ד"ר פיליפ סלובוצקי מדריך למורה מתמטיקה 01 ספר לימוד ותרגול לפי תכנית הלימודים החדשה ל- 4 י"ל כולל המחשות ותרגול מקוונים בית הלומדה מדריך למורה

Transkript

1 ד"ר פיליפ סלובוצקי מדריך למורה מתמטיקה 0 ספר לימוד ותרגול לפי תכנית הלימודים החדשה ל- 4 י"ל כולל המחשות ותרגול מקוונים בית הלומדה מדריך למורה

2 ייעוץ מדעי: ד"ר אנטולי שטרקמן ייעוץ דידקטי: סרגיי לייקין עריכה לשונית: סימה צימבלר עריכה מגדרית: סימה צימבלר עיצוב העטיפה: ארז רזניקוב / סטודיו קונספט עריכת נוסחאות, גרפים ושרטוטים גיאומטריים באמצעות התוכנה "הנוסחא- 4 " הלומדה כל הזכויות שמורות להוצאה בית הלומדה רח' איתמר בן אב"י ראשון לציון אין להעתיק, לשכפל, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני או אחר כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל. 60 -תשע"ו מדריך למורה 4

3 הספר נכתב בהתאם לתכנית הלימודים החדשה שפורסמה על די משרד החינוך. שלושת תחומי תכנית חדשה לכיתות י - 4 יח"ל גיאומטריה וטריגונומטריה )4 שעות( הגיאומטריה רציונל )על פי תכנית הלימודים( בתכנית: מדריך למורה 5 גיאומטריה סינתטית, טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית נלמדים בצורה משולבת. לכל אחד מהתחומים יש מאפיינים ייחודיים משלו. יחד עם זאת, שלושתם מהווים חלק בלתי נפרד מהגיאומטריה, ולכן ילמדו בצורה משולבת. בגיאומטריה סינתטית תהיינה שאלות הוכחה הדורשות הנמקה. צריך להשתמש בגיאומטריה סינתטית לצורך הנמקה והסבר חישובית, טריגונומטריה או הנדסה אנליטית. של השלבים הנעשים בגיאומטריה גיאומטריה אנליטית הנה תחום בגיאומטריה שבה עובדות ותכונות גיאומטריות מתקבלות ידי על חישובים המבוססים של מיקום על אובייקטים גיאומטריים במערכת צירים. ייצוג זה ישמש ככלי להעלאת השערות בנוגע לתכונות של צורות גיאומטריות או ככלי לווידוא תכונותיהן (שהוכחתן יכולה להיעשות למשל באמצעות גיאומטריה סינתטית( וככלי להוכחת תכונות של צורות גיאומטריות. טריגונומטריה היא תחום בגאומטריה שבו היחסים בין אלמנטים של צורות מוצגים בעזרת פונקציות טריגונומטריות של זוויות. ייצוגים אלה משמשים ככלי לחישוב אורכים, זוויות, שטחים וכו', והן ככלי להוכחת תכונות של צורות גיאומטריות. במגמת שילוב תחומי גיאומטריה שונים, חשוב לציין שלצורך הוכחה, יש לתת את הדעת למהות התוצאות המתקבלות כבסיס להמשך טיעון גיאומטרי. בפרט, חייבים לבטא תוצאות המתקבלות בצורה מדויקת ולא כקרובים. מבנה הספר והערות דידקטיות כל נושא בספר פותח במבוא, ועובר להסברים מקיפים ומפורטים ולדרכי הקנייה שונות, מלוות בדוגמאות לשאלות עם פתרונות ובתרגילים לפתרון בכיתה ובבית. למעשה, הספר משלב בין לימוד ותרגול לתלמידים לבין מערכי שיעור למורה. אנו ממליצים למורה להציג בשיעור את החומר לפי הסדר המוצע בספר. לשם כך חילקנו כל נושא לסעיפים המתאימים בהיקפם לאורך של שיעור אחד. לנושא הגיאומטריה מוקדשות על פי תכנית הלימודים לא פחות מ- 44 ש"ל.

4 פרק 0. גיאומטריה תוכן העניינים. דמיון משולשים.... דמיון מצולעים... תרגילים ( ) הגדרת משולשים דומים משפט דמיון ראשון )ז.ז.( יחס גבהים מתאימים במשולשים דומים יחס חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים. 9 יחס ההיקפים של משולשים דומים.... יחס השטחים של משולשים דומים משפט חוצה זווית....8 תרגילים 6( ) משפט דמיון שני )צ.צ.ז( יחס תיכונים מתאימים במשולשים דומים... תרגילים 7(...)8-4. משפט דמיון שלישי )צ.צ.צ.(... תרגילים 9( ) שימוש בדמיון משולשים בפתרון בעיות ובהוכחות משפטים.... קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית... תרגילים -74( ) קטע אמצעים במשולש....4 מפגש תיכונים במשולש תרגילים -88( ) יישומי דמיון משולשים בגיאומטריה ובחיי היום-יום...4 מדידות בשטח... 4 מדריך למורה 6

5 תרגילים 5( ) תשובות קווים מיוחדים במשולש חוצה זוויות... אנך אמצעי תרגילים 67( ) מפגש גבהים....4 קטע אמצעים ותיכונים... תרגילים -8( )96... תשובות.... טריגונומטריה 6. סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית חדה במשולש ישר זווית... טנגנס כשיפוע הישר הקשר בין סינוס, קוסינוס וטנגנס הזווית בניית הזווית על פי גודל של טנגנס תרגילים -4( ) משפט פיתגורס...74 משפט פיתגורס הפוך תרגילים -44( ) ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות מיוחדות תלות של ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס בגודל הזווית... 8 תרגילים -56( ) זהויות טריגונומטריות בסיסיות...84 תרגילים -8( ) תכונות משולש ישר זווית משולש מדריך למורה.. 7

6 משולש ישר זווית ושווה שוקיים תיכון ליתר של משולש ישר זווית.. 88 גובה ליתר במשולש ישר זווית ושווה שוקיים..... גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חישוב גובה ליתר במשולש ישר זווית תרגילים 9( ) תרגילים אינטראקטיביים שטח של משולש פתרון משולש כללי תרגילים -47( ) מלבן, מעוין, דלתון וטרפז מלבן מעוין דלתון טרפז תרגילים 6( ) טריגונומטריה במערכת צירים... 5 תרגילים 7( ) מאיפה צצה המשבצת? )טריגונומטריה בפתרון חידות(... 9 תרגיל )48(... תרגילים אינטראקטיביים... תשובות גיאומטריה אנליטית 4. מערכת צירים... 9 תרגילים 49( ) מרחק בין שתי נקודות... תרגילים 58( ) מדריך למורה 8

7 תרגילים אינטראקטיביים שיפוע של ישר... 7 שיפוע של ישר אופקי ושל ישר אנכי... 9 תלות השיפוע בזווית בין הישר לציר... x 44 תרגילים 74(...)75-4 שיפועי ישרים מקבילים ומאונכים... 4 תרגילים 76( ) אמצע של קטע... תרגילים 9(...)46-5 תרגילים אינטראקטיביים משוואת הישר משמעות המקדמים במשוואת הישר תרגילים 48( ) תרגילים אינטראקטיביים חיתוך של שני ישרים... 6 תרגילים 7( ) תרגילים אינטראקטיביים שימוש במשוואת הישר בפתרון בעיות גיאומטריות... 7 ריבוע ומלבן במערכת צירים... 7 מקבילית ומעויין במערכת צירים משולש במערכת צירים צורות גיאומטריות הנוצרות על ידי גרפים של פונקציות תרגילים 4(...)57-97 תרגילים אינטראקטיביים שימוש בגיאומטריה אנליטית בהוכחת משפטים... 4 תרגילים 58( ) תשובות...44 מדריך למורה 9

8 סה"כ 8 סעיפים, הכוללים כ- 44 עמודי טקסט, 67 תרגילים ו- 7 מקבצי תרגילים אינטראקטיביים הפועלים דרך האינטרנט. הכמות הרבה של התרגילים לשיעור )כ- 5 עמודים ו- 4 תרגילים( מאפשרת למורה לבחור תכנים ותרגילים ברמות שונות הן לעבודה בכיתה והן בבית. סדר הנושאים בספר:....4 דמיון משולשים: מבוא )דמיון צורות באופן כללי( ושלושת משפטי הדמיון בין משולשים )כ- 5 ש"ל(; קווים מיוחדים במשולש: יישום עקרונות הדמיון לפיתוח תכונות נוספות של משולשים )כ- 6 ש"ל(; טריגונומטריה: פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית, יישומי טריגונומטריה להוכחת תכונות של משולש וצורות גיאומטריות נוספות ריבוע, מלבן, טרפז, מעוין ודלתון )כ- ש"ל( גיאומטריה אנליטית: חזרה על התכנים שנלמדו בחטה"ב ושימוש משולב בכלים שנלמדו בכל הפרקים הקודמים בפתרון בעיות גיאומטריות)כ- 4 ש"ל(. הצעה לפריסת תכנית הלימודים בגיאומטריה בכיתה י'. דמיון משולשים נושאי הלימוד ש"ל סעיפים בספר שיעורי בית תרגילים -5. דמיון מצולעים: הגדרת צורות דומות, מצולעים דומים הגדרת משולשים דומים משפט דמיון ראשון )ז.ז.( יחס גבהים מתאימים במשולשים דומים יחס חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים יחס היקפים של משולשים דומים יחס שטחים של משולשים דומים 4.5 מדריך למורה 4

9 -.8 משפט חוצה זווית משפט דמיון שני )צ.צ.ז( 8.4 יחס תיכונים מתאימים במשולשים דומים משפט דמיון שלישי )צ.צ.צ(.. שימוש בדמיון משולשים בפתרון בעיות ובהוכחות משפטים קטעים פרופורציוניים 7-9. קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית 4-.4 קטע אמצעים במשולש -.5 מפגש תיכונים במשולש 5.6 יישומי דמיון משולשים בגיאומטריה ובחיי היום-יום מדריך למורה

10 מערכי שיעור מומלצים שיעורים 0 6. דמיון משולשים מטרת השיעור: הגדרה של דמיון צורות גיאומטריות והמושגים הנלווים כגון: יחס הדמיון, הצלעות והזוויות המתאימות. אפשר לפתוח את השיעור בהמחשות אינטראקטיביות באינטרנט. משימת חקר.. מאפשרת לשנות את גודל הצורה בלבד, ולבדוק אם שתי הצורות חופפות. משימת חקר.. ממחישה את המושג של זוויות וצלעות מתאימות - לשני המצולעים צלעות וזוויות שוות, אולם אין התאמה ביניהן ולכן אי אפשר להביא את הצורות לחפיפה. אפשרות נוספת לפתיחת השיעור היא להציג דוגמאות של צורות דומות מתחומי דעת אחרים, כגון מתחום האופטיקה: צורות דומות מתקבלות מהגדלתן באמצעות הטלה על מסך כאשר מאירים אותן באור )כמו בקולנוע(. קרני אור המתפשטות בקווים ישרים יוצרות על המסך צל שצורתה זהה לצורה המקורית. גודל הצל תלוי במרחק של הצורה ממקור האור. מדריך למורה

11 צל יוצר צורות דומות בגיאומטריה צורות דומות מתקבלות על ידי הגדלה או הקטנה של הצורה המקורית. כיוון שצורה אינה משתנה במהלך הזזה או סיבוב, הן נותרו דומות גם לאחר שהזיזו או סובבו אותן. לדוגמה: הצורות 'A ו- ''A התקבלו מהצורה A על ידי "ניפוח" ו"כווץ" בהתאם, לכן הן דומות לצורה A. גם הצורה B דומה ל- A, כיוון שהיא התקבלה מ- 'A באמצעות הזזה וסיבוב, ולכן B ו- 'A צורות הן חופפות. במהלך הגדלת הצורה כל הזוויות בין צלעותיה והיחסים בין הצלעות נשמרים:, = ', = ' שמירת הזוויות ושמירת יחסי הצלעות לקביעת דמיון בין צורות. הן שני תנאים הכרחיים יש צורות שכולן דומות, למשל קטעים: תמיד אפשר להציב קטע אחד במרחק כזה ממקור האור, שהצל שהוא יטיל יתלכד עם הקטע השני. הצל שייווצר שונה רק באורכו מהקטע המקורי. אם AB הוא D C' הקטע המקורי ו- CD הוא הצל, אזי ליחס האורכים קוראים יחס C הקטעים: A B C D מדריך למורה

12 דומים גם כל הריבועים. כיוון שצלעות הריבוע שוות, היחס בין כל שתי צלעות הן בריבוע המקורי והן בריבוע המוגדל הוא. ושוות גם כל הזוויות. לכן אם נמצא את ההגדלה הדרושה לחפיפת שתי צלעות כלשהן, תתלכדנה גם כל הצלעות האחרות. דוגמה כל הריבועים באיור דומים: אולם שני מלבנים בדרך כלל אינם דומים. גם אם נמצא מרחק שעבורו צלע אחת של הצל שאותו מטילה צורה אחת תתלכד עם צלע של צורה אחרת, ספק אם יתלכדו צלעות אחרות. לדוגמה, המלבנים A ו- B אינם דומים: אם נגדיל את מלבן A כך שאחת מצלעותיו של המלבן המוגדל 'A ו- B צורותיהן של B, תשתווה לרוחב המלבן 'A לא יהיו זהות. כדי ששני מלבנים יהיו דומים יחסי צלעותיהם הסמוכות צריכים להיות שווים בשני המלבנים, כמו בדוגמה הבאה: a a' b S = 6 b' מדריך למורה 4 S=.7 k = S = 4 S=0.8

13 דוגמה )לפתרון בכיתה(: מצאו מלבנים דומים: נמדוד את יחסי הצלעות של המלבנים: :4 = : ) : = : ) : S = 6 ) : ) : )8 :4 ).5: = :4 ) :6 = : ) k = המלבנים בעלי יחס 'b שווה הם דומים: ( ו- (; ( ו- 8(; ( ו- (. S=.7 b a' S=0.8 שיעורי בית: תרגילים מס. -5 תשובות = 4 S ב( לא א( לא. ב(.68 5 א( x, y 5, ב( z א( :.5 שיעורים 4. - משולשים דומים - משפט דמיון ראשון והשלכותיו מטרת השיעורים: הגדרת משולשים דומים ומושגים עיקריים )יחס דמיון, זוויות וצלעות מתאימות(, ניסוח משפט הדמיון הראשון והוכחתו. אפשר להתחיל את השיעור מהמחשה אינטראקטיבית ומשימת חקר.4.: a מדריך למורה 5

