Ligger det matematiske utfordringer for barn i det å bygge hus med legoklosser?
|
|
- Håvard Carlsson
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Restklasseregning med LEGO Av Cato Tveit En innledning Ligger det matematiske utfordringer for barn i det å bygge hus med legoklosser? Ja, vil muligens noen hevde, og de innlysende eksemplene er ofte: telling, geometri i form av visualisering, rom forståelse og form forståelse, og gjerne også nødvendig kreativitet i matematiske forstand for å løse praktiske byggeproblemer. Alt litt avhengig av hvor gamle barna er. Dette er også gjerne ting man som pedagog ønsker å forsterke etter at huset er bygd. Fokus blir da på ting som: Hvor mange klosser trengte vi? Hvor stort er arealet av veggene? Volumet av huset? Og barnas bruk av begrep for å uttrykke seg utvetydig. (se f eks Herbjørnsen 2003 for beskrivelse av et prosjekt der bygging av hus med legoklosser inngår). Jeg stiller igjen spørsmålet, men litt reformulert: Er dette essensen av matematisk læring som vi kan trekke ut av husbygging med legoklosser? Jeg mener nei. I husbygging med legoklosser inngår det mye mer matematikk. Samtlige av de ovenfor nevnte momentene kan vi også finne ved bygging i andre materialer (se f eks Avdem 1999). I det følgende ønsker jeg å gå litt lenger inn i lego materien. Utgangspunktet mitt er ikke at lego er et godt redskap for å lære matematikk. Min planlagte konklusjon går mer i retning av at legobygging medfører utvikling av et grunnlag for god matematisk forståelse på flere områder. Følgelig blir hypotesen at barn som har gode og omfattende erfaringer med legobygging i ung alder, stiller med et fortrinn i matematikk i senere skolesammenheng. Min intensjon blir nå å forsøke å peke på hvorfor. Problemstilling For å gjøre ideene klare, trenger vi en konkret problemstilling som vi skal analysere. Oppgaven: - bygg et hus med fire vegger - taket skal ikke være for bratt, og huset skal ha vide takskjegg (sveitserstil) [Fig. 1: Hus med tak i sveitserstil] Her trengs det noen presiseringer, og innføring av noen definisjoner, slik at det blir mulig for utrente lego byggere å følge tankegangen videre. En enhet, i lego terminologi, tilsvarer en knott på en legoklosse. Siden knottene er på oversiden av klossene, har vi her enheter for lengde og bredderetning på legobyggverket. Legoklosser finnes i ulike tykkelser. Høyden på alle klossene som omtales her 1 cm (dette kan gjerne brukes som definisjon på enhet i høyderetningen). Prototypen på en legoklosse anses
2 gjerne å være 2 4 klossen. De øvrige klossene som omtales her vil være 2 2 klossen, 2 3 klossen, og klosser til takbygging med utgangspunkt i og [Fig 2: 2 2 klosse, 2 3 klosse, 2 4 klosse og klosse] Først, med fire vegger er det underforstått av vi snakker om et hus med rektangulær grunnfalte, dvs grunnmuren får rektangulær form sett ovenfra. Ut fra tilgjengelige legoklosser er det her også underforstått at veggene har tykkelse 2. Med tak i sveitserstil menes et ikke spesielt bratt tak, dvs bygd med utgangspunkt i klosser, der to enheter henger utfor langsideveggen av huset (takskjegget). Med langsidevegg menes den veggen som ikke har gavl. Ideelt skulle et tak i sveitserstil også henge to eller flere enheter ut over endeveggen (veggen med gavl), men dette er ikke noe vesentlig krav for den videre utledningen. Barn og lego bygging Legoklossebyggernes hovedproblem at det ikke er ubegrenset tilgang på klosser. (I resten av artikkelen er det underforstått at det ikke er ubegrenset tilgang på alle typer klosser). De sofistikerte legobyggerne spør da gjerne: er det nok klosser til prosjektet vårt? De mer konkretorienterte repliserer gjerne: la oss bygge, så ser vi etter hvert. Et av de kraftigste pedagogiske momentene ved legobygging, er at slike avveiinger gjør at en gitt utfordring blir selvdifferensierende. De som tar en teoretisk utfordring kan resonere i forkant, de som ikke motiveres like mye av teoretiske utfordringer kan gå i gang med å forsøke å løse den praktisk først. Det interessante her er at utfordringen som er gitt innledningsvis ikke lar seg løse uten litt strategisk tenking. Følgelig vil alle som ikke tenker ut en komplett løsningen i forkant før eller siden konfronteres med et problem. Da trengs det noen strategier for problemløsing. Oppgaven vår vil på dette punktet bli et konkret skoleeksempel på bruk av Pólyas strategi for problemløsning (se Pólya 1957 for utførlig beskrivelse av problemløsingsstrategier). Når barn går i gang med et slikt bygge prosjekt, er det trolig noen klosser som blir foretrukket å bygge med. Disse klossene blir gjerne brukt opp først, og da går man over til andre typer klosser. Klosser av typen 2 n, der n>4, er store, og derfor greie å bygge med, så lenge de er tilgjengelig. Ellers er 2 4 klosser svært foretrukket. Klossen 2 3 faller noe krevende å bruke. Klossen 2 2 er ok, men ikke alene, da den gir problemer med å låse klossene fra forrige lag. Det å låse klossene fra forrige lag er essensielt for at huset skal bli stabilt. Dersom klossene ikke låses, får vi deler av veggene som høye tynne søyler. Dette problemet refereres også av Herbjørnsen: De som ikke fant ut av det, fikk en mengde løse søyler som de satte ved siden av hverandre (Herbjørnsen 2003). Hvordan selve byggingen nå utarter seg, er selvsagt svært individuelt. Det er imidlertid et par strategier som er interessant å belyse. Videre er det et par problem som må løses for å faktisk kunne bygge det omtalte huset. I det følgende betraktes husbyggingsstrategiene rent matematisk, deretter kobles de til barns bygging, og barns erfaringsstrategier med bygging.
