Pytagoreiske heltallstripler og legoroboter Av Cato Tveit

Transkript

1 Pytagoreiske heltallstripler og legoroboter Av Cato Tveit Enheter for mål på legoklosser Du har muligens registrert at legoklossens høyde (tykkelse) ikke er lik bredden, og muligens også at det heller ikke er noe enkelt og iøynefallende forhold mellom høyde og lengde-/ breddemål på en legoklosse? Kan nettopp det at legoklossens høyde- og breddemål er noe ukurante i forhold til hverandre brukes til noe fornuftig, f eks i forhold til matematikk i skolen? I min artikkel restklasseregning med lego [4], omtalte jeg noen matematiske betraktninger i kjølvannet av det å bygge med legoklosser. I det følgende vil jeg kaste lys på et par konsekvenser for bygging med legoklosser, i kjølvannet av matematiske betraktninger. Her forsøker jeg å beskrive et par konkrete innfallsvinkler for å tenke bygging med legoklosser i matematikkundervisning, og matematikk i bygging med legoklosser. Eksemplene er primært egnet for grunnskolen, men også brukbare i videregående skole i den grad man klarer å motivere for fokus på legoklosser. En konkret oppvarmingsoppgave er å ta en litt grundigere analyse av forholdet som ble nevnt innledningsvis. Et teoretisk utgangspunkt er å sjekke om det finnes et felles multiplum for enheter i høyden og enheter i bredden. Første problem er: hvordan bestemme forholdet mellom høyde og bredde på en regulær klosse? En måte er å forsøke å måle mest mulig nøyaktig med linjal, eller enda mer ømfintlige måleredskap. En noe mer praktisk metode er imidlertid å legge klosser etter hverandre/ bygge til vertikalt og horisontalt byggverk ender opp som like lange. Bredde:høyde-forholdet på legoklossen vil da gjerne oppdages som 5:6 (fig. 1). Imidlertid kommer det også fram at andre beskrivelser finnes, f eks 10:12, 15:18 osv. (I noen sammenhenger opereres det med betegnelsen 20:24 som en form for standard. En slik fin-inndeling kan gjøre det hele noe mer ryddig ved sammenligning med mål på andre mer spesielle typer legoklosser. Se for øvrig Courtney [1]). fig. 1 [Illustrasjon av hvordan 5:6 forholdet kan konkretiseres] Et annet spørsmål dukker nå opp: hvorfor akkurat forholdet 5:6? Det er et kapittel i seg selv å gjøre rede for dette, men en tråd å følge kan være intensjonene om at legoklossen skulle være formlik med en murstein. Vi forfølger det opprinnelige spørsmålet: hvilke konsekvenser har dette for bygging med legoklosser og matematikk? Noen konkrete utforskningsoppgaver der dette er av betydning kan nevnes: - Design av kule bygd med legoklosser - Hvor mange graders stigning har egentlig legotakklosser? - Generere tabell over mulige rette og triangulære konstruksjonsforsterkninger til legoroboter 1

