Flervariable funksjoner: Linearisering

Transkript

1 Flervariable funksjoner: Linearisering Forelest: 10. Nov, 2004 Vi har nå kommet til høyepunktet i pensumet for flervariable funksjoner, der vi lærer å regne omtrentlig på en nøyaktig måte. Metoden heter linearisering, og går ut på å forenkle en funksjon slik at selv en gjennomsnittselev i barneskolen skulle kunne bruke den. Det kan være geit dersom du som ingeniør er ansvarig for konstruksjoner der det kan forekomme variasjoner i målene, men du selv ikke kan være til stede for å regne ut hvordan du skal tilpasse resten av konstruksjonen, men må overlate utregningen til andre som ikke er så skolerte i matematikk som deg selv. Se Mathematica notebook for dagens forelesning. Se metodeark 11 for flervariable funksjoner: Linearisering. Ofte er vi ikke ute etter å beregne hele størrelsen f på nytt når x og y varierer; vi er kun ute etter endringen i f som en funksjon av endringene i x og y. Da bruker vi en variant av linearisering som kalles totalt differensial. Se metodeark 12 for flervariable funksjoner: Totalt differensial. Så til slutt må vi huske at tilnærminger betyr at vi tillater oss å regne litt feil. Det kan være greit å gjøre anslag på hvor feil vi regner: Se metodeark 13 for flervariable funksjoner: Feilestimat for linearisering. 1

2 Flervariable funksjoner: Metode 11, Linearisering I boka: Kapittel 11.6, Definitions, s s Definisjon 1 (2 variable) Lineariseringen av funksjonen f(x, y) i punktet (x 0, y 0 ) er funksjonen L(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Tilnærmingen f(x, y) L(x, y) kalles standardtilnærmingen til f i (x 0, y 0 ). Merk at L(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ), og at forskjellen mellom L og f er liten i nærheten av (x 0, y 0 ). Definisjon 2 (3 variable) Lineariseringen av funksjonen f(x, y, z) i punktet (x 0, y 0, z 0 ) er funksjonen L(x, y, z) = f(x 0, y 0, z 0 )+f x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+f y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+f z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) Tilsvarende for 4 og fler variable. Eksempel: ( a) Finn lineariseringen av f(x, y) = x 3 y 4 rundt (1, 1) Løsning: Vi gjør de nødvendige stegene: 1. Vi regner først ut f(x 0, y 0 ): f(1, 1) = = 1 2. Vi regner deretter ut de partielt deriverte f x og f y i (x 0, y 0 ): f x = f = x x (x3 y 4 ) = 3x 2 y 4 så f x (1, 1) = = 3 f y = f = y y (x3 y 4 ) = x 3 4y 3 så f x (1, 1) = = 4 3. Vi setter deretter inn i formel for L(x, y): L(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = f(1, 1) + f x (1, 1)(x 1) + f y (1, 1)(y 1) = 1 + 3(x 1) + 4(y 1) Eksempel: ( b) Finn lineariseringen av f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 rundt (0, 1, 0) Løsning: Vi gjør de nødvendige stegene: 2

3 1. Vi regner først ut f(x 0, y 0, z 0 ): f(0, 1, 0) = = 1 2. Vi regner deretter ut de partielt deriverte f x, f y og f z i (x 0, y 0, z 0 ): f x = f = x x (x2 + y 2 + z 2 ) = 2x så f x (0, 1, 0) = 2 0 = 0 f y = f = y y (x2 + y 2 + z 2 ) = 2y så f y (0, 1, 0) = 2 1 = 1 f z = f = z z (x2 + y 2 + z 2 ) = 2z så f z (0, 1, 0) = 2 0 = 0 3. Vi setter deretter inn i formel for L(x, y, z): L(x, y, z) = f(x 0, y 0, z 0 ) + f x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + f z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = f(0, 1, 0) + f x (0, 1, 0)(x 0) + f y (0, 1, 0)(y 0) + f z (0, 1, 0)(z 0) = (x 0) + 1 (y 1) + 0 (z 0) = y) 3

4 Flervariable funksjoner: Metode 12, Totalt differensial I boka: Kapittel 11.6, Definitions, s Definisjon 3 (2 variable) Nært knyttet til lineariseringen er det totale differensalet til f i punktet (x 0, y 0 ): df = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dx hvor fx = x x 0 og dy = y y 0. df = L(x, y) L(x 0, y 0 ), og er ikke f(x, y) f(x 0, y 0 ). Motivasjon: Differensialet uttrykker altså hvor mye L(x, y) endrer seg når x-verdien endrer seg dx bort fra x 0, og y-verdien endrer seg dy bort fra y 0. Differensialet er derfor en meget god tilnærming til hvor mye f(x, y) endrer seg når du går dx og dy enheter bort fra henholdsvis x 0 og y 0, og er egentlig ikke annet enn en ofte hensiktsmessig måte å skrive lineariseringen på. Vi ser på omskrivingsprosessen: L(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) - Lineariseringen L(x, y) f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy - Definisjon av dx og dy L(x, y) L(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy - L(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) df = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy - Hva df er Definisjon 4 (3 variable) Differensialet til funksjonen f(x, y, z) i punktet (x 0, y 0, z 0 ) er df = f x (x 0, y 0, z 0 )dx + f y (x 0, y 0, z 0 )dx + f z (x 0, y 0, z 0 )dz Tilsvarende for 4 og fler variable. Metode: Vi setter opp en tabell over de relevante formlene for forholdet mellom endring og estimat, tilsvarende den på s. 930 i Thomas Calculus: Forandring Absolutt forandring Relativ forandring Prosentvis forandring Estimat df df f(x 0,y 0 ) df f(x 0,y 0 ) 100% 4

