E(p, U ) som sier hvor mye en person må kompenseres med inntekt for å komme på samme nyttenivå som før prisstigningen. Dersom prisen på C øker, så trenger vi mer inntekt for å komme på samme nyttenivå som tidligere (U ). Vi leser av inntekten på y-aksen. CV måler kompensasjonsbeløpet som gir oss samme nytte før og etter prisøkningen. 11

12 Substitusjonseffekten viser hvor mye vi vrir konsumet (i antall enheter) som følge av prisøkningen, hvor vi er på samme indifferenskurve. Kvantumsnedgangen, som vi leser av på x-aksen, kan vi så overføre til den kompenserte (Hicks) etterspørselsfunksjon. Det er en sammenheng mellom CV og endring i konsumentoverskudd. Vi har at den deriverte av utgiftsfunksjonen mhp pris er den kompenserte etterspørselsfunksjonen (fra Shepards lemma). Vi har derfor at p 1 CV = E(p 1, U ) E(p, U ) = h(p, U )dp hvor h C (p, U ) = C c (p C,, U ) er Hicks/kompensert etterspørsel. Det er viktig å presisere at ved måling av ulike former for effektivitetstap så er det den kompenserte etterspørselskurven som skal benyttes. Det er altså substitusjonseffekten som gir opphav til effektivitetstap. Dersom substitusjonseffekten er null, vil også effektivitetstapet bli null. p Compensating variation (CV) CV er det maksimale beløpet en person er villig til å betale for å unngå en endring, f.eks. en prisendring. Effektivitetstap Det samfunnsøkonomisk overskuddet deles inn i konsument- og produsentoverskudd. En skatt vil typisk gi et effektivitetstap i forhold til first best tilpasning, hvor effektivitetstapet er forskjellen mellom det samfunnsøkonomisk overskuddet med og uten skatt. Konsumentoverskuddet er forskjellen mellom hva vi som konsumenter er villige til å betale og hva vi faktisk må betale i et marked, som vi kan måle som et areal under den kompenserte etterspørselskurven, jfr. Figur 2. Areal beregnes vanligvis som et integral, hvor det skraverte området i figuren er gitt ved CV = p 1 C p C C c (p C,, U ) d p C hvor vi vet at C c (p C,, U ) = E(p C,, U) p C Fra Figur 2 ser vi at dette arealet kan beregnes som summen av et rektangel og en trekant. Dersom vi har konkrete funksjonsformer kan vi finne et uttrykk for arealet. 12

13 Figur 2: Endret konsumentoverskudd ved prisendring. Dersom vi bruker ligning (4): C c = V ( ) p.5 F p.5 C og p 1 C = 4 og p1 C = 1, og antar = 4 og V = 2, så har vi CV = 4 p C =4 V p.5 F p.5 C d p C = 2V pf.5 pc.5 1 p C =1 = = 8 se side 162 i Snyder and Nicholson (11 ed). Dersom vi bruker Marshal etterspørsel, gitt i ligning (1) får vi: tap = 4 1 αi p C d p C = 4 =, 5 8 ln 4, 5 8 ln 1 = 5, 55 1, 5Ip C 1 d p C =, 5I ln p C p C =4 Dersom prisendring i Figur 2 skyldes en enhetsskatt vil effektivitetstape være gitt ved forskjellen i redusert KO og skatteproveny, som blir arealet B (gitt flat tilbudskurve). p C =1 13

14 Marginalnytten av inntekt Vi maksimerer nytte U(C, F ) gitt budsjettbetingelsen p C C + F = I. Vi setter opp Lagrange-funksjonen: L = U(C, F ) + λ[i p C C F ] Vi har følgende førsteordensbetingelser: L C = U C λp C = L F = U F λ = L λ = I p CC F = Vi har nå en mulighet for å tolke Lagrange-multiplikatoren λ fra førsteordensbetingelsene. Vi har fra de første to ligningene at λ = U C p C og λ = U F Disse to ligningene sier at vi ved endret konsum av C eller F skal tilpasse oss slik at vi har samme marginalnytte per krone brukt på godene, noe som vi kan tolke som marginalnytte av inntekt. Forholdet mellom MB (U C ) og MC (p C) skal være lik for alle godene (i optimum). Vi antar gjerne at marginalnytten av inntekt (λ) er konstant over et lite intervall. Mer generelt er marginalnytten av inntekt stor dersom inntekten er lav, og vica versa. På marginen vil prisen reflekterer betalingsvillighet for en ekstra enhet av godet. Dette er viktig i anvendt velferdsteori fordi vi kan avlede betalingsvillighet fra variasjon i priser. Vi kan også skrive p C = U C λ og U C = p C λ. Vi har altså at U C kan tolkes som pris multiplisert med marginalnytten av inntekt. Dersom p C = 1, dvs. at gode C er numeraire, vil U C være det samme som marginalnytten av inntekt. Det er ofte vanlig å definere en av prisene til å være lik 1. Når vi skriver λ = U C pc så ser vi at λ er en slags nytte-kostnadsbrøk på marginen, hvor U C er marginalnytten og p C er prisen/kostnaden per enhet. Vi kan også formulere Lagrange-funksjonen med indirekte nytte L = V (p C,, I) + λ[i p C C F ] 14

