Løsningsforslag til eksamen i 2200, mai 06

Transkript

1 Løsningsforslag til eksamen i 00, mai (a) f (K) = (1 K )( K) = 4K(1 K ), ved kjerneregelen. (llers kan en multilisere ut og så derivere.) (b) dy/dt = F 1(K, t)(dk/dt) +F (K, t) = F 1(K, t)( rk 0 e rt )+F (K, t) = rk 0 e rt F 1(K, t)+f (K, t). Når F (K, t) =K(t + a) 1/ der K = K 0 e rt,får vi dy/dt = rk 0 e rt (t + a) 1/ + K 0 e rt (1/)(t + a) 1/ = K 0 e rt [ r(t + a) 1/ +(1/)(t + a) 1/ ] Vi ser at dy/dt =0når (1/)(t + a) 1/ = r(t + a) 1/, dvs. r(t + a) =1/, slik at t = a +1/r. (c) Imlisitt derivasjon mh. K gir K L 3 K3L (dl/dk)+8(dl/dk) =0. I unktet (K, L) =(1, ) får vi 8 1(dL/dK)+8(dL/dK) = 0, og dermed er dl/dk = 3/.. (a) Bedriftens rofitten er gitt ved π(, y) = A + B y (K A + K B ) = (900 y) + (1400 4y)y ( y ) = 3 10y 4y y (b) De nødvendige betingelsene for maksimal rofitt er gitt ved (i) π (, y) = 6 4y = 0 (ii) π y(, y) = 0y = 0 Vi finner at løsningene av disse to likningene er = 100 og y = 50. Videre er π (, y) = 6, π y(, y) = 4, π yy(, y) = 0 Siden π (, y) = 6 0, π yy(, y) = 0 0ogπ (, y)π yy(, y) (π y(, y)) =( 6)( 0) ( 4) = 104 0, er (, y) = (100, 50) et (globalt) maksimumsunkt. (Vi finner at π(100, 50) = , men de er ikke bedt om å regne ut rofitten.) (c) Problemet blir nå maks 3 10y 4y y når + y =60 Lagrangefunksjonen er L(, y) = 3 10y 4y y λ( + y 60), og første-ordensbetingelsene for løsning av roblemet er: (i) L (, y) = 6 4y+800 λ = 0 (ii) L y(, y) = 0y λ =0 liminerer vi λ fra de to likningene, får vi 6 4y+800 = 0y , eller +8y = 300. Sammen med bibetingelsen gir det to likninger med to ukjente. Vi 00emf

2 finner løsningen = 0, y = 40. (Vi finner at den tilhørende rofitten er , men de er ikke bedt om å regne ut rofitten.) Annenordensbetingelser for Lagrangeroblemet er ikke ensum, så vi bør ikke trekke noe for dem som nøyer seg med å finne =0ogy = 40. De som etter å ha brukt Lagranges metode (som de blir bedt om) gjør roblemet om til et envariabelroblem og viser at vi virkelig har funnet maksimum, bør få et ekstra luss. (ˆπ() =π(, 60 ) og vi finn her at ˆπ () = = 0 for = 0. Dessuten er ˆπ () = 18 < 0, så = 0 maksimerer rofitten.) 00emf

3 Sensorveiledning til ogave 3 (a) De beste kandidatene vil kanskje utlede tilbudskurven til den enkelte bedrift, og vise hvordan man aggrerer for å finne markedets tilbud. n enklere variant vil være å osutlere stigende marginalkostnader og vise/begrunne at rofittmaksimering gir = c'( ). Dette gir en stigende sammenheng mellom og siden c''( ) > 0. Bedriften vil bare rodusere sålenge risen ligger over minimum av gjennomsnittskostnadene. (b) La ettersørselkurven for roduktet være gitt ved = ( ), og tilbudskurven ved = ( ). Likevektris og kvantum er bestemt ved = ( ) = ( ). (c) Når rodusenten må betale en avgift a er enhet blir netto rodusentris lik -a, og tilbudsfunksjonen er dermed = ( a). Ved å invertere får vi 1 = ( ) + a, dvs tilbudskurven skifter oover (vertikalt) med avstand a. Likevektsmarkedsrisen (=konsumentris) er gitt ved ( a) = ( ). Imlisitt derrivasjon mh a gir : d '( a) 1 = = da '( a) '( ) '( ) 1 '( a) (1) Ved å se å endringen med utgangsunkt i a=0, og bruke at kan vi skrive om dette uttrykket til = = i likevekt d da 1 = l 1 l > 0 (1) Siden l < 0 er brøken i nevner ositiv, og d 0 1. Vi ser at d/da er da mindre jo høyere l l er, dvs jo mer risfølsom ettersørselen er i forhold til tilbudet. Noen ekstremtilfeller: Ved uendelig elastisk ettersørsel er d 0 da =, dvs

