Kort introduksjon til bølger i hav og atmosfære 1

Transkript

1 Kort introduksjon til bølger i hav og atmosfære 1 Helge Drange Vår 2014 Kommentarer til helge.drange@gfi.uib.no Oppdatert 15. mai Bølger i hav og atmosfære Bølger betegner fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som energi, uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten. Dette i motsetning til for eksempel geostrofisk balanse og ageostrofisk strøm i atmosfære og hav som alltid er knyttet til adveksjon av masse. Følgelig kan et bølgesignal forplantes uten eller med liten påvirkning av jordrotasjonen, selv om forplantningshastigheten kan være svært stor. Dette i motsetning til adveksjon av masse som alltid vil være påvirket av Corioliseffekten og som skalerer lineært med væskeelementets hastighet. En generell gjennomgang av sentrale egenskaper til bølger er gitt i appendiks. 2 Utledning av gruntvannsligningene 2.1 Utgangspunkt og konfigurering Utgangspunktet for gruntvannsligningene er standard form av horisontal momentumligning u t + u u x + v u fv = 1 ρ v t + u v x + v v + fu = 1 ρ og kontinuitetsligningen (hvor u = (u, v, w)) p x + F x (1) p + F y (2) ρ + (ρ u) = 0 (3) t Vi betrakter en homogen (ρ = ρ 0 ), friksjonsfri (F x,y = 0) og barotrop ( u/ z = v/ z = 0) væske med fri overflate η(x, y, t) som illustrert i figur 1. Ligningene (1)-(3) kan da skrives på formen u t + u u x + v u fv = 1 p (4) ρ 0 x v t + u v x + v v + fu = 1 p ρ 0 (5) u x + v + w z = 0 (6) 1 Teorien er i hovedsak hentet fra INTRODUCTION TO GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS, Physical and Numerical Aspects (2010): Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers, Academic Press (Publication date: September 2010), tilgjengelig fra cushman/books/gfd.html. 1

2 Figur 1: Illustrasjon på en homogen væske med fri overflate η(x, y, t) og generell batymetri b(x, y). h(x, y, t) beskriver total væskehyde. z ref = H er et referansenivå som beskriver overflaten uten bølger relativt til z = 0. Nullnivå for vertikalaksen er valgt å ligge under b (men den kunne like gjerne legges ved z ref som i Marshall & Plumb.) 2.2 Kontinuitetsligningen Kontinuitetslignngen er gitt ved (6), der u og v er uavhengig av z (grunnet antagelsen om barotrop væske), men u/ x 0 og v/ 0, slik at vi kan ha divergent strøm. Vi betrakter den homogene væsken som vist i figur 1 og integrerer (6) fra bunnen z = b(x, y) til den frie overflaten z = b(x, y) + h(x, y, t). Dette gir ( u x + v ) b+h dz + w b+h b = 0 (7) b Her er w(z = b + h) bevegelsen til den frie overflaten. Denne kan uttrykkes ved hjelp av den totalderiverte (som beskriver hvordan overflaten endrer seg med bevegelsen) w(z = b + h) = Dz Dt = D (b + h) (8) b+h Dt På tilsvarende måte er = (b + h) + u t x (b + h) + v (b + h) (9) = h t + u x (b + h) + v (b + h) (10) w(z = b) = Db Dt = u b x + v b Uttrykkene (10) og (11) innsatt i (7) gir ( u x + v ) (b + h b) + h t + u x (b + h) + v b (b + h) u x v b = 0 (12) 2 (11)

3 eller h t + x (hu) + (hv) = 0 (13) som er kontinuitetsligningen uttrykt ved lokal endring av væskesøylen h og divergensen til hu H. Alternativt, siden kan den tidsderiverte i (13) uttrykkes ved η h(x, y, t) + b(x, y) = H + η(x, y, t) (14) t + x (hu) + (hv) = 0 (15) 2.3 Momentumligningene De horisontale momentumligningene er gitt ved (4) og (5). Trykket p(x, y, z, t) er gitt ved hydrostatisk ligning p z = gρ 0 (16) Trykkvariasjoner som skyldes endringer i overflatehevningen kan da uttrykkes som (17) kan skrives eller På tilsvarende måte, for et vilkårlig dyp z 1 (se figur 1) gjelder hvor z = H z 1. p b+h H = gρ 0(b + h H) (17) p s p(h) = gρ 0 η (18) p(h) = p s + gρ 0 η(x, y, t) (19) p(z 1 ) = gρ 0 z + p s + gρ 0 η(x, y, t) (20) Over tid er det generelt (meget) små romlige variasjoner i overflatetrykket p s. Vi kan derfor se bort fra bidrag fra p s. Fra uttrykkene (19) og (20) følger det da at p(h) x = p(z 1) x = gρ 0 x Tilsvarende sammenheng gjelder for /. Det er derfor kun overflatehevningen η som gir opphav til trykk-kraft i en homogen væske. Av denne grunn kalles sammenhengen p = gρ 0 η for dynamisk trykk. (21) 3

4 2.4 Gruntvannsligningene Overstående gir gruntvannsligningene uttrykt ved u, v, h og η For flat bunn har vi at u t + u u x + v u fv = g x (22) v t + u v x + v v + fu = g (23) t + x (hu) + (hv) = 0 (24) b + h(x, y, t) = H + η(x, y, t) (25) slik at H h = H η. Gruntvannsligningene kan da skrives på formen u t + u u x + v u h fv = g x (26) v t + u v x + v v h + fu = g (27) h t + x (hu) + (hv) = 0 (28) Benevningen gruntvannsligningene betyr ikke at ligningene er begrenset til grunt vann. Tvert om; gruntvannsligningene beskriver en rekke fenomener i havet, også på dypt vann, i tillegg til mange storskalafenomener i atmosfæren. Grunt gjenspeiler at vertikal skala for væsken, for eksempel havdypet, er liten sammenlignet med typisk, horisontal lengdeskala for bølgene. Når dette er tilfellet kan i mange tilfeller vertikal bevegelse neglisjeres. De resulterende ligningene er da gruntvannsligningene. 3 Forenklinger 3.1 Momentumligning Vi antar, tilsvarende som for geostrofisk kraftbalanse, at Rossbytallet R 0 er lite R 0 = adveksjon Coriolis U 2 /L fu = U fl 1 (29) Samtidig må vi åpne for variasjoner i tid uttrykt ved lokal endring, / t. Til dette betrakter vi det tidsavhengige Rossby-tallet R 0T R 0T = lokal endring Coriolis U/T fu = 1 ft 1 (30) Det kan synes som et paradoks at langsomme strøm- og vindfelter (R ρ 1) kan bevege seg relativt raskt (R 0T 1), men det er nettopp dette som karakteriserer bølger. Dette ser vi fra følgende sammenheng c = L T fl U (31) 4