15 Vi har da L = V λc = p C p C L = V λf = p C L I = V I + λ = Plugger vi λ fra siste ligning inn i de to første får vi V = V p C I C C = V / V p C I V = V I F F = V / V I Dette er Roys identitet, som sier at i optimum, så er Marshal etterspørsel lik av marginalnytten av prisen over marginalnytten av inntekt. Indirekte nytte Vi skriver U = U[C(p C,, I), F (p C,, I)] Vi har følgende deriverte mhp I, via C: E(p C,, I) = p C C(p C,, I) + F (p C,, I) U I = U C ( = λ C I + U F F p C C I + I = λp C ) F I = λ E I C I + λp F F I siden λ = MU C /p C. Vi får da: λ = U / E I I = nytte utgift = skyggepris 15

16 5.1 Betalingsvillighet (WTP=B) Anta at vi har følgende nyttefunksjon: U(C, F ). Den totaldifferensierte kan skrives som du = U U dc + df = (8) C F Vi antar at endringene er så små at de ikke påvirker prisene. dc (eller C) sier noe om hvor stor endring vi har i C, og df sier noe om hvor stor endring vi har i F. Nytten endrer seg som en vektet sum av endringer i C og F. Vektene bestemmes av marginalnyttene. Dersom vi f.eks. har lite av et gode (høy marginalnytte) vil det gi stort utslag på endret nytte å endre kvantum av dette godet. Kan vi oversette dette til betalingsvillighet? Betalingsvillighet for en endring ( med tiltak ) definerer vi som summen av penger en må ta vekk fra individet for at individet skal være på nøyaktig det samme nyttenivået som uten endringen ( ingen tiltak ). Det er altså to aspekt. Nyttenivået skal være konstant, dvs du =. Vi tar vekk noe av C hvis en får mer av F, og vica versa. Hvor mye en må ta vekk av C er gitt ved dc, dvs dc = WTP 1F :C. Dersom vi isolerer dc fra ligning (8) over, kan vi skrive U F dc = WTP 1F :C = U C df = U F df = MRS U 1F :C df = B F C som er betalingsvilligheten for en enhet F. Vi kan skrive tilsvarende for en enhets endring i C: U C df = WTP 1C:F = U F dc = U C U F dc = MRS 1C:F dc = B C Dersom vi har lite av C i utgangspunktet, vil betalingsvilligheten av en endring i C være stor siden MU C er høy dersom nivået på C er lavt. Dersom MRS 1C:F = 2 så betyr det at vi er villige til å gi fra oss 2 enheter av F dersom vi får en enhet ekstra av C, gitt av vi skal være på samme indifferenskurve, dvs. ha samme nyttenivå som tidligere. MRS 1C:F representerer den marginale betalingsvillighet for C, og MRS 1F :C representerer den marginale betalingsvillighet for F. Vanligvis vil vi tenke på MRS i antall enheter, men det er ingenting i veien for å måle C og F i sin pengemessige verdi (som kronebeløp), gitt at de relative prisene er konstante, og da vil den marginale betalingsvillighet måles i kroner og ører. Vi har at MRS 1C:F = MWTP C og MRS 1F :C = MWTP F. Generelt i optimum vil MRS være lik det relative prisnivå, dvs MRS 1C:F = MWTP C = p C eller MRS 1F :C = MWTP F = p C. Anta nå at personene må betale et beløp dersom vi øker konsumet av F. Vi kaller 16

17 det beløpet B C. Fra ligning (8) har vi du = U C dc + U F df slik at du U C = B F + U F U C df = B C + MRS 1F :C df = B F + MWTP F df = B C + WTP F = B F + p C df = NB F Vi kan tolke denne ligningen som nettogevinsten (net benefit=nb) ved økt konsum av F, dvs. NB F. Nettogevinsten er gitt ved betalingsvillighet (WTP) minus det en faktisk må betale (B C ), enten i penger eller enheter. Vi har altså at du/u C = NB F. Vi kan endre litt på denne og skrive du = NB F U C = ( p C df B C ) U C (9) Nettogevinst (net benefit) og nettobetalingsvillighet brukes om hverandre. Disse begrepene er proporsjonal til endring i nytte, men som vi ser av ligning (9) ikke det samme som endring i nytte. 17

18 6 Nediskontering av nytte ved flere perioder Anta at neddiskontert nytte over T perioder er gitt ved U T = T t=1 ( ) t 1 1 U(C t ) 1 + ρ hvor vi bare har ett konsumgode C. Anta to perioder; hvor konsumet i de to periodene er gitt ved C 1 og C 2. Vi kan totaldifferensiere nyttefunksjonen: du T = U dc 1 + U du 2 = C 1 C 2 U dc 1 = U dc 2 C 1 C 2 dc 2 = dc 1 U C 1 U C 2 = MU C1 MU C2 = MRS 1C1 :C 2 hvor C 1 er på x-aksen og C 2 er på y-aksen i et C 1 C 2 godediagram. Diskonteringsfaktoren er definert som: 1 + r = MRS 1C1 :C 2, hvor r er diskonteringsraten. Der er rimelig å anta at MRS 1C1 :C 2 > 1, og dermed at r >. Hvis vi ønsker å jobbe med en konkret nyttefunksjon, kan vi anta følgende iso-elastiske nyttefunksjon: U(C t ) = ( ) [ ] 1 1 Ct 1 ɛ = C 1 ɛ 1 ɛ t 1 ɛ hvor ɛ er en inntektsaversjonsparameter. Vi har at ɛ = gir Benthamite og ɛ gir Rawls. Vi har følgende deriverte For den andre perioden har vi U = (1 ɛ) C ɛ 1 C 1 1 ɛ = C ɛ 1 2 U = ( ɛ) C 1 ɛ C1 2 1 ( U C ɛ )( ) 2 1 = (1 ɛ) C 2 1 ɛ 1 + ρ ( ) 2 U 1 = ( ɛ)c 1 ɛ C ρ ( ) 1 = C2 ɛ 1 + ρ 18