3 Strategi: Speilingsbygging [Fig 3a: 1 symmetriakse. Fig 3b: 2 symmetriakser. Fig 3c: låsende lag.] Speilingsbygging innebærer at hvert klosselag i den rektangulære grunnmuren har en (fig 3a) eller to (fig 3b) symmetrisakser med tanke på hvordan de enkelte klossene er plassert. Vi kan definere en byggestrategi som ekte dersom utelukkende en type klosse anvendes. For at klossene i neste lag skal låse forrige lag (se fig 3c), ser vi at ekte speilingsbygging bare kan utføres med klosser av type 2 4. Dersom man skulle forsøke å benytte utelukkende klossen 2 3 ved speilingsbygging, vil det oppstå et behov for andre typer klosser for å justere i neste lag. Dette medfører at en vegg som er symmetrisk om en akse, med ekte speilingsbygging, har lengden 4f, der f er et naturlig tall (og f henviser til antall firerklosser). Strategi: Rotasjonsbygging [Fig 4a: rotasjonsbygging. Fig 4b: låsende lag] Rotasjonsbygging innebærer at klossenes plassering i den rektangulære grunnmuren skal ha en rotasjonssymmetri ved rotasjon 180 om et senter i grunnmuren (se fig 4a). For å skille rotasjonsbygging fra speilingsbygging, skal også klossene plasseres slik at dersom langveggen kortes inn slik at grunnmuren blir kvadratisk, skal vi også ha rotasjonssymmetri ved rotasjon 90 om et senter i grunnmuren. Dette medfører at alle klossene kan brukes til ekte rotasjonsbygging. Ved å sette klossene motsatt vei i neste lag (se fig 4b), vil vi låse klossene fra forrige lag (her ser vi imidlertid at bruk av utelukkende 2 2 klosser ikke låser ved rotasjonsbygging). Betrakter vi utelukkende 2 3 klossen vil veggenes lengde bli på formen 3t+2, der t N (og t henviser til antall treerklosser). Betrakter vi utelukkende 2 4 klossen vil veggenes lengde bli på formen 4f+2, der f N.
4 Bygging av hus med sveitsertak [Fig 5a. Fig 5b. Fig 5c.] Vi betrakter nå konsekvensene av kriteriene (definert tidligere) for hus med tak i sveitserstil. Med utgangspunkt i takklosser, gir dette at 2 av enhetene skal henge ut over langsideveggen, mens den siste enheten bygges oppå siste lag med klosser i veggen. Dette medfører at første lag med takklosser spiser to enheter av husets endevegg (se fig 5b). En takkloss i neste lag overlapper en enhet med forrige lag med takklosser, og spiser to nye enheter av endeveggen (se fig 5c). Følgelig, hvert påfølgende lag med takklosser forbruker 4 enheter av endeveggen. For at siste lag med takklosser skal møtes i mønet, må endeveggens lengde kunne skrives på formen 4n+2, der n N. Planlegging Dersom vi planlegger å bygge et hus med sveitsertak, med utgangspunkt i ekte speilingsbygging eller ekte rotasjonsbygging, ser vi at det er av interesse å betrakte de heltallige løsningene til følgende ligninger: 1) 4f = 4n+2 Ekte speilingsbygging 2) 4f+2 = 4n+2 rotasjonsbygging med utelukkende 2 4 klosser 3) 3t+2 = 4n+2 rotasjonsbygging med utelukkende 2 3 klosser Ligning 1) har ingen løsning. Ligning 2) og 3) har mange løsninger. Et optimalt utgangspunkt kan betraktes som å bygge et hus der det finnes en løsning til ligning 2) og 3) samtidig. Dette gir oss mulighet til å bruke ulike klosser, og fortsatt tenke ekte rotasjonsbygging. Essensen i problemet kan også formuleres som å finne heltallige løsninger til 4f = 3t. Vi har heltallige løsninger for hvert multippel av 3 stk 2 4 klosser (eller 4 stk. 2 3 klosser), dvs endeveggens optimale lengde er på formen 12x + 2, der x N. Faktisk bygging Den mest primitive byggeteknikken omtalt ovenfor er speilingsbygging. Dersom barna har nok 2 4 klosser tilgjengelig, er det rimelig stor sannsynlighet for at de ikke-sofistikerte byggerne går i gang med 2 4 speilingsbygging. Disse barna erfarer problemer idet det er slutt på 2 4 klossene, eller idet de skal gjøre ferdig mønet på sveitserhustaket. Som utledet ovenfor, huset kan ikke få sveitsertak dersom man starter på denne måten. Utgangspunktet for å starte med denne type bygging er gode erfaringer med partall og partallsløsninger, altså vegglengder som har 2 som faktor. Klossen 2 4 oppleves som en god klosse. En backup for dette utgangspunktet kan ofte være å sette to og to 2 3 klosser sammen (tilsvarer en 2 6 klosse). Her kjenner altså legobyggeren til prinsippet for minste felles multiplum til 2 og 3. Dette gir byggeklosselementene en felles faktor 2. Ulempen er at idet det er slutt på 2 4 klossene, må kompensasjonen til speilingsbygging med 2 3 bli bruk av 2 2 klosser, som ikke gir muligheten for skikkelig låsing. (En måte å låse med bruk av 2 3 og 2 2 klosser er å kombinere to 2 3 klosser, men ikke ved siden av hverandre. Her ligger det
