Restklasseregning med Lego

Transkript

1 Cato Tveit Restklasseregning med Lego En innledning Ligger det matematiske utfordringer for barn i det å bygge hus med legoklosser? Ja, vil muligens noen hevde, og de innlysende eksemplene er ofte: telling, geometri i form av visualisering, romforståelse og formforståelse, og gjerne også nødvendig kreativitet i matematiske forstand for å løse praktiske byggeproblemer. Alt litt avhengig av hvor gamle barna er. Dette er også gjerne ting man som pedagog ønsker å forsterke etter at huset er bygd. Fokus blir da på ting som: Hvor mange klosser trengte vi? Hvor stort er arealet av veggene? Volumet av huset? Og barnas bruk av begrep for å uttrykke seg utvetydig. (se f. eks. Herbjørnsen [2] for beskrivelse av et prosjekt der bygging av hus med legoklosser inngår). Jeg stiller igjen spørsmålet, men litt reformulert: Er dette essensen av matematisk læring som vi kan trekke ut av husbygging med legoklosser? Jeg mener nei. I husbygging med legoklosser inngår det mye mer matematikk. Samtlige Cato Tveit er universitetslektor ved Universitetet i Stavanger, Institutt for allmennlærerutdanning og spesialpedagogikk, cato.tveit@uis.no Figur 1: Hus med tak i sveitserstil av de ovenfor nevnte momentene kan vi også finne ved bygging i andre materialer (se f. eks. Avdem [1]). I det følgende ønsker jeg å gå litt lenger inn i legomaterien. Utgangspunktet mitt er ikke at lego er et godt redskap for å lære matematikk. Min planlagte konklusjon går mer i retning av at legobygging medfører utvikling av et grunnlag for god matematisk forståelse på flere områder. Følgelig blir hypotesen at barn som har gode og omfattende erfaringer med legobygging i ung alder, stiller med et fortrinn i matematikk i senere skolesammenheng. Min intensjon blir nå å forsøke å peke på hvorfor. Problemstilling For å gjøre ideene klare, trenger vi en konkret problemstilling som vi skal analysere. tangenten 1/

2 Figur 2: 2 2-klosse, 2 3-klosse, 2 4-klosse og klosse Oppgaven: bygg et hus med fire vegger taket skal ikke være for bratt, og huset skal ha vide takskjegg (sveitserstil) Her trengs det noen presiseringer, og innføring av noen definisjoner, slik at det blir mulig for utrente legobyggere å følge tankegangen videre. En enhet, i legoterminologi, tilsvarer en knott på en legoklosse. Siden knottene er på oversiden av klossene, har vi her enheter for lengde og bredderetning på legobyggverket. Legoklosser finnes i ulike tykkelser. Høyden på alle klossene som omtales her 1 cm (dette kan gjerne brukes som definisjon på enhet i høyderetningen). Prototypen på en legoklosse anses gjerne å være 2 4-klossen. De øvrige klossene som omtales her vil være 2 2-klossen, 2 3-klossen, og klosser til takbygging med utgangspunkt i og Først, med fire vegger er det underforstått av vi snakker om et hus med rektangulær grunnfalte, dvs. grunnmuren får rektangulær form sett ovenfra. Ut fra tilgjengelige legoklosser er det her også underforstått at veggene har tykkelse 2. Med tak i sveitserstil menes et ikke spesielt bratt tak, dvs bygd med utgangspunkt i klosser, der to enheter henger utfor langsideveggen av huset (takskjegget). Med langsidevegg menes den veggen som ikke har gavl. 38 Ideelt skulle et tak i sveitserstil også henge to eller flere enheter ut over endeveggen (veggen med gavl), men dette er ikke noe vesentlig krav for den videre utledningen. Barn og legobygging Legoklossebyggernes hovedproblem at det ikke er ubegrenset tilgang på klosser. (I resten av artikkelen er det underforstått at det ikke er ubegrenset tilgang på alle typer klosser). De sofistikerte legobyggerne spør da gjerne: er det nok klosser til prosjektet vårt? De mer konkretorienterte repliserer gjerne: la oss bygge, så ser vi etter hvert. Et av de kraftigste pedagogiske momentene ved legobygging, er at slike avveiinger gjør at en gitt utfordring blir selvdifferensierende. De som tar en teoretisk utfordring kan resonnere i forkant, de som ikke motiveres like mye av teoretiske utfordringer kan gå i gang med å forsøke å løse den praktisk først. Det interessante her er at utfordringen som er gitt innledningsvis ikke lar seg løse uten litt strategisk tenking. Følgelig vil alle som ikke tenker ut en komplett løsningen i forkant før eller siden konfronteres med et problem. Da trengs det noen strategier for problemløsing. Oppgaven vår vil på dette punktet bli et konkret skoleeksempel på bruk av Pólyas strategi for problemløsning [3]. Når barn går i gang med et slikt byggeprosjekt, er det trolig noen klosser som blir 1/2005 tangenten