5 hvor c er bølgens fart. I uttrykket over har vi brukt at 1/T f fra (30) i andre overgang og fl U fra (29) i tredje overgang. Følgelig kan bølger transportere informasjon uten eller med lite bidrag av forflytting av masse (adveksjon). Fra momentumligningene (22) og (23) har vi da 3.2 Kontinuitetsligning u fv = g t x v + fu = g t For flat bunn er h = H + η, slik at kontinuitetsligningen (24) blir eller t }{{} H/T ( + (32) (33) t + x [(H + η)u] + [(H + η)v] = 0 (34) u x + v ) }{{} U H/L ( u + H x + v ) }{{} UH/L ( u + η x + v ) = 0 (35) } {{ } U H/L I uttrykket over er det indikert størrelsesorden til de ulike leddene ( H representerer endring i overflaten η). Siden L/T U, se (31), må 1/T U/L. Første ledd i (35) dominerer derfor i forhold til andre og fjerde ledd. Den forenklede kontinuitetsligningen kan da skrives på formen ( u t + H x + v ) = 0 (36) For at de to leddene i uttrykket over skal være sammenlignbare, noe de må være for at ligningen skal være oppfylt, følger det at H T HU L Dette betyr at L T H H U (38) Fra (31) har vi at L/T U. (38) er i tråd med dette forutsatt at H H. Følgelig gjelder overstående forenkling for bølger med liten amplitude H i forhold til total væskehøyde H, eller for bølger med liten amplitude i forhold til væskedybden. (37) 4 Kelvinbølge mot kyst 4.1 Utgangspunkt Vi betrakter en overflatebølge som brer seg langs en kyst, for eksempel langs y-aksen som vist i figur 2. Det kan ikke være hastighet på tvers av kysten, så 5

6 Figur 2: Illustrasjon på en overflatebølge som brer seg langs en kyst, i dette tilfellet langs y-aksen (x = 0). u = 0 ved x = 0 (39) Vi antar videre at u = 0 over alt, slik at bølgen brer seg kun i y-retningen. Gruntvannsligningene (32), (33) og (36) blir da fv = g (40) x v t = g (41) t + H v = 0 (42) 4.2 Resulterende bølgeligning En ligning som beskriver bølgebevegelsen framkommer ved å kombinere (40)-(42) slik at vi står igjen med en ligning uttrykt ved v eller η. Bølgeligningen uttrykt med v fås ved å eliminere η-avhengigheten ved å kombinere (41)/ t og (42)/, som gir 2 v t 2 = gh 2 v 2 (43) eller der 2 v t 2 = c2 2 v 2 (44) c = ± gh (45) 6

7 (44) er en klassisk bølgeligning for bølger med bølgefart gh. Det kan vises at gh er bølgefarten til overflategravitasjonsbølger på grunt vann uten rotasjon. Bølgeligningen over kan løses ved hjelp av karakteristikkmetoden, se A.7. En anen løsningsmetode er vist i avsnitt Løsningsmetode Kelvinproblemet i avsnitt 4.1 kan løses ved å søke løsning på formen (se avsnitt A.4) (v, η) = Re {(v 0, η 0 ) exp[i(k y y ωt)]} (46) hvor Re betegner reell del, v 0, η 0 er (kompleks) amplitude for henholdsvis v, η, k y er bølgetall i y-retningen og ω er vinkelfrekvens. Merk at v 0, η 0 kan ha en x-avhengighet, slik at v 0 = v 0 (x) og η 0 = η 0 (x). Dette betyr at v = v(x, y, t) og η = η(x, y, t) i (46), der x-avhengigheten kommer fra amplituden v 0, η 0, og y, t-avhengigheten kommer fra bølgeformen exp[i(k y y ωt)]. Uttrykk (46) innsatt i (40)-(42) gir I der første uttrykket er det brukt at η 0 = η 0 (x). fv o = g 0 x (47) iωv 0 = igk y η 0 (48) iωη 0 + ihk y v 0 = 0 (49) De to siste ligningene kan uttrykkes på vektorform ( ) ( ) iω igky v0 = 0 (50) ihk y iω Ikke-triviell løsning finnes når ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir η 0 ω 2 + ghk 2 y = 0 (51) eller Bølgens fasefart er derfor ω = ±k y gh (52) c = ω k y = ± gh (53) Siden c ikke avhenger av k y er dette en ikke-dispersiv bølge, det vil si at enhver bølgekomponent brer seg med samme hastighet (se avsnitt A.5). Videre er bølgens gruppehastighet (avsnitt A.5) c g = ω k y = ± gh (54) Altså er bølgens fasehastighet og gruppehastighet lik. Bølgens x-avhengighet følger ved å eliminere v 0 fra (47) og (49) f ω η 0 = g 0 Hk y x (55) 7

8 Siden ω/k y = c og gh = c 2, gir dette 0 x = ± f c η 0 (56) Uttrykket over sier at løsningen kan ha begge fortegn. For +-fortegnet er fasehastigheten c positiv og bølgen brer seg i positiv y-retning (se 53), mens for -fortegnet er fasehastigheten negativ og bølgen brer seg i negativ y-retning. Uttrykket over har løsning η 0 = η 0e ±xf/ c (57) hvor η 0 = η(x = 0) er bølgens høyde ved kysten. På den nordlige halvkule (f > 0) krever fysisk løsning at minustegnet velges, ellers ville bølgens amplitude gå mot uendelig for økende x (det vil si når vi beveger oss bort fra kysten). Følgelig forplanter bølgen seg i negativ y-retning (det vil si at c = c g < 0), eller med kysten til høyre for bevegelsen. Løsningen kan nå skrives på formen I (59) er ω = k y gh og Lρ = c /f. Siden ω = c k y fra (53), kan (59) også uttrykkes som u = 0 (58) η = η0 cos(k y y ωt)e x/lρ (59) g v = H η (60) η = η 0 cos[k y (y + c t)]e x/lρ (61) (59) og (61) sier at bølgens amplitude avtar når vi fjerner oss fra kysten og at L ρ er lengdeskalaen for bølgedempingen. Videre sier (61) at bølgen brer seg i negativ y-retning. Dette følger siden bølgens fase, k y (y + c t), er bevart med bevegelsen. Så for økende tid t må y avta for at y + c t = konst. At bølgen brer seg i negativ y-retning er konsistent med at bølgens fasehastighet c < 0 (fra 53). 4.4 Egenskaper Kelvinbølger brer seg langs en kyst med kysten til høyre på nordlige halvkule og til venstre på sørlige halvkule. Bølgefarten (både fasehastighet og gruppehastighet) er konstant og absuluttverdien er gitt ved gh. Kelvinbølge langs en kyst er derfor ikke-dispersiv. Bølgefart for havdyp H = 100 og 1000 m er på henholdsvis 32 og 100 m s 1. Bølgetopp og bølgebunn er rettet normalt på kysten. Bølgetopp og bølgebunn avtar eksponensielt fra kysten med lengdeskala gitt ved Rossby deformasjonsradius L ρ = gh/f. På 40 breddegrader og for et havdyp på 100 m, er L ρ 340 km. Kraftbalansen normalt på kysten er geostrofisk (fra 40), som betyr at det er ingen bølgeforplantning i x-retningen. 8