2 Diameter i legokuler Hvilken diameter bør man velge dersom man ønsker å bygge en kule av legoklosser? Ut fra den innledende oppvarmingsoppgaven ser vi at legomål på horisontal diameter og vertikal diameter nødvendigvis bør være invers av forholdet 5:6. Figur 2a indikerer en arbeidstegning til design av en legokule med diametre i forholdet 12:10. fig. 2a [arbeidstegning til 12:10 legokule] fig. 2b [36:30 legokule] Matematisk sjekk av angitt gradetall på legotakklosser Et annet område der 5:6 forholdet kan være interessant er ved stigningsforholdet på tak bygget med lego takklosser. F eks det å sjekke vinkelen på tak bygget med lego 2 4 og 3 4 takklosser (fig. 3). fig. 3 [2 4 og 3 4 takklosser] I mer generell legoterminologi (se f eks Ldraw.org [6], og BrickLink.com [7]), betegnes klosser til å bygge tak til hus som 45 klosser, og 33 klosser (sistnevnte i noen sammenhenger også som 30, og av legokonsernet selv i nyere tid som 25 ). Disse to kategoriene takklosser kjennetegnes ved at hellingen dannes ved en breddeenhet mindre for hver høydeenhet (45, fig. 3 venstre) og to breddeenheter mindre for hver høydeenhet (33, fig. 3 høyre). Betegnelsene 45 og 33 virker innledningsvis udiskutable. Vi ser umiddelbart at 45 er en tvilsom betegnelse, da forholdet mellom en breddeenhet og en høydeenhet er 5:6 og ikke 1:1. (Bruk av trigonometri gir at 45 kategorien gir tak med 50,2 helling, og 33 kategorien gir tak med 31,0 helling). Forklaringen på 45 betegnelsen er muligens at den delen av klossen som ligger på skrå først starter etter en knotts høyde (en knott, eller stud i internasjonal terminologi, har høyde 1:6 av en regulær klosses høyde), hvilket gir stigningsforholdet 5:5. Samme tilpassing gir ved 33 kategorien en stigning på 5:10, dvs 26,6. Dette indikerer at man nok har adoptert et gradetallnavn som det er vanskelig å gjøre rede for. 2

3 LEGO, Technic og Robotics En interessant konsekvens av 5:6 forholdet finner vi idet vi betrakter legoklosser av typen LEGO Technic. Technic klosser benyttes også fortrinnsvis sammen med LEGO MindStorms Robotics, legokonsernet sitt programmeringssortiment, der bygging og programmering av roboter står sentralt (se også Mikroverkstedet [8]). Innen denne typen legobygging står ulike metoder for å forsterke byggverk sentralt, dvs hvordan byggverk skal kunne tåle større strekk-krefter enn byggverk bygd med vanlige legoklosser. Den vanligste fremdriftsprosedyren er: bygg konstruksjonen, programmer, og dersom konstruksjonen ikke er sterk nok, forsterk. Etter denne strategien får ikke alltid forsterkningene de mest elegante utformingene, bare nyttige. For å ha et knippe av mulige forsterkninger i bakhånd slik at man til enhver tid kan velge den beste, kan det være hensiktsmessig å utlede disse i forkant av et byggeprosjekt. Da unngår man at de forekommer som avsporing av fokus på et senere tidspunkt, men heller blir fokus i seg selv. Det er her prosjektet med å generere en tabell over gode forsterkninger kommer inn i bildet. En direkte anvendelse av 5:6 forholdet blir at byggverk med høyde 6 kan forsterkes med pluggpinner (fig. 4a) og en vertikal bjelke. Pluggene i veggen vil passe nøyaktig i hull over en avstand på 6 hull (det 1. og det 7. hullet) på en vertikal bjelke (fig. 4b). fig. 4a fig. 4b Tilsvarende ser vi at det formelle uttrykket: høydemål 1 (mod 5), gir de mulige heltallige valg av vegghøyde som kan forsterkes med en vertikal bjelke. Merk her at implementasjonen av en forsterkning nødvendigvis må være en invertering av forholdet 5:6, dvs 6 enheter i bredderetning (bjelken) og 5 enheter i høyderetning (veggen). Prinsippet med forsterkningen kan også utføres i mindre skala, idet vi er kjent med at 3 flate legobrikker har samme høyde som en regulær legoklosse (fig 5). fig. 5 [1:3 forholdet] Byggverk som inneholder bjelker med hull, der hullene er i en vertikal avstand av 1 regulær kloss og to flate brikker, kan forsterkes med en bjelke der en benytter 2 hulls avstand (fig 6). Vi ser at dette kan utledes av at forholdet 5:6 = : 2. 3