3 andre typer klosser. Klosser av typen 2 n, der n > 4, er store, og derfor greie å bygge med, så lenge de er tilgjengelig. Ellers er 2 4-klosser svært foretrukket. Klossen 2 3 faller noe krevende å bruke. Klossen 2 2 er ok, men ikke alene, da den gir problemer med å låse klossene fra forrige lag. Det å låse klossene fra forrige lag er essensielt for at huset skal bli stabilt. Dersom klossene ikke låses, får vi deler av veggene som høye tynne søyler. Dette problemet refereres også av Herbjørnsen [2]: «De som ikke fant ut av det, fikk en mengde løse søyler som de satte ved siden av hverandre.» Hvordan selve byggingen nå utarter seg, er selvsagt svært individuelt. Det er imidlertid et par strategier som er interessant å belyse. Videre er det et par problem som må løses for å faktisk kunne bygge det omtalte huset. I det følgende betraktes husbyggingsstrategiene rent matematisk, deretter kobles de til barns bygging, og barns erfaringsstrategier med bygging. Figur 3a: 1 symmetriakse. Figur 3b: 2 symmetriakser. Figur 3c: låsende lag. foretrukket å bygge med. Disse klossene blir gjerne brukt opp først, og da går man over til Strategi: Speilingsbygging Speilingsbygging innebærer at hvert klosselag i den rektangulære grunnmuren har en (figur 3a) eller to (figur 3b) symmetrisakser med tanke på hvordan de enkelte klossene er plassert. Vi kan definere en byggestrategi som ekte dersom utelukkende en type klosse anvendes. For at klossene i neste lag skal låse forrige lag (se figur 3c), ser vi at ekte speilingsbygging bare kan utføres med klosser av type 2 4. Dersom man skulle forsøke å benytte utelukkende klossen 2 3 ved speilingsbygging, vil det oppstå et behov for andre typer klosser for å justere i neste lag. Dette medfører at en vegg som er symmetrisk om en akse, med ekte speilingsbygging, har lengden 4f, der f er et naturlig tall (og f henviser til antall firerklosser). tangenten 1/

4 Figur 4a: rotasjonsbygging. Figur 4b: låsende lag Strategi: Rotasjonsbygging Rotasjonsbygging innebærer at klossenes plassering i den rektangulære grunnmuren skal ha en rotasjonssymmetri ved rotasjon 180 om et senter i grunnmuren (se figur 4a). For å skille rotasjonsbygging fra speilingsbygging, skal også klossene plasseres slik at dersom langveggen kortes inn slik at grunnmuren blir kvadratisk, skal vi også ha rotasjonssymmetri ved rotasjon 90 om et senter i grunnmuren. Dette medfører at alle klossene kan brukes til ekte rotasjonsbygging. Ved å sette klossene motsatt vei i neste lag (se figur 4b), vil vi låse klossene fra forrige lag (her ser vi imidlertid at bruk av 40 Figur 5 a c utelukkende 2 2-klosser ikke låser ved rotasjonsbygging). Betrakter vi utelukkende 2 3-klossen vil veggenes lengde bli på formen 3t + 2, der t N 1/2005 tangenten