19 Forholdet mellom to marginalnytter blir U C 1 U C 2 = C ɛ 1 C ɛ (1 + ρ) = Cɛ 2 (1 + ρ) = C1 ɛ 2 ( C2 C 1 ) ɛ (1 + ρ) = MRS 1C1:C2 som definerer tidspreferansene. ρ er individets marginale tidspreferanserate (MRTP=. Ideen vises i Figur 3. Jo brattere indifferenskurve, desto mer verdsetter vi konsum i dag Figur 3: Tidspreferanser i forhold til i morgen. Vi er med andre ord villig til å gi opp mye av konsum i periode 2 mot å få en ekstra enhet konsum i dag. Dersom ɛ = så vil indifferenskurven være en rett linje i figuren. 3 Dersom ɛ = og ρ = så verdsetter vi konsum like mye i de to periodene, dvs MRS 1C1 :C 2 = 1. Helningen på indifferensekurven vil da være lik 45 graders linjen. Dersom ɛ er stor vil vi foretrekke mye likhet mellom de to periodene. Optimal tilpasning er der hvor vi har tangering mellom markedsrenten (helning: (1 r) og tidspreferanseraten (helning: (1 ρ). (Obs. Det er ikke (1 r) linjen som er tegnet inn i Figur 3. Generelt vil denne kurven være brattere enn 45-graderslinjen som er tegnet inn i figuren.) Vi kan finne et enkelt uttrykk for diskonteringsraten. La g være vektsraten i konsum, dvs 1 + g = C 2 /C 1. Dersom vi tar en Taylor ekspansjon av (1 + g) ɛ = (C 2 /C 1 ) ɛ, så får 3 I det tilfellet vil vi få en hjørneløsning, med alt konsum i periode 1 dersom ρ < r eller alt konsum i periode 2 dersom ρ > r. 19

20 vi at (1 + g) ɛ (1 + ɛg) (vises ikke her). Vi har da at 1 + r = MRS 1C1 :C ( ) 2 ɛ C2 = (1 + ρ) C 1 = (1 + g) ɛ (1 + ρ) = (1 + ɛg)(1 + ρ) = 1 + ρ + ɛg + ɛgρ = 1 + ρ + ɛg dersom vi antar at ɛgρ =. Vi har da at diskonteringsraten er gitt ved r = ρ + ɛg. Diskonteringsraten/-faktoren er gitt ved tidspreferanseraten/-faktoren og produktet av vekstraten i konsum og ɛ (konstant). Bare dersom ɛ = vil tidspreferanseraten være lik diskonteringsraten, som bestemmes av markedsrenta. For videre diskusjon, se Creedy (26) og Boardman et al side 248. Sosial marginal tidspreferanserate Vi kan også formulere en sosial velferdsfunksjon, som vi har gjort tidligere, og utlede forholdet mellom samfunnets avveining av konsum i dag (dagens generasjon) og konsum i framtiden (neste generasjon). Da får vi den sosiale marginale tidspreferanseraten. 2

21 7 Nåverdi over mange perioder Vi starter med følgende nåverdiberegning av et fast beløp over tid hvor T går mot uendelig: NV = = T t=1 R t (1 + r) t R (1 + r) 1 + R (1 + r) 2 + R (1 + r) R (1 + r) T Vi multipliserer med 1 + r og lar T : Vi har da at NV (1 + r) = R (1 + r) (1 + r) + R 1 (1 + r) (1 + r) + R (1 + r) (1 + r) 3 = R R + (1 + r) + R 1 (1 + r) = R + NV NV (1 + r) NV = R NV = R r Starter i periode : Dersom vi starter i periode, får vi: NV = = T t= R t (1 + r) t R (1 + r) + R (1 + r) + R 1 (1 + r) R 2 (1 + r) T Vi multipliserer med 1 + r og får NV (1 + r) = R (1 + r) (1 + r) + R (1 + r) (1 + r) + R 1 (1 + r) (1 + r) R (1 + r) 2 (1 + r) T = R R(1 + r) + (1 + r) + R +... = R(1 + r) + NV (1 + r) 1 NV = R(1 + r). r 21