4 fig. 6a fig. 6b Den som vil finne flere forhold lik 5:6 som også tillater bruk av tredels brøker vil oppdage at noe brøkregning er nødvendig. For at de alternative forholdene skal kunne settes ut i praksis ved å bygge med legoklosser, ser vi at bjelken som brukes til å låse konstruksjonen med, alltid må være representert ved et heltall. Nå er ikke utfordringen ovenfor, det å finne flere kombinasjoner som lar seg implementere med legoklosser, den eneste eller største utfordringen. Det kan lett argumenteres for at alle muligheter finnes som heltallige multiple av forholdstallene : 2, siden dette er de minste tall som kan velges. Interessante utfordringer får vi imidlertid idet vi tillater at bjelken som brukes til å låse med, ikke nødvendigvis står vertikalt på bjelkene i veggen som skal låses. Pytagoreiske heltallstripler Historisk sett betraktes Pytagoras som en av de første som konfrontertes med inkommensurable tallstørrelser (størrelser som ikke kan måles opp ved gjentakelse av en felles måleenhet). Konkretisering av dette er enkelt ved hjelp av det som i ettertiden er blitt kjent som pytagoras setning (se f eks Katz [2] for redegjørelse av detaljer). Skråstilte låsebjelker vil alltid danne hypotenus i en rettvinklet trekant. Videre er vi i legosammenheng avhengige av at mål på katetene og hypotenusen er kommensurable størrelser. Kort sagt, lengdemålene må alle kunne uttrykkes som rasjonale tall. Hvordan kan vi så finne rasjonale pytagoreiske tripler som kan representeres med legoklosser? Et sted å starte er med heltallstripler. Vi kan ta tak i det pytagoreiske heltallstrippelet (3, 4, 5). Duplo digresjon: En interessant digresjon her er å kaste et blikk på bondegårds supplementet innen Duplo klosser. Gjerdeelement med lengde 6 knotter og festepunkter kun i endene, vil spenne over 5 knotter fra senter til senter i festepunktene. Små barn gjør raskt erfaringer med at disse gjerdeelementene også kan stilles på skrå i et par utvalgte stillinger. Dette blir da en Duplo-implementasjon av et (3,4,5) trippel. 4

5 Vi vet at bredde:høyde forholdet mellom legoenhetsmålene er kjent som 5:6, og videre at flate klosser har høyde lik en tredel av regulære klosser. Dette gir at kun pytagoreiske heltallstripler der: - en katet gir rest lik null ved divisjon med 5 (hele breddeenheter), - den andre kateten gir rest lik null ved divisjon med 2 (egentlig divisjon med 6, men bruk av flate klosser reduserer med faktoren 3), - og hypotenus gir rest lik null ved divisjon med 5 (skråstilt låsebjelke, bare hele breddeenheter mellom hullene), vil være mulig å implementere med technic legoklosser. Det pytagoreiske heltallstrippelet (3, 4, 5) kan med andre ord ikke implementeres direkte etter dette fremgangsmønsteret. En formlik trekant, med lengdemål 5 ganger større, dvs trippelet (15, 20, 25), tilfredsstiller imidlertid kravene. Oversatt til legoenheter gir dette målene: - 3 enheter horisontalt (breddemål: 15:5) enheter vertikalt (høydemål: 20:6) - 5 enheter på skrå (breddemål: 25:5) Legoimplementasjonen av det pytagoreiske trippelet (3,4,5), dvs [3, 3 3 1, 5], er vist i figur 7. fig. 7a fig. 7b Dette trippelet kan også implementeres en gang til i samme konstruksjon for å oppnå en mer stabil forsterkning (fig. 8). fig. 8a fig. 8b På dette tidspunktet vil muligens også noen se at det er mulig å utlede snarveier for avgjøre hvordan man kan implementere et pytagoreisk heltallstrippel med legoklosser direkte (hint: ved hjelp av litt faktorisering, og kjennskap til det faktum at ved alle pytagoreiske heltallstripler er minst en av katetene representert ved et partall). Imidlertid vil prosedyren ovenfor være hensiktsmessig idet vi vil forsikre oss om at vi etter hvert har funnet alle mulige implementasjoner. 5