5 da til grunn et poeng med å stable på beina en rekke av oddetallskombinasjoner, dvs 3 pluss et multiplum av 2, som igjen partallsrettes ved å legge til 3 til slutt. Noen avanserte legobyggere knekker den koden.) Matematisk tenkning som ligger bak det å satse på speilingsstrategi er gode erfaringer med praktisk bruk av speilingssymmetri, etablering av minste felles multiplum til 2 og 3 som partall og avansert generell behandling av tall med faktor 2, dvs partall. Rotasjonsbyggeteknikken kan betegnes som noe mer sofistikert en speilingsteknikken. I utgangspunktet åpner den for flere valg av vegglengder, samtidig som den åpner for strategier med bruk av ulike klosser. Den sofistikerte legobyggeren vil ha erfaringer med bygging av sveitsertak, og kan da forutsi hvilke mål grunnmuren bør ha. Vi vil her kunne observere to varianter: den legobyggeren som vet at kravet 4f + 2 til kortveggens lengde er nok, og den legobyggeren som ser at valget 12x + 2 til kortveggens lengde gir visse fordeler etter hvert som det minker på legoklossene. Legobyggeren som ser at rotasjonsbygging og 4f + 2 som vegglengde er nøkkelstrategier, har en del uformelle erfaringer med ulike typer symmetri, og videre, behersker ulike typer symmetri og restklasseregning. Legobyggeren som i tillegg ser at 12x + 2 som valg av vegglengde er et strategisk lurt valg, har et særdeles godt forhold til minste felles multiplum for to tall. Problemet som først er formulert, deretter løst, kan formelt skrives på formen: kortvegglengde 2 (mod mfm(3, 4)). Går vi her et trinn tilbake, og innser at de fleste erfarne legobyggerne i stor grad vil prøve seg fram, kan vi fortsatt reise et par spørsmål omkring hvilke tanker og konklusjoner disse barna gjør seg idet de finner hvilke valg som gjør det mulig å bygge huset. Barna som kan planlegge alle detaljene i forkant har utvilsomt en særs god forståelse av største felles faktor og minste felles multiplum. Barna som løser problemet ved å prøve seg fram med bygging, arbeider med disse problemstillingene på en konkret måte, og finner en løsning. De har altså utstrakt erfaring med å finne felles faktor og felles multipler, om enn på en mer konkret måte. Problem som ikke omtales grundig Utgangspunktet for mine utledninger er: hvilken matematikk er det de erfarne legobyggerne behandler, på en uformell måte? Legobygging i en skolesituasjon vil medføre en del problemer som jeg ikke peker på her. Mange elever vil trolig møtt elementære bygge problemer, grunnet noe svak erfaring med legobygging. Et eksempel på dette er problemene med lagvis bygging kontra det å bygge ferdig en og en vegg, og problemet med låsende byggeteknikk. Dette er to ulike vinklinger på samme problem. Andre aspekt kan være valg av andre strategier enn de jeg har omtalt. Et eksempel på det kan være å spare litt på de kjekke klossene, for å kunne bruke dem til å supplere med mot slutten. Trolig vil få barn bygge helt konsekvent etter de rene metodene som omtalt ovenfor. Å bygge slavisk etter dem vil trolig bli betraktet som noe kjedelig, da det medfører at alle klossene må sorteres først. Imidlertid vil erfarne legobyggere kjenne til flere av prinsippene, og bruke dem indirekte og delvis. Dette vil da innebære at de da nødvendigvis har en viss uformell forståelse av og erfaring med de omtalte matematiske begrepene, selv om disse ikke hele tiden kommer fram i rendyrket form.
6 Didaktisk verdi? Min analyse var ment som påpekning av hvordan man kan anta at erfaringer innen legobygging har overføringsverdi til mer kjent formell matematikk. I skolesammenheng er det mulig å trekke linjer fra erfaringer med legobygging til formell matematikk, for de elevene som har denne erfaringen. En konsekvens her er også at dette belyser noen aspekt ved små barns legobygging som kan være interessante å forsterke. Variasjon av byggestrategier, som gir ulike erfaringer, er et essensielt moment. Avdem, M. S. og Ryen, S. J. (1999): Isslottet. DMMHs publikasonssserie nr. 3/1999. Herbjørnsen, O. (2003): Lego og lavvo. Tangenten nr. 2/2003. Caspar Forlag AS. Pólya, G. (1957): How to solve it : a new aspect of mathematical method - 2nd ed. Garden City, N.Y.: Doubleday
Restklasseregning med Lego
Cato Tveit Restklasseregning med Lego En innledning Ligger det matematiske utfordringer for barn i det å bygge hus med legoklosser? Ja, vil muligens noen hevde, og de innlysende eksemplene er ofte: telling,