22 Vi har altså at T t=1 1 T (1 + r) = t 1 1 (1 + r) t dt = 1 r når T. Dersom renten blir beregnet kontinuerlig kan vi skrive 1 (1+r) t = 1 e rt = e rt, fordi det kan vises at lim n (1 + r nt )nt = e rt når n er antall ganger renten blir beregnet per år. Vi har da: T e rt dt = 1 r e rt T = 1 r e rt ( 1 r ) = 1 r (1 e rt ). som blir 1/r når T. Vekstrate g Anta nå at inntektene vokser over tid med en vekstrate g. Vi har da NV = T t=1 R t (1 + g) t (1 + r) t På samme måte som at 1 (1+g) t (1+r) t T = egt e rt (1+r) t = 1 = e (r g)t. Vi har da: e (r g)t dt = 1 r g e (r g)t som blir 1/(r g) når T. T e rt = e rt, har vi at (1 + g) t = e gt. Vi har da at = 1 r g e (r g)t ( 1 r g ) = ( 1 r g )(1 e (r g)t ). 22

23 8 Beslutningsregel og NNV med integralregning Se Gines de Rus, Gines (211): The BCA of HSR: Should the Government Invest in High Speed Rail Infrastructure? For at et prosjekt skal være lønnsomt må følgende betingelse være oppfylt: T B(Q)e (r g)t dt > I + T C f e rt dt + T C q (Q)e (r g)t dt hvor Q = kvantum, f.eks. passasjer-reiser B(Q) = årlige fordeler av prosjektet C f = årlige faste vedlikeholds- og driftskostnader C q (Q) = årlige vedlikeholds- og driftskostnader som er avhengig av Q r = sosial diskonteringsrate g = årlig vekst i fordeler og kostnader Vi kan konkretisere fordelene ved prosjektet på følgende måte: T B(Q)e (r g)t dt = + T N i=1 [ν(τ 1 τ )Q + C C ](1 + α)e (r g)t dt (1) T δ i (q 1 i q i )e (r g)t dt hvor ν = (gjennomsnittsverdien) av tid τ = tidsbruk uten investeringen τ 1 = tidsbruk med investeringen Q = avledet etterspørsel etter HSR første året C C = årlig variabel kostnad for konvesjonell reise α = andel ekstra passasjerer med prosjeket δ i = distortions i andre markeder (i), hvor det er i alt N markeder i økonomien qi qi 1 = likevektsetterspørsel i marked i uten prosjektet = likevektsetterspørsel i marked i med prosjektet Det siste uttrykket i ligning (1) er de indirekte effektene fra andre markeder. 23

24 Forenklet eksempel Vi gjennomfører prosjektet dersom følgende betingelse er oppfyllt: T [B(Q) C q (Q)]e (r g)t dt Vi antar r > g og løser ligningen. Vi får da ( B(Q) Cq (Q) r g Hvis vi deler på I og omarbeider ligningen får vi: ( ) ( ) B(Q) Cq (Q) r g > + I 1 e (r g)t som kan forenkles videre dersom T. T C f e rt dt > I ) ( ) (1 e (r g)t Cf ) (1 e rt ) > I r ( Cf I )( )( r g 1 e rt ) r (1 e (r g)t ) Indirekt effekter Hvilke indirekte effekter skal inkluderes i en CBA. Svaret ligger i uttrykket: N i=1 T δ i (q 1 i q i )e (r g)t dt Dersom alle markedene er kompetitive og upåvirket av skatter og subsidier, vil δ =. For at vi skal inkludere andre markeder i CBA må vi ha markedssvikt i disse markedene (arbeidsledighet, eksternaliteter, skatter, subsidier, markedsmakt, og andre forhold som gjør av SMC ikke er lik WTP i likevekt). hvor En alternativ måte å se det på er følgende: T p H (p A c A )q A ɛ AH e (r g)t dt p H p A = full/generalisert pris i alternativt marked c A = MC i alternativt marked q A = etterspørsel i alternativt marked ɛ AH = krysspriselastisitet i alternativt marked p H = full/generalisert pris i markeded vi ser på (HSR) 24

25 9 Betalingsvillighet: revealed and stated preferences 1 Skatter i CBA Lekkasje = Effektivitetstap/Skatteproveny 25

26 11 Sosial velferdsfunksjon Vi skriver den sosial velferdsfunksjonen på generell form som W = W (U 1, U 2,..., U N ) Den totaldifferensierte av denne er gitt ved dw = W U 1 du 1 + W U 2 du W U N du N = W 1dU 1 + W 2dU W NdU N (11) hvor W i er sosiale vekter i den sosiale velferdsfunksjonen. du 1 er totalendringen i nytte (målt i kroner). Denne kan dekomponeres i henhold til ligning (9). Vi kan derfor skrive ligning (11) over som dw = W 1 U 1 NB 1 + W 2 U 2 NB W N U N NB N = N N (W i U i NB i ) = (W i λp NB i ) i=1 dvs at endringen i sosial velferd av en endring er gitt som et veid snitt av nettogevinsten, hvor vekten er gitt ved W i U i, dvs. velferdsvekt og marginalnytte. i=1 Velferdsfunksjon med ulikhetsaversjon En litt mer konkret velferdsfunksjon kan se slik ut W = 1 1 ɛ N i=1 [ N ] 1 U 1 ɛ i = U 1 ɛ 1 ɛ i i=1 hvor ɛ er en inntektsaversjonsparameter hvor ɛ = gir Benthamite og ɛ gir Rawls. Hva om W = i U i hvor U i = 1 1 ɛ I1 ɛ i U i I i 2 U i Ii 2. Vi har følgende deriverte: = (1 ɛ) I ɛ i 1 ɛ = I ɛ i = ɛi 1 ɛ i 26

