מתכונתבמתמטיקה 1 - כיתהיא'

Transkript

1 מתכונתבמתמטיקה - כיתהיא' משך המבחן.5 שעות (הארכת זמן של 50 דקות). פרקראשון ישלענותעל שאלותמבין השאלות -. שני צינורות מספקים מים לבריכה. יום אחד, כשהבריכה הייתה ריקה, פתחו את הצינור הראשון לרבע מהזמן הדרוש למילוי על ידי הצינור השני לבדו ואת הצינור השני פתחו לחצי מהזמן הדרוש למילוי על ידי הצינור הראשון לבדו. הצינורות מילאו למשך. שעות. 7 בכמה שעות ממלא כל צינור לבדו את הבריכה? מהבריכה. כדי למלא בריכה ריקה יש לפתוח את שני הצינורות. א. בסדרה הנדסית, שכל איבריה חיובים, נתון כי סכום האיברים הרביעי והחמישי גדול פי 6 מסכום האיברים השני והשלישי. מצא את מנת הסדרה. ב. אם מוסיפים 9 לאיבר השני, מוסיפים 7 לאיבר השלישי ומפחיתים מהאיבר החמישי מקבלים שלושה מספרים המהווים סדרה הנדסית חדשה. מצא את האיבר הראשון בסדרה הנתונה. 0.. בוחרים באקראי מכוניות. ההסתברות שלכל היותר ל- יש כרית אוויר היא א. לאיזה אחוז מהמכוניות בארץ יש כרית אוויר? ב. מה ההסתברות שמבין המכוניות שנבחרו באקראי ב- אין כרית אוויר ובאחת יש? ג. 0% מהמכוניות בארץ הן בצבע לבן. ברבע מהמכוניות הלבנות יש כרית אוויר. בוחרים באקראי שתי מכוניות ומסתבר שיש בהן כרית אוויר. מה ההסתברות שאחת לבנה ואחת לא?

2 פרקשני ישלענותעלשאלהאחתמביןהשאלות -5..( m > 0 ). במקבילית,ABCD ארוכה הצלע AB ב- m ס"מ מהצלע BC D A C B. S ABCD m. BD. p BDC β, p ADB α α + β msin α β sin α + sin β an α β sin β א. הוכח: ב. הוכח: 5. במעגל שמרכזו O נחתכים המיתרים AB ו- CD בנקודה E. נתון:. ED AB 6 cm, CE cm. ( AE < BE) א. מצא את אורכי הקטעים AE ו- BE ב. AF הוא קוטר במעגל. הנקודה G היא אמצע.AO הוכח:. EG AB ג. נתון:. EG cm מצא את רדיוס המעגל

3 פרקשלישי ישלענותעל שאלותמביןהשאלות 6-. a f ( ) 9 6. לפונקציה א. מצא את a. יש אסימפטוטה אופקית y. ב. מצא: תחום הגדרה, נקודות קיצון, נקודות חיתוך עם הצירים ואסימפטוטות מקבילות לצירים. ג. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. (5)? f ( ) ד. לאילו ערכים של מתקיים > 0 f ( ). f ( ) 6 7. נתונה הפונקציה א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא אסימפטוטות מקבילות לצירים ג. מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה שעל גרף הפונקציה. ד. הישר y a (0 < a (, הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה. חשב את השטח המוגבל בגרף הפונקציה. יש להיעזר בציור מתאים. 5,, במשיק שמצאת ובישרים y a f (). במשולש ABC נתון: BC cm וסכום הצלעות AB ו- AC הוא.cm מה גודלה המקסימלי של זווית? A בהצלחה!

4 א. פתרון:. W - העבודה למלא את כל הבריכה. - הזמן שלוקח לצינור הראשון למלא את כל הבריכה לבדו. - הזמן שלוקח לצינור השני למלא את כל הבריכה לבדו. w p 7/ / / / / צינור צינור. / + / צינור +, (.) (.) (.).6(.).h,. h h,. h נציב חזרה למשואה ונקבל ש- h, h או a + a5 6( a + a) aq + aq 6( aq + aq ) aq ( + q) 6aq(. א. q) + q + 0 מכאן נובע כי ± q q, q 0, q 6. q מכיוון שכל איברי הסדרה חיובים הפתרון היחידי שמתקבל הוא a + 7 a a + 9 a + 7 ( 6a + 7) ( 56a ) (a 9) 5 + ב. היחס קבוע בין האיברים שנוצרו -. 56a + 96a a + 56a 0 76a 0a 69 0 a התשובה השנייה של המשואה הריבועית נפסלה מכיוון שהיא שלילית.. P ( p( A) ) p( A). A המאורע יש כרית אוויר. בעזרת מאורע משלים נקבל ל-.% מהמכוניות יש כרית אוויר.