9 Kraftbalansen langs kysten, v t = g (se 41), er drevet av trykkforskjellen generert av overflatehevningen som forklart i figur 3. Mens Kelvinbølgen brer seg med konstant fart gh i negativ y-retning, beskriver væsken en sirkulær bevegelse i yz-planet (figur 3). Kelvinbølger er generert av tidevann og av vind nær kyst. Nordgående Kelvinbølger forklarer hvorfor tidevannsutslagene er mye større på fransk relativt til engelsk side av Den engelske kanal. Kelvinbølger brer seg langs ekvator fra vest mot øst (for begge halvkuler); en kan da betrakte ekvator som en vegg slik at de ekvatorielle Kelvinbølgene forplanter seg med ekvator (veggen) på høyre side på den nordlige halvkule og med ekvator til venstre på den sørlige halvkule. Se oppgave 3 fra eksamen i GEOF110, 14. juni Figur 3: Mekanisme for en Kelvinbølge som brer seg langs en kyst som er rettet langs y-aksen (på den nordlige halvkule, se figur 2). Fra (60) følger det at v og η har motsatt fortegn. Positiv bølgeamplitude svarer da til negativ v-komponent, og vice versa, vist med svarte piler. Det er følgelig vekselvis konvergens og divergens mellom bølgetopp og bølgebunn (svarte, vertikalstiplede linjer). Overflaten må stige der det er konvergens og falle der det er divergens, vist med røde piler. Dette, sammen med at bølgens form er bevart med bevegelsen (uttrykk 59), medfører at endring i overflatenivået grunnet konvergens og divergens (røde piler) kan kun skje ved at bølgen brer seg i negativ y-retning, vist med lang blå pil. 9

10 5 Treghets-gravitasjonsbølger 2 En mer generell løsning av ligningssettet gitt ved (32), (33) og (36) framkommer dersom vi ikke antar at u = 0 som i avsnitt 4. Vi søker nå løsning på formen (se avsnitt A.4) (u, v, η) = Re {(u 0, v 0, η o ) exp[i(k x ωt)]} (62) hvor Re betegner reell del, (u 0, v 0, η o ) er (kompleks) amplitude for henholdsvis (u, v, η), k = k xˆx + k y ŷ er bølgetallvektor i x- og y-retning, x = xˆx + yŷ er posisjonsvektor og ω er vinkelfrekvens. Ligningssettet (32), (33) og (36) kan da skrives som iωu 0 fv 0 = igk x η 0 (63) iωv 0 + fu 0 = igk y η 0 (64) iωη 0 + ih(k x u 0 + k y v 0 ) = 0 (65) Ligningene (63)-(65) er tre ligninger med tre ukjente, og kan uttrykkes på vektorform iω f igk x u 0 f iω igk y v 0 = 0 (66) ihk x ihk y iω η 0 Ikke-triviell løsning finnes når ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir ikke-triviell løsning når følgende sammenheng er tilfredsstilt eller, siden k 2 = k 2 x + k 2 y, ω[ω 2 f 2 gh(k 2 x + k 2 y)] = 0 (67) ω[ω 2 f 2 ghk 2 ] = 0 (68) Uttrykket (68) gir en algebraisk sammenheng mellom parametrene som inngår i problemet og kalles bølgeproblemets dispersjonsrelasjon. Det er generelt ulik fysisk mekanisme for de ulike løsningene gitt ved en dispersjonsrelasjon. Derfor tolkes de ulike løsningene hver for seg. Siden dispersjonrelasjonen (68) gir at fasefarten c = ω/k generelt avhenger av bølgetallet k, vil bølger med ulik bølgelengde bre seg med ulik fart. Treghets-/gravitasjonsbølger er derfor dispersive (se avsnitt A.5). 5.1 Løsning ω = 0 Løsningen ω = 0 av (68) er konsistent med / t = 0. Fra de grunnleggende ligningene (32), (33) og (36) ser vi at denne løsningen gir geostrofisk kraftbalanse. Den stasjonære (det vil si tidsinvariante) løsningen av gruntvannsligningene er altså geostrofisk balanse. 2 Se også seksjon 11.2 og 11.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

11 5.2 Løsning ω 2 = f 2 + gh(k 2 x + k 2 y) 2 Den resterende løsningen av (68) er ω = ± f 2 + ghk 2 (69) hvor k 2 = k 2 x + k 2 y. Denne løsningen er en mellomting mellom treghets- og gravitasjonsbølger, og kalles Poincaré-bølger. Merk at for enher løsning gitt ved (69), er ω > f f = 0 I tilfellet uten rotasjon vil f = 0, ω = ± ghk og fasefarten c = ω/k = ± gh. Dette er løsningen til gravitasjonsbølger k 2 f 2 /(gh) Dispersjonsuttrykket (69) kan alternativt skrives på formen ( ) f 2 ω = ± gh gh + k2 (70) For tilfellet k 2 f 2 /(gh), som betyr at vi betrakter bølger med kort bølgelengde, vil ω = ± ghk og fasefarten c = ω/k = ± gh. Dette er også egenskapene til gravitasjonsbølger. Årsaken til dette er at dersom bølgelengden er mye kortere enn deformasjonsradiusen, påvirkes bølgene i liten grad av jordrotasjonen k 2 f 2 /(gh) For tilfellet med meget lange bølger, det vil si for k 2 f 2 /(gh), vil ω ±f (se 70). Dette er storstilte, horisontale oscillasjoner med frekvens gitt av Coriolisparameteren f. Slike svingninger kalles treghetssvingninger. I tilfellet ω = f og siden k er liten, følger det fra (63) at u- og v-løsningen er da gitt fra (62) u 0 = iv 0 (71) u = Re{iv 0 exp( ift)} = Re{iv 0 [cos( ft) + i sin( ft)]} = v 0 sin( ft) (72) v = Re{v 0 exp( ift)} = Re{v 0 [cos( ft) + i sin( ft)]} = v 0 cos( ft) (73) på den nordlige halvkule beskriver da (72) og (73) en sirkulær bevegelse med radius v 0 og rotasjonsretning med klokken. 11