27 Forholdet mellom to marginalnytter blir U 1 I 1 U 2 = λ 1 = I ɛ 1 λ I 2 2 I2 ɛ = Iɛ 2 I ɛ 1 = ( ) ɛ I2 I 1 som er en slags MRS, som sier noe om det inntektsmessig bytteforhold mellom to personer gitt at vi skal være på samme velferdsnivå. Uttrykket viser helningen på den sosiale velferdsfunksjonen. Vi kan definere velferdsvekten i forhold til et gitt nivå (f.eks. medianinntekten). Dersom person 1 har en inntekt under medianinntekten, vil vekten være større enn 1. For høye inntekter vil vekten være liten, og personen vil telle lite i den sosiale velferdsfunksjonen. Dersom I 2 = 2I 1 og ɛ = 1, 5, så er det nødvendig bare å gi person 2 35% ekstra i inntekt hvis vi tar 1 enhet fra person 1 for å være på samme iso-velferdskurve. Vi sier da at lekasjonen er 65%. Dersom ɛ = 1 vil en lekasje på 5% tolereres (leaking bucket). Dersom ɛ = vil bytteforholdet alltid være 1:1. 12 Skyggepriser Nyttemaksimering gir opphav til noen førsteordensbetingelser som indikerer optimal tilpasning. Prismekanismen sikrer at vi oppnår denne tilpasningen. I mange tilfeller har vi ikke vanlig fungerende markeder hvor relative priser er sentrale. Vi kan likevel tenke oss en sosial planlegger løse ulike optimeringsproblem. Alle ressurser har en alternativ verdi, ved at vi kan oppnå noe ved å bruke ressursene på noe annet som generer nytte og dermed betalingsvillighet. I tillegg er det oftes slik at vi har markedssvikt som gjør at vi ikke kan oppnå first-best tilpasningen, f.eks. ved at vi har skatter for å finansiere offentlige goder. Skyggepriser er priser vi ikke observerer men som sier noe om hva prisene ville ha vært i et marked. Vi snakker om priser på arbeid, kapital og offentlig finansiering. 13 Betalingvillighet og enkel integralregning Vi ser på en enkel modell med ett konsumgode C. Vi antar at C er en liten del av det totale konsumet, slik at vi kan ignorere inntektseffekter (Hicks og Marshal etterspørselsfunksjoner er tilnærmet identiske). Formålet er å repetere litt enkel integralregning. Vi holder formue og alle priser konstante og antar følgende etterspørselsfunksjon: Q = 6 P. 27

28 Dersom, for eksempel, prisen på C er 2, vil konsumentene kjøpe 6 2 = 4 enheter av C. I dette eksempelet regner vi ikke på nytte, men på betalingsvillighet (WTP), siden den kan utledes fra (den kompenserte) etterspørselsfunksjonen. WTP er arealet under etterspørselskurven. Med lineære etterspørselskurver er det enkelt å regne ut disse arealene, og vi bruker enkel integralregning. Vi kan invertere etterspørselskurven slik at vi får pris som funksjon av kvantum: P = 6 Q. Det betyr at betalingsvilligheter for en C er 59, for to C 58, osv. Hvor mye er de villig til å betale for Q enheter av C? Svaret er gitt ved arealet under etterspørselskurven: Q WTP(Q) = P (Q) Q = (6 Q)dQ = 6Q Q2 2 + c Betalingvilligheten for f.eks. 4, 2 og 19 enheter er gitt ved: WTP(4) = 6Q Q2 2 + c WTP(2) = 6Q Q2 2 + c WTP(19) = 6Q Q2 2 + c Q Q Q Q = /2 = c c = 1, 6 = /2 = c c = 1, = /2 = , 5 + c c = 959, 5 Når vi ser på Figure 4 under, så ser vi hvordan arealet lett kan regnes ut ved f.eks. Q = 4 ved å kombinere arealet av det nederste rektangelet (4 2) og trekanten over (4 4/2), som blir 16. Hvis prisen er 2 vil konsumentoverskuddet bli 8. Marginal betalingsvillighet er gitt ved f.eks. WTP(2)-WTP(19)=4,5, som nettopp er den (inverse) etterspørselskurven. Regneeksempel Q = 4 P Hva blir WTP for kvantum lik 4, 2 og 19 når Q = 4 P, og hva blir MWTP? 28