5 . P ב. לפי ברנולי נקבל ג. B - המאורע שהמכונית לבנה ידוע שלשליש מהמכוניות יש כרית לכן כרית לבן לא לבן אין כרית כרית אין כרית 0.5 P( A) P( B) P( A) + P( B) P( A) /. P 9 ההסתברות לפעמים לבחור מכונית עם כרית היא ההסתברות שיבחרו מכוניות עם כרית כשאחת לבנה ואחת לא -. P 7 /50 / 9. P ( (7 /)) 7 / 50 לפי הנוסחא להסתברות מותניית מתקבל 0. נתון ABCD מקבילית לכן AB DC (צלעות נגדיות במקבילות מקבילות אחת לשנייה).. א. p BDC p ABD β (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות) ) p A 0 α β סכום זוויות במשולש ADB שווה ל- 0 מעלות). נקבל - AD AB. sin β לפי משפט הסינוסים ב - ADB והנתון ש- AD + m AB AD sin β AD + m msin β AD sin β AD DB msin( α + β ) DB נשתמש שוב במשפט הסינוסים באותו משולש - sin β sin(0 α β ) sin β α + β α + β α + β msin( )cos( ) msin DB נשתמש בנוסחאות להפרש ובזווית כפולה ונקבל α β α + β α β sin( )cos( ) sin( ) ב. AD BC, AB DC (צלעות נגדיות במקבילית שוות). בנוסף DB צלע משותפת לכן לפי צ.צ.צ מתקבל ADC CBD. כלומר, המשולשים הם גם שווי שטח.

6 S ABCD S ADB α + β α + β msin sin msin β m sin β AD DB sin β α β α β α + β sin( ) sin ( ) cos α + β m sin β an (כאשר השתמשתי שוב בנוסחא להפרש של סינוסים). S ABCD α β sin ( ).5 א. נסמן AE לכן EB 6 (חיסור קטעים). ) AE EB CE ED ( 6 (שני מיתרים שנחתכים במעגל- מכפלת 6,. AE AB. AE cm, EB cm. EG AB 6 EG BF. לסיכום R AG. AG, AF R AF 0 90 AEG. p כלומר קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני). מכיוון ש- BE) ( AE < יש לפסול את התשובה ב. p A היא זווית משותפת במשולשים AEG ו-.ABF. AEG ~ ABF קוטר ו- AG GO (נתון) לכן AE. AB AF מסעיף א' מתקבל ש- לפי משפט דמיון צ.צ.ז מתקבל p AEG p ABF (זוויות שוות בהתאמה במשולשים דומים). (זווית היקפית שנשענת על קוטר) לכן גם 0 p ABF 90 ג. לפי יחס דמיון של המשולשים מהסעיף הקודם מתקבל BF cm BF. AB + BF AF AF 0cm בעזרת משפט פיתגורס ב- ABF מתקבל a. lim f ( ) lim.6 א. a 9 0 ב. תחום הגדרה - ± (6 + 6)(. f ( ) 9) ( + 6 5) 6 ( 9) ( 9) נקודות קיצון -

7 (. f התשובה נפסלת בגלל תחום ההגדרה. 0 0 ( ( 9) לכן אין נקודות קיצון לפונקציה. f (0) 5, f ( ) , 5 נקודות חיתוך עם הצירים - נפסל בגלל התחום הגדרה. לסיכום, 5,0) (, 0,5) ( y - אסימפטוטה מקבילה לציר ה- ( )( + 5) lim ( )( + ) אסימפטוטה מקבילה לציר ה- - y לכן הוא רק חור.. לכן יש אסימפטוטה אנכית ב- ( )( + 5) lim ± ( )( + ) ג. - אין שמקיים f ( ) ד. > 0 יש לחפש לפי הסקיצה מתי הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה f ( ) או מתי הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מטה - < > 0 < 0 or.7 א. >. 0, יש אסימפטוטה ב-. lim 0 f ( ) ± lim f ( ) ב. ± 6 6 y lim lim, lim lim y (6 ) 9. f ( ) m f () ג. 5 () f, 9 9 לכן 9.5. y + 5 ( ) y

8 ד. כאשר > המשיק נמצא מעל הפונקציה d d d 6 6 d (, d ( )d ) d כאשר BC AB + AC AB AC cos p.. נגדיר AB ו- AC לפי משפט הקוסינוסים נקבל - + ( ) 6 ( ) + 0 ( p A ) cos( A) ( )( ) ( )( cos [ ( p A) ]. ( ) + 0) 0( ) 0 6 posiive אם רוצים שהזווית תהיה מקסימלית יש לדרוש שקוסינוס הזווית יהיה מינימלי. [ cos( p A) ] 0 > 0 min ניתן לגזור רק את המונה על מנת לאפיין את נקודת הקיצון - כמו שצוין, אם קוסינוס הזווית מינמלי אז הזווית מקסימלית cos ( p A) p A.6 נמצא את הזווית -