6 I motsetning til de vertikale forsterkningene, omtalt tidligere, finnes det her uendelig mange varianter av pytagoreiske forsterkninger. Foruten det direkte behovet for brøkregning, restklasseregning og generell elementær tallteoretisk forståelse, skapes det her motivasjon for å finne flere heltallstripler. Tallteoretisk materiale for å systematisk finne alle pytagoreiske heltallstripler kan f eks finnes hos Tvete [5] og Rinvold [3]. Systematisk matematisk beregning av mulige forsterkninger går vesentlig raskere ved regning enn ved konkret bygging etter prøve og feile metoden. Falske løsninger Et annet moment for den entusiastiske technic byggeren er forsterkninger av typen går nesten. Prøving og feiling ved bygging avdekker et par forsterkningskombinasjoner som teoretisk ikke er mulige. Slark i legoklossene gjør at de allikevel kan bygges. Slike forsterkninger vil være svake under belastning, og representerer dårlig ingeniørarbeid. La oss ta en titt på en av dem. Legokombinasjonen [3, 4 3 1, 6] ser svært kjekk ut første gang den oppdages ved prøving og feiling (fig 9a). fig. 9a fig. 9b Den er tilsynelatende godt egnet til en dobbel forsterkning, noe som vi ser av den likesidede trekanten i figur 9b. Vi skal imidlertid se at den teoretisk sett ikke er fullkommen. Idet vi konverterer legotrippelet til hele tall ved multiplikasjon med henholdsvis 5, 6, 5, får vi (15, 26, 30). En sjekk med pytagoras setning avkrefter at det her er et rasjonalt pytagoreisk trippel vi har. Derimot finner vi at en hypotenus med lengde 901 ( 30,0167) ville gjort susen. Implementert med legoklosser tilsvarer dette 901 :5 ( 6,00333). Det er dette avviket på mindre enn 0,5 hundredels legoenhet som gjør at konstruksjonen lar seg bygge. Enkel kjennskap til pytagoras setning og Pytagoras historiske problem ville også gitt oss direkte at en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 ikke kan representeres med noe rasjonalt pytagoreisk trippel. Dette er allikevel et artig legoeksempel på at en slik trekant ikke er særlig langt fra å kunne representeres ved et pytagoreisk heltallstrippel med relativt små tall. Så langt kan vi sette opp en ganske detaljert tabell over forsterkninger. Se figur 10. 6

7 fig. 10 [Tabell over forsterkninger] Jeg mener en slik tabell med mulige forsterkninger er en udiskutabel fordel å idet man er midt i byggingen av en eller annen robot Konklusjon Dersom høyde- og breddemål på en legoklosse hadde vært 1:1 ville det meste av det som er omtalt her vært trivielt. Nettopp det at målene ikke er i et 1:1 forhold gjør at det legges opp til mange interessante matematiske utfordringer. Utfordringene er av en slik natur at man kan komme langt ved prøving og feiling, men det er tydelig at man kan utøve større presisjon ved bygging med legoklosser ved å gjøre noen teoretiske betraktninger først. De siste eksemplene illustrerer dette. Teoretiske matematiske beregninger garanterer presisjon og solide legokonstruksjoner, noe som er spesielt viktig innen technic og robotics. Ikke minst kan man ved matematiske beregninger finne alle mulighetene, ikke bare de mest innlysende. En hyggelig parallell her er også at utfordringene med å beregne matematisk stabile legokonstruksjoner føyer seg inn som et interessant og relevant supplement til programmering av LEGO MindStorms Robotics implementasjoner. Følgelig er dette et konkret utgangspunkt for å knytte sammen problemstillinger innen matematikk i skolens læreplan og f eks legoroboter. Litteratur: [1] Courtney, T., Bliss, S., Herrera, A. (2003) Virtual Lego. San Francisco: No Starch Press [2] Katz, V. J. (1993) A history of mathematics. New York: HarperCollins College Publishers [3] Rinvold, R.A. (2004) Visuelle perspektiv, Tallteori. Bergen: Caspar Forlag. [4] Tveit, C. (2005) Restklasseregning med LEGO. Tangenten 1/2005 [5] Tvete, K (1993) Tallære. 3.utg. Nordås: Caspar forlag Internett: [6] The Central Site for the LDraw Family of LEGO CAD Software: [7] BrickLink - The Unofficial Online LEGO Marketplace: [8] MikroVerkstedet: 7