29 Figur 4: Etterspørselskurve og betalingsvillighet for P = 6 Q 14 Notasjon til tiltaksevaluering og empirisk spesifikasjon Størrelsene Y 1 og Y i tiltaksevaluering Størrelsene Y 1 og Y spiller en viktig rolle i tiltaksevalueringslitteraturen. Vi kan tenke på 1 og som to tilstander; 1 indikerer med tiltak og indikerer uten tiltak. Y 1 viser utfallet (inntekt, helse, formue, forurensning, makroøkonomiske størrelser, etc) med tiltak og Y viser utfallet uten tiltak, uten å vise til hvem som faktisk har deltatt på tiltak. Y 1 og Y er altså potensielle utfall, og er de første størrelsene i det som går under betegnelse potential outcome model eller Rubin model. Y 1 kan være livtidsinntekt med en mastergrad i samfunnsøkonomi, og Y kan være livtidsinntekt uten en mastergrad i samfunnsøkonomi, men for eksempel med en bachelorgrad i samfunnsfag. Effekten av en mastergrad i samfunnsøkonomi for individ i kan vi skrive som Y 1 i Y i. Vi kan ikke observere disse to størrelsene samtid for individ i. Vi er derfor interessert i å estimere en tiltakseffekt: E(Y 1 i Y i ). En måte å finne effekten av tiltaket på er å randomisere. En vil da få en kausal tolkning av koeffisienten en er interessert i å estimere. Vi har E(Yi 1 Yi ) = E(Yi 1 D i = 1) (Yi D i = ) = α 1 fra regresjonen Y i = α + α 1 D i + ɛ i, dersom E(ɛ i D i ) =. 4 Når det er snakk om å finne effekten på inntekt av å ta en mastergrad i samfunnsøkonomi sier det seg selv at randomisering ikke er et aktuelt forskningsdesign. Hovedformålet med empirisk analyse er å kontrollere for utelatte variabler siden disse gir opphav til 4 Dersom vi har med andre bakgrunnsvariabler så trenger vi ikke å anta at E(ɛ i X i, D i ) =, men vi trenger å anta at E(ɛ i X i, D i ) = E(ɛ i X i ). Forklar hvorfor. Vi kan videre spesifisere E(ɛ i X i ) som en lineær additiv funskjon, dvs E(ɛ i X i ) = γx i. 29

30 forventningsskjeve estimat. Utelatte variabler, samt omvendt kausalitet og målefeil, gjør at vi ikke kan tolke resultatene våre som kausaleffekter. Moderne empirisk studier vil vanligvis ha en avhengig variabel som hovefokus (tiltak) og bruke empirisk design (DD, FE, IV, RD, etc.) slik at effekten kan tolkes kausalt. Hovedformålet med empirisk analyse er ikke å finne den korrekt spesifiserte modellen, men å ta hensyn til utelatte variabler og andre økonometriske problem slik at at effektkoeffisientene kan tolkes kausalt. Den korrekt spesifiserte modellen er en teoretisk størrelse som ikke er så interessant å diskutere i empirisk analyse. Kontrafaktiske størrelser: E(Y D = 1) Forventning og betinga forventning ( gjennomsnitt ): E(Y ) E(Y D = 1) E(Y D = ) Regresjonsanalyse: Y it = α + α 1 D it + ɛ it Kontrafaktiske størrelser: E(Y 1 D = 1) = utfall til de som har deltatt på tiltak E(Y D = 1) = utfall til de som har deltatt på tiltak (D = 1), hadde de ikke deltatt på tiltak (Y E(Y 1 D = ) = utfall til de som ikke har deltatt på tiltak (D = ), hadde de deltatt på tiltak (Y 1 E(Y D = ) = utfall til de som ikke har deltatt på tiltal hvor E(Y D = 1) og E(Y 1 D = ) er kontrafaktiske størrelser. Teoretisk korrekt tiltakseffekt: = E(Y 1 D = 1) E(Y D = 1) som vi gjerne kan kalle within-estimator fordi vi bare ser på personer som har deltatt på tiltak (sammenligner eple-mot-eple). Empirisk estimering av tiltakseffekt: = E(Y 1 D = 1) E(Y D = ) = (α + α 1 ) α = α 1 3

31 Et viktig spørsmål relatert til empirisk design og metode er følgende: Hva må til for at E(Y D = ) = E(Y D = 1)? Er det rimelig å anta at E(Y D = 1) > E(Y D = ), dvs at vi har positiv seleksjon inn på tiltak? Hva ville du ha hatt i inntekt dersom du ikke hadde tatt en master i samfunnsøkonomi, og hva har de som bare har en bachelorgrad i samfunnsøkonomi i inntekt? Differanse-form: Bruker en periode før og en periode etter I dette tilfellet er D en tidskonstant indikatorvariabel, som tar verdien 1 dersom en person tilhører tiltaksgruppen. En person er i tiltaksgruppen dersom hun på ett eller annet tidspunkt deltar på tiltak. Dersom en person aldri deltar på tiltak er hun i sammenligningsgruppen med D =. Den empiriske implementeringen vil ikke inkludere D i estimeringsligningen direkte, men det kommer vi tilbake til. Tiltakseffekten er differansen i utfallsvariabelen for tiltaksgruppen minus differansen i utfallsvariabelen for sammenligningsgruppen, hvor ingen mottar tiltak i t = 3, mens noen gjør det i t = 4: T E = [E(Y 1 t=1 D = 1) E(Y t= D = 1)] [E(Y t=1 D = ) E(Y t= D = )] = E(Y 1 t=1 D = 1) E(Y t=1 D = 1) Utfallsvariabelen for tiltaksgruppen skrives som Yt 1 i perioder etter tiltaket, i dette tilfellet mellom periode og 1, og Yt i perioder før tiltaket. For sammenlingningsgruppen vil vi alltid skrive Yt. Modellen på regresjonsform Vi dropper bakgrunnsvariabler (X it ). T = 1 hvis periode 1, og T = hvis periode, slik at dette blir en dummyvariabel. Regresjonsmodellen blir: Y i,t = α + α 1 T + α 2 D i + α 3 (T D i ) + ɛ i,t Vi antar at tidseffektene er de samme for de to gruppene. Fra: T E = [E(Y 1 t=1 D = 1) E(Y t= D = 1)] [E(Y t=1 D = ) E(Y t= D = )] = E(Y 1 t=1 D = 1) E(Y t=1 D = 1) 31