12 5.2.4 Oppsummering En generell løsning av gruntvannsligningene gir følgende sammenheng mellom mulige bølgeparametre k x, k y og ω, og de fysiske størrelsene g, H og f For bølger i y-retningen, blir (74) ω[ω 2 f 2 ghk 2 ] = 0 (74) ω[ω 2 f 2 ghk 2 y] = 0 (75) Uttrykket over kan skrives på formen ω = 0 og ω f = ± 1 + (L ρ k y ) 2 (76) hvor L ρ = gh/f er Rossbyradius. De ulike løsningene av (76) er vist i figur 4. Figur 4: Grafisk framstilling av dispersjonsrelasjonen gitt ved (75). I tillegg er dispersjonsrelasjonen til Kelvinbølger mot kyst vist (dispersjonsrelasjon ω = k y gh eller ω/f = ky L ρ ). 6 Konservering av potensiell virvling Bevaring av størrelsen potensiell virvling (definert under) er grunnleggende i dynamikken i atmosfæren og havet. Før vi går til utledningen av denne, definerer vi relativ og absolutt virvling. 12

13 6.1 Relativ og absolutt virvling Kurlen til hastighetsvektoren u kan skrives som ( w u = ˆx v ) ŷ z ( w x u z ) ( v + ẑ x u ) (77) Vertikalkomponenten til u, på vektorform ẑ u, kalles relativ virvling og betegnes med symbolet ζ ζ = v x u (78) ζ > 0 betyr rotasjon rettet mot klokken når en observerer rotasjonen overfra på nordlige halvkule (også kalt syklonsk sirkulasjon). For ζ < 0 er rotasjonen rettet med klokken på nordlige halvkule (anti-syklonsk sirkulasjon). Absolutt virvling er gitt ved summen ζ + f (79) hvor f er Coriolisparameteren 2Ω sin ϕ. Når ζ > 0, beskriver både ζ og f rotasjon mot klokken sett overfra på nordlige halvkule. 6.2 Utledning Absolutt virvling har noen viktige egenskaper i atmosfære- og havdynamikken. Disse kan utledes fra gruntvannsligningene (22)-(24). Overflatehevningen kan elimineres fra momentumligningene ved å subtrahere (23)/ x fra (22)/: ( v t x u ) + ( u v x x + v v ) ( u u x + v u ) ( u + f x + v ) + f v = 0 (80) Uttrykket over kan tilnærmes med å betrakte f = f 0 = konst bortsett fra hvor f/ forekommer. For sistnevnte bruker vi at f/ = β. Denne tilnærmingen kalles en β-plan tilnærming. (80) blir da ( v t x u ) + ( u v x x + v v ) ( u u x + v u ) ( u +f 0 x + v ) + βv = 0 (81) }{{}}{{} = ζ/ t Ved å skrive ut leddene merket med i (81), får vi u v x x + u 2 v x 2 + v v x + v 2 v x u u x u 2 u x u v v 2 u 2 (82) Samler vi ledd 1 og 5, 3 og 7, 2 og 4, og 6 og 8 i uttrykket over, følger det at de åtte leddene kan omformes til ( u x + v ) ζ + u ζ x + v ζ (83) 13

14 (81) kan da uttrykkes som ζ t + u ζ x + v ζ + ( u x + v ) (ζ + f 0 ) + βv = 0 (84) De tre første leddene i uttrykket over er gitt ved den totalderiverte av ζ ζ t + u ζ x + v ζ = Dζ Dt (85) Divergensleddet i (84) kan uttrykkes ved hjelp av kontinuitetsligningen (24). Dette da sistnevnte kan skrives på formen ( Dh u Dt + h x + v ) = 0 (86) Uttrykk (84) blir da Dζ Dt = ζ + f 0 Dh βv (87) h Dt Siden kan (87) uttrykkes som Derivasjon av Df Dt = f t + u f x + v f D(ζ + f) Dt D Dt = ζ + f 0 h Dh Dt = vβ (88) (89) ( ) ζ + f = 0 (90) h gir at (89) og (90) er identiske uttrykk når β-plan tilnærmingen benyttes (det vi si at f f 0 bortsett fra ledd hvor f/ inngår). Størrelsen (ζ + f)/h kalles potensiell virvling. (90) viser at potensiell virvling er bevart med bevegelsen. Dette er en meget sentral egenskap for dynamikken i atmosfæren og i havet. Merk at gruntvannsligningene som (90) er utledet fra antar en homogen (ρ = ρ 0 ), barotrop ( u/ z = v/ z = 0) og friksjonsfri (F = 0) væske. Selv om disse antagelsene er mer typisk for hav enn atmosfære, er bevaring av potensiell virvling en så grunnleggende størrelse at også viktig atmosfæredynamikk, som Rossbybølger, følger av (90) ζ f Dersom ζ f, følger det fra (90) at f = konst (91) h Dette gjelder for havet når vi holder oss borte fra områder med store variasjoner i hastighetskomponentene u og v, det vil si borte fra havbassengenes render og borte fra ekvator. Samme resultat følger fra Taylor-Proudman teoremet (se Marshall & Plumb, avsnitt ). Derfor tenderer havstrømmene å følge konturer der f/h = konst. 14