DetaljerPytagoreiske heltallstripler og legoroboter Av Cato Tveit
Pytagoreiske heltallstripler og legoroboter Av Cato Tveit Enheter for mål på legoklosser Du har muligens registrert at legoklossens høyde (tykkelse) ikke er lik bredden, og muligens også at det heller
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
DetaljerSensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013
Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av
DetaljerMatematikk Hjemmeeksamen i gruppe, Høst Mandag 17. desember, kl.9.00 Torsdag 20. desember, kl Sett B
Matematikk 2 1-7 Hjemmeeksamen i gruppe, Høst 2012 Mandag 17. desember, kl.9.00 Torsdag 20. desember, kl. 9.00 Sett B Oppgaven tar utgangspunkt i den vedlagte casen. Eksamensbesvarelsen skal være en analyse
DetaljerFørsteklasses arbeid på veien fram mot formelle symboler
Janne Fauskanger og Marta Vassbø Førsteklasses arbeid på veien fram mot formelle symboler I denne artikkelen vil vi beskrive deler av tallarbeidet i første klasse. I planleggingen tar vi utgangspunkt i
DetaljerInnkalt: en person fra hvert av fagene Pedagogikk Kroppsøving Mat & Helse Engelsk Samfunnsfag - Matematikk
Gruppe 2 Grunnskolelærerutdanningene i Stavanger Innkalt: en person fra hvert av fagene Pedagogikk Kroppsøving Mat & Helse Engelsk Samfunnsfag - Matematikk Oppmøte i gruppen, tirsdag 01.12 og tirsdag 08.12:
Detaljer3 Største felles faktor og minste felles multiplum
3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk
DetaljerPROGRESJONS DOKUMENT. Barnehagens fagområder. Barns læringsprosesser
PROGRESJONS DOKUMENT Barnehagene i SiT jobber ut fra en felles pedagogisk plattform. Den pedagogiske plattformen er beskrevet i barnehagenes årsplaner. Dette dokumentet viser mer detaljer hvordan vi jobber
DetaljerEneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014
Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet
DetaljerRessurshefte til modulen. Problemløsing
Ressurshefte til modulen Problemløsing Utarbeidet av Camilla N. Justnes Matematikksenteret OPPGAVE TIL A FORARBEID: Mens du leser teksten, skal du notere ned eksempler på situasjoner der du selv har observert
DetaljerGeometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.
Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale
DetaljerVurdering for og av læring
Vurdering for og av læring Skolens nye trendord? Svein H. Torkildsen, NSMO Dagens program Arbeidet legges opp rundt 1. læreplanens kompetansemål 2. arbeidsmåter i faget 3. læreboka og pedagogens arbeid
DetaljerArbeid med geometriske figurer på 1. trinn
Bjørg Skråmestø Arbeid med geometriske figurer på 1. trinn På 1. trinn har vi jobbet med geometriske figurer på forskjellige måter. Vi har lagt vekt på at barna skulle få bli kjent med figurene gjennom
DetaljerLæreplanene for Kunnskapsløftet
Læreplanene for Kunnskapsløftet Hvordan få samsvar mellom intensjon og praksis? Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Leder i Lamis Lærebokforfatter; MULTI 21-Mar-06 Intensjoner
DetaljerElevaktiv matematikk. hvorfor og hvordan? Retningslinjer for undervisningen. Intensjoner med ny læreplan. Hvilke utfordringer gir dette lærerne?
Elevaktiv matematikk Hvordan får vi aktive, engasjerte og motiverte elever og lærere i matematikk? hvorfor og hvordan? Mona Røsseland Leder i Lamis Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Lærebokforfatter
DetaljerMatematisk kompetanse en aktivitet
Matematisk kompetanse en aktivitet Matematisk kompetanse - Aktivitet Hvor mange røde kvadrater? Matematisk kompetanse - Aktivitet Hvor mange røde kvadrater? Prinsipper for god regneopplæring 1. Sett klare
DetaljerInspirasjon og motivasjon for matematikk
Inspirasjon og motivasjon for matematikk Hvordan får vi aktive, engasjerte og motiverte elever og lærere i matematikk? Bjørnar Alseth Høgskolen i Oslo Styremedlem i Lamis Lærebokforfatter; MULTI Mona Røsseland
DetaljerSpill "Til topps" - transkripsjon av samtalen
Spill "Til topps" - transkripsjon av samtalen Elevene på 6. trinn sitter to og to ved pultene. Thomas er læreren og sier at de skal ha et spill i dag. 1 Thomas Det er slik at dere skal være på lag med
DetaljerFORORD. Karin Hagetrø
2006/2007 M FORORD ed utgangspunkt i Rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver fra Kunnskapsdepartementet, har Mangelberget barnehage utarbeidet en årsplan for barnehageåret 2006/2007. Nærmere spesifisering
DetaljerIKT Informasjonsteoretisk programanalyse Janne S.