14 יש להבהיר כי בדומה למלבנים, גם שני משולשים אינם דומים בדרך כלל. המשולשים A ו- B, לדוגמא, אינם דומים. אם נגדיל את המשולש A עד שאחת מצלעותיו תשתווה לאחת צורותיהם יישארו שונות. מצלעות המשולש,B A A' B B כדי ששני משולשים A ו- 'A יהיו דומים, זוויותיהם צריכות להיות שוות. זוויות המשולש 'A הנוצר בתהליך ההגדלה )ניפוח( שוות לאלה של המשולש המקורי A: A B' C A = A', B = B', C = C' במשולשים דומים צלעות שנמצאות מול זוויות שוות נקראות צלעות מתאימות. A' C' B במשולשים הדומים ABC ו- A'B'C' צלעות AB ו-,A'B' BC ו-,B'C' CA ו- C'A' הן צלעות מתאימות. C D לפי הגדרת הדמיון, היחס בין צלעות סמוכות במשולשים דומים נשמר: () A B' C בהתאם לתכונות הפרופורציה, האיברים הפנימיים: אפשרD להחליף בין A' C' () המתאימות C בשני משולשים דומים שווים: D כלומר יחסי הצלעות מדריך למורה 6 D

15 ערכו של יחס זה נקרא יחס הדמיון. בעוד הפרופורציה () מבטאת את שמירת הצורה של משולשים דומים, הפרופורציה () מגדירה את יחס הדמיון, והיא מבטאת את מידת ההגדלה )או ההקטנה( משולש מקורי ביחס למשולש שנוצר מפעולת ההגדלה )או ההקטנה(. של בתהליך ההטלה ממקור נקודתי אפשר לבנות באמצעות ניפוח )או כיווץ( וסיבוב כל צורה מצורה מקורית. הצורה המוגדלת שתיווצר תהיה דומה לצורה המקורית. יחס הצלעות המתאימות )יחס הדמיון( בשתי הצורות הוא קבוע לכל זוגות הצלעות, והוא גם מהווה יחס בין כל שני קטעים מתאימים )המחברים את הנקודות המתאימות( בשתי הצורות: יחס הדמיון הרשום בצורת היחס :0000( )לדוגמה, מהווה קנה מידה של המפה.ABDC המתארת את האזור A'B'D'C' המספר ההופכי ליחס הדמיון, מהווה את ההגדלה של התמונה A'B'D'C' ביחס מדריך למורה 7 למקור.ABDC גם גופים במרחב שנוצרו בתהליך ההטלה ממקור נקודתי דומים לגופים ששימשו כמקור: יחסי כל הצלעות המתאימות שווים )יחס הדמיון(, וגם הזוויות בין כל הצלעות המתאימות שוות.

16 את המשולשים הדומים מסמנים: כדי לבדוק אם שני משולשים דומים, דמיון משולשים.ABC A'B'C'. שלושת זוגות הצלעות המתאימות וגם את שוויון כל הזוויות. אין צורך לבדוק גם את שוויון היחסים בין כל כדי לפשט את בדיקת הדמיון ישנם שלושה סימני דמיון משולשים: דמיון על פי שוויון שתיים מזוויות המשולשים ABC = A'B'C', BAC = B'A'C' ABC A'B'C' בהתבסס על המשפט הדמיון הראשון נסיק על יחס חוצי זוויות מתאימות )סעיף.5(, על יחס ההיקפים )סעיף.6(, על יחס שטחים של משולשים דומים )סעיף.7( ועל משפט חוצה זווית )סעיף.8(. שיעורי בית: תרגילים 6.6 התרגילים 8,,8 להציג את השרטוט על המסך. מומלץ ו- אינטראקטיביים ומאפשרים להציג במהלך השיעור כל שרטוט על הלוח ולדון בדרכי פתרון התרגיל באמצעות שינוי אינטראקטיבי של השרטוט וצפייה בהשלכות השינוי. לדוגמה שרטוט לשאלה 8: A B D A' C C B' D C' מקישים בקישור ונפתח שרטוט: מדריך למורה 8

17 אפשר להיעזר בו לצורך הבהרת הבעיה, ואפשר גם לשנותו ולבדוק כיצד ישתנו בלי מקדקודי המשולש ולגרור אותו הערכים. לדוגמה: אפשר לאחוז באחד שהרכיבים האחרים יזוזו: הקשה בצלע מציגה בשורה העליונה את אורכה. דבר זה מאפשר לשנות את נתוני התרגיל ולבדוק את הפתרון: תשובות א( ב( a b n g x 0 x.6.7 א( BC=7.5 ב( AC=6 ג( AC=78 MP=0.5 פתרון הוכיחו שאם הישר הוא חוצה זווית של משולש וגם תיכון לצלע ממול הזווית,.8.9 אזי המשולש שווה שוקיים. מדריך למורה 9

18 הוכחה BD DA BC CA לפי משפט חוצה זווית :,AB הוא תיכון לצלע CD מכאן: BD = DA BD DA BC CA לכן: ומקבלים: BC CA פתרון הוכיחו שאין משולש שבו שני ישרים מחלקים את אחת הזוויות לשלוש זוויות שוות וגם את הצלע שמול הזווית לשלושה שטעים שווים. הוכחה.0 ABE בהתאמה במשולשים DBC ו- ABD הם חוצי זוויות BE ו- BD ו-.DBC לפי משפט חוצה זווית נקבל: AB = BE ו-,ВС = BD כלומר המשולשים ABE ו- DBC הם שווי שוקיים. מכאן נובע שוויון זויוות:,β =, = 5 וכיוון ש- ABD = DBE ו-. = 4 המסקנה מכאן היא שכל הזוויות ישרות שוות גם זוויות = מצב שאינו יכול להתקיים במשולש., AC 0, B יחס השטחים הוא מדריך למורה 4,.5,.75, AB, C יחס השטחים הוא ס"מ, 4 ס"מ,TP, H יחס השטחים הוא :

19 BD=,OT, P 4.5 יחס השטחים הוא :5 BD=8, BC יחס השטחים הוא 6.5.8, A 7 פתרון במשולש AKC קטע CF חוצה זווית, AF FK AC CK לכן מתקיים: AF 7 FK 5 מכאן: 5:7 תשובה: AB BC, BC יחס השטחים הוא 6:9 8, B 5 AD BD BD CD.57 BA A C AB AC AB BD AB BC, BA AB AC BC : BC DC הוכחה לפי משפט חוצה זווית : BA AB AB BC BA AC A C AC BA BA BA....4 BA BA AC BA AC BA, t A C BA A C BA A C t t 0 t, t 0.5 מדריך למורה

20 BA AC לכן BA A C המשולש ABC שווה צלעות. 5. הוכחה המשולש CEB הוא שווה שוקיים )0( BD( BC=BE הוא גובה וחוצה זווית( לפי משפט חוצה זווית במשולש :BDA AB. BD EA DE.AB= BD לכן: EA= DE לפי )0(:,BAD=0 º המשולש BDA הוא ישר זווית, לכן הזווית מכאן הזווית ABC=90 º ואז הזווית BCD=60 º שיעור 5. משפט דמיון שני )צ.צ.ז( מטרת השיעור: להוכיח את המשפט ולהדגים את השימוש בו. אפשר לבסס את השיעור על שרטוט אינטראקטיבי הממחיש את המשפט: תחילה הקישו בכל הצעלות המסומנות ומדדו את אורכיהן. רשמו את הפרופורציות המתאימות וודאו שהן מתקיימות. אחזו באחד מקדקודי המשולשים והגדילו או הקטינו אותו עד שמידותיו יהיו זהות למידות המשולש השני. בדקו אם המשולשים חופפים. ודאו כי ערכי הפורפורציה אינם משתנים עבור מידות שונות של המשולש. תרגילים לפתרון בשיעור: מס.. 7, שיעורי בית: תרגילים 8-8. מדריך למורה

21 BO=0, יחס השטחים הוא 4:5, CAO 6 יחס השטחים הוא 9 AC=, יחס השטחים הוא 64:49 DE=9., יחס השטחים הוא 5:9 AB=6, יחס השטחים הוא 4:9 תשובות אלכסוני המרובע ABCD נחתכים בנקודה O. נתון:.AOBO = CODO הוכיחו ששטחי המשולשים ACD ו- ABDשווים. הוכחה )0( מהנתון נקבל: AO OD AO BO CO DO OC BO )( AOD=COB )זוויות קודקודיות( AOD ~ COB )6( )4( )זוג צלעות פרופורציוניות והזווית הכלואה שווה( OBC=ODA )זוויות מתאימות במשולשים דומים( AD BC )5( )( )זוויות מתחלפות שוות( S )בסיס AD משותף וגובה משותף( ABD S ACD יחס השטחים הוא 4 שיעור. משפט דמיון שלישי )צ.צ.צ.( מטרת השיעור: להוכיח את המשפט.. יחס השטחים הוא : אפשר לבסס את השיעור על שרטוט אינטראקטיבי הממחיש את המשפט: מדריך למורה

22 תחילה הקישו בכל הצעלות המסומנות ומדדו את אורכיהן. רשמו את הפרופורציות המתאימות וודאו שהן מתקיימות. אחזו באחד מקדקודי אחד המשולשים והגדילו או הקטינו אותו עד שמידותיו יהיו זהות למידות המשולש השני. הניחו את אחד המשולשים על האחר ובדקו אם המשולשים חופפים. ודאו כי ערכי הפרופורציה אינם משתנים עבור מידות שונות של המשולש. תרגילים לפתרון בשיעור: מס , שיעורי בית: תרגילים.45,44,4,4,4 הערה: את התרגילים 46 עד 7 מומלץ לפתור בבית במהלך השיעורים הבאים בנושא הדמיון. א( לא ד( לא ב( כן, משפט שני ה( כן, משפט שלישי תשובות ג( כן, משפט שלישי ו( כן, משפט שני RS XY RT XZ XZ RT ST YZ XY RS VWZ VYX x 9, y FC.5, EF א( 5 ב( 5 DE 5 7, EC 7.47 א( AB 0 א( כן ב( AO OC BO OD a b 6, 6 ב( כן ג( כן AM NP 5, MN AP 7.5 מדריך למורה ג( AO

23 DE 6, BD 5 א( AC 7.5 ב( ג( BC 8.5 כן, לפי משפט דמיון שני א( כן ב( כן B ah a h.58 4 M D DL D א( הדרכה ב( דרך הנקודה העבירו ישר A K L C המקביל ל-.BK שני הישרים המקבילים BK ו- DL חותכים את שוקי זוויות ACB ו-.AC לא כן היעזרו בסעיף.8 ורשמו את יחסי הקטעים המוקצים בשוקי הזוויות OCA C 80 B C 4 ס"מ, 6 ס"מ : הוכיחו ששני משולשים שווי שוקיים הם דומים, אם במשולש אחד שוק ותיכון לשוק זו פרופורציוניים בהתאמה לשוק ותיכון לשוק זו במשולש האחר. CA CA CB, ED EF, EF BG HF נתון: צ"ל: ABC ~ FED הוכחה BC BG CG DE DH EH BGC ~ DHE )( )( BCA=DEF )זוויות מתאימות במשולשים דומים( )( FED ABC ~ )זוג הצלעות פרופורציוניות והזווית הכלואה שווה( מדריך למורה 5

24 ה) 5. הוכיחו שקטע המחבר את בסיסי הגבהים במשולש חד זווית מ קצה ממנו משולש דומה. נתון: צ"ל: הוכחה נוכיח כי DCE ~ ABC CDA ~ CEB )0( שאר באופן דומה( BCE ACD, BEC ADC CDA ~ CEB CD CE AC BC )5( DCE ~ ACB )משפט הדמיון הראשון( )( שיעורים 7-8. משפטים. שימוש בדמיון משולשים בפתרון בעיות ובהוכחות קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית מטרת השיעור: להדגים את השימוש במשפטי דמיון בפתרון משולשים ישרי זווית. אפשר לבסס את השיעור על שרטוט אינטראקטיבי: "פרקו" את המשולש ישר הזווית לשני משולשים ישרי זווית שנוצרו על ידי הורדת גובה על היתר. הוכיחו את דמיון המשולשים הקטנים למשולש הגדול באמצעות הגדלה וסיבוב המשולשים המרכיבים את המשולש המקורי. מדריך למורה 6

25 כדי לסובב צורה יש להפוך אותה לפעילה באמצעות הקשה עליה ובחירת צלמית "סיבוב" בחלון בצד ימין של המסך. לאחר מכן מציבים את מרכז הסיבוב בנקודה הרצויה, אוחזים בקרן המשמשת כידית סיבוב ומסובבים את הצורה לזווית הרצויה: שימו לב: סיבוב המשולש הקטן אינו יכול להביאו לחפיפה עם המשולש המקורי )בדקו והדגימו זאת בכיתה(. כדי להצליח במשימה זו יש צורך בשיקוף המשולש ביחס לאחת מצלעותיו: סמנו את קצות הקטע )שביחס לישר המכיל אותו רוצים לשקף את המשולש(, ובחרו את הצלמית "סימטריה בקו". הקישו שוב בצלע שנבחרה לציר סימטריה, וייבנה משולש סימטרי למשולש הקטן. הפרידו ביניהם וסובבו את המשולש החדש עד שהיתר שלו יהיה מקביל ליתר המשולש הגדול: אחזו באחד מקדקודי המשולש והגדילו אותו עד לחפיפה עם המשולש המקורי: מדריך למורה 7

26 כך אפשר להוכיח את הדמיון בין המשולש ישר הזווית המקורי לבין אחד מהמשולשים שנוצרו ממנו על ידי הורדת גובה על יתר. על תכונות הדימיון בין משולשים אלה מבוססת ההגדרת הממוצע הגיאומטרי )עמ' ( ומשפט על תכונת הגובה ליתר )עמ' (. )מושג הממוצע הגיאומטרי אמנם אינו נכלל בתכנית הלימודים, אולם מומלץ להציגו כחומר העשרה(. שתי הוכחות של משפט פיתגורס )עמ' ( מבוססות על קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית. תרגילים לפתרון בכיתה: 8. 77, שיעורי בית: , תרגילי העשרה: , תשובות 4 ; ; 5 ; 5.76 AB, BD, DC MK 6 h 0, א( b.0, a 5.6 h 48, ב( b 60, a c 4, a 0.78, a 8 ג( c c 6, ד( b.86, b c h 4.47, b 6.7, b c 5, a 4 ה( c b c c b a c, a c c a b c 5.4, , מדריך למורה 8