15 6.2.2 h = konst Dersom h = konst, følger det fra (90) at D(ζ + f) Dt = 0 (92) Videre, for h = konst, følger det fra (86) at hastigheten er ikke-divergent. Alternativt er absolutt virvling konservert med bevegelsen for ikke-divergent hastighetsfelt. 6.3 Fysisk tolkning av vestlig strøm over fjell (på nordlig halvkule) 3 Figur 5 viser en situasjon med konstant sonal vind fra vest som treffer en forhøyning i topofgrafien. I det følgende antar vi at vi er på nordlig halvkule. Potensiell virvling vest for forhøyningen er f 0 /h 0, der f 0 representerer en typisk breddegrad for forhøyningens plassering. Figur 5: Illustrasjon på østlig strøm over en forhøyning (fjell) i topografien. Øvre del av figuren viser et tverrsnitt i xz-retningen, mens nedre del gir et horisontalt bilde av situasjonen. I øvre figur er skravert område topografi og den blå (horisontale) linjen indikerer tropopausen. Sistnevnte har høyde h 0 vest for forhøyiningen og h 1 på forhøyningen og østover. Like øst for forhøyningen, er potensiell virvling (ζ + f 0 )/h 1. Bevaring av potensiell virvling gir f 0 = ζ + f ( ) 0 h1 eller ζ = f 0 1 < 0 (93) h 0 h 1 h 0 Negativ relativ virvling betyr at sonal vind avbøyes med klokken, det vil si sørover. 3 Se også seksjon 6.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

16 En liten distanse øst for forhøyningen har breddegradsposisjonen til vinden endret seg så mye at f = f 0 ikke er gyldig lenger. Potensiell virvling er da gitt ved (ζ + f)/h 1 = f 0 /h 0 = konst. Siden ζ < 0, må f øke for å sikre bevaring av potensiell virvling. Dette krever at vinden avbøyes mot nord. Når vinden har beveget seg tilstrekkelig langt mot nord, har f økt så mye at ζ må igjen bli negativ for å sikre bevaring av potensiell virvling. Vinden bøyer da av mot sør. På denne måten genererer forhøyningen i topografien, for vestlig vind, bølger øst for forhøyningen. Disse bølgene kalles Rossbybølger. Den systematiske avbøyningen like øst for en forhøyning i topografien er en viktig grunn til at jetstrømmene tenderer å bukte sørover like øst for Rocky Mountains og Himalaya, og tildels Alpene og Grønland, på nordlige halvkule. På sørlige halvkule er avbøyingen rettet mot nord like øst for fjellkjeder. Dette gjelder for eksempel for området like øst for Andesfjellene. 7 Rossbybølger i atmosfære og hav 4 Egenskapene til Rossbybølger i hav og atmosfære kan utledes fra uttrykket for konservering av potensiell virvling (90). Vi betrakter små avvik fra geostrofi, ofte kalt kvasigeostrofi. I utledningen bruker vi β-tilnærmingen, det vi si at vi bruker at f = f 0 bortsett fra hvor f varierer i meridional retning ( f/). (90) kan skrives på formen h D Dt (ζ + f) (ζ + f 0) Dh Dt = 0 (94) I tråd med figur 1, og for flat bunn b = 0 eller dersom vi inkluderer b i H ved å redifinere H H b(x, y), har vi at h(x, y, t) = H(x, y) + η(x, y, t) (95) (95) innsatt i (94) gir ( ζ (H + η) t + u ζ x + v ζ ) + βv I (96) har vi brukt β-tilnærmingen nevnt over, samt at Df Dt = v f ( (ζ + f 0 ) t + u x + v ) = 0 (96) = βv (97) For små endringer i u, v, η og ζ, kan vi sløyfe ledd med andre og høyere ordens produkt av disse variablene i (96). Dette gir følgende lineære tilnærming Til laveste orden gjelder geostrofisk balanse, så H ζ t + Hβv f 0 t = 0 (98) u g f 0 (99) 4 Se også seksjon 6.1 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

17 Virvlingen kan derfor tilnærmes Innsatt i (98) gir dette gh f 0 v g f 0 x ζ = g ( 2 ) η f 0 x η 2 (100) (101) ( 2 ) η t x η 2 + ghβ f 0 x f 0 t = 0 (102) Ligning (102) multiplisert med faktoren f 0 /(gh), gir ( 2 ) η t x η 2 + β x f 0 2 gh t = 0 (103) Siden Rossby-radius L ρ = gh/f 0, kan (103) skrives på formen ( 2 η t x η 2 η ) L 2 + β ρ x = 0 (104) Med antatt bølgeløsning på formen gir dette, innsatt i (104) eller η = Re {η 0 exp[i(k x x + k y y ωt)]} (105) iω( k 2 x k 2 y L 2 ρ ) + iβk x = 0 (106) βk x L 2 ρ ω = 1 + L 2 ρ(kx 2 + ky) 2 (107) (107) er dispersjonsrelasjonen for Rossbybølger (også kalt planetære bølger). Fra (107) følger det at Rossbybølger (eller planetære bølger) er dispersive. Fra (107), ser vi at ω = 0 for β = 0. Vi står i dette tilfellet tilbake med geostrofisk balanse. Rossbybølger forekommer grunnet β-effekten; at f endrer seg med breddegrad y. 7.1 Sonal og meridional fasefart Rossbybølgenes sonale fasefart er gitt ved βl 2 ρ c x = ω = k x 1 + L 2 ρ(kx 2 + ky) 2 (108) At c x < 0 betyr at Rossbybølgene alltid brer seg mot vest. Meridional fasefart c y = ω k y (109) kan være både positiv og negativ siden k y kan ha begge fortegn. Rossbybølgene kan følgelig bre seg i nordvestlig, vestlig eller sørvestlig retning. 17

18 Lange bølger, det vil si bølger med bølgelengde λ x L ρ og λ y L ρ, eller for bølger med små k x og k y, brer seg rett vestover med fasefart c x = βl 2 ρ (110) Dette er også høyeste mulige fasefart for Rossbybølgene. Siden L ρ = c/f 0, følger det fra (110) at fasehastigheten øker mot ekvator. Det siste kan sees fra analyse av bølger på havoverflaten, se for eksempel Fase- og gruppefart for rent sonale Rossbybølger For rent sonale Rossbybølger (k y = 0) gjelder, fra (108), ω = βl2 ρ k x 1 + L 2 ρ kx 2 (111) eller ω k x L ρ = βl ρ 1 + (k x L ρ ) 2 (112) I uttrykket over varierer ω på venstre side og k x på høyre side. Vi kan derfor plotte ω/(βl ρ ) versus k x L ρ (begge størrelsene er dimensjonsløse, som er typisk når egenskaper ved dispersjonsrelasjoner plottes). Høyre side av (112) har formen e(x) = x 1 + x 2 (113) Det følger da at e(x) x for små x og at e(x) 0 når x. Den deriverte gir de dx = 1 x2 (1 + x 2 ) 2 (114) e har ekstremverdi (de/dx = 0) for x = 1 og e( 1) = 0.5. Sammenhengen mellom ω og k x følger da fra figur 6. Figur 6: Dispersjonsrelasjon for Rossbybølger når k y = 0. Lange bølger er knyttet til små bølgetall, mens korte bølger er knyttet til store bølgetall. 18

