MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT

Transkript

1 MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT 3 Skriftlige besvarelser skal innleveres til den gruppelæreren på den regneøvelsen hver enkel er påmeldt til, etter nærmere avtale. Innleveringsfristen er fredag 4. mai. Maple-utregningene til punktene 1b)c), 2a)b)c)d), 3 a)b)c) kan vedlegges som utskrift, men de kan også sendes som et Maple-dokument via til gruppelæreren dersom dette virket tilfredsstillende forrige gang. (Du kan gjerne bruke Maple på noen av de andre punktene dersom du synes det er hensiktsmessig). OPPGAVE 1 Vi betrakter en reell funksjon f(x, som antaes å ha kontinuerlige 2.ordens partiell deriverte i en disk rundt punktet (a,b). Vi setter K = f ( a, b ), U = f x ( a, b ), V = f y ( a, b ). (Vi bruker her samme notasjon for de partiell deriverte til f som i Adams bok). Som kjent er den lineære approksimasjonen L(x, til f(x, rundt (a,b) gitt ved L ( x, y ) = K + U ( x a ) + V ( y b ) og grafen til L(x, er tangentplanet til f(x, i punktet P = (a, b, f(a,b)) = (a, b, K). (L(x, kalles også 1. ordens Taylor-polynomet til f(x, i (a,b)). Vi setter nå Page 1

2 A = f xx ( a, b ), B = f xy ( a, b ), C = f yy ( a, b ) og definerer polynomet Q(x, ved Q ( x, y ) = L ( x, ( A ( x a ) B ( x a ) ( y b ) + C ( y b ) 2 ) a) Sjekk at alle de 1. og 2. ordens partiell-deriverte til Q(x, i (a,b) stemmer overens med de tilsvarende partiell-deriverte til f(x, i (a,b). Q(x, kalles den kvadratiske approksimasjonen til f(x, rundt (a,b). (Den kalles forøvrig også 2. ordens Taylor-polynomet til f(x, i (a,b)). For mange funksjoner vil Q(x, approksimere f(x, nær (a,b) bedre enn det L(x, gjør. Du skal nå bruke Maple til å illustrere dette på to eksempler. b) La f ( x, = x 2 e ( 1 x2 y 2 ) og ( a, b ) = ( 1, 0 ). Regn ut L(x, og Q(x,. Angi (Maple-)verdiene til f, L og Q i punktet (0.7, 0.2). Lag en figur som viser grafene til f, L og Q over kvadratet gitt ved 0 x 2, -1 y 1. c) La f ( x, y ) = ln ( 1 + x + y ) og ( a, b ) = ( 0, 0 ). Regn ut L(x, og Q(x,. Skisser grafene til restleddene E1 ( x, y ) = f ( x, y ) L ( x, y ) og E2 ( x, y ) = f ( x, y ) Q ( x, y ) over kvadratet gitt ved x 0.4, y 0.4. Bestem deretter et positivt tall r slik at E2 ( x, y ) for alle ( x, i kvadratet gitt ved x r, y r. For å bestemme r kan du "zoome" deg inn på grafen til E2 ( x, y ) rundt punktet (0,0,0). Det holder her å gjengi grafen til E2 over det kvadratet du har kommet frem til; husk å ha med skalaen på alle tre aksene synlig i bildet. Page 2

3 OPPGAVE 2 Vi betraker funksjonen f ( x, y ) = sin( x ) + sin( y ) sin ( x + y ) definert på kvadratet D angitt ved x π, y π. a) Skisser grafen til f over D. b) Som du vil lett se i a), har f et lok. maks. punkt, et lok. min. punkt og et sadelpunkt i det indre av D. Lag et nivå-diagram med nivåkurver for f i kvadratet D. Få med såpass mange nivåkurver at du klarer å få en viss peiling på koordinatene til de tre kritiske punktene i det indre av D. c) Angi de to likningene som bestemmer de kritiske punktene til f i det indre av D. Bruk så "fsolve"-kommandoen på dette likningsystemet og bestem herved (approksimativt) disse tre punktene. (For å klare det må du styre fsolve-kommandoen ved å angi passende skranker for x- og y-koordinatene. Du trenger da å bruke det du har funnet i b)). d) Bruk 2. ordensderiverte testen til å sjekke typen av de kritiske punktene i det indre av D. e) Funksjonen f antar en maksimumsverdi og en minimumsverdi på D. Begrunn dette og angi (approksimativt) disse verdiene. (Det holder ikke her at du bare henviser til grafen til f). f) (frivillig) Løs likningssystemet fra b) "for hånd". Page 3

4 OPPGAVE 3 Takduken på vårt oppslåtte telt kan modelleres som grafen S til funksjonen f ( x, = 2 e ( x2 ) cos π x y 2 over kvadratet K angitt ved x 1, y 1. a) Skisser flaten S. b) Beregn gradientvektoren til f i ( x,. Angi retningen ut i fra punktet P = (0.3, 0.5) der f avtar raskest. c) Lag et bilde som viser et nivå-diagram for nivåkurvene til f i kvadratet K sammen med gradientvektoren til f i et passende antall punkter. (Du må bruke "display"-kommandoen for å kunne vise dette i et bilde. For å få frem gradientvektoren i noen punkter kan du bruke "fieldplot"-kommandoen). d) Det begynner å regne. En regndråpe lander på S i punktet Q = (0.3, 0.5, f(0.3,0.5)). Den sklir så nedover S på den måten at den følger kurven C som gir raskest høydenedstigning hele veien ned. Bruk bildet fra c) til å anslå etter beste evne koordinatene til punktet R på randkurven til S der regndråpen forlater takduken. Forklar gjerne hvordan du har tenkt for å komme frem til ditt svar. e)(frivillig) Lag en skisse som viser både flaten S og (en approksimasjon av) kurven C. (Hint: Finn først en approksimasjon av kurven som x- og y-koordinatene til regndråpen følger i xy-planet. Bruk da gjerne "dsolve"-kommandoen, med "numeric" som opsjon, på en passende diff. likning. Løft så denne kurven opp til S: du kan f.eks. regne ut et viss antall punkter på C og forbinde disse punktene med linjesegmenter - det er jo slik Maple selv går frem for å tegne kurver). Page 4

5 Page 5