27 שיעורים קטע אמצעים ומפגש תיכונים במשולש מטרת השיעורים: להגדיר ולהוכיח את המשפט על קטע אמצעים במשולש ולהדגים את השימוש בו בפתרון בעיות גיאומטריות שונות. השיעור יכול להתבסס על השרטוט האינטראקטיבי להלן: אחיזה וגרירה של אחד מקדקודי המשולש ABC מאפשרת לשנות את צורתו ולהמחיש כיצד במשולש מכל סוג חד זווית, ישר זווית וכהה זווית קטע אמצעים שומר על תכונות המשולש: משימת חקר.4. )עמ' 5( מדגימה את השימוש בקטע אמצעים כדי להבין את תכונות המרובע. גם את המשפט של מפגש תיכונים במשולש אפשר להמחיש באמצעות השרטוט האינראקטיבי: גרירת אחד מקדקודי המשולש אכן משנה את צורותו, אולם אינה משפיעה על מפגש התיכונים בנקודה אחת. מדריך למורה 9

28 טיפ: שינוי צורה משנה את מקום האותיות המסמנות את הנקודות המיוחדות: קדקודים, צלעות, נקודות האמצע ועוד. אפשר לקבוע את גודל האות ואת מקומה בחלון "צורת הנקודה" בהקשה על הצלמית העליונה בצד ימין של המסך: השיעור מסתיים בהוכחת ארכימדס של המשפט על מפגש תיכונים. יש לציין כי זאת למעשה איננה הוכחה, אלא המחשה, כיוון שהיא מתבססת על הנחות זרות )מקום מרכז הכובד של גופים, מבנה מיוחד של משולש ועוד(. חשוב להציג אותה כדי להמחיש, אחרים. תרגילים לפתרון בכיתה: תרגילים לבית:.9,89 בין היתר, את יישומי הגיאומטריה בתחומי ידע.78-79,9-96 תרגילי העשרה: תשובות , 4.4, ( x - אורך הניצב(.707x.8 48,.89, במשולש,ABC התיכונים BB,AA ו- CC נפגשים בנקודה.O נקודות,A B ו- C הן אמצעי הקטעים OB,OA ו- OC בהתאמה. הוכיחו שמשולשים ABC ו- A B C דומים..6 מדריך למורה 4

29 הוכחה בניית עזר: נחבר את הנקודות ו- C. A )( הקטע AC הוא קטע אמצעים במשולש.ACO אמצע הקטע )OC C ו- אמצע הקטע OA A ( )משפט של קטע אמצעים במשולש( AC( קטע אמצעים במשולש ABC לפי נתונים( )5( )6(. )4( מ- )( ו- )6( נובע כי.BC AB )( יש לחזור על השלבים )0( לגבי הקטעים ו- לבסוף נקבל שהמשולשים ABC ו- ABC דומים לפי המשפט השלישי. 54, 9.55, , 0.677, הוכיחו שהקטע המחבר את אמצעי האלכסונים של טרפז מקביל לבסיסו ושווה לחצי ההפרש של בסיסיו מדריך למורה

30 טרפז, DF=FB, AE=EC EF AD נתון: ABCD BC צ"ל: הוכחה בניית עזר: דרך הנקודות B ו- E וגם C ו- F נעביר את הקטעים BG ו- CH בהתאמה. )( ו- )4( לפי ההגדרה של קטע )7( CEB AEG )לפי משפט חפיפה שני: )EAG ECB, AE EC, AEG CEB )( EG BE מ) DFH )לפי משפט חפיפה שני: BFC )6( )FDH FBC, DF FB, DFH BFC ) )7(- )4( FH CF מ) )6(- ) GBCH קטע אמצעים בטרפז EF מ) )5( אמצעים בטרפז ) EF BC, EF BD BC GH BC AD BC AD BC EF 6, )( )( S.0.05 מדריך למורה

31 ו- שיעורים יישומי דמיון משולשים בגיאומטריה ובחיי היום-יום מטרת השיעורים: להמחיש את השימוש בכללי הדמיון בתחמי הנדסה שונים, בעיקר בתחום המדידה בשטח. מערך השיעור: מלבד הדוגמאות המובאות בספר )מדידת גובה עצם ומדידת מרחק לנקודה בלתי נגישה( מומלץ להזכיר את הנושא של הקרנת סרטים, מצגות וכד' )ראו פירוט בעמ' 4-(; לתלמידים הלומדים פיזיקה אפשר להזכיר את פיתוח נוסחת העדשה: AB הוא עצם AB הוא דמות שנוצרת על ידי שבירת קרני האור AO,AC ו- AD בעדשה מרכזת. מדמיון משולשים ACO ו- ODA נובע: נוסחה זאת מאפשרת לחשב את מרחק הדמות AB מהעדשה (BO) אם ידוע מרחק העצם מהעדשה (BO) ומרחק מוקד העדשה.OF מדמיון משולשים אלה נובעת גם נוסחת ההגדלה: הוכחת הנוסחאות הנ"ל ותיאור ההשלכות היישומיות מהן יכולים לשמש כנושא לעבודת בית. תרגילים לפתרון בכיתה: מס. 7 שיעורי בית: מס. 6, 5,.9,8 תשובות.5 מ' 6.96 מ' 6. מ' 48 מ' 7.5 מ' מדריך למורה

32 . קווים מיוחדים במשולש חוצה זוויות אנך אמצעי... תרגילים )46-48(.4 מפגש גבהים.... קטע אמצעים ותיכונים... 6 תרגילים 446( - ) תשובות... הנושא השני, קווים מיוחדים במשולם, 6.. מיישם את העקרונות של דמיון לפיתוח תכונות נוספות של משולשים )כ- ש"ל(; פריסה אפשרית של תכנית הלימודים בגיאומטריה נושאי הלימוד קווים מיוחדים במשולש ש"ל סעיפים בספר שיעורי בית ותרגילים חוצה זווית, מקום גיאומטרי, משפט חוצי זוויות 48.. אנך אמצעי מפגש גבהים קטע אמצעים ותיכונים שיעורים -. חוצה זווית ומקום גיאומטרי מטרת השיעורים: להגדיר ולהוכיח את המשפטים של חוצה זווית וקטע אמצעים במשולש. מערך השיעור השיעור מתחיל בהגדרה של חוצה זווית במשולש. ההגדרה נתמכת במשימת חקר, שבמסגרתה אפשר להתנסות בשרטוט חוצה זווית במשולשים מסוגים שונים. לאחר ההקשה בקישור מופיעה תבנית של משולש ואחד מחוצי הזווית שלו. מדריך למורה 4

33 ליד התבנית יש הדרכה לבניית חוצה זווית נוסף: לאחר ההדגמה עוברים להוכחות המשפטים המבוססות על טענות גיאומטריות ועל השיטה הדדוקטיבית. בהמשך מגדירים ומסבירים את המושגים של מקום גיאומטרי ומשפט הפוך. לאחר מכן מציגים באמצעות השרטוט האינטראקטיבי המלווה בהדרכה את ההשערה על מפגש חוצי זוויות פנימיות במשולש: לבסוף מופיעה הוכחה דדוקטיבית של המשפט. שיעור. אנך אמצעי מטרת השיעור: להגדיר את האנך האמצעי לקטע ובמשולש. מערך השיעור תחילה מגדירים את האנך האמצעי לקטע ומוכיחים את שני המשפטים: משפט כל נקודה הנמצאת על אנך אמצעי מרוחקת במידה שווה מקצות הקטע והמשפט ההפוך: משפט 5 מקום גיאומטרי של כל הנקודות המרוחקות במידה שווה מקצות הקטע הוא אנך אמצעי לקטע. בהמשך מיישמים את המשפטים הנ"ל במשפט של מפגש האנכים האמצעיים במשולש משפט 6 שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. תרגילים לפתרון בכיתה: , תרגילים לבית:,4,464,46.4. מדריך למורה 4

34 תשובות 6 ס"מ 44 ס"מ 4 הדרכה היעזרו בתכונות המעגל )כל נקודות המעגל נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל( ובתכונות של חוצה זווית. 5 0 פתרון תרגיל 6 הקישו בשורה של טקסט עם קישור. ייפתח שרטוט אינטראקטיבי, הנקודה שבו המשוערת נמצאת על חוצה זווית. על פי משפט., הנקודה מרוחרת במידה שווה משוקי הזווית:.OA = OH שרטטו נקודה אחרת M על הניצב AC והראו שמרחקיה משוקי הזווית אינם שווים:.AM > ML לכן AM > AO, ML < OH טיפים: א. השרטוט שייפתח הוא תבנית, שאותה אפשר לשנות, להוסיף או להסיר ממנה קווים, אותיות וסימנים אחרים, או למחוק אותו ולבנות שרטוט אחר. ב. אפשר להעתיק את השרטוט למסמך וורד או תמונה: סמנו ריבוע ליד צלמית הבחירה בצד שמאל של המסך, הקיפו את השרטוט )או קטע ממנו( באמצעות עכבר, והקישו בצלמית "העתקה". מדריך למורה 46

35 א) ב) אפשר לקבוע את פורמט התמונה בהתאם לשימוש המיועד: להעתקה למסמך Word המתאים ביותר הוא פורמט "מתאפייל", להעתקה לתמונה - "ביטמאפ". תרגיל 7 מצאו על שוק של משולש שווה שוקיים נקודה, המרוחקת באופן שווה מהבסיס ומהשוק השנייה. פתרון כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מהבסיס ומהשוק נמצאות על חוצה הזווית שבין הבסיס והשוק. לכן כדי למצוא את הנקודה המבוקשת יש לבצע את השלבים האלה: ) לבנות חוצה זווית שבין הבסיס והשוק )זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים( ) למצוא את נקודת החיתוך שבין החוצה והשוק. פתרון תרגיל 7 במשולש ישר זווית )C = 90( ABC נתון:.BC < AC AC AB מצאו נקודה המרוחקת באופן שווה מהצלעות ו- ומרוחקת מקדקוד C במרחק השווה לאורך הניצב.BC הקישו בקישור. אינטראקטיבי: ייפתח שרטוט שרטטו ישר דרך הנקודות O ו- A. לפי משפט של חוצה זווית מסיקים שהנקודה הנדרשת שייכת אליו. התנאי השני BC) (OC = יתקיים אם שתי הנקודות O ו- B יהיו על מעגל שמרכזו ב- C. נשרטט את חוצה הזווית BAC ואת קשת המעגל ונקבל את הנקודה O: מדריך למורה 4

36 טיפים: שוקי הזווית א. כדי לבנות חוצה זווית יש לסמן את בעזרת הלחצן וללחוץ בצלמית בצד ימין של המסך: הימני של העכבר ב. הצלמית של קשת מעגלית נמצאת בצד ימין של המסך: הערה: כלי השרטוט המציעה התוכנה אינם מבטלים את הצורך במיומנויות שרטוט ידני, אלא מדמות אותן ומאפשרות יותר. שרטוט מהיר ומדויק בדוגמה הנ"ל מומלץ להזכיר לתלמידים כיצד משרטטים מעגל כשהמרכז והרדיוס נתונים, וכיצד לבנות חוצה זווית )נלמד בחטה"ב(. תרגיל 5 א( במשולש חד זווית ABC גבהים BB ו- CC נפגשים בנקודה O. מצאו את הזווית OAB אם ידוע כי.BC = BC פתרון בניית עזר: נעביר את הגובה AA שלושת הגבהים נפגשים בנקודה O. ) BC BC BCC 0 )ניצב COA AOC 60 OAB OAC )( )( )( ב( במשולש ABC התיכונים BB ו- CC נפגשים בנקודה O והם מאונכים. מצאו את OA אם נתון: ס"מ = 6 BB, ס"מ = 5.CC פתרון מדריך למורה 48

37 בניית עזר: נעביר את התיכון AA שלושת התיכונים נפגשים בנקודה O. BO BB )תכונת התיכונים במשולש ) 6 4 )( CO CC )תכונת התיכונים במשולש ) 5 0 )( BC BO CO BO CO 44 )משפט פיתגורס( )( OA )תיכון ליתר במשולש ישר זווית ) 44 BC )4( 44 AO OA 44 )5( שיעורים מפגש גבהים, קטע אמצעים ותיכונים מטרת השיעורים: להוכיח את המשפטים על נקודות מפגש הגבהים ומפגש התיכונים במשולש. מערך השיעור בתחילת השיעור מגדירים גובה במשולש ובודקים את ההשערה של מפגש הגבהים במשולש. אפשר להתבסס על המחשה אינראקטיבית של המשפט )עמ' (: משפט 7 שלושה גבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת. הקשה בקישור פותחת את הסביבה הדינמית ואת התבנית המתאימה למחקר: לאחר מכן מוכיחים את המשפט. תרגיל )א( מדגים את השימוש במשפט בפתרון בעיות: מדריך למורה 44

38 במשולש חד זווית ABC הגבהים AA ו- BB נפגשים בנקודה O. מצאו את הזווית OCA אם נתון ש- 58 =.BAC פתרון מאריחים את הקטע CO למפגש עם הצלע.AB על פי משפט CC אף הוא גובה, לכן המשולש ACC הוא ישר זווית, וזווית OCA שווה ל- ACB = 90 - ACB = המשך השיעור מוקדש לחזרה על משפט קטע אמצעים ולהוכחתו: משפט קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית הצלע הזו. את המשפט אפשר להמחיש בשרטוט דינמי. התבנית שתיפתח בסביבה: הערה קטע אמצעים נלמד בשיעור 4. בשיעור זה הנושא מובא לצורך סיכום התכונות של קווים מיוחדים במשולש. גם המשפט על תיכונים במשולש נלמד קודם )סעיף 6...(: משפט 9 שלושה תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת התבנית שתיפתח מאפשרת להמחיש את המשפט על ידי שינוי צורת המשולש ובניית שלושת התיכונים: בהמשך השיעור מוכיחים את משפט השטחים: מדריך למורה

39 משפט. תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח. אפשר להמחיש את המשפט באמצעות התוכנה האינטראקטיבית. התבנית שתיפתח מציגה משולש ותיכון לאחת מצלעותיו. אפשר למדוד שטח של כל משולש שנוצר באמצעות הצלמית בצד ימין. טיפ: אפשר למדוד שטח של צורה סגורה המופיעה בין התבניות שבמחיצה "הנדסה" בלבד )ולא שטח של צורה שמורכבת מקטעים או מצורות אחרות(. אם רוצים למדוד שטח של צורה מורכבת, או חלק של צורה בסיסית )כמו שטח של אחד משני המושלשים הנוצרים על ידי התיכון במשולש(, יש לבנות את הצורות שמרכיבות את הצורה הזו ולמדוד את שטחה של כל צורה בסיסית. לדומגה: תרגילים לפתרון בכיתה:.48 )ב(, 44 48, תרגילים לבית: תשובות א( ב( סמ"ר א( ס"מ ב( 46 סמ"ר א( 8 ב(.484 AB 4, AC 0, BC 7 א( 6 סמ"ר ב(.48 א( ב( 6 ס"מ 0.48 מדריך למורה.