Fag: IKT, Emne 2 Navn: Janne Susort Innlevering: 12. februar Oppgave: Bruke informasjonsteoretisk programanalyse (ITP) og MAKVIS analyse til å vurdere det pedagogiske programmet Matemania. Side 1av 5 Innholdsfortegnelse
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerMATEMATISK KOMPETANSE PRINSIPPER FOR EFFEKTIV UNDERVISNING
MATEMATISK KOMPETANSE PRINSIPPER FOR EFFEKTIV UNDERVISNING Svein H. Torkildsen Ny GIV 2012-13 Dette har vi fokus på God regning effektiv undervisning 10. trinn underyterne Elevers tenking Grunnleggende
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerGeometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske
DetaljerMatematisk samtale Multiaden 2015. Tine Foss Pedersen
Matematisk samtale Multiaden 2015 Tine Foss Pedersen Matematisk samtale - muntlige ferdigheter Vi bør vektlegge bruk av ulike uttrykksmåter, strategier og løsningsmetoder. Det skaper grunnlag for diskusjon:
DetaljerSensorveiledning for Matematikk 103 Måling, tall og algebra og funksjoner LBMAT10311
Høst 2018 Sensorveiledning for Matematikk 103 Måling, tall og algebra og funksjoner LBMAT10311 1) Eksamensoppgaven med løsningsforslag side 3 til 11. Den inneholder fasit og forslag eller kommentarer til
DetaljerMeningsfylt matematikk
Meningsfylt matematikk - også for elever som strever med faget Geir Botten Høgskolen i Sør-Trøndelag, Trondheim København 28.04.15 Eksempler på motiverende opplegg i matematikk Hva koster ei ukes ferie
DetaljerUtforsking og undring med kenguruoppgaver
Utforsking og undring med kenguruoppgaver Mellomtrinn/ungdomstrinn Anne-Gunn Svorkmo Litt fakta om Kengurukonkurransen En internasjonal matematikkonkurranse for elever fra 6 til 19 år Første gang arrangert
DetaljerVi har alle en historie å fortelle... StoryStarter fra LEGO Education SKRIV DEG TIL LESING KOMMUNIKASJON SAMARBEID KREATIVITET
Vi har alle en historie å fortelle... StoryStarter fra LEGO Education SKRIV DEG TIL LESING KOMMUNIKASJON SAMARBEID KREATIVITET StoryStarter Dagens nyheter En morsom, praktisk og samarbeidsorientert måte
DetaljerGeometriske morsomheter trinn 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske
DetaljerBegynneropplæringen i matematikk. 1.-3.trinn 07.03.2012. Dagsoversikt. Tallfølelse
07.03.2012 Begynneropplæringen i matematikk 1.-3.trinn Tillegskomponenter: Kartleggingsprøver: Halvårsprøve og årsprøve Grublishefte 1-4 og 5-7 Nettsted: www.gyldendal.no/multi Elevoppgaver Lærersider
DetaljerBruk av nettressurser i utvikling av matematikkundervisning. Seminar Realfagskommuner Pulje 1, 26. september 2016
Bruk av nettressurser i utvikling av matematikkundervisning Seminar Realfagskommuner Pulje 1, 26. september 2016 Hva er matematikk? Måter å se matematikk på: Regler resonnering Redskap eget fag Huske kreativitet
DetaljerBarn beviser. Andrea Hofmann og Sigurd Hals Førsteamanuensis og Stipendiat Fakultet for Humaniora, Idrettsog Utdanningsvitenskap
Barn beviser Andrea Hofmann og Sigurd Hals Førsteamanuensis og Stipendiat Fakultet for Humaniora, Idrettsog Utdanningsvitenskap 12/6/2017 Tittel på foredraget 1 Holdninger til bevis "Bevis er kun for matematikere."
DetaljerMen hvorfor trenger vi et didaktisk verktøy og hvorfor skulle vi endre eller lage oppgaver?
DiVeLOpp - DEL 1 Didaktisk Verktøy for å Lage Oppgaver Vi vil snakke om kunnskaper og læringsaktiviteter i fire ganger. Vi begynner med å identifisere kunnskaper. Deretter ser vi på læringsaktiviteter.
DetaljerNye læreplaner, nye utfordringer i matematikk!
Oversikt Nye læreplaner, nye utfordringer i matematikk! Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Ny læreplan, nye utfordringer for undervisningen
DetaljerI dette undervisningsopplegget skal elevene bruke forhold og kunnskap om geometriske figurer til å innrede en vegg med plakater og ei dartskive.
Geometri og måling I dette undervisningsopplegget skal elevene bruke forhold og kunnskap om geometriske figurer til å innrede en vegg med plakater og ei dartskive. ARTIKKEL SIST ENDRET: 27.10.2015 Hovedområde
DetaljerBegynneropplæring i matematikk Geometri og måling
Begynneropplæring i matematikk Geometri og måling Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 26-Jan-07 Dagsoversikt Problemløsning som metode i å
DetaljerRegning i alle fag. Hva er å kunne regne? Prinsipper for god regneopplæring. 1.Sett klare mål, og form undervisningen deretter
Regning i alle fag Hva er å kunne regne? Å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder. Å kunne regne innebærer å resonnere og bruke matematiske begreper, fremgangsmåter, fakta og verktøy
DetaljerRegning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus Praktiske eksempler
Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus Praktiske eksempler Sandvika 12.september 2011 Tone Elisabeth Bakken tone.bakken@ohg.vgs.no Hovedpunkter: Praktisk regning dag 1 Læringsmiljø Elevers
DetaljerProgram for 1.februar 2019
Program for 1.februar 2019 Hva er russisk Utviklende opplæring i matematikk? Hva legges vekt på i læreprosessen? De fem pedagogiske prinsippene som undervisningen bygger på God læringskultur- en forutsetning
DetaljerÅrsplan i matematikk for 10. trinn
Årsplan i matematikk for 10. trinn Emne på etter KAP A GEOMETRI Før høstferien (34-39) analysere, også digitalt, egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og bruke dem i sammenheng med konstruksjoner
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 1. KLASSE BREIVIKBOTN SKOLE 2014-2015. Lærer: Turid Nilsen
ÅRSPLAN I MATEMATIKK 1. KLASSE BREIVIKBOTN SKOLE 2014-2015 Lærer: Turid Nilsen Matematikkverket består av: Grunntall 1a + 1b Ressursperm Nettsted med oppgaver Grunnleggende ferdigheter Grunnleggjande ferdigheiter
DetaljerVarmprat og konfrontasjon
Varmprat og konfrontasjon 42 Barnehagefolk 2-2018 n n n n Å være på og bakpå om matematiske samtaler i barnehagen Barnas nysgjerrighet, matematikkglede og interesse for matematiske sammenhenger skal stimuleres
DetaljerProgram for 1.februar 2019
Program for 1.februar 2019 Hva er russisk Utviklende opplæring i matematikk? Hva legges vekt på i læreprosessen? De fem pedagogiske prinsippene som undervisningen bygger på God læringskultur- en forutsetning
DetaljerDette dokumentet viser elementer i Møvig skoles arbeid med den grunnleggende ferdigheten regning og faget matematikk.