19 Siden gruppefarten er c gx = ω k x (115) (se avsnitt A.6), følger det at lange Rossbybølger (små bølgetall) har gruppefart (det vil si energiforplantning) i vestlig retning, mens korte Rossbybølger (store bølgetall) har gruppefart i østlig retning. Siden kurven i figur 6 er brattest for lange bølger, er det større energitransport knyttet til lange enn korte Rossbybølger. 7.3 Rossbybølger i hav Siden Rossbybølgene har fasefart rettet mot vest, vil enhver perturbasjon av potensiell eller absolutt virvling føre til vestlig forplantning av signalet. Siden lange vestgående Rossbybølger bringer med seg mer energi mot vest enn korte Rossbybølger bringer energi mot øst, vil Rossbybølgenes energiforplantning akkumuleres mot vestlig rand. Dette forklarer hvorfor de intensiverte grenselagsstrømmene befinner seg mot venstre rand av havbassengene, for eksempel Golfog Kuroshiostrømmen. Merk at vestlig intensivering av havstrømmene er i samsvar med Sverdrupteori. Vestgående Rossbybølger i havet framkommer tydlig i følgende animasjon Fysisk mekanisme for vestlig forplantning av Rossbybølger Figur 7 illustrerer mekanismen for vestlig forplantning av Rossbybølger. Utgangspunktet er at absolutt virvling, ζ + f, er konservert med bevegelsen dersom væskens tykkelse er konstant, se (92). Generelt vil absolutt virvling øke mot nord da f øker med økende breddegrad. En initiell bølgeforskyvning fra likevekt, vist med blå heltrukken kurve i figur 7, vil øke potensiell virvling for de forskyvningene som befinner seg nord for likevektslinjen. På tilsvarende måte vil potensiell virvling avta for de forskyvningene som befinner seg sør for likevektslinjen. Bevaring av potensiell virvling medfører da at bølgeformen nord for likevektslinjen vil utsettes for negativ relativ virvling (ζ < 0) mens bølgeformen sør for likevektslinjen utsettes for positiv relativ virvling (ζ < 0). Relativ virvling vil da skyve den initielle bølgeformen til venstre, eller vestover (stiplet linje i figur 7). 7.5 Rossbybølger i vestlig strøm Ofte forekommer Rossbybølgene i vestlig strøm. Et eksempel på dette er vestavindsbeltet i atmosfæren mellom 30 og 60 breddegrader. Dersom vi antar en uniform vestlig strøm U, vil Rossbybølgenes fasefart ĉ x være, relativt til bakken, ĉ x = c x + U (116) Siden ω = ĉ x k x, følger det at ω = ĉ x k x = (c x + U)k x = Uk x βk x L 2 ρ 1 + L 2 ρ(k 2 x + k 2 y) (117) 19

20 Figur 7: Mekanisme for vestlig forplantning av Rossbybølger. Svart horisontal linje angir en tilstand hvor absolutt virvling er konstant. Blå heltrukken kurve viser en initiell (t = 0) forskyvning av likevektstilstanden og blå stiplet kurve viser bølgeformen for tid t > Stasjonære bølger Stasjonære bølger opptrer for ω = 0 i (117), eller for k 2 x + k 2 y = k 2 s = β U 1 L 2 ρ β U (118) k s = β/u er kjent som stasjonært bølgetall. For typiske verdier for midlere breddegrader, har vi at U 30 m s 1 og β m 1 s 1, som gir ks km. Stasjonære bølger har derfor typisk bølgelengde på 2π/k s 9000 km, som på 45 N tilsvarer (rundt) tre hele bølger. 7.6 Egenskaper For Rossbybølger (planetære bølger) gjelder Fasehastigheten er vestlig rettet Bølgene er dispersive, bortsett fra bølger med svært lang bølgelengde Gruppefarten er rettet vestover for lange bølger og østover for korte bølger Gruppefarten er større for lange, vestlig rettet bølger, enn for korte, østlig rettet bølger Totalt sett gir bølgene energiforplantning fra øst mot vest Forklarer hvorfor det er en vestlig intensifisering av havstrømmene, for eksempel Golf- og Kuroshiostrømmen, i tråd med Sverdrupteorien Den fysiske mekanismen kan forklares fra bevaring av absolutt virvling Bevaring av relativ virvling forklarer hvorfor det er en systematisk sørlig avbøying av jetstrømmene øst for høye fjellkjeder på nordlige halvkule, og nordlig avbøying av jetstrømmene øst for høye fjellkjeder på sørlige halvkule Stasjonære Rossbybølger kan forekomme i østlig rettet rettet strøm, for eksempel for jetstrømmene på midlere breddegrader 20

21 A Generelt om bølger A.1 Hva er en bølge En bølge i atmosfæren og havet kan forklares som fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som for eksempel energi, uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten, og som brer seg med fart og retning som generelt er ulik den generelle atmosfære- eller havsirkulasjonen A.2 Størrelser og egenskaper i én romlig dimensjon Enhver perturbasjon (liten endring) kan uttrykkes som summen av trignometriske (sinus eller cosinus) bølger, hvor hver bølge generelt har ulik amplitude, bølgelengde, periode og fase. A.2.1 Stasjonær bølgeform En stasjonær bølgeform i x-retningen, i tilfellet under uttrykt med havnivå η (enhet m), kan skrives på formen ] η(x) = a cos [2π xλx (119) Bølgeformen η er karakterisert ved Amplitude a, slik at η varierer mellom ±a. Enhet som for den avhengige variabel, i dette tilfellet m. Bølgelengde λ x. Bølgens form repeteres nå x = ±nλ x, der n er et heltall. Enhet er m. A.2.2 Bølgeform som brer seg i tid En bølgeform vil generet forplante seg i tid. Bølgens Fart, alternativt fasefart benevnes c x, se også fasefart under. Bølgen kan bre seg i positiv og negativ x-retning. Dette kan betegnes med fasefart ±c x, hvor c x > 0. Alternativt kan c x ta både positive og negative verdier. Enhet er m s 1. Siden fart = avstand/tid, vil bølgen bre seg en avstand x = ±c x t i løpet av tiden t. (119) kan da skrives på formen [ ] 2π η(x, t) = a cos (x ± c x t) (120) λ x Bølgen over er karakterisert ved Fase gitt ved argumentet 2π(x ± c x t)/λ x (enhet rad). Punkt med konstant fase er punkter hvor bølgeformen har samme verdi, for eksempel bølgetopp eller bølgebunn. 21