40 56 0 א( ב( ס"מ הדרכה: תחילה הוכיחו כי משולש AOB שווה שוקיים. א( 46 ב(..488 א( DC=5 AD=.5, ב( AC=4.6 4 ס"מ הדרכה: הניחו טענה נגדית, ותגיעו לסתירה פתרון תרגיל 7: מנקודה M הנמצאת על חוצה זווית לא שטוחה O הורידו את האנכים MA ו- MB לשוקי הזווית. הוכיחו כי.ABOM מקישים בקישור ופותחים את השרטוט האינטראקטירבי: על פי התכונות של חוצה זווית, נקודה M נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית:.MA = MB לכן המשולש AMB שווה שוקיים. במשולשים ישרי הזווית OAM ו- OBM זוויות AOM ו- BOM שוות )כיוון שנתון כי OM הוא חוצה זווית(. לכן שוות גם הזוויות AMO ו-,OMB כלומר MO חוצה את הזווית.AMB על פי התכונות של משולש שווה שוקיים, חוצה זווית ראש הוא גם גובה לצלע ממול. מ.ש.ל. מדריך למורה

41 טיפ: לתבנית אינטראקטיבית שנפתחה אפשר להוסיף קווים, סימנים ואותיות. לדוגמה: אם רוצים לסמן זווית באמצעות קשת ואות, מקישים על שוקי הזווית בלחצן הימני של העכבר ובצלמית "תוספת סמן":. hופיעו סימן קשת ואות אפשר לשנות לשם אותם אחר בחלונית "Name" בצד משאל של המסך: פתרון תרגיל 9: חוצי זוויות ליד הבסיס AB של משולש שווה שוקיים ABC נחתכים בנקודה M. הוכיחו שהישר CM מאונך לישר.AB מקישים בקישור ונפתחת תבנית אינטראקטיבית: על פי משפט חוצי זווית במשולש, גם חוצה הזווית השלישי עובר דרך הנקודה M. כיוון שהמשולש ABC שווה שוקיים, הוא גם גובה לבסיס.AB מ.ש.ל. מדריך למורה 4

42 טריגוappleומטריה טריגוappleומטריה במישור (תכappleית הלימודים). תכappleים פוappleקציות טריגוappleומטריות של זווית חדה במשולש ישר זווית: - הגדרת פוappleקציות טריגוappleומטריות: סיappleוס, קוסיappleוס, טappleגappleס של זווית חדה, כיחס צלעות במשולש ישר זווית. שימוש בדמיון משולשים להוכחה שעבור זווית חדה מסוימת מתקבל ערך קבוע לכל אחת מהפוappleקציות הטריגוappleומטריות כלומר, שערך הפוappleקציה הטריגוappleומטרית תלוי רק בגודלה של הזווית החדה. הערה: במסגרת תכappleית זו, מדידת הזוויות היא במעלות בלבד (ולא ברדיאappleים). - תכוappleות של הפוappleקציות הטריגוappleומטריות, עבור זווית חדה, תוך ביסוס על ההגדרה: * כאשר זווית חדה משתappleה בין 0 ל- 90, ערכי הסיappleוס שלה משתappleים בין 0 ל-. * כאשר זווית חדה משתappleה בין 0 ל- 90, ערכי הקוסיappleוס שלה משתappleים בין ל- 0. * כאשר זווית חדה משתappleה בין 0 ל- 90, ערכי הטappleגappleס שלה משתappleים בין 0 לאיappleסוף. - תכוappleות של הפוappleקציות הטריגוappleומטריות, עבור זווית חדה (יילמדו בצורה בלתי פורמלית, באמצעות התappleסות): * פוappleקציית הסיappleוס עולה בתחום ;0 < < 90 * פוappleקציית הקוסיappleוס יורדת בתחום ;0 < < 90 * פוappleקציית הטappleגappleס עולה בתחום ;0 < < 90 - הרחבת הערכים של פוappleקציות טריגוappleומטריות לערכים של 0 ושל 90: * ערכי סיappleוס וקוסיappleוס עבור זווית של 0 ושל 90; * ערך טappleגappleס עבור זווית של 0 וחוסר הגדרה עבור 90; - הקשר של פוappleקציית הטappleגappleס לשיפוע של ישר במערכת צירים. sin cos, sin tan cos - קשרים בין הפוappleקציות הטריגוappleומטריות:.cos(90-) = sin, sin(90-) = cos הוכחת הקשרים תוך ביסוס על ההגדרה ו/או משפט פיתגורס. מדריך למורה - טריגונומטריה 44

43 - חישוב ערכי הפוappleקציות הטריגוappleומטריות סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס, של הזוויות המיוחדות: 60, 0, 45 והוכחה באמצעות תכוappleות של משולש ישר זווית. - סיappleוס של זווית קהה הגדרה באמצעות הקשר.sin(80 - ( = sin - מציאת ערך של זווית, באמצעות מחשבון, על סמך הערך של פוappleקציה טריגוappleומטרית. - חישוב של אורכים, זוויות, היקף, שטח במשולש ישר זווית - בהתאם לappleתוappleים במשולש, ותוך שימוש בפוappleקציות טריגוappleומטריות ו/או במשפט פיתגורס ו/או בתכוappleות משולשים ישרי זווית שappleלמדו בגיאומטריה סיappleתטית (כגון: תכוappleת משולש שהוא ישר זווית ושווה שוקיים, תכוappleת משולש ישר זווית שהזווית החדה שלו 0, תכוappleת התיכון ליתר וכו'). הערה: שלבי החישוב ילוו במתן הappleמקות תוך שימוש בתכוappleות של הצורה הגיאומטרית.. S - חישוב שטח של משולש על פי הappleוסחה: a bsinγ צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית ו/או למרובעים חישוב של אורכים, זוויות, היקף, ושטח עבור צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית ולמרובעים - על סמך appleתוappleים המאפשרים חישובים אלו, ותוך שימוש בפוappleקציות טריגוappleומטריות ו/או בתכוappleות של משולשים ומרובעים שappleחשפו אליהם בגיאומטריה סיappleתטית. משולשים ומרובעים אפשריים: משולש כללי, משולש שווה שוקיים, טרפז, מלבן, דלתון, מעוין, ריבוע, מקבילית. כמו כן, צורה כללית המתפרקת למשולשים ו/או למרובעים. הצורות יכולות להיות כאלה המתפרקות למשולשים ישרי-זווית ו/או למרובעים בשלב אחד או בשappleי שלבים. הערות: () צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית יהיו מוצגות בגאומטריה סיappleתטית או באמצעות גאומטריה אappleליטית, כאשר הן מוגדרות במערכת צירים. () שלבי החישוב ילוו במתן הappleמקות תוך שימוש בתכוappleות של הצורות הגיאומטריות. מדריך למורה - טריגונומטריה 45

44 appleושאי הלימוד ש"ל סעיפים בספר שיעורי בית תרגילים הגדרת סיappleוס הגדרת קוסיappleוס הגדרת טappleגappleס 55. הקשר בין סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס הזווית --. משפר פיתגורס, משפט פיתגורס הפוך ערכי סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס של זוויות מיוחדות 8-.4 תלות של ערכי סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס בגודל הזווית זהויות טריגוappleומטריות בסיסיות תכוappleות משולש ישר זווית שטח משולש ופתרון משולש כללי צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית - מלבן --.9 צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית מעוין, דלתון 47.9 צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית טרפז שיעור 7. סיappleוס של זווית חדה במשולש ישר זווית מטרת השיעור להגדיר את הסיappleוס של זווית חדה במשולש ישר זווית ולהציג דוגמאות לשימוש בסיappleוס כדי למצוא appleיצב וזווית. B מערך שיעור להגדיר את הסיappleוס באמצעות דוגמה של אוappleייה שטה בזווית לקו החוף. להשתמש בסיappleוס כדי למצוא את הappleיצב מול הזווית (דוגמה ), את היתר (דוגמה C ) ואת הזווית(דוגמה ). בהמשך השיעורמוכיחיםאת המשפט של חוצה זווית באמצעות סיappleוס. מדריך למורה - טריגונומטריה 46 A A BC sina = AB

45 תרגילים לבית: 0 א, 0 ג, 9. תרגילים איappleראקטיביים:. תשובות.0 א) 0.75 ג) , 6 הפעלת תרגיל איappleטראקטיבי תרגילים איappleטראקטיביים מיועדים לתרגול בבית. הappleתוappleים בתרגיל משתappleים בכל פתיחה של תרגיל. לדוגמה, בשתי פתיחות עוקבות של אותו תרגיל מופיע:.9 התלמיד יכול לרשום את הפתרון בחלון העריכה באמצעות מקשי עריכה בצד שמאל של המסך וסימappleים מיוחדים. חלון הסימappleים appleפתח בהקשה על הצלמית בשורת הצלמיות למעלה: התוכappleה בודקת ומגיבה בהערה מתאימה, לדוגמה: שגיאה תסומן ב- (?) כשהתשובה על אחד משלבי הפתרון appleכוappleה תופיע הודעה מתאימה: טיפ: כל הביטויים appleשמרים בגיליון עבודה ואפשר להעתיקם למסמך וורד: סמappleו את הקטע הרצוי באמצעות העכבר ובחרו את הפורמט המועדף. מדריך למורה - טריגונומטריה 47

46 בהעתקה לוורד בחרו ב"מתאפייל", בהעתקה לדואר אלקטרוappleי בחרו בפורמט האיappleטרappleט, בהעתקה לתמוappleה בחרו ב"ביטמפ": טיפ: הסביבה האיappleטראקטיבית כוללת גם מחשבון מדעי הappleמצא למטה בפיappleה ימיappleית. את הזוויות אפשר להציג במעלות או ברדיאappleים: הקישו במקש "מעלות" והעבירו ל"רדיאappleים" במידת הצורך. אפשר לקבוע גם את דיוק החישוב: כברירת מחדל אלפית, אפשר לשappleות אותו באמצעות החצים. לדוגמה: רשמו בחלון העריכה 0sin8 והקישו בצלמית "חשבוappleייה". התוצאה תופיע בגיליון עבודה: הוא שיעור 8. קוסיappleוס וטappleגappleס של זווית חדה במשולש ישר זווית מטרת השיעור: להגדיר קוסיappleוס וטappleגappleס של זווית חדה במשולש ישר זווית ולהציג דוגמאות לשימוש בפוappleקציות האלה כדי למצוא appleיצב וזווית. B B מערך שיעור להגדיר את הקוסיappleוס והטappleגappleס באמצעות הדגמה של אוappleייה שטה C בזווית לקו החוף: בהמשך השיעור מציגים את משמעות הטגappleס כשיפוע של ישר במערכת צירים, את שיטת הבappleייה של זווית על פי גודל הטגappleס ואת הקשר בין סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס הזווית. מדריך למורה - טריגונומטריה 48 A A AC BC cos A = tan A = AB A AC C A

47 הדוגמאות לשימוש בפוappleקציות קוסיappleוס וטappleגappleס משלימות את הקappleיית התכappleים: (מציאת הappleיצב שליד הזווית על פי הזווית והיתר), (מציאת הappleיצב על פי הזווית ממול ועל פי הappleיצב שליד) (מציאת הappleיצב על פי הזווית ועל פי הappleיצב שמולה) דוגמה 5 דוגמה 6 דוגמה 7 שיעוריבית: תרגילים.8-0 תרגילים איappleראקטיביים:..5 תשובות 64.8 א).5 ב) ג) ד) 58.5 ה) ו) 0 א).5 ב). sin A= 9 cos A= 0 9 tan A= 0. א) sin A= 7 5 cos A= 4 5 tan A= 7 4 ב) sin A= 8 7 cos A= 5 7 tan A= 8 5 ג) tan R 8 tan R 9 tan R 5 8 א) ב) ג).4 tan R 8 tan S 9 tan S 8 5 א) ב) ג).5 a c,b הדרכה: ישappleן שתי דרכים לפת רון: א. לחשב זווית באמצעות המחשבון ולהיעזר במד זווית (דרך מסורבלת); ב. לשרטט משולש ישר זווית בקappleה מידה כלשהו, כאשר יחס צלעותיו שווה לappleתון. דוגמה: א) = b tan ¹ = => a =,.6.7 ¹ b מדריך למורה - טריגונומטריה 49

48 הדרכה לתרגיל : בספר (עמ' 66) ישappleו הסבר לחישוב הזווית על פי ערך של סיappleוס, קוסיappleוס או טappleגappleס. אפשר לבצע חישוב זה גם בסביבה האיappleטראקטיבית. לשם כך יש להשתמש במקשי הפוappleקציות הטריגוappleומטריות הפוכות: arcsin, arccos ו-,arctan הappleמצאות במחיצה "פוappleקציות" ובמקש "חשבוappleייה": הדרכה מפורטת, תוצאות כל שלבי הפתרון ותשובה סופית לתרגיל איappleטראקטיבי מופיעות בהתאמה בהקשה על מקשי ו-. לדוגמה, לאחר ההקשה ב" Help " appleפתח החלון של תיאור כללי ורשימת שלבי הפתרון של התרגיל: לאחר ההקשה באחד משלבי הפתרון appleפתח הסבר מפורט לשלב המבוקש: מדריך למורה - טריגונומטריה 50

49 תוצאת :"Hint" של השלב מופיעה לאחר ההקשה ב- מבappleה התרגול מאפשר הן גוון של התרגילים באמצעות חידוש appleתוappleים והן עזרה איappleטראקטיבית ובדיקת תשובות בכל שלב. שיעור 9. הקשר בין סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס הזווית מטרת השיעור לפתח זהויות בסיסיות, להדגים את השיטה לבappleיית הזווית על פי גודל הטappleגappleס, ולתרגל באופן מקיף. מערך שיעור להוכיח את משפט אי התלות של ערכי הסיappleוס, הקוסיappleוס והטappleגappleס בגודל המשולש ובמיקומו ולפתח את הappleוסחה: tan ¹ = sin ¹ cos ¹ חשוב להדגיש כי להבדיל מסיappleוס ומקוסיappleוס, טappleגappleס איappleו מוגדר בappleקודות שבהן α), = (90 קיים אף שבמקרה זה המשולש ישר הזווית למעשה איappleו,cos α = 0 - מדריך למורה 5 טריגונומטריה