4 rodusentene bærer hele avgiften. Det samme gjelder dersom tilbudet er helt uelastisk. Ved helt uelastisk ettersørsel er d da = 1 dvs forbrukerne betaler hele avgiften. (Dersom tilbud eller ettersørsel er helt uelastisk har avgiften ingen effekt å omsatt kvantum av roduktet.) ndel av studentene vil ikke få til imlisitt derrivasjon, men vil muligens klare en brukbar figurdrøfting. Dette bør gi oeng, selv om det ikke kan bli full ott. d (d) Vertikal tilbudskurve innebærer at tilbudselastisiteten er uendelig, slik at 1 da =, dvs forbrukerne betaler hele avgiften. Omsatt kvantum går ned når ettersørselkurven er fallende. Om årsaker til horisontal tilbudskurve å lang sikt: Dette er en liten test å om studentene klarer å tilegne seg noe stoff selv. ilbudskurven å lang sikt har ikke vært gjennomgått å forelesning, bortsett fra at det har vært snakket litt om konstante enhetskostnader å lang sikt. Det står imidlertid endel i ensum (Varian Inermediate). Man bør ikke forvente mer enn noen enkle, fornuftige resonnementer. Sensorveiledning til ogave 4 (a) = (1 t) wl + S Ved å sette inn l = f og omorganisere får vi (1 t) w = f + w(1 t) + S d (1 t) w Helningen langs budsjettlinja er =. Denne sier hvor mye en enhet fritid df koster, målt i enheter av forbruksgodet. (b) Indifferenskurve: De kombinasjoner av og f som gjør at individet er å samme nyttenivå. Dvs individet er indifferent mellom kombinasjoner av og f som ligger langs en indifferenskurve. Helning langs en indifferenskurve er d U f (, f) =. df U (, f ) Helningen sier hvor mye individet er villig til å ogi av forbruksgodet for å få en

5 enhet mer fritid, for gitt nyttenivå. Vi antar at helningen blir slakere langs en indifferenskurve, dvs d > 0. df (c) Maksimering av U(,f) gitt budsjettbetingelsen (ved hjel av Lagrange, evt ved innsetting) gir oss de to førsteordensbetingelsene U f (, f) (1 tw ) = (1) U (, f) (1 tw ) w+ S = f + () (1) og () gir oss individets otimale valg, f som funksjoner av de eksogene størrelsene w,t, og S, dvs = wts (,,, ) og f = f( w, t,, S). Hvis man skulle vise effekten av en risendring analytisk ville det være mer formålstjenlig å skrive f = f ((1 t) w,,(1 t) w +S ) og tilsvarende for, dvs ettersørselen som funksjon av ris å fritid, ris å forbruksgodet og eksogen inntekt. Det forutsettes imidlertid ikke at studentene kan vise substitusjons og inntektseffekter av risendringer analytisk, dvs ved hjel av Slutskylikningen, men bare at de kan vise og forklare effektene å en figur. (d) Substitusjons- og inntektseffekten av en økning i t drøftes i en figur. Hvis vi antar at både og f er normale goder vil inntektseffekten trekke i retning av mindre fritid, og dermed økt arbeidstilbud når t økes. Substitusjonseffekten trekker derimot i retning av mer fritid (relativt billigere) og dermed lavere arbeidstilbud. Vi kan ikke si noe generellt om hvilken effekt som er sterkest, og dermed om arbeidstilbudet vil øke eller avta som følge av skatteøkningen. For fobruksgodet trekker inntekts- og substitusjonseffekten i samme retning: skatteøkningen gjør godet relativt dyrere og lavere inntekt reduserer ettersørselen etter godet.

6 U (e) Helningen langs en indifferenskurve blir nå U f (, f) = c'( f). Siden (, f) f =l kan c'( f ) tolkes som marginalkostnaden av arbeidsinnsats. (1 tw ) Førsteordensbetingelsen (1) blir dermed c'( l) =, dvs marginalkostnaden av arbeidsinnsats skal være lik gevinsten av økt arbeidsinnsats. Dette innebærer at tilbudet av arbeid er en funksjon bare av risen å fritid, (1 tw ) l = l, dvs arbeidstilbudet er uavhengig av inntektsnivå. Det er vanlig å anta at både fritid og forbruksgodet er normale, dvs øker med inntekten men dette gjelder ikke for fritid med denne sesielle nyttefunksjonen. n eksogen inntektsøkning, for gitt ris å fritid, vil bare slå ut i økt forbruk av forbruksgodet. Arbeistilbudskurven er stigende for et individ som har denne nyttefunksjonen. n økning i w eller en reduksjon i t gir økt arbeidstilbud. Virkningen av en økning i t finner vi ved imlisit derrivasjon å førsteordensbetingelsen. Dette gir dl dt w = < 0 c '' (f) Ogaver av liknende tye har ikke vært gjennomgått hverken å forelesninger eller seminarer, så en god del vil trolig ikke få til noe særlig. Det bør være mulig å onå A allikevel, dersom de andre unktene er A-nivå. Vi setter S=0. Budsjettbetingelsen blir nå (1 tqgha ) ( ; ) (1 tqg ) ( f; A) = = Helningen langs en budsjettkurve er d qgh ( f ; A) = < 0. df Vi ser at d (1 t) q = G hh ( f ; A df ) < 0. Maksimering av nytten gitt budsjettkurven gir førsteordensbetingelsene U f (1 tq ) = G h( f ; A ) () U

7 Denne sier at det individet er villig til å avstå av forbruksgodet for å få en enhet mer fritid skal være lik det en enhet mer fritid koster i redusert netto salgsinntekt (h.s.) Sammen med budsjettbetingelsen gir () oss to likninger til å bestemme otimal mengde av fritid og forbruksgodet. Dermede er også otimalt antall arbeidstimer bestemt. n økning i individets talent gjør at risen å fritid øker samtidig som individets inntekt øker for gitt arbeidsinnsats. Budsjettkurven flyttes utover samtidig som den blir brattere for enhver f. Økt A har altså en substitusjons- og inntektseffekt jfr en lønnsøkning i tilfellet med gitt timelønn og vi kan ikke si noe generellt om effekten av økt talent å valg av fritid og forbruk.