32 har vi at T E 2 = α 3. Generelt må vi anta (eller teste) at trendene før tiltaket for de to gruppene er like, se Figur 5. Figur 5: Differanse-i-differanse metode 32

33 15 Estimering av etterspørsel og konsumentoverskudd Vi har to likninger (etterspørsel og tilbud) som er bestemt i et system som følger y 1 = α 1 y 2 + β 1 z 1 + u 1 (12) y 2 = α 2 y 1 + β 2 z 2 + u 2 (13) hvor fokus er på ligning (12), som er etterspørselsfunksjonen. En viktig forutsetning i regresjonsanalyse er at E(u 1 z 1, y 2 ) =. Det betyr at feilleddet må være ukorrelert med de observerte variablene z 1 og y 2. For enhver verdi av z 1 og y 2, så må feilleddet ha samme forventningsverdi. Dette er en viktig forutsetning for forventningsrette/konsistente estimat. Når y 2 er endogent bestemt fra ligning (13), er dette ikke tilfellet. Vi får da simultanitetsskjevhet. Identifikasjonsproblemet er illustrert i figur 6. Figur 6: Identifikasjonsproblem Simultanitetsskjevhet Dersom y 2 er bestemt av likning (13) vil α 1 ikke være forventningsrett eller konsistent i likning (12). For å se det plugger vi høyresidevariabelen y 1 fra likning (12) inn for y 1 i likning (13). Vi får da y 2 = α 2 (α 1 y 2 + β 1 z 1 + u 1 ) + β 2 z 2 + u 2 = α 2 α 1 y 2 + α 2 β 1 z 1 + α 2 u 1 + β 2 z 2 + u 2 33

34 som vi skriver som y 2 (1 α 2 α 1 ) = α 2 β 1 z 1 + β 2 z 2 + α 2 u 1 + u 2 For å løse for y 2 må vi anta at α 2 α 1 1. Vi dividerer med (1 α 2 α 1 ) for å isolere y 2 y 2 = ( α2 β 1 1 α 2 α 1 ) ( z 1 + β 2 1 α 2 α 1 ) ( ) ( α2 z 2 + u α 2 α α 2 α 1 ) u 2 (14) som vi skriver som y 2 = = ( ) ( ) ( ) α2 β 1 β 2 α2 u 1 + u 2 z 1 + z α 2 α 1 1 α 2 α 1 1 α 2 α ( ) ( ) 1 α2 β 1 β 2 z 1 + z 2 + ν 2 1 α 2 α 1 1 α 2 α 1 eller y 2 = π 21 z 1 + π 22 z 2 + ν 2. (15) Likning (15) er en likning på redusert form, i motsetning til likning (12) og (13) som er strukturelle likninger utledet fra økonomisk teori. Parametrene π 21 og π 22 er redusert form parametre, i motsetning til α 1 og α 2 som er strukturelle parametre. I likning (15) har vi at y 2 er en funksjon av u 1, se ligning (14), noe som bryter med forutsetningen om at E(u 1 z 1, y 2 ) =, noe som er viktig for estimering av ligning (12). Fra ligning (14) kan vi se at α 1 og β 1 i likning (12) generelt er forventningsskjeve siden vi får forventningsrette estimat av α 1 i ligning (12) bare dersom y 2 er ukorrelert med u 1. Bare dersom α 2 = og u 1 og u 2 er ukorrelerte, vil korrelasjonen mellom y 2 og u 1 være lik null. Det er vanskelig å si hvor stor forventningsskjevheten blir når vi har flere variabler med i modellen. Dersom vi reduserer antall variabler, dvs kutter ut z 1 og z 2 i ligning (12) og (13) så kan vi finne forventningsskjevheten som følge av simultane ligninger. Vi 34