50 appleלמד בעתיד שאפשר להגדיר פוappleקציות טריגוappleומטריות בדרך אחרת, שאיappleה קשורה במשולש ישר זווית שיעורי בית: תרגילים תשובות asin, acos ; 90 - a c = sin ¹, b = a tan ¹, = 90 - b = bsin,a = acos,b = csin,a = ccos 90 90, x x x 88 sin sin sin 4 00 cos 50 cos 55 cos 49 א) ב) 60.55, b b א) = c a =, t a n º sin º ב) 40, 8.9,.05 b א) = c a = b *ta n ¹, c o s ¹ ב) 48, 0.9, 6.5, a = csin α =.76, b = ccos α = 9.66 ג) שיעור 0. משפט פיתגורס מטרת השיעור לפתח את משפט פיתגורס ואת משפט פיתגורס ההפוך באמצעות פוappleקציות טריגוappleומטריות. מערך שיעור בתחילת השיעור מומלץ להציג רקע היסטורי ולהדגיש את חשיבותו של משפט זה גם בימיappleו: תיאוריות פיזיקליות חדשות מתארות עולמות בעלי מספר ממדים גדול מ-, ומרחק בין שתי appleקודות - שהוא המאפיין החשוב ביותר של עולם כזה מתבסס על משפט פיתגורס. מדריך למורה - טריגונומטריה 5

51 לאחר הוכחת המשפט מומלץ להציג הפתרוappleות לשתי הדוגמאות שבספר ולפתור את התרגילים שבסוף הפרק: תרגילים לפתרון בכיתה: 40 (ב), , שיערויבית: תרגילים א) ב) תשובות ג) 6.5 מ' 7 ס"מ 5 ס"מ 09 ס"מ a אי-אפשר 5 מ' או א) ב) הדרכה: appleappleיח שצלעות המשולש שוות ל- 5 מ', 6 מ' ו- 7 מ'. ב דקו, מה הקשר ביappleיהן על פי משפט פיתגורס. תשובה: לא יכולות. ג) 0.7 ד) כן 40 מ' 7 Ó.65 x 4 9 א) כן ב) לא ג) כן ד) כן ה) לא ו) לא ז) כן מ' 7 Ó פתרון תרגיל 49: הוכיחו: אם m ו- n הם מספרים טבעיים, ו-,m > n אזי ) (m + n מבטא את אורך היתר של משולש ישר זווית ש- ) m) n ו- (mn) הם אורכי appleיצביו. () פתרון a = m - n, b = mn, c = m + n appleסמן: a + b = c appleבדוק אם מתקיים: אם כן, appleשתמש במשפט פיתגורס הפוך. חישובים: a + b = (m - n ) + (mn) = m 4 - m n + n 4 + 4m n = m 4 + m n + n 4 c = (m + n ) = m 4 + m n + n 4 = a + b מ.ש.ל. מדריך למורה - טריגונומטריה 5

52 שיעור. ערכי סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס של זוויות מיוחדות מטרת השיעור לפתח appleוסחאות לסיappleוס וקוסיappleוס של זוויות משלימות ל- 90 ושל זוויות חדות מיוחדות - 0, 45 ו- 60. כמו כן, לפתח את התלות של ערכי סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס בגודל הזווית. מערך שיעור לפתח את הappleוסחאות לערכי פוappleקציות טריגוappleומטריות של זווית מיוחדות בהתבסס על תכוappleות גיאומטריות של משולשים ישרי הזווית ועל משפט פיתגורס. להדגיש שבמהלך החישובים משתמשים בערכים הרשומים באמצעות השורשים (ולא בערכים המקורבים שמתקבלים באמצעות המחשבון), ושאת טבלת הערכים של סיappleוס, קוסיappleוס וטappleגappleס של הזוויות 0, 45 ו- 60 רצוי לדעת בעל פה. תרגילים לפתרון בכיתה: 56 (א), (ה), 60. שיערויבית: תרגילים ה) 8-56 ב) ג) ד) א) תשובות ו) BC A a ד) לא , 0.7 א) כן ב) כן ג) כן cos 0 א) ב) ג) ד) tan 8 cos8 sin 58.8 מדריך למורה - טריגונומטריה 54

53 ב( שיעור. זהויות טריגוappleומטריות בסיסיות מטרת השיעור: לפתח זהויות טריגוappleומטריות בסיסיות: () tan ¹ = sin ¹ cos ¹ () sin + cos = () sin ¹ = - cos ¹ (4) cos ¹ = - sin ¹ מערך שיעור במהלך הפיתוח יש להדגיש שזהות () appleובעת מהגדרות של סיappleוס ושל קוסיappleוס, ואילו זהות () היא השלכה של משפט פיתגורס..( תרגילים לפתרון בכיתה: 8 (ג), 87 תרגילים לבית: תשובות tan tan.8 tan tan 0.58 cos,,, sin sin 0.745, cos 0.5 cos 0.968, sin א) ב) ג) ד) א).8.85 cos, sin ב) cos, sin ג) ד) ג) cos ב) sin.86 א) cos 87. א) לא ב) כן מדריך למורה - טריגונומטריה 55

54 sin ¹ = פתרון תרגיל 8 (ג): מ צאו: cos ו-,tan אם appleתון: cos ¹ = - sin ¹ = - ( ) = - 4 = tan ¹ = sin ¹ cos ¹ = / / = פתרון פתרון תרגיל 87 (ב): האם השוויוappleות יכולים להתקיים בו זמappleית:? sin ¹ = 6, cos ¹ = 7, tan ¹ = 6 7 פתרון cos¹ = - sin ¹ = - ( 6 ) = - 7 = 7 tan ¹ = sin ¹ cos ¹ = 6 : 7 = 6 7 תשובה: כן. שיעור. תכוappleות משולש ישר זווית מטרת השיעור ליישם את הטריגוappleומטריה בשילוב עם גיאומטריה אוקלידית בפיתוח תכוappleות המשולש ישר זווית. מערך השיעור בשיעור יוצגו משושלים ישרי זווית מיוחדים: משולש משולש ישר זווית ושווה שוקיים והמשפטים הקשורים אליהם: משפט בכל משולש ישר זווית בעל זווית חדה 0, הappleיצב מול זווית זו ("הappleיצב הקטן") שווה למחצית היתר. מדריך למורה - טריגונומטריה 56

55 משפט בכל משולש ישר זווית בעל זווית חדה 0, הappleיצב ליד זווית זו ("הappleיצב הגדול") שווה ליתר כפול.. משפט בכל משולש ישר זווית בעל זווית חדה 0, הappleיצב הארוך גדול מהappleיצב הקצר פי משפט 4 במשולש ישר זווית תיכון ליתר שווה למחצית היתר. C בהמשך: חישוב גובה ליתר במשולש a a ישר זווית ושווה שוקיים: h c A M c B חישוב גובה לבסיס של משולש שווה שוקיים שאיappleו ישר זווית: C וגובה ליתר במשולש ישר זווית המלווה במשפט: שאיappleו שווה שוקיים, A D B משפט 5 (העשרה) במשולש ישר זווית גובה ליתר מחלק את המשולש לשappleי משולשים ישרי זווית ודומים, שכל אחד מהם דומה למשולש הappleתון: ABC ACD CDB תרגילים לפתרון בכיתה: מס , 9, שיעורי בית: מס תרגילי העשרה: 06-0 מדריך למורה - טריגונומטריה 57

56 תשובות a =, b =, h =, b c = ,,,.08,, 5.47, , 4, 5, 5.94 AB, BD, DC.95 a.96 a 5.6, b.0,.97 א) h 0 a 80, b 60, ב) h 48 a 0.785, c 4, a c ג) 8 b.856, c 6, b c ד) h 4.47, b 6.708, a c 4, b c ה) 5.ac 66, פתרון תרגיל 9: במשולש ישר הזווית appleתון: ABC = 4 c, = מצאו את:.a, b, bc, h פתרון a c a = a c ==> a c *c = a ==> a = a c *c = 4 = ==> a = b = c - a = 6-4 =, b = = h = a -a c =4 - =, h = bc = c ac = 4 = מדריך למורה - טריגונומטריה 58

57 a c ACD CBD, h = h, a b c *b c = h c S àabc = h*c = a*b a*b => h = c, h = a *b c, a c *b c = a *b c () a c + b c = c () a + b = c () a c = x, b c = y x + y = c x*y = a *b c פתרון תרגיל 0: קיבלappleו מערכת של שתי משוואות עם שappleי appleעלמים. a c = a הפתרון: c, b c = b c שיעור 4. שטח משולש ופתרון משולש כללי מטרת השיעור להוכיח את המשפט של שטח משולש באמצעות סיappleוס הזווית בין שתי צלעות המשולש ואורכי הצלעות האלה: S ABC = a*b*sinòc הדוגמה בספר (עמ' 94) מדגימה את appleוחיות השימוש בappleוסחה הapple "ל כאשר גובה משולש איappleו appleתון. לפתור משולש, משמעו למצוא אורכי צלעותיו וזוויותיו. משולש כללי, משמעו משולש שאיappleו ישר זווית או שווה שוקיים, עליהם כבר למדappleו. כדי לפתור משולש כללי יש לדעת לפחות את אורכה של צלע אחת (או קטע מיוחד אחר, כמו גובה, תיכון או חוצה זווית) שתי זוויות, או שתי צלעות וזווית אחת. דוגמאות לפתרון משולש כללי מוצגות בסעיף.8 (עמ' 95 98) ובתרגילים שבהמשך הסעיף. תרגילים לפתרון בכיתה: 5, תרגילים לבית:.4 -, -07 מדריך למורה - טריגונומטריה 59

58 תשובות 7 56 סמ"ר,. ס"מ 5 סמ"ר ס"מ פתרון: appleסמן את שטח המשולש AOC ב- x, ואת שטח המשולש DOB ב- y. x y = 5 8 x. appleרשום את מערכת המשוואות: אז: y = AO*OC OD*OB x + y = 9 פתרון המערכת: = 4 y.x = 5, שטח המשולש AOC הוא 5 סמ"ר. הדרכה: הפתרון דומה לפתרון השאלה. תשובה: 40 סמ"ר ,.79 ס"מ.4,.4,7.6.0 a b א) sin cos פתרון תרגיל tan ב) 4. A M B בשרטוט appleתון: ס"מ = 6,AM ס"מ = 4,MB ס"מ =,AC ס"מ = 4.AK K שטח המשולש 6 AMK סמ"ר. מצאו את שטח המרובע.MBCK C פתרון S àamk = AM*AK*sin ÒKAM, S àabc = AB*AC*sin ÒBAC ÒKAM = ÒBAC ==> S àamk = AM*AK S àabc AB*AC = 6*4 0* = 5 S àabc = 5*S àamk = 5*0 = 50, S MBCK = 50-0 = 40. מדריך למורה - טריגונומטריה 60

59 ,.79 ס"מ.4,.4,7.6. א) sin cos b tan ב) 4 a שיעור 5. צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית - מלבן מטרת השיעור ליישם טריגוappleומטריה וגיאומטריה אוקלידית בחישוב של אורכים, זוויות, היקף ושטח של מלבן. מערך השיעור לחזור על המלבן: הגדרה וappleוסחאות שטח והיקף. בהמשך השיעור להשתמש בטריגוappleומטריה בשילוב עם גיאומטריה באמצעות פתרון חמש דוגמאות מקיפות (עמ' 99 עד 04):.4 דוגמה מצאו את הזווית שיוצרים אלכסוappleי המלבן, אם ידועה זווית שבין האלכסון B a C לצלע.AB A 5 cm O b D,OAD = דוגמה במלבן appleתון: ABCD 5 ס"מ = 5.AO מצאו את היקף המלבן. דוגמה appleתון מלבן,ABCD B E C שאורכי צלעותיו הן: ס"מ =,BC ס"מ = 4.AB appleקודה E מקצ ה על צלע BC קטע F,BE = AB כך שמשולש ABE שווה שוקיים. A D א. מצאו את הזווית CAD ב. מצאו את שטח המשולש.AEC 9a HD 6a R ג. ד. מצאו את זוויות המשולש.AEC מ צאו את הגובה EF לצלע AC של המשולש.AEC R A x דוגמה 4 איזה מסך טלוויזיה גדול יותר: מסך HD 4x או מסך מהסוג הישן? מדריך למורה - טריגונומטריה 6

60 דוגמה 5.AB היא אמצע הצלע F appleקודה.abcd מלבן appleתון E. בappleקודה BC חותך את המשך הצלע DF א. הוכיחו כי - מדריך למורה 6 AFD BFE ב. חשבו את שטח המלבן.ABCD ג. חשבו את היחס בין שטח המשולש EBF לשטח המלבן. שיעורי בית: מס..6,4,0,9,8,7 תשובות 09 a = a = 0.7a הדרכה: חשבו את הצלע של הריבוע שהאלכסון שלו הוא 4. תשובה: אי אפשר. 9 60, 0 60 שיעור 6. צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית מעוין, דלתון מטרת השיעור ליישם טריגוappleומטריה וגיאומטריה אוקלידית בחישוב של ושטח של מעוין ודלתון. מערך השיעור לחזור על ההגדרה ועל התכוappleות של מעוין ושל דלתון. פתרון בעיות בכיתה: דוגמה 6 במעוין LMNR appleתון: הזווית החדה.MLR = 70 מ צאו את: א) אורך האלכסוappleים LN ו- MR אורך הצלע 5 ס"מ, טריגונומטריה אורכים, היקף זוויות,