5 (og t henviser til antall treerklosser). Betrakter vi utelukkende 2 4-klossen vil veggenes lengde bli på formen 4f + 2, der f N. Bygging av hus med sveitsertak Vi betrakter nå konsekvensene av kriteriene (definert tidligere) for hus med tak i sveitserstil. Med utgangspunkt i takklosser, gir dette at to av enhetene skal henge ut over langsideveggen, mens den siste enheten bygges oppå siste lag med klosser i veggen. Dette medfører at første lag med takklosser spiser to enheter av husets endevegg (se figur 5b). En takkloss i neste lag overlapper en enhet med forrige lag med takklosser, og spiser to nye enheter av endeveggen (se figur 5c). Følgelig, hvert påfølgende lag med takklosser forbruker 4 enheter av endeveggen. For at siste lag med takklosser skal møtes i mønet, må endeveggens lengde kunne skrives på formen 4n + 2, der n N. Planlegging Dersom vi planlegger å bygge et hus med sveitsertak, med utgangspunkt i ekte speilingsbygging eller ekte rotasjonsbygging, ser vi at det er av interesse å betrakte de heltallige løsningene til følgende ligninger. Ekte speilingsbygging: 1) 4f = 4n + 2 rotasjonsbygging med bare 2 4-klosser: 2) 4f + 2 = 4n + 2 rotasjonsbygging med bare 2 3-klosser: 3) 3t + 2 = 4n + 2 Ligning 1) har ingen løsning. Ligning 2) og 3) har mange løsninger. Et optimalt utgangspunkt kan betraktes som å bygge et hus der det finnes en løsning til ligning 2) og 3) samtidig. Dette gir oss mulighet til å bruke ulike klosser, og fortsatt tenke ekte rotasjonsbygging. Essensen i problemet kan også formuleres som å finne heltallige løsninger til 4f = 3t. Vi har heltallige løsninger for hvert multippel av 3 stk 2 4- klosser (eller 4 stk 2 3-klosser), dvs. endeveggens optimale lengde er på formen 12x + 2, der x N. Faktisk bygging Den mest primitive byggeteknikken omtalt ovenfor er speilingsbygging. Dersom barna har nok 2 4-klosser tilgjengelig, er det rimelig stor sannsynlighet for at de ikke-sofistikerte byggerne går i gang med 2 4 speilingsbygging. Disse barna erfarer problemer idet det er slutt på 2 4-klossene, eller idet de skal gjøre ferdig mønet på sveitserhustaket. Som utledet ovenfor, huset kan ikke få sveitsertak dersom man starter på denne måten. Utgangspunktet for å starte med denne type bygging er gode erfaringer med partall og partallsløsninger, altså vegglengder som har 2 som faktor. Klossen 2 4 oppleves som en god klosse. En backup for dette utgangspunktet kan ofte være å sette to og to 2 3-klosser sammen (tilsvarer en 2 6-klosse). Her kjenner altså legobyggeren til prinsippet for minste felles multiplum til 2 og 3. Dette gir byggeklosselementene en felles faktor 2. Ulempen er at idet det er slutt på 2 4-klossene, må kompensasjonen til speilingsbygging med 2 3 bli bruk av 2 2-klosser, som ikke gir muligheten for skikkelig låsing. (En måte å låse med bruk av 2 3- og 2 2-klosser er å kombinere to 2 3- klosser, men ikke ved siden av hverandre. Her ligger det da til grunn et poeng med å stable på beina en rekke av oddetallskombinasjoner, dvs 3 pluss et multiplum av 2, som igjen partallsrettes ved å legge til 3 til slutt. Noen avanserte tangenten 1/