35 har, fra ligning (14) at ( ) α2 u 1 + u 2 Cov(y 2, u 1 ) = Cov(ν 2, u 1 ) = Cov, u 1 1 α 2 α ( ) 1 α2 = Var(u 1 ) 1 α 2 α ( 1 ) α2 = E(u 2 1 α 2 α 1) ( 1 ) α2 = σu 2 1 α 2 α 1 1 hvor variansen til u 1 alltid er større enn. Vi har at skjevheten i estimatet til α 1 er bestemt av fortegnet på α 1 og α 2. Dersom α 1 α 2 < 1 og α 2 > så er skjevheten positiv, og α 1 blir overestimert i likning (12) i forhold til sin sanne verdi. Dersom α 1 α 2 > 1 og α 2 > så er skjevheten negativ, og α 1 blir underestimert i likning (12) i forhold til sin sanne verdi. Vi kan selvfølgelig også se på korrelasjonen mellom y 2 og u 1 Corr(y 2, u 1 ) = Cov(y 2, u 1 ) σ u1 σ y2 = = ( α2 ) σ 2 u1 1 α 2 α 1 σ u1 σ y2 ) σu1. 1 α 2 α 1 σ y2 ( α2 Intuitivt er det ikke vanskelig å tenke seg hvorfor vi får et forventningsskjevt estimat på α 1 i likning (12). Dersom feilleddet i likning (13) endrer seg, ved at vi får en endring i en av de uobserverte variablene som påvirker tilbudt kvantum, vil vi få et skift i tilbudskurven, som sammen med etterspørselskurven gir en ny likevektspris og kvantum. Prisen i etterspørselsfunksjonen i likning (12), y 2, vil dermed endres som følge av endringer i tilbudet. y 2 blir dermed endogen, og endogenitet gir opphav til forventningsskjevhet. Løsningen på problemet med forventningsskjev/inkonsistent MKM estimator ved simultane ligninger er instrumentvariabelmetoden (IV). Det er viktig i modeller med simultane ligninger (SEM) at utfallet i de to ligningene blir påvirket eller bestemt av ulike økonomiske aktører. I eksempel gitt i ligning (12) og (13) vil dette opplagt være tilfelle siden etterspørselen bestemmes av konsumentene, mens tilbudet bestemmes av produsentene. 35

36 Inkonsistent estimator ved SEM Anta følgende simultane ligninger y 1 = α 1 y 2 + u 1 og y 2 = α 2 y 1 + β 2 z 2 + u 2. Da er ˆα 1 = = n i=1 (y i2 ȳ 2 ) y i1 n i=1 (y i2 ȳ 2 ) 2 n i=1 (y i2 ȳ 2 ) (α 1 y 2 + u 1 ) n i=1 (y i2 ȳ 2 ) 2 = α 1 + n i=1 (y i2 ȳ 2 ) u 1 n i=1 (y i2 ȳ 2 ) 2 og plim ˆα 1 = α 1 + Cov(y 2, u 1 ) Var(y 2 ) ( ) α2 = α α 2 α 1 Var(u i) Var(y 2 ) Inkonsistensen er mao avhengig av fortegnet på α 1 og α 2 siden variansen alltid er større enn null. Anta at < α 1 α 2 < 1, slik at vi har positiv skjevhet. Da vil økt α 1 gi økt skjevhet. Økt α 2 gir også økt skjevhet. 16 Instrumentvariabelmetoden Vi har følgende ligning y = β + β 1 x + u, (16) som en forenklet etterspørselsligning. Den viktige forutsetning i regresjonsanalyse er E(u x) = i små utvalg, eller Cov(u, x) = i store utvalg. Vi ser nå på tilfellet hvor Cov(u, x). IV metoden baserer seg på at vi kan identifisere effekten av x på y via en instrumentvariabel z som tilfredsstiller følgende to kriterier Cov(u, z) =, (17) 36

37 Cov(x, z). (18) Det første kriteriet sier at z er uavhengig av feilleddet u. Vi kan tenke på z som endring i tilbudskurven. Instrumentvariabelen z ikke skal være korrelert med uobserverbare forhold på etterspørselssiden. Variabelen z skal med andre ord ikke ha noen direkte effekt på y gitt at vi kontrollerer for x. Det andre kriteriet sier at det skal være en korrelasjon mellom x (den endogene variabelen) og z (instrument-variabelen). Dette kriteriet kan enkelt testes ved at vi kjører følgende regresjon x = π + π 1 z + v, (19) og tester for om π er signifikant forskjellig fra null. Vi husker at π 1 = Cov(z,x) Var(z) linken til ligning (18) er klar. Hvordan estimerer vi β 1 ved bruk av instrumentvariabelmetoden? Vi har slik at Cov(z, y) = Cov(z, β + β 1 x + u) = Cov(z, β ) + β 1 Cov(z, x) + Cov(z, u), noe som gir β 1 = Cov(z, y) Cov(z, x), (2) siden vi antar at Cov(z, u) =. Husk at Cov(z, β ) = siden β er en konstant. Dette er populasjonsstørrelser. For å finne estimatoren erstatter vi populasjonsstørrelsene med sine respektive utvalgsstørrelser. Estimatoren er da gitt ved ˆβ 1 = n i=1 (z i z)(y i ȳ) n i=1 (z i z)(x i x), (21) som gir oss helningen på etterspørselsfunksjonen. IV estimatoren er konsistent men ikke forventningsrett. Det er derfor viktig å ha store utvalg ved bruk av IV-metoden. Implementering av IV: 2SLS Anta at vi har to ligninger, nå med en vektor av bakgrunnsvariabel X. y = α X + β 1 x + u (22) x = α X + π 1 z + v, (23) 37

38 Vi kan substituere inn for x y = α X + β 1 x + u = α X + β 1 [α X + π 1 z + v] + u = α X + β 1 [α X + π 1 z] + (u + v) = α X + β 1ˆx + u 2. Vi har her at ˆx = α X + π 1 z er den predikerte verdien av x i ligning (23). IV kan derfor implementeres veldig enkelt: Istedenfor å bruke den endogene variabelen x i estimeringsligningen (22), bruker vi den predikerte verdien av x, dvs ˆx. Vi vil da få en kausal tolking av β 1. 38