61 ב) גובה MH ג) שטח המעוין. דוגמה 7 צלעות הדלתון הקמור הן 6 ו- 8 ס"מ וזווית הקדקוד B היא 0. מצאו את האלכסוappleים, את זווית הקדקוד D ואת שטח הדלתון. בהמשך השיעור מוצגות שתי משימות חקר בappleושא הדלתון והמעוין..0,9,8,7,6 תשובות שיעורי בית: תרגילים א) 5 ב) 7 ג) סמ"ר 4 ס"מ , 8.8 פתרון תרגיל 0 הוכיחו שappleקודות האמצע של צלעות המעוין בשרטוט appleמצאות על קדקודי המלבן. הוכחה מכאן appleובע כי FG קטע אמצעי במשולש,BDG לכן EH קטע אמצעי במשולש,ABD לכן,FG BD.EH BD.EF HG באופן דומה מסיקים כי.EH FG אלכסוappleי מעוין מאוappleכים זה לזה, לכן גם זוג הצלעות המקבילות EH ו- FG של המרובע EFGH מאוappleכות לזוג השappleי של הצלעות המקבילות השappleי, כלומר EFGH הוא מרובע..9 שיעור 7. צורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית טרפז מטרת השיעור ליישם טריגוappleומטריה וגיאומטריה אוקלידית בחישוב של אורכים, זוויות, היקף ושטח של טרפז. מערך השיעור לחזור על ההגדרה ועל התכוappleות של טרפז. מדריך למורה - טריגונומטריה 6

62 B פתרון בעיות בכיתה: דוגמה 8 בטרפז ישר הזווית appleתוappleים: ABCD השוק הארוכה = 8 d והגובה = 4 c (בשרטוט b C המידות בס"מ ובהקטappleה). c d מ צאו את הזווית החדה ADC של הטרפז. דוגמה 9 בטרפז שווה שוקיים appleתון: אורך השוק שווה לאורך הבסיס הקטן A E a D הוא 0 ס"מ, AC אורך האלכסון,(AB = BC) ואורך השוק AB הוא ס"מ. א. ב. ג. מצאו את זוויות המשולש.ABC מ צאו את זוויות הטרפז. ח שבו את גודל הזווית.ACD.ACD ד. ח שבו את שטח המשולש ה. מ צאו את שטח הטרפז. B C דוגמה 0 בטרפז שווה שוקיים appleתון: ABCD E G F EF קטע אמצעים, אלכסון הטרפז חותך את קטע האמצעים בappleקודה G כך ש- EC A 50 D.ABC = 50 EG ;EG:GF = : מצאו את שטח הטרפז. הוא ס"מ,.(AD>BC) BC ו- AD דוגמה בטרפז,ABCD הבסיסים הם השוק AB שווה לבסיס C, האלכסון ACשווהלשוק.CD א. הוכיחו שהאלכסון AC חוצה את הזווית.BAD מדריך למורה - טריגונומטריה 64

63 "מ =.AB ס 5 ב. ידוע כי:, CAD = 0 () חשבו את שטח המשולש.ABC () חשבו את שטח הטרפז.ABCD () חשבו את היחס שבין שטח המשולש.ACD לשטח המשולש ABC שיעורי בית: מס תשובות C , D 0 8 סמ"ר האסטרוappleאוטים רואים זה את זה פתרון תרגיל 6 האם שappleי אסטרוappleאוטים הטסים בגובה 0 ק"מ מעל פappleי כדור הארץ יכולים לראות זה את זה, אם המרחק ביappleיהם הוא 00 ק"מ (רדיוס כדור הארץ הוא 670 ק"מ)? פתרון,OE = 670 (km),ab = 00 (km) appleתון: OC = = 6600 (km) B): יראה את A המקסימלי שבו (המרחק CD את appleחשב CD = *CE, CE = OC - OE = = 77.7 (km), CD = km > 00 km. תשובה: האסטרוappleאוטים רואים זה את זה. מדריך למורה - טריגונומטריה 65

64 שיעור 8. טריגוappleומטריה במערכת הצירים מטרת השיעור: ליישם טריגוappleומטריה וגיאומטריה אappleליטית לחישוב אורכי צלעות וזוויות של צורות גיאומטריות. מערך השיעור: לחזור על שיטת הקואורדיappleטות ולייצג צורות גיאומטריות במערכת הצירים. ההוראה תתבסס על שתי דוגמאות: משולש וטרפז במערכת הצירים. דוגמה משולש appleתון ABC במערכת צירים: C A = (, -), B = (-, ), C = (, ) מצאו את צלעותיו ואת זוויותיו של המשולש. B y A x בהמשך השיעור אפשר להציג את החידה: מאיפה "צצה" המשבצת (סעיף.). y B E A דוגמה appleתון טרפז ABCD ששיעורי קדקודיו C במערכת הצירים הם: A(-, -4), B(-, ), C(, ), D(, -) x א. מ צאו את אורכי הבסיסים ואת שוקי הטרפז. ב. מצאו את שטח הטרפז. D ג. מצאו את הזווית החדה של הטרפז. ד. מצאו את הזווית הקהה ADC של הטרפז. שימוש בחידות ובפרדוקסים מתמטיים מגוון את השיעורים ומעורר את סקרappleות התלמידים. שיעורי בית: תרגילים 7 48, תרגילים איappleטראקטיביים:.4.9,4.8,4.,4. תשובות מדריך למורה AB = 7,AC = 4-66,BC = B C(,.) א).6 ב) HCB 0 ג) 7.8 ד) 5.85 טריגונומטריה.7.8.9

65 6.87 א) ב) BC= AB=, AD=5, CD=6, ד) ג).40 ABC א) CD= AB=5, ב) CH= ד) ג) 7 BC= ה) ADC 6.45 ו).4 א) 4 ב) 7 4. א) AD=8 AB=CD=5, BC=, ב) ,5.,6.87,6.87 ג) CD = 4 5.8,AB=.44 א) BC=7 AD=, ב) 0.6 BCD ג) (4,) = C D = (-,-), ד) א) 5 ג) ב) א) 0.6 ב) BD= AC=6, ד) ג).46 AB=AD= , BC=CD=.47 א) BD=4 AC=6, ב) 5.6 CBD ג) BAD 4.6 ד) תזכורת: תשובות ופתרוappleות לתרגילים האיappleטראקטיביים מופיעים במהלך הפעלתם בסביבת האתר המלווה. מדריך למורה - טריגונומטריה 67

66 4. גיאומטריה אנליטית נקודות גיאומטריה אנליטית תכנים )תכנית הלימודים( מערכת צירים, שיעורי נקודות, סימון נקודות במערכת צירים. קטעים - חישוב מרחק בין נקודות )אורך קטע( במקרה של נקודות היוצרות קטע המקביל לצירים ובמקרה כללי. - אמצע קטע: מציאת נקודת אמצע קטע על סמך שיעורי קצותיו, או מציאת אחד מקצות הקטע על סמך שיעורי הקצה השני ונקודת האמצע. ישרים - הקשר בין ייצוג אלגברי של ישר לבין ייצוגו הגרפי. - שיפוע של ישר: * * משמעות שיפוע ישר: כיחס בין השתנות ערכי y להשתנות ערכי x של הישר כטנגנס של הזווית החדה הנוצרת בין הישר לבין ציר ה- x, בצירוף סימן חיובי כאשר הישר מייצג פונקציה עולה וסימן שלילי כאשר הישר מייצג פונקציה יורדת. שיפועים של ישרים המקבילים לכל אחד מהצירים. - משוואת הקו הישר - בצורה מפורשת ובצורה סתומה. - הכרת המצבים ההדדיים בין ישרים הקבלה, חיתוך, ניצבות. במערכת צירים בהתאם לייצוגם האנליטי: - הקשר בין המצבים ההדדיים בין שני ישרים לבין המקדמים של הישרים בייצוגים השונים. - עבור ישרים מקבילים או עבור ישרים ניצבים מציאת שיפוע של ישר אחד על סמך השיפוע של הישר השני כאשר השיפועים מוגדרים, או מציאת שיפוע ישר אחד על סמך משוואת הישר השני. - מציאת משוואת הקו הישר על פי שיפוע ונקודה - כיישום של אקסיומת המקבילים מגיאומטריה סינתטית. מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 86

67 מציאת משוואת הקו הישר על פי שתי נקודות - כיישום האקסיומה מגאומטריה סינתטית "שתי נקודות מגדירות ישר אחד ויחיד". חיתוך ישרים: מציאת נקודות החיתוך של ישר עם הצירים, מציאת נקודת החיתוך של שני ישרים )במידה וקיימת(. נושאי הלימוד נקודות ומערכת צירים מרחק בין שתי נקודות שיפוע של ישר ש"ל סעיפים בספר. שיעורי בית תרגילים תלות השיפוע בזווית בין הישר לציר x שיפועי ישרים מקבילים ומאונכים אמצע קטע משוואת הישר חיתוך שני ישרים שימוש במשוואת הישר בפתרון בעיות גיאומטריות צורות גיאומטריות הנוצרות על ידי גרפים של פונקציות שימוש בגיאומטריה אנליטית להוכחת משפטים הערות א. תשעת השיעורים הראשונים מוקדשים ללימוד המושגים הבסיסיים של גיאומטריה אנליטית )כולל חזרה על התכנים שנלמדו בחטה"ב(. חמשת השיעורים האחרונים ממציגים את השימוש המשולב בין גיאומטריה אוקלידית, טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית לפתרון בעיות בגיאומטריה. ב. היקף השעות המוערך הוא 4 ש"ל. המורה יכול לשנות את הזמן המוקדש לכל נושא על ידי בחירת הדוגמאות מאוסף הדוגמאות בספר. ג. בספר כ- 4 תרגילים לפתרון בבית ו- 5 תרגילים אינטראקטיביים המכילים נתונים אקראיים, ומלווים בפתרונות והסברים מפורטים ובבדיקה מיידית. מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 86

68 x < 0, y > 0 II (-, +) שיעור 9. מערכת הצירים מטרת השיעור לחזור על מערכת הצירים הישרה )דקארטית( ועל שיטת סימון הנקודות באמצעות השיעורים. מערך השיעור הסקירה על מערכת הצירים 0 ושיטת< x >,0 y הקואורדינטות מוסברות בעזרת שתי דוגמאות: y F C 4 A y דוגמה מצאו את שיעורי הנקודות E,D A,C,B,A ו-.O x = 0 III (-, -) IV (+, -) -4 D O E y x < 0, y < 0 I A B (+, +) x דוגמה 9 x נתונות שתי נקודות: (,-)A ו- (,4)B. y = 0 הוכיחו שהקטע חותך את ציר x. AB חותך את ציר y, ואינו x > 0, y < 0 A B x - בהמשך השיעור תרגיל אינטראקטיבי מס' )ב(: שרטטו מצולע ABCD ששיעורי קדקודיו הם:.D (; -),C (; ),B (-; 4),A (-; -4) הקשה בקישור פותחת את סביבת הגיאומטריה הדינמית, ובה מערכת צירים, המצולע הנדרש והוראות הפעלה: סמנו נקודה באמצעות העכבר. שיעוריה של הנקודה מופיעים בשורה מעלה. אפשר לבדוק את שיעורי כל הנקודות ולוודא שהם מתאימים לנתונים. 0 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

69 אפשר גם לשרטט נקודה נוספת באמצעות הצלמית "נקודה" )במחיצה "הנדסה" בצד שמאל של המסך(, להציב אותה במקום כלשהו ולבדוק את שיעוריה. טיפ: בחלון הגדרות שייפתח אפשר לשנות את הגודל, את הצורה ואת הצבע של הנקודה בעזרת לחיצה בצלמית מתאימה בצד ימין: שיעורי בית: תרגילים 0 6- מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 04

70 תשובות y (-,0) y (,0) x x (-,0), (,0) y. א( x - - (-,0), (,0) B y 4 ב( C x - D - A -4 A P=8 y B א( ב( B y P=4 A.4 D S= C x - C S=5 D x א( ב(. 0 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

71 y. y x x y התשובה: 4 התשובה: (0,5) או (0,-5) שיעור 0. מרחק בין שתי נקודות מטרת השיעור לפתח את הנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות. מערך השיעור תחילה מנתחים את המקרים כאשר הנקודות נמצאות על ישר אופקי או אנכי, ובשלב השני עוברים למקרה הכללי. הדוגמאות לפתרון בכיתה במהלך השיעור: דוגמה 9: מצאו את המרחק בין הנקודות (4 ;) A ו- ( ;5) B, A(, 4) c b C a 4 5 B( 5, ) x דוגמה : על ציר x מ צאו את הנקודה המרוחקת באופן שווה מהנקודות ) (, ו-.(,)..8.0 y 4 (, ) (, ) ? x c שיעורי בית: תרגילים 6 86, a תרגילים אינטראקטיביים:.,.5,.,.4 05 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית b C

72 תשובות 4 ו( ה( ד( ג( ב( א( 0.58 א( ב(.6 0 ג( ד( 50 =5 ו( 5 ה( ד( 4 ג( ב( 0 א( ( 5 ) 5, או ( 4 ) 4, התשובה: = 45 AM=AN= 5 התשובה: =8 8 TU=AL= התשובה: DF =, GE = 7 AB = BC = 5 9 התשובה: התשובה: התשובה: SMPQ = hmp P MPQ ב( = א( = ג(.86-8 התשובה: 5- או או או.86 פתרון תרגיל 9 מ צאו את הנקודה, המרוחקת באופן שווה מהצירים y x, ומהנקודה (,6). בשרטוט אפשר לראות שהנקודה B נמצאת על חוצה זווית בין הצירים, כלומר מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 0

73 = yb שיעורי x ו- y שלה שווים:.xB המרחק בין B ל- A הוא: נבדוק את הפתרון האלגברי בשרטוט: שיעור 9. - שיפוע של ישר מטרת השיעורים להגדיר שיפוע של ישר ולפתח את הנוסחה לחישוב שיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות. מערך השיעור מגדירים שיפוע כ"קצב עלייה" או "קצב ירידה" של נקודה שנעה לאורך הישר הנתון. מפתחים את הנוסחה: מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 0

74 חשוב להגדיש כי ערך הישפוע אינו תלוי בסדר הנקודות שנחברו לתורך החישוב. אפשר להדגים זאת באמצעות הדוגמה : מצאו את שיפוע הקטע המחבר בין שתי הנקודות: A (-, ) ו-.B (, 5) ישנן שתי דרכים להשתמש בנוסחה בהתאם לסדר בחירת הנקודות: הראשונה A והשנייה B ולהיפך. חשוב להדגים את שתיהן ולהראות שהתוצאה זהה. בהמשך השיעור מנתחים את המקרים של ישר אופקי ושל ישר אנכי ומגיעים למסקנה ששיפוע של ישר אופקי שווה לאפס, ושיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר. השיעור הבא מוקדש לתלות השיפוע בזווית בין הישר לציר x. A(-, ) - - y O B(, 5) x תחילה מוכיחים את המשפט: שיפוע הישר הנטוי ב- 45 לציר- x הוא. בהמשך השיעור מוצאים הקשר בין שיפוע הישר לבין הזווית בינו לבין ציר x. שיעורי בית: תרגילים תשובות m = - ב( = 0 m ג(.0 א(, א( = m ב(.04 ג( - = m ד( m אינו ה( - = m ו( מוגדר ז( = 0 m ח( ט( a 0 י( m = 0 י"א( י"ב(.0 א( 9) ;(0, ב( 6) ;(, ג(. ) q.(r, m(r - p) + א( למשל:,,,, 6, 4.05 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 08