6 legobyggere knekker den koden.) Eksempler på matematisk tenkning som ligger bak det å satse på speilingsstrategi kan være: gode erfaringer med praktisk bruk av speilingssymmetri, etablering av minste felles multiplum til 2 og 3 som partall og avansert generell behandling av tall med faktor 2, dvs. partall. Rotasjonsbyggeteknikken kan betegnes som noe mer sofistikert enn speilingsteknikken. I utgangspunktet åpner den for flere valg av vegglengder, samtidig som den åpner for strategier med bruk av ulike klosser. Den sofistikerte legobyggeren vil ha erfaringer med bygging av sveitsertak, og kan da forutsi hvilke mål grunnmuren bør ha. Vi vil her kunne observere to varianter: den legobyggeren som vet at kravet 4f + 2 til kortveggens lengde er nok, og den legobyggeren som ser at valget 12x + 2 til kortveggens lengde gir visse fordeler etter hvert som det minker på legoklossene. Legobyggeren som ser at rotasjonsbygging og 4f + 2 som vegglengde er nøkkelstrategier, har en del uformelle erfaringer med ulike typer symmetri, og videre, behersker ulike typer symmetri og restklasseregning. Legobyggeren som i tillegg ser at 12x + 2 som valg av vegglengde er et strategisk lurt valg, har et særdeles godt forhold til minste felles multiplum for to tall. Problemet som først er formulert, deretter løst, kan formelt skrives på formen: 42 kortvegglengde 2 (mod mfm(3, 4)). Går vi her et trinn tilbake, og innser at de fleste erfarne legobyggerne i stor grad vil prøve seg fram, kan vi fortsatt reise et par spørsmål omkring hvilke tanker og konklusjoner disse barna gjør seg idet de finner hvilke valg som gjør det mulig å bygge huset. Barna som kan planlegge alle detaljene i forkant har utvilsomt en særs god forståelse av største felles faktor og minste felles multiplum. Barna som løser problemet ved å prøve seg fram med bygging, arbeider med disse problemstillingene på en konkret måte, og finner en løsning. De har altså utstrakt erfaring med å finne felles faktor og felles multipler, om enn på en mer konkret måte. Problem som ikke omtales grundig Utgangspunktet for mine utledninger er: hvilken matematikk er det de erfarne legobyggerne behandler, på en uformell måte? Legobygging i en skolesituasjon vil medføre en del problemer som jeg ikke peker på her. Mange elever vil trolig møte elementære byggeproblemer, grunnet noe svak erfaring med legobygging. Et eksempel på dette er problemene med lagvis bygging kontra det å bygge ferdig en og en vegg, og problemet med låsende byggeteknikk. Dette er to ulike vinklinger på samme problem. Andre aspekt kan være valg av andre strategier enn de jeg har omtalt. Et eksempel på det kan være å spare litt på de kjekke klossene, for å kunne bruke dem til å supplere med mot slutten. Trolig vil få barn bygge helt konsekvent etter de rene metodene som omtalt ovenfor. Å bygge slavisk etter dem vil trolig bli betraktet som noe kjedelig, da det medfører at alle klossene må sorteres først. Imidlertid vil erfarne legobyggere kjenne til flere av prinsippene, og bruke dem indirekte og delvis. Dette vil da innebære at de da nødvendigvis har en viss uformell forståelse av og erfaring med de omtalte matematiske begrepene, selv om disse ikke hele tiden kommer fram i rendyrket form. 1/2005 tangenten

7 Didaktisk verdi? Min analyse var ment som påpekning av hvordan man kan anta at erfaringer innen legobygging har overføringsverdi til mer kjent formell matematikk. I skolesammenheng er det mulig å trekke linjer fra erfaringer med legobygging til formell matematikk, for de elevene som har denne erfaringen. En konsekvens her er også at dette belyser noen aspekt ved små barns legobygging som kan være interessante å forsterke. Variasjon av byggestrategier, som gir ulike erfaringer, er et essensielt moment. (fortsatt fra side 32) Det er mi von at ei realisering i læreplanen av dei tre punkta nemnd over kan gje eit grunnlag for at lærar A og lærar B skal koma kvarandre i møte, og dra lasset saman. Eller sagt på ein annan måte, at den tradisjonelle formidlingspedagogikken skal smelta saman med den moderne aktivitetspedagogikken til noko nytt og gjevande for matematikkfaget. Målt på den måten at evalueringa av den neste læreplanen viser eit samsvar mellom plan og praksis, og at Noreg gjer det bra i nye versjonar av dei internasjonale undersøkinga PISA og TIMSS. Litteratur [1] Avdem, M. S. og Ryen, S. J. (1999): Isslottet. DMMHs publikasonssserie nr. 3/1999. [2] Herbjørnsen, O. (2003): Lego og lavvo. Tangenten nr. 2/2003. Caspar Forlag AS. [3] Pólya, G. (1957): How to solve it : a new aspect of mathematical method 2nd ed. Garden City, N.Y.: Doubleday Bøker [1] Jorde, D. og Bungum, B. (red.) (2003) Naturfagdidaktikk. Oslo:Gyldendal [2] Sjøberg, S. (2003). Fagdebatikk. Oslo: Gyldendal [3] Skovsmose, O. (1994) Towards a Philosophy of Critical Mathematics Education. London:Kluwer Academic Publishers Internett Brekke, Breiteig og Alseth (2003) Synteserapport. Evaluering av matematikken etter L97 uploaded/nedlasting/brekke.doc tangenten 1/