22 A.2.3 Bølgetall I stedet for å bruke bølgelengde λ x, er det vanlig å uttrykke bølgen med bølgens Bølgetall k x (enhet m 1 ). Sammenhengen mellom bølgetall og bølgelengde er gitt ved k x = 2π λ x (121) Bølgetallet er antall bølgelengder begrenset av lengden 2π. For eksempel vil en bølge med bølgelengde 100 km ha et bølgetall m 1. Bølgetallet trenger derfor ikke å være et heltall. Sies det at en bølge i atmosfæren har bølgetall én, betyr dette at én bølge dekker hele jordens omkrets (for eksempel rundt jorden på 60 N). For bølgetall fire vil det være fire fulle bølger rundt jorden. Ved hjelp av (121) kan (120) skrives på formen η(x, t) = a cos[k x (x ± c x t)] (122) A.2.4 Andre definisjoner Perioden T er tiden det tar for et punkt til å repetere seg selv. T må følgelig være lik tiden bølgen bruker for å bre seg en bølgelengde T = λ x /c x (123) Vinkelfrekvensen (også kalt vinkelhastigheten) ω er er et mål på rotasjonshastigheten ω = 2π (124) T Fasefarten c x er farten til bølgen, for eksempel hvor raskt en bølgetopp eller -bunn brer seg c x = λ x T = ω k x (125) hvor vi har brukt (121) og (124) i den andre overgangen. Uttrykt med ω og k x, kan (122) skrives på formen η(x, t) = a cos(k x x ± ωt) (126) Uttrykkene (120), (122) og (126) uttrykker det samme: For fast tid t = t 0 beskriver η en bølgeform i x-retningen som repeterer seg selv med bølgelengde λ x, det vil si bølgens form repeteres for x = ±nλ x, hvor n er et heltall. Tilsvarende, for et fast punkt x = x 0 beskriver η en stående bølge med periode T, det vil si en bølge som repeterer seg selv for t = ±nt. Endelig, Fasen til en bølge er gitt ved argumentet k x x ± ωt og uttrykker hvor i bølgesyklusen en befinner seg. Fasen varierer fra 0 til 2π. 22

23 A.3 Størrelser og egenskaper i to romlige dimensjoner Overstående kan utvides til flere dimensjoner. I to dimensjoner gjelder η = a cos(k x x + k y y ± ωt) = a cos(k x ± ωt) (127) der bølgetallsvektor k = (k x, k y ) = k xˆx + k y ŷ, med lengde k 2 = k 2 x + k 2 y (128) og retning ˆk = k k (129) Fasehastigheten er og bølgelengden er hvor bølgetallet k er gitt ved (128). c = ω k λ = 2π k (130) (131) A.4 Størrelser og egenskaper uttrykt med kompleks notasjon I stedet for å regne med cosinus- (eller sinus-) bølger som beskrevet over, letter det analysen å uttrykke en bølge på kompleks form Re {a exp[i(k x ± ωt)]} (132) Her betegner Re reell del, a er (kompleks) amplitude, k = k xˆx + k y ŷ er bølgetallvektor i x- og y-retning, x = xˆx + yŷ er posisjonsvektor og ω er vinkelfrekvens. Siden uttrykker (132) standard bølge på formen exp iψ = cos ψ + i sin ψ (133) a cos(k x ± ωt) eller a sin(k x ± ωt) (134) avhengig av om amplituden a er reell (som i dette tilfellet gir en cosinus-bølge) eller kompleks (i dette tilfellet en sinus-bølge). Bølgeformen gitt ved (132) er særdeles hensiktsmessig grunnet eksponensialfunksjonens egenskap at den deriverte av funksjonen er lik funksjonen selv, korrigert med noen algebraiske koeffisienter. Dette fører til at derivasjonsoperatorene kan erstattes med algebraiske koeffisienter x ik x, ik y og ±iω (135) t Dette betyr at for eksempel gruntvannsligningene kan uttrykkes som et sett av algebraiske ligninger som kan løses direkte. Løsningen gir alle mulige kombinasjoner av bølgeparametre og ligningsparametre som tilfredsstiller de kontinuerlige ligningene. Dette, sammen med en fysisk tolkning av bølgeløsningen, gir en fullverdig beskrivelse av bølgene. 23

24 A.5 Dispersjonsrelasjon Det algebraiske forholdet mellom ω og k, uttrykt som ω = f(k) (det vil si at ω er en funksjon av k), kalles bølgens dispersjonsrelasjon. A.5.1 Ikke-dispersive bølger Dersom ω har en lineær avhengighet til k, det vil si at ω k, kalles bølgen ikke-dispersiv. I dette tilfellet forflytter bølger seg med samme fasehastighet, se (125) og (130), uavhengig av bølgens bølgelengde. A.5.2 Dispersive bølger Dersom ω ikke har en lineær avhengighet til k vil enhver bølge med ulik bølgelengde forflytte seg med ulik fasehastighet. I dette tilfellet er bølgen dispersiv. A.6 Gruppefart For dispersive bølger forplanter ikke energien seg med én bølge, men med totalbidraget fra de ulike bølgene. Det er dette totalbidraget vi ser som en bølge, eksempelvis som en gravitasjonsbølge i et vannbasseng, ikke de ulike bølgekomponentene. Følgelig er gruppefarten, som representerer farten til alle bølgene sett som en helhet, gjerne mer viktig enn de ulike bølgekomponentenes fasefart. Gruppefart er gitt av uttrykket c g = ω (136) k En god illustrasjon på forholdet mellom fasefart og gruppefart er gitt på siden A.6.1 Utledning Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum. (136) kan vises ved å betrakte to bølger med nesten like bølgetall og bølgefrekvenser, for eksempel η = η 0 cos(k 1x ω 1t) + η 0 cos(k 2x ω 2t) (137) Fra identiteten følger det at Med og cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b (138) cos(a + b) + cos(a b) = 2 cos a cos b (139) a = 1 2 (k1 + k2)x 1 (ω1 + ω2)t (140) 2 b = 1 2 (k2 k1)x 1 (ω2 ω1)t (141) 2 24