75 ,,,,, 8,, 0,,,,, 0, 5,, 8 ב( למשל: ג( למשל: ד( למשל: m TS, m RS m TS, m RS א( ב(.0 m TS 5 6, mrs 6 5 m TS, mrs ג( ד( m TS m RS הקשר: תשובה: לא. שאם לא כן, גם שיפוע הקטע FE )למשל( יהיה שווה לשיפועים הנ"ל..0 שיעור. שיפועי ישרים מקבילים ומאונכים מטרת השיעור להוכיח את המשפטים: לישרים מקבילים יש ערכי שיפוע שווים )m m( = ושיפועים של ישרים המאונכים זה לזה קשורים ביניהם ביחס הפוך שלילי: מערך השיעור את המשפט הראשון מוכיחים באמצעות משפט חפיפה ואת המשפט השני באמצעות דמיון משולשים: ז.צ.ז, y 4 B D B y 4 M D N - - A - - M C N x A O - C 4 x מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

76 תרגילים לפתרון בכיתה: y B דוגמה ABCD צלע AB של המלבן עוברת דרך -5 A C 4 x הנקודות (0,-) ו- (,0). מצאו את השיפוע של הצלע הנגדית DC ושל הצלע הסמוכה.BC - D - -4 שיערוי בית: תרגילים תשובות 5 m 4 ב( 4 m 5 4. א(.08 m ב( m. א( א( מקבילים ב( מאונכים ה( מאונכים ו( מסוג אחר א( ב( ז( ג( מסוג אחר ד( מסוג אחר מסוג אחר ח( מאונכים m 5 m mef ג( m m 5 mab mcd 5 א( ב( ג( 0 mgf 7 mog 0 moe 7.4. א( תשובה: ב( ג( ד( m HK m IJ ; m HI m KJ m LM m PN תשובה: א( ב( השיפועים שווים.64 ד( השיפועים אינם שווים ה( זהו טרפז m m RV TV RV TV מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 06 m RV m LP, mmn ג( 7, m TV תשובה: א( ב(.6

77 ג( מקבילית בעלת זווית ישרה היא מלבן ד( (-,)S 8 5 mab, mbc, mac תשובה: א( mab, mbc, mac ב( 5 e b mmn mop 0, mon mpm d m BC m AB 8, 5 תשובה: תשובה: תשובה : A - y D C 4 5 x ; mab, mbc, mac א m, m, m hab hbc hac תשובה: ב. אינו מוגדר B מוגדר, 0 m m, m AB CD AC תשובה: mbd אינו.64-4 m MK mkh 6. תשובה: פתרון תרגיל 98 ישר ששיפועו (-) מכיל נקודה (5,-). מה שיעור y של הנקודה על הקו ששיעור ה הוא = 8 x? פתרון נסמן: 5),A(-,.B(8, y). נמצא את y 5 = -0, y = -5. :y נתון: תשובה: -5).B(8, 06 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

78 D(, 4) ו- C(4, ),B(, -) פתרון תרגיל 9 הוכיחו שמרובע שקדקודיו הם (,-)A, הוא טרפז שאלכסוניו מאונכים זה לזה. מ.ש.ל. נוכיח כי :AB DC שיעור 4. אמצע קטע מטרת השיעור לפתח את הנוסחאות לאמצע קטע: מערך השיעור מתחילים את ההוכחה מניתוח של מצבים פשוטים: קטע אופקי וקטע אנכי. בהמשך פותרים שני תרגילים: דוגמה מצאו את נקודת האמצע של הקטע המחבר בין הנקודות (,) ו- (5,), מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 6

79 A(-5,) y 4 דוגמה (- 9,)M היא נקודת האמצע של הקטע,AB כאשר שיעורי נקודה A הם:.(x, y) = (-5, ) x מצאו את שיעורי נקודה B M(,-) B (?,?) שיעורי בית: תרגילים 58-65, תרגילים אינטראקטיביים: תשובות 5,,, 5, 5 א( ב( ג( ד(.65 b, t, d a y n,, 4 ה( ו( ז( ח( S 6, 9.6 תשובה: B 7, 7.6 תשובה: 4, 4, תשובה: 6 תשובה: ב( מקבילית ג( ד( כן ה(.68.60, 4 א( תשובה: ב( MA MT MO 5.66 ג( תיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר. T.66 תשובה: CK 7, BN 5, AM y A D B C x תשובה: תשובה: כן מדריך למורה גיאומטריה אנליטית S R b a4, b9 4, 6 C 5, 8 תשובה: תשובה: תשובה:

80 פתרון תרגיל 9 שיעורי הקדקודים של המשולש הם (-,5)A,,)B (5 ו- (,-)C. מהם אורכי התיכונים של המשולש? מקישים בקישור ונפתח שרטוט מתאים בסביבה של גיאומטריה דינמית: שיעורי נקודות האמצע של הצלעות: אורכי התיכונים: בודקים את התשובות באמצעות התוכנה )הקשה על הקטע מציגה בשורה למעלה את אורכו(: מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 6

81 פתרון תרגיל 04 קדקודי המרובע PQRS הם הנקודות ),P(, R(4, 9),Q(7, 4) ו- 6).S(-, הוכיחו שלאלכסוניו של המרובע אמצע משותף, ושהם מאונכים זה לזה. מקישים בקישור ונפתח שרטוט מתאים בסביבה של גיאומטריה דינמית: פתרון שיעורי אמצע הקטע :SQ שיעורי אמצע הקטע :RP לכן הנקודות מתלכדות. חישוב השיפועים: האלכסונים מאונכים כי: שיעור 5. משוואת הישר מטרת השיעור, לפתח את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות: להראות את הקשר בין משוואת הישר y = ax + b לבין שיעורי הנקודות שדרכן עובר הישר ולמצוא את נקודות החיתוך של הישר עם צירי הקואורדינטות. מערך השיעור תחילה מנתחים את הקשר בין שיפוע הישר לבין שיעורי הנקודות שדרכן הוא עובר: מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 65

82 לאחר פיתוח משוואת הישר בעל שיפוע נתון m העובר דרך נקודה נתונה (y,x) מדגימים אותה באמצעות הדוגמאות: דוגמה מצאו את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות: (4-,) ו- (,). דוגמה 9 מצאו את משוואת הישר בעל שיפוע שעובר דרך הנקודה (-,0), דוגמה נתונה משוואת הישר: + x. y = מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם ציר y. דוגמה 4 משוואת ישר היא + x y. = מצאו את נקודות החיתוך שלו עם ציר x. דוגמה 5 מצאו את השיפוע ואת נקודת החיתוך של הישר עם ציר y: א( ב( - = 6y 5x + שיעורי בית: תרגילים תרגילים אינטראקטיביים 4.4,4.4..8,. תשובות.56 x y - 0 א( ב( x ג( 0 8 y 5 0 x 0 5 y 0 x 0 y -4 0 ד( x y ה( x y ו( מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 6

83 56. מצאו את השיפוע ואת נקודת החיתוך של הישר עם ציר y: y x = א( ג( ב( = 5 5y x + ד( m, y m 5, y 0 9 א( תשובה : ב( m, y 0 m, y 0 5 ג( ד( 5 y x 6 6 y x א( תשובה: yx4 ב( y x8 ג( ד(.54 y x0 4 y x 4 y x 5 5 א( תשובה: ב( ג( ד( y x.544 x x א( תשובה: y ב( ג( y x 4 4 y4x7 y x 5 5 y x 4 א( תשובה: ב( ג( ד(.54 y x5 5 4 y x y x 4 4 א( תשובה: ב( y x ג( ד(.54 y x 5 y x9 7 תשובה: א( ב( תשובה:. x M לא, תשובה: H כן תשובה:. y תשובה: כן. B לא, A תשובה:. S תשובה:. y5x תשובה:. S מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

84 . y 4.5 תשובה: x תשובה:. S תשובה: y7x. 8.. פתרון תרגיל 9 מצאו את שטח המשולש הנוצר מחיתוך הישר = y x + עם צירי המערכת. פתרון א. נקודות החיתוך עם הצירים: ;x + 4 = 0, x = - :y = 0 y + 4 = 0, y = -4 :x = 0 ב. נשרטט את הגרף במערכת הצירים: ג. נחשב את שטח המשולש: שיעור. חיתוך שני ישרים מטרת השיעור לנתח את המיקום היחסי של שני ישרים: איזה קשר צריך להיות בין מקדמי הפונקציות המתארות את הישרים כדי שלישרים הללו תהיה נקודת חיתוך אחת, או אינסוף נקודות משותפות או אף נקודת חיתוך אחת? מהלך השיעור בתחילת השיעור מציגים את הקשר בין מצב יחסי של ישרים לבין קיום פתרונות של מערכת שתי משוואות ממעלה ראשונה: ax + by = c ax + by = c בהמשך מציגים באמצעות דוגמאות את הקשר בין פתרון אלגברי של מערכת המשוואות לבין הייצוג הגרפי: מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 68

85 דוגמה.x + y = מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: 4- = y 7x + דוגמה 9 מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: ו-. 8y 4x = 8 דוגמה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: 4- = 4y x - ו- דוגמה 4 מצאו את המרחק בין נקודות החיתוך של הישרים = 7 y x עם ציר y. ו- לבסוף, מפתחים את התנאי למקבילות של שני ישרים: מדגימים את השימוש בו באמצעות הדוגמה: דוגמה 5 האם לישרים האלה יש נקודות חיתוך: ;6x 4y = 4 א( = 7 y x ו- ;6x - 4y = ב( = 7 y x ו-? 6x y = 4 ג( = 7 y x ו- שיעורי בית: תרגילים תשובות, 0 0, 4 5,, א( תשובה: ב( ג( ד(.50,, 4, א( תשובה: ב( ג(.56.,.56 תשובה: 60 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

86 6, 0 0, 6,, א( תשובה: ב( ג( ד(.55 0, 4, 0, תשובה: S 0 0, 5, 8 8, תשובה: א( ב(.55 S 5 0, 4 4, 7 0, תשובה: א( ב(.555, 4, 5, 6 תשובה: תשובה: א( א( ב( ג( ב( ד(, 5 ה(, a, b ג( b, a כלשהו m, n כלשהו a, b תשובה: תשובה: א( m, n כלשהו ב( ג( אין פתרון m 6 5 7, 7. m תשובה: m 0 או תשובה: א( כן, בנקודה מקבילים. פתרון תרגיל הוכיחו שחיתוך של שלושת הישרים: ב( לא. ג( לא. יש פה זוג ישרים y = 4 x, y = x + 4, y = 0 יוצר משולש, ומצאו את שיעורי נקודות הקדקוד של משולש זה פתרון סביבה ונפתחת בקישור מקישים ובה הייצוג הגרפי של אינטראקטיבית שלוש הפונקציות, הממחיש את הפתרון האלגברי: שיפועי הישרים: m = 0, m =, m = - 66 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

87 השיפועים אינם שווים לכן הישרים נחתכים. מציאת הקדקודים: כדי טיפ: x + 4 = 0 x = - A(-, 0); x + 4 = 4 x x = 0 B(0, 4) 4 x = 0 x = C(, 0). לבנות גרפים של כמה פונקציות במערכת צירים אחת רושמים את הפונקציות בחלון העריכה ומפרידים ביניהן באמצעות הסימן נקודה-פסיק );(. בלחיצה על צלמית של גרף יופיעו שלושת הגרפים בחלון הגרפים: בצד ימין נמצא חלון ההגדרות שבו אפשר לקבוע את תחומי המשתנים. הקשה בלחצן ימני של העכבר פותחת חלון הגדרות של גרפים: מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 66

88 אפשר לשנות את הייצוג הגרפי של הקווים ושל הרקע ולהעתיק את הגרף למסמך וורד או לחלון ההנדסה. בחלון זה אפשר להוסיף צורות גיאומטריות, טקסט וסימנים אחרים. שיעורים. - שימוש במשוואת הישר לפתרון בעיות גיאומטריות מטרת השיעור שלושת השיעורים הבאים מוקדשים לתיאור הצורות הגיאומטריות הבסיסיות והסקת מסקנות על תכונותיהם באמצעות שיטות של גיאומטריה אנליטית. השיעורים מהווים למעשה תרגול מקיף בכל הנושאים שנלמדו עד כה בגיאומטריה אנליטית. מערך השיעור מתחילים מהדוגמה על תכונות של ישרים מקבילים: דוגמה נתון ישר.y = -x + :I א. מצאו את משוואת הישר,II המקביל לישר I והעובר דרך הנקודה (,-)A. מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 6

89 ב. רשמו את שיעורי הנקודה הנוספת הנמצאת על הישר השני. הדוגמה הבאה עוסקת בחישוב שיעורי נקודות, באורך קטע ובשטח משולש: דוגמה שיעורי נקודה B הם (-,). הישר BE מקביל לציר y. דרך נקודה E עובר ישר,CE שמשוואותו: + 0 -x,y = והוא חותך את ציר y בנקודה C. חשבו את שיעורי הנקודה E. א. חשבו את אורך הקטע.BE ב. חשבו את אורך הקטע.CE ג. M היא אמצע הקטע.BE מצאו את משוואת הישר.MC ד. חשבו את שטח המשולש.OCE ה. בהמשך השיעור מתארים ריבוע ומלבן במערכת הצירים באמצעות דוגמאות: y D(?,?) C(9, ) ABCD הצלעות של מלבן דוגמה.C(9, ),A(4, ) מקבילות לצירים. נתונים הקדקודים: א. רשמו את שיעורי הקדקודים B ו- D. חשבו את שטח המלבן. ב. A( 4, ) B(?,?) x מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 64