MØVIG SKOLE Møvig skole opplæring i regning og matematikk Møvig skoles standard i regning Dette dokumentet viser elementer i Møvig skoles arbeid med den grunnleggende ferdigheten regning og faget matematikk.
DetaljerLæringsfellesskap i matematikk utvikling og forskning i samarbeid.
Anne Berit Fuglestad og Barbara Jaworski Anne.B.Fuglestad@hia.no Barbara.Jaworski@hia.no Høgskolen i Agder Læringsfellesskap i matematikk utvikling og forskning i samarbeid. En onsdag ettermiddag kommer
DetaljerBarnehagelærerutdanning i Tyskland, USA og New Zealand
Barnehagelærerutdanning i Tyskland, USA og New Zealand Dronning Mauds Minne Høgskole for barnehagelærerutdanning, Trondheim, Norge Oliver Thiel og Mike Naylor, 11. november 2014 Strukturer i tyske barnehager
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : IN 115 Eksamensdag : Lørdag 20 mai, 2000 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på : 5 sider Vedlegg : Intet. Tillatte
DetaljerKarakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p
30.09.016 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser / Prosent / Mønster / Tid DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 45 minutter DEL (MED HJELPEMIDLER) 45 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 45 minutter og før hjelpemidlene
DetaljerLese og skrive i matematikkfaget
Lese og skrive i matematikkfaget Noles-samling, Oslo, oktober 2011 Elin Reikerås Fokus på Hvordan inngår lesing og skriving i matematikkfaget? Ulike tekster og elevens læring Gjennom dette gi ideer til
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerNS 3420 Hva er NS 3420, og er intensjonen gjennomført i bruk og rettspraksis? Advokat Lars Jørstad Francke
NS 3420 Hva er NS 3420, og er intensjonen gjennomført i bruk og rettspraksis? Advokat Lars Jørstad Francke 2 Oversikt over NS 3420 NS 3420 en beskrivelsesstandard Hjelpemiddel for å beskrive arbeidet som
DetaljerHjemmet og matematikkundervisningen. (Uavhengig av de voksnes tidligere erfaringer med matematikk?!)
Foreldre teller!! Hjemmet og matematikkundervisningen. (Uavhengig av de voksnes tidligere erfaringer med matematikk?!) Denne økten: Hva kan vi gjøre hjemme for at matematikk skal bli et spennende fag?
Detaljer23.10.2011. Mona Røsseland www.fiboline.no www.gyldendal.no/multi
Dersom elevene skal utvikle en bred matematisk kompetanse, må de gjennom undervisningen få muligheter til å å oppdage, resonnere og kommunisere matematikk gjennom ulike typer oppgaver, aktiviteter og diskusjoner.
DetaljerElever utforsker symmetri
Svein H. Torkildsen Elever utforsker symmetri To pedagogiske utfordringer (Intuisjon og presisjon) Jeg har gjennom år registrert at elever behandler symmetri spesielt speiling med den største selvfølgelighet
DetaljerDigital interaktiv undervisning
Dean, Kjebekk, Fuglestad Digital interaktiv undervisning Den digitale utviklingen går fort. Mange hjem har flere digitale enheter som brukes daglig, bedrifter og storsamfunnet bruker digital teknologi
DetaljerUtdrag fra Beate Børresen og Bo Malmhester: Filosofere i barnehagen, manus mars 2008.
Utdrag fra Beate Børresen og Bo Malmhester: Filosofere i barnehagen, manus mars 2008. Hvorfor skal barn filosofere? Filosofiske samtaler er måte å lære på som tar utgangspunkt i barnets egne tanker, erfaring
DetaljerViktige læringsaktiviteter
Viktige læringsaktiviteter Læringsaktiviteter som dekkes av Aktiviteter Stille spørsmål. Utvikle og bruke modeller. = dekkes Planlegge og gjennomføre undersøkelser. Analysere og tolke data. Bruke matematikk,
DetaljerLærer: vil du høre hvordan vi har tenkt?
Lærer: vil du høre hvordan vi har tenkt? PROBLEMLØSNING FOR SMÅTRINNET Tove Branæs Tone Skori Griser og høner På en gård er det griser og høner. Det er til sammen 24 dyr og 68 bein på gården. Hvor mange
DetaljerInformasjon Singaporemodellen
Informasjon Singaporemodellen Hva er heuristikk? Heuristikken beskjeftiger seg med metodene som kan eller bør brukes for å oppnå ny erkjennelse, for å løse problemer og for å beskrive disse metodene. Adjektivet
DetaljerFamiliematematikk. Mattelyst, Nord-Gudbrandsdalen mars 2015. Anne-Gunn Svorkmo
Familiematematikk Mattelyst, Nord-Gudbrandsdalen mars 2015 Anne-Gunn Svorkmo Plan for dagene Hvorfor Familiematematikk Hvordan Hva 2 Lærere og foreldre Lærerkurs i foreldrematematikk som handler om foreldrekurs
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerÅRSPLAN I MATTE 2. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2011-2012
ÅRSPLAN I MATTE 2. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2011-2012 Lærer: Knut Brattfjord Læreverk: Grunntall 2 a og b, av Bakke og Bakke, Elektronisk Undervisningsforlag AS Målene er fra Lærerplanverket for kunnskapsløftet
DetaljerSammenligning av størrelser
Sammenligning av størrelser Rammeplanens innhold og oppgaver Geir Olaf Pettersen og Monica Volden Rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver Gjennom arbeid med antall, rom og form skal barnehagen bidra
Detaljertimene og hjemme 36 både med og uten digitale verktøy fortløpende Kapittelprøve Arbeidsinnsats i 38 de hele tallene, bruke positive og mindre enn 0
ÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 4. TRINN 2017/2018 Læreverk: Multi Lærer: Kaia Bøen Jæger og Carl Petter Tresselt UKE MÅL (K06) TEMA ARBEIDSFORM VURDERING 34 lese av, plassere og beskrive posisjoner i Koordinatsystemet
Detaljer2012-2013. Generelt for alle emner: Muntlig og skriftlig tilbakemelding og fremovermelding på arbeid i bøkene.
Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012/2013 Klasse:1. trinn Lærer: Mari Saxegaard og Anne Karin Vestrheim Uke Årshjul Hovedtema Kompetanse mål Delmål / Konkretisering
DetaljerKarakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p
06.02.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Rette linjer / Lineære funksjoner DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 50 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 40 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 50 minutter og før hjelpemidlene
DetaljerPraktisk-Pedagogisk utdanning
Veiledningshefte Praktisk-Pedagogisk utdanning De ulike målområdene i rammeplanen for Praktisk-pedagogisk utdanning er å betrakte som innholdet i praksisopplæringen. Samlet sett skal praksisopplæringen
DetaljerRENDALEN KOMMUNE Fagertun skole. Årsplan i matematikk for 3.og 4.trinn 2017/18
RENDALEN KOMMUNE Fagertun skole Årsplan i matematikk for 3.og 4.trinn 2017/18 Klassen har to timer i uka med stasjonsjobbing der matematikk er fokus. Dette er timer da 1.-4.kl er sammen. De andre matematikktimene
DetaljerStillasguide for TG og Lignende
Stillasguide for TG og Lignende Guide: Stillas Innhold 1: Forord... 2 2: Skaff og beregn materialer... 3 3: Materialer... 4 4: Konstruksjon... 4 4.1: Steg 1... 5 4.2: Steg 2... 5 4.3: Steg 3... 6 4.4:
DetaljerEtterutdanningskurs "Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning" høst 2015 - vår 2016
Etterutdanningskurs "Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning" høst 2015 - vår 2016 Om kurset Prosjektet "Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning" (MAM) er et treårig prosjekt ved Matematikksenteret med oppstart
DetaljerUtforskeren. Stille gode spørsmål
Utforskeren Stille gode spørsmål Utforskeren 8-10 En «mal» for timene? Kognisjon og metakognisjon I praksis handler kognisjon om kunnskap (hvor mange meter er det i en kilometer), ordforståelse (hva er,
DetaljerLek og læringsmiljø. Nettverksamling. Innhold: Barnehagematematikk Bruk nærmiljø i arbeid med realfag Problemløysing og strategien
Lek og læringsmiljø Nettverksamling Mona Vee Sogndal 08. oktober 2018 Innhold: Barnehagematematikk Bruk nærmiljø i arbeid med realfag Problemløysing og strategien 2 1 Barnehagematematikk Det er ikke handler
DetaljerRENDALEN KOMMUNE Fagertun skole. Årsplan i matematikk for 1.og 2.trinn. Grunnleggende ferdigheter i faget:
RENDALEN KOMMUNE Fagertun skole Årsplan i matematikk for 1.og 2.trinn Grunnleggende ferdigheter i faget: Muntlige ferdigheter: å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk.( )-være med
DetaljerØnsker å få til: -Elevmedvirkning for å lykkes med egenvurdering differensiering, mestring og progresjon -Utvikle vurdering for læring
Overordnet plan for fagene. Fag: Matematikk Trinn: 8. trinn Skole: Lindesnes ungdomsskole År: 2015/2016 Lærestoff: Nye Mega 8 a og 8b Vurdering. Prinsipper i vurdering. 1. Elevene forstår hva de skal lære
DetaljerElevene skal bygge en mekanisk målskårer etter veiledningen i LEGO WeDo -programvaren. De skal skyte på en papirball med den mekanisk målskåreren.