25 kan (137) skrives på formen [ 1 η = 2η 0 cos 2 (k1 + k2)x 1 ] [ 1 (ω1 + ω2)t cos 2 2 (k2 k1)x 1 ] (ω2 ω1)t 2 (142) Siden bølgene antas å være tilnærmet like, må k 1 k 2 og ω 1 ω 2, og vi kan definere k = Innsatt i (142) gir dette k1 + k2 2, ω = ω1 + ω2 2 En mulig variant av (144) er illustrert i figur (8)., k = k 2 k 1, ω = ω 2 ω 1 (143) ( 1 η = 2η 0 cos 2 k x 1 ) 2 ω t cos(kx ωt) (144) Figur 8: Illustrasjon av en lineær kombinasjon av to bølger med nesten lik bølgelengde og bølgefrekvens. Bølgeformen brer seg mot høyre med fasehastighet c = ω/k og bølgelengde λ = 2π/k (heltrukken linje), mens amplituden for bølgepakken er 2η 0 cos( k x/2 ω t/2), bølgelengden λ = 4π/δk, perioden 4π/δω og gruppehastigheten c g = ω/ k (stiplede linjer). (144) er en bølge som dels brer seg som en standard bølge med formen cos(kx ωt) med fasefart c = ω/k, men hvor amplituden 2η 0 er modulert med en sakte varierende bølge cos( k x/2 ω t/2) med (lang) bølgelengde 4π/ k og (lang) periode 4π/ ω. Sistnevnte bølge brer seg med fart gitt ved bølgelengde/periode, det vil si ω (145) k eller, for små ω og k, ω (146) k Det er sistnevnte størrelse som angir bølgens gruppefart, som kan sees på som bølgens totalbidrag. Forplantning av energi knyttet til bølgen er derfor assosiert med gruppefarten, ikke de individuelle bølgenes eller totalbølgens fasefart. 25

26 A.7 Løsning av Kelvinbølge langs kyst ved hjelp av karakteristikkmetoden Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum. Bølgeligningen (44) kan løses ved å observere at den kan skrives som ( t c ) ( t + c ) v = 0 (147) som igjen betyr at og Siden (148) gjelder for enhver t og y, må v ha formen Dette kan vises ved å sette (150) inn i (148), hvor v t c v = 0 (148) v t + c v = 0 (149) v(x, y) = V 1(x, y + ct) (150) v t = V1 V1 (y + ct) = c t og v = V1 (151) På tilsvarende måte vil løsningen av (149) ha formen v(x, y) = V 2(x, y ct) (152) I uttrykkene over er V 1 og V 2 vilkårlige funksjoner som beskriver bølgens form. Siden (150) og (152) gjelder for enhver t og y, må y + ct = konst og y ct = konst (153) Dette er rette linjer i et koordinatsystem spent ut av tiden t og posisjonen y, se figur 9. I tillegg, siden Figur 9: Illustrasjon på hvordan vilkårlige bølger (eksemplifisert ved rød farge) brer seg i negativ y-retning når y + ct = konst og i positiv y-retning når y ct = konst. c = gh = konst, følger det at bølgens form gitt ved V 1 og V 2 ikke kan endre seg med bevegelsen. 26

27 Figur 9 illustrerer hvordan en bølge, for eksempel bølgen i (150), brer seg i negativ y-retning uten endring av form. På tilsvarende måte brer bølgen i (152) seg i positiv y-retning uten endring av form. Totalt har vi at v(x, y) = V 1(x, y + ct) + V 2(x, y ct) (154) η kan nå utledes fra (42). Med følger det at v t = V1 V2 (y + ct) + t = c V 1 g + c V 2 g V1 (y ct) = c t c V2 Siden c = gh, er c/g = H/g. (156) kan integreres direkte, som gir følgende uttrykk for η (155) (156) H η = V1(x, y + ct) + g x-avhengigheten til V 1 og V 2 følger fra (40). Vi bruker da at H x = V 1 H g x + g Innsatt i (40), gir dette f(v 1 + V 2) = gh V1 x gh V2 x Uttrykket over skal gjelde for enhver V 1(x, y + ct) og V 2(x, y ct). Derfor må og H V2(x, y ct) (157) g V 2 x (158) (159) V 1 x = f V 1 = 1 V 1 (160) gh L ρ Her er L ρ = gh/f Rossby deformasjonsradius. Fra (160) følger det at V 1 V 1 = x L ρ der V 1 gir y-avhengigheten til V 1: V 2 x = f V 2 = 1 V 2 (161) gh L ρ ln V 1 = x L ρ + konst V 1 = V 1 e x/lρ (162) V 1(x, y + ct) = V 1 (y + ct)e x/lρ (163) Tilsvarende gjelder for V 2 V 2(x, y ct) = V 2 (y ct)e x/lρ (164) A.8 Løsning for nordlige halvkule På nordlige halvkule er L ρ > 0. Løsningen gitt ved V 2, se (164), er ufysisk da V 2 når x. Det følger derfor at v = V1 (y + ct)e x/lρ (165) Dersom vi antar at største overflateutslag av η er η 0, kan løsningen skrives som u = 0 (166) η = η 0F (y + ct)e x/lρ (167) 27

28 g v = H η (168) c = gh (169) Her er F (y + ct) 1, men ellers en vilkårlig funksjon med argument y + ct. Faktoren g/h i (168) følger fra forholdet mellom v (uttrykk 154) og η (uttrykk 157). A.9 Løsning for sørlige halvkule I dette tilfellet vil L ρ i uttrykkene (160)-(164) være negativ. Siden Rossby deformasjonsradius per definisjon er positiv, betyr dette at vi må erstatte L ρ med L ρ i disse uttrykkene. Følgelig måvi i dette tilfelle forkaste løsningen med y + ct argument, da denne vokser uten grenser når x. Løsningen for sørlige halvkule blir da u = 0 (170) η = η 0F (y ct)e x/lρ (171) g v = H η (172) c = gh (173) Her er F (y ct) 1. Merk at v og η har samme fortegn, dette da V 2-løsningen for v (se 154) og η (se 157) har samme fortegn. Merk også at på sørlige halvkule brer bølgen seg i positiv y-retning, det vil si med kysten til venstre. Dette er en konsekvens av at v og η har samme fortegn på sørlige halvkule. B Oppdateringer vår 2013 C Oppdateringer vår april 2012 Noen mindre (språklige) justeinger i avsnitt A april 2012 iω rettet til ±iω i (135). Rettet bølgetallsvektor i setningen over (128). 26. april 2012 Omskrevet tekst rundt (61). 2. mai 2012 Noen endringer i avsnitt mai 2012 Mer detaljert utledning i avsnitt