5 Eksempel: ( ) Hvor nøyaktig kan vi regne ut volumet til en sylinder, V = πr 2 h når usikkerheten i r og h begge er på 1%? Løsning: Vi er ute etter prosentvis usikkerhet, siden premissene for stykke var prosentvis usikkerhet. 1. Vi regner først ut differensialet: (a) V r = r ( πr2 h) = 2πrh (b) V h = h ( πr2 h) = πr 2 (c) dv = V r dr + V h dh = 2πrhdr + πr 2 dr 2. Vi regner så ut den prosentvise usikkerheten. En usikkerhet på 1% betyr at dr 0.01 r 0.01, så og dh h dv V 100% = 2πrhdr + πr2 dr πr 2 h 100% = (2 dr r + dh ) 100% = 3% h Eksempel: I en produksjon skal to bjelker stilles opp sammen med et tau i en Pytagoreisk trekant. Bjelkene har lengder x (1. katet), y (2. katet), og tauet får da lengde f(x, y) = x 2 + y 2 (hypotenus). x skal ha lengde 3m, men lengden varierer med ±5cm, og y skal ha lengde 4m, men har variasjon ±7cm. Hva er det korteste vi kan la tauet være om vi skal sikre oss at det kan være hypotenus uansett hvilken av de unøyaktige bjelkene vi får? Løsning: Vi er ute etter absolutt usikkerhet, siden premissene for stykke var absolutt usikkerhet. 1. Vi regner først ut hvor langt tauet må være dersom målene er presise: f(3, 4) = = Vi regner først ut differensialet for (x 0, y 0 ) = (3, 4): (a) f x = ( x2 + y x 2 ) = x x, så f x (3, 4) = 3 5 (b) f y = ( x2 + y y 2 ) = y x, så f x (3, 4) = 4 5 (c) df = f x dx + f y dy = 3x + 4y Vi regner så ut usikkerheten: df = 3 5 x y = 3 5 x y m m = 0.086m. Tauet må da være minst 5m m 5.09m 5

6 Flervariable funksjoner: linearisering Metode 13, Feilestimat for I boka: Kapittel 11.6, The Error..., s Motivasjon: Siden L ikke er identisk med f, men kun en tilnærming, er det på sin plass å regne ut hvor mye feil du tar når du bruker L i stedet for f. Til dette har vi feilestimatsformelen under. Definisjon 5 E(x, y) = L(x, y) f(x, y). Regel/Formel: (2 variable) Hvis f har kontinuerlige første og annenordens deriverte i en åpen mengde rundt rektangelet R, og vi har en M slik at f xx M f yy M f xy M for alle (x, y) i R, så er E(x, y) 1 2 M( x x 0 + y y 0 ) 2 Metode: Hvordan finne estimat på E(x, y) i et rektangel R: 1. Bestem hvilket område R du ønsker estimatet for: Altså finn positive tall a, b, c, d som beskriver de (x, y) du er interessert i: x [x 0 a, x 0 + b] og y [y 0 c, y 0 + d] 2. Finn de annenderiverte til f: f xx, f yy, f xy. 3. Husk at f xx, f yy og f xy er funksjoner, og finn deres maksimumsverdier på R. 1 Den største av disse tre verdiene kaller du M. 4. Du har nå estimatet: E(x, y) 1 2 M( x x 0 + y y 0 ) 2 1 Selv om denne operasjonen i teorien kan føre oss godt utenfor vårt pensum, vil det i praksis være svært enkelt å besvare dette punktet. 6

7 Det kan være at denne problemstillingen er innbakt i andre problemstillinger, på samme måte som rest-estimat for Taylor-rekker kunne være inbakt i andre problemstillinger vedrørende feilmåling og avvik. Eksempel: Finn lineariseringen L(x, y) av f(x, y) i P 0, og finn deretter et estimat på feilen E(x, y) i rektangelet R, når (11.6.8) f(x, y) = 1 2 x2 + xy y2 + 3x 3y + 4, P 0 y = (x 0, y 0 ) = (2, 2), og x og Løsning: 1. Vi finner først L(x, y): (a) f(x 0, y 0 ) = f(2, 2) = = = 11 (b) f x = x + y + 3, så f x (2, 2) = = 7 (c) f y = x y 3, så f x(2, 2) = = 0 (d) df = (x 2) + 0(y 2) = 7x 3 2. Så finner vi E. Vi merker oss at R er oppgitt i oppgaven: x = 2±0.1, y = 2±0.1. (a) Vi finner de annenderiverte: i. f xx = (f x ) x = (x + y + 3) = 1 x ii. f yy = (f y ) y = (x + 1y 3) = 1 y 2 2 iii. f xy = (f x ) y = (x + y + 3) = 1 y (b) Da må M = 1, siden den er maksimum av de annenderiverte over området R. (c) Vi har da estimatet E(x, y) 1 2 ( x 2 + y 2 )2 for hver verdi av x og y. (d) Felles estimat for hele området R finner vi ved å merke oss at x og y 2 0.1, så E(x, y) 1 ( x 2 + y 2 )2 2 1 ( )2 2 =