Lærerveiledning - mekanisk målskårer Elevene skal bygge en mekanisk målskårer etter veiledningen i LEGO WeDo -programvaren. De skal skyte på en papirball med den mekanisk målskåreren. De skal anslå/komme
DetaljerVeiledning del 3. Oppfølging av resultater fra. nasjonal prøve i regning. 8. trinn
Versjon 8. september 2009 Bokmål Veiledning del 3 Oppfølging av resultater fra nasjonal prøve i regning 8. trinn Høsten 2009 1 Dette heftet er del 3 av et samlet veiledningsmateriell til nasjonal prøve
DetaljerNytt fra Matematikk-Norge. Matematikksenterets NRICH-prosjekt. Click to edit Master title style
Nytt fra Matematikk-Norge Matematikksenterets NRICH-prosjekt Click to edit Master title style Bodø 23.10.2018 NOU 2016: 14 Mer å hente Bedre læring for elever med stort læringspotensial Jøsendalutvalget
DetaljerLøsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012
Løsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012 OPPGAVE 1 (8 %) a) 2 b) Totalt areal: (a + b)² Areal av rektanglene: a², b², ab og ab. c) 5 25 10 d) OPPGAVE 2 (15 %) a) 7 11
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 1. KLASSE BREIVIKBOTN SKOLE
ÅRSPLAN I MATEMATIKK 1. KLASSE BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 MÅLENE ER FRA LÆREPLANVERKET FOR KUNNSKAPSLØFTET 2006 OG VEKTLEGGER HVA ELEVENE SKAL HA TILEGNET SEG ETTER 2. KLASSE Grunnleggende ferdigheter
DetaljerRefleksjoner omkring hverdagsmatematikk
Reidar Mosvold Refleksjoner omkring hverdagsmatematikk Matematikk i dagliglivet kom inn som eget emne i norske læreplaner med L97. En undersøkelse av tidligere læreplaner viser at en praktisk tilknytning
DetaljerVurderingskriterier kjennetegn på måloppnåelse
Kompetansemål 1.trinn Mål for opplæringen er at Eleven skal kunne: 1. Telle til 50, dele og sette sammen mengder opp til 10 2. Gjøre overslag over mengder, telle opp, sammenligne tall og tallstørrelser
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 4. TRINN 2018/2019 Læreverk: Multi Lærer: Anita Nordland og Astrid Løland Fløgstad UKE MÅL (K06) TEMA ARBEIDSFORM VURDERING
ÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 4. TRINN 2018/2019 Læreverk: Multi Lærer: Anita Nordland og Astrid Løland Fløgstad UKE MÅL (K06) TEMA ARBEIDSFORM VURDERING 34 lese av, plassere og beskrive posisjoner i rutenett,
DetaljerGODE ALGORITMER. Mekanisk regneferdighet. Forskningens konklusjon. Hva kreves i læreplanen? Var alt bedre før? 17.09.2012
Mekanisk regneferdighet GODE ALGORITMER IKKE SØRGELIG SUBTRAKSJON OG DYSTER DIVISJON Bjørnar Alseth Multi i Vest 2012 Forskningens konklusjon Hva kreves i læreplanen? Forskerne er enige om 1. Vi må ikke
DetaljerEmne Multiplikativ tenking (proporsjonalitet, målestokk, forstørring, brøk som operator).
Tittel Puslespill Seilbåt Plass til bilde Tidsbruk En skoletime Antall elever Hele klassen. To og to elever samarbeider. Emne Multiplikativ tenking (proporsjonalitet, målestokk, forstørring, brøk som operator).
DetaljerSentralmål og spredningsmål
Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir
DetaljerForelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.
Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten
DetaljerSpråk og kommunikasjon
Språk og kommunikasjon Begrep og representasjoner 13. februar 2019 Mål Hva begreper er og hvordan de kan bidra til at barna utvikler forståelse for matematiske begreper. Representasjoner og hvorfor barn
DetaljerRegning er en grunnleggende ferdighet som går på tvers av fag. Ferdigheten å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder
Aspekter ved regning som skal vektlegges i ulike fag Regning er en grunnleggende ferdighet som går på tvers av fag. Ferdigheten å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder ARTIKKEL SIST
DetaljerBli venn med fienden
Bli venn med fienden Få folk dit du vil Psykolog John Petter Fagerhaug Preventia Medisinske Senter AS Pilestredet 15b. 0164 Oslo Tlf: 22 20 31 32 www.fagerhaug.no john.petter@fagerhaug.no 1 Hva er problemet?
Detaljer1. studieår vår mellomtrinn
Vurderingstrappa De fem områdene og utviklingen av dem 11.02.09 I denne skjematiske framstillingen er det satt opp en progresjon i forhold til hva man kan forvente av studentene i de ulike praksisperiodene.
DetaljerLego og lavvo. Olga Herbjørnsen
Olga Herbjørnsen Lego og lavvo Bruk og utforsking av geometriske begreper i lek og hverdagsaktiviteter All bygge- og konstruksjonslek går ut på å sette sammen linjestykker til flater, og flater til romlige
DetaljerSkriftlig innlevering
2011 Skriftlig innlevering Spørre undersøkelse VG2 sosiologi Vi valgte temaet kantinebruk og ville finne ut hvem som handlet oftest i kantinen av første-, andre- og tredje klasse. Dette var en problem
DetaljerPlanprosesser smarte grep og lure triks
Planprosesser smarte grep og lure triks Tove Hellem, erfaring med overordnet planlegging (KPA, KDP, Planstrategi, div.temaplaner), ulike forvaltningsnivå. Trondheim kommune fra 1. juni med Planstrategi
DetaljerLottotrekningen i Excel
Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne
DetaljerFor en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:
Normat 55:, 3 7 (7) 3 Bøker på bøker En bokorms øvelse i stabling Ivar Farup Høgskolen i Gjøvik Postboks 9 N 8 Gjøvik ivar.farup@hig.no Innledning For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:
DetaljerOppdatert august 2014. Helhetlig regneplan Olsvik skole
Oppdatert august 2014 Helhetlig regneplan Olsvik skole Å regne Skolens er en strategier basis for for livslang å få gode, læring. funksjonelle elever i regning. 1 Vi på Olsvik skole tror at eleven ønsker
DetaljerHensikten med studien:
Elevenes første møte med multiplikasjon på småskoletrinnet En sosiokulturell tilnærming til appropriering av multiplikasjon i klasserommet Odd Tore Kaufmann Hensikten med studien:. er å gi teoretiske og
DetaljerBeregninger i ingeniørutdanningen
Beregninger i ingeniørutdanningen John Haugan, Høyskolen i Oslo og Akershus Knut Mørken, Universitetet i Oslo Dette notatet oppsummerer Knuts innlegg om hva vi mener med beregninger og Johns innlegg om
Detaljer