90 דוגמה 4 y 6 5 A E B נתון מלבן ABCD במערכת צירים כמתואר בשרטוט. 4 H D G C מחברים את אמצעי צלעותיו לפי הסדר, באופן F שמתקבל מרובע.EFGH א. מהם שיעורי נקודות האמצע של הצלעות: x? E, F, G, H ב. חשבו את אורכי צלעות המרובע.EFGH ג. חשבו את זוויות המרובע.EFGH שיעור 8 השיעור הוא למעשה המשך לשיעור הקודם. נושאי השיעור: מקבילית, מעויין ומשולש במערכת צירים - B D C - השיעור מתבסס על דוגמאות לשאלות עם פתרונות: דוגמה 5 קדקודי מרובע הוכיחו שהמרובע הוא מקבילית..D(8,4),C(0,0),B(,6),A(0,0) הם: ABCD דוגמה 6 במקבילית ABCD נתונים הקדקודים:,A(,0).D(0,5),B(8,5) א. ב. ג. ד. דוגמה 7 מצאו את נקודות המפגש של אלכסוני המקבילית. חשבו את שיעורי קדקוד C. מצאו את משוואות האלכסונים. האם המרובע ABCD הוא מעוין? משולש במערכת צירים הנקודות,A(,) С(-,-),B(-,) הן שלושה קדקודים של משולש. א. ב. ג. ד. מצאו את שטח המשולש.ABC הנקודה D היא אמצע הצלע.BC מצאו את שיעורי נקודה D. חשבו את שטח המשולש.ABD חשבו את שטח המשולש.ACD - y A x -4 6 מדריך למורה גיאומטריה אנליטית

91 דוגמה y A O C D B x שיעורי הנקודה A הם (0,5). שטח המשולש ABO הוא 5. א. מצאו את שיעורי נקודה B. ג. ד. ה. ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך A ו- B. שיעורי נקודה C הם (-,0), ושיפוע הישר CD הוא. רשמו את משוואותו. מצאו את שיעורי נקודה D. דוגמה 9 חשבו את שטח המשולש.ACD נתון משולש ABC שקדקודיו הם: (0,)B (5-,8)C., א. ב. ג. משוואת הצלע AB היא: מצאו את שיעורי קדקוד A. ומשוואת הישר AC היא: 5 6x.y = הנקודה D היא אמצע הצלע AC והנקודה E היא אמצע הצלע.AB מצאו את שיעורי הנקודות D ו- E. חשבו את אורך הקטע.DE ד. הוכיחו שהקטע DE מקביל לצלע BC ושווה למחציתו A y ה. EM. EC הישרים CE ו- BD נפגשים בנקודה M. חשבו את היחס: שיעור 9 השיעור הוא המשך השיעור הקודם. השיעור מתבסס על דוגמאות עם פתרונות: דוגמה לפניכם משולש כמתואר בשרטוט: ABC... במערכת צירים מצאו את משוואות הישרים המכילים את צלעות המשולש. מצאו את משוואת הישר המכיל את הגובה לצלע.AB חשבו את הזווית A של המשולש.ABC C B 4 5 x מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 65

92 4. חשבו בדרכים שונות את שטח המשולש. דוגמה נתון משולש ABC ששיעורי קדקודיו הם: (5-,)C; 5)A. ;(7, (,)B א. מצאו את המשוואות של האנכים האמצעיים לצלע AB ולצלע.AC ב. מצאו את S, נקודת החיתוך של שני האנכים האמצעיים שאת משוואותיהם מצאתם בסעיף א'. ג. חשבו את אורכי הקטעים:.SA,SB,SC דוגמה נתון משולש ABC ששיעורי קדקודיו הם (7,9)C; )A. (5, (,)B; מצאו את המשוואות של התיכונים לצלע AB ולצלע.AC ( מצאו את G, נקודת החיתוך של שני התיכונים שאת משוואותיהם מצאתם ( בסעיף )(. ( ודאו שהתיכון השלישי עובר גם הוא דרך אותה נקודת חיתוך G. דוגמה נתון משולש ABC ששיעורי קדקודיו הם,) ;C(-.A(, 6) ;B(5, -) א. מצאו את המשוואות של הגבהים היוצאים מהקדקודים A ו- B. ב. מצאו את נקודת החיתוך H של שני הגבהים AE ו-.BF ג. ודאו שהגובה השלישי עובר גם הוא דרך אותה נקודת חיתוך, H. ד. המשולש שבדוגמה הוא משולש חד זווית. בדקו, האם גם במשולשים מסוג אחר הגבהים נפגשים בנקודה אחת? דוגמה 4 בשרטוט שלפניכם נתון משולש.OAC שיעורי הנקודות: y C(, 4),B(, 8),A(5, 0) דרך נקודה B מעבירים ישר מקביל לציר D. בנקודה OC וחותך את הצלע x ( מצאו את שיעורי הנקודה D. ) הוכיחו כי.DB = AB 0 8. ( הוכיח כי 6 4 4( הוכיחו כי AD חוצה את זווית.CAO חשבו את BAO ואת. BAD מדריך למורה גיאומטריה אנליטית F E x )5 6

93 .5-., תשובות שיעורי בית: תרגילים תרגילים אינטראקטיביים.5 תשובה:. AB BC AM.55 תשובה: KM.5 תשובה: לא. 0 KP HQ.5 תשובה: תשובה: ב ) כן, שוות, כי הטרפז שווה שוקיים. תשובה:. AM 09 תשובה: ב ) כן, שוות, כי הטרפז שווה שוקיים AM A 5, 0, B 0,, O 0, 0 תשובה:. 7 תשובה: א( ב( A a, 0, B 0, b, O 0, 0 א( תשובה: A 6.5, 0, B 0,, O 0, 0, C 6.5, A a, 0, B 0, b, O 0, 0, C a, ב( b,,,,, P Q M,,,,, P M Q 0,,, 0,, 0 C h B a A a. D 7, תשובה: או תשובה: תשובה: מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 6

94 .T(0, -5) פתרון תרגיל 48 נתונות הנקודות 4),M(0,,K(, -),P(, ) א( הוכיחו כי המרובע MPKT הוא טרפז; ב( האם הזוויות MPK ו- PKT שוות? פתרון הקישו בקישור והשרטוט המתאים ייפתח: שיפועי הצלעות MT ו- PK הם בהתאם: ב ח מ ב ח מ כלומר הצלעות מקבילות לציר y, לכן המרובע הוא טרפז. לכן PKT = 90 + BKT, MPK = 90 + MPA PKT = MPK ולבסוף: שיעור 40. צורות גיאומטריות הנוצרות על ידי גרפים של פונקציות מטרת השיעור לייצג מצולעים באמצעות גרפים של פונקציות המתארות את צלעותיו. מערך השיעור השיעור מתבסס על שתי דוגמאות מקיפות: y 6 דוגמה 5 הישר שמשוואתו x y = והישר H 5 4 M G שמשוואתו x y = יוצרים עם ציר y את המשולש.GHI א. מצאו את שיעורי הקדקודים של המשולש שנוצר I x ב. ג. ד. מצאו את אורך הצלע.GI מהקדקוד H מעבירים אנך לציר y. מצאו את אורך האנך. חשבו את שטח המשולש.GHI מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 68

95 דוגמה 6 הישרים -5 = y ו- + -x y = ברביע הרביעי יוצרים מרובע עם הצירים. א. מצאו את שיעורי ארבעת הקדקודים עם הצירים. ב. חשבו את שטח המרובע. ג. מצאו את משוואות הישרים שעליהם מונחים אלכסוני המרובע. ד.מצאו את נקודת החיתוך של אלכסוני המרובע. שיעור 49. שימוש בגיאומטריה אנליטית להוכחת משפטים מטרת השיעור להדגים את השימוש בגיאומטריה אנליטית להוכחת משפטים גיאומטריים. מערך השיעור השיעור יתבסס על הוכחת שני משפטים שהוכחתם נעשתה בדרכים אחרות: משפט נקודת האמצע של יתר במשולש ישר זווית מרוחקת במידה שווה מקדקודיו. משפט 9 אם אלכסוני מקבילית שווים, אזי המקבילית היא מלבן. שיעורי בית: תרגילים פתרון התרגיל אם CM הוא תיכון לצלע AB במשולש,ABC אזי מתקיים: הוכחה מ ש ל מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 60

96 פתרון תרגיל הוכיחו: בכל מקבילית סכום ריבועי הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסונים. הוכחה מדריך למורה גיאומטריה אנליטית 66

97 .4.5 מטרות על אלגברה (לפחות 0 שעות). שליטה בטכניקות אלגבריות כהכנה לשימוש בהן בחשבון דיפרנציאלי. הכרת שיטות לפתרון של משוואות ואי שוויונות. הבנת ההבדל בין פתרון של משוואה לבין פתרון של אי שוויון הבנת הקשר בין פתרון אלגברי של משוואה או של אי שוויון לבין המשמעות הגרפית שלו (נקודות האפס של גרף הפונקציה, תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה) הבנת הקשר בין פתרון אלגברי של מערכת משוואות לבין המשמעות הגרפית שלו (חיתוך גרפים של פונקציות). הנושא הראשון: חזרה על טכניקה אלגברית בסיסית (לפחות שעות) פירוק לגורמים: * פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף * פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל המקוצר * פירוק הטרינום הריבועי * שימוש בפירוק לגורמים לצורך פתרון משוואות או אי שוויונות * שימוש בפירוק לגורמים לצורך פעולות בשברים אלגבריים חוקי חזקות שורשים ריבועיים: מכפלת שורשים ומנתם, הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש הספר עוסק בכל הנושאים הנ"ל בכרך א' לפי הפירוט שלהלן: מדריך למורה - אלגברה 99

98 פרק. טכניקה אלגברית פירוט נושאי הלימוד על פי תכנית הלימודים: סעיפים עמודים נושאי הלימוד בספר בספר חזרה על טכניקה אלגברית בסיסית (לפחות שעות) - מתוך ת"ל פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף פירוק הטרינום הריבועי פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל המקוצר חוקי חזקות שורשים ריבועיים: מכפלת שורשים ומנתם, הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש שימוש בפירוק לגורמים לצורך פתרון משוואות או אי שוויונות שימוש בפירוק לגורמים לצורך פעולות בשברים אלגבריים סך התרגילים: תרגילים אינטראקטיביים טכניקה אלגברית - הערות דידקטיות הערות כלליות הספר מכיל הסברים מקיפים ומפורטים בכל הנושאים, כולל מבוא לכל נושא, הקניית החומר, דוגמאות פתורות ותרגילים לפתרון בכיתה ובבית. הוא, למעשה, משמש הן ספר לימוד ותרגול לתלמידים והן מדריך למורה, לכן אנו ממליצים להציג את החומר בשיעור לפי הסדר וההיקף המוצעים בספר בהתחשב, כמובן ברמת הידע של התלמידים ובבקיאותם בחומר. מדריך למורה - אלגברה 00

99 הספר מחולק לסעיפים בהיקף של כ- עד 4 עמודים הסעיף - היקף מתאים לשעת לימוד אחת. אף שלנושא טכניקה אלגברית בסיסית, לדוגמה מוקדשות בתכנית הלימודים שעות לימוד, הוא מוצג בספר על פני 8 עמודים, כיוון שהנושא מהווה בחלקו חזרה על הנלמד בחטיבת ביניים. על המורה להחליט באיזה קצב ללמד את הנושא בהתאם לרמת הידע של התלמידים בכיתה. על כל פנים, אנו ממליצים ללמד בכיתה את כל הדוגמאות הפתורות (סה"כ כ- 5 ) ולפתור בכל שיעור לפחות תרגיל אחד מרשימת התרגילים (רצוי ברמה גבוהה מסומנים בלבן על רקע כהה). כמו כן, בספר שני מקבצי תרגילים אינטראקטיביים בני תרגילים כל אחד בנושא טכניקה אלגברית בסיסית. כל תרגיל מהווה תבנית הכוללת פרמטרים אקראיים, המשתנים בכל פתיח של תרגיל, כך שבפועל כמות התרגילים גדולה בהרבה. לדוגמה, כך נראות הופעות שונות של התרגיל.4: תרגילים אינטראקטיביים מיועדים לתרגול בבית, כאשר למעשה כל התלמידים אמנם מקבלים תרגילים דומים בנוסח, אך שונים בנתונים. התלמיד רושם את שלבי הפתרון בחלון העריכה באמצעות מקשי עריכה בצד שמאל של המסך (ראו פירוט במדריך הטכני). התוכנה בודקת ומגיבה בסיום כל שלב (באמצעות הסימן (?)). דוגמה: מדריך למורה - אלגברה 0

100 הערות לפתרון התרגיל במהלך העבודה (שני שלבים נכונים, אחרון שגוי) הערות לאחר תיקון השלב האחרון התלמיד יכול להיעזר בהסברים המלווים את פתרון התרגיל ומופיעים בשלוש רמות: עזרה כללית, עזרה בדרך הפתרון בכל שלב ועזרה בתוצאת כל שלב. הסברים אלה תומכים בתלמיד מבלי לפגוע ביכולתו לפתור תרגיל ללא עזרה וברצונו לחקור מצבים שונים (כגון תלות התשובה בערכי הפרמטרים). כל שלבי הפתרון וההערות המלוות נשמרים בגיליון העבודה, אפשר לצלם אותם ולהעבירם למסמך וורד (מחברת התלמיד). מדריך למורה - אלגברה 0

101 עזרה כללית ורשימת שלבי פתרון עזרה לאחד משלבי הפתרון ותשובה לשלב הראשון. מדריך למורה - אלגברה 0

102 שימוש בתוכנה לאלגברה סימבולית (שבסביבתה נפתח כל תרגיל אינטראקטיבי) מקנה למורה יכולת הן לבדוק את התשובות לכל תרגיל שמופיע בספר (ולא רק בספר זה בכל ספר לימוד) והן לחבר תרגילים חדשים בעצמו. לדוגמה, בנושא של פירוק לגורמים: רושמים (בחלון עריכה) מכפלת שני ביטויים אלגבריים: (תרגיל הדומה לדוגמה ג (עמ' 5), או לתרגיל ), מקישים בצלמית "חשבונייה" בצד ימין מטה של המסך ומקבלים: התוצאה היא תרגיל חדש. אפשר לרשום אותו בחלון עריכה, להחליף את "החשבונייה" (חישוב אוטומטי) לפעולות בתחמי אלגברה שונים על יד ההקשה ב"מקשים": בחלון שייפתח מקישים ב"פירוק ביטוי לגורמים", ומקבלים: המחיצה "אלגברה- " שנפתחה מכילה 8 סוגי פעולות אלגבריות סימבוליות, שבעזרתן אפשר להעשיר ולגוון שיעורים בטכניקה אלגברית. לדוגמה, רושמים ביטוי ומבקשים מתלמידים לבצע בו פעולה בעל פה. הראשון שעונה נכון מקבל פרס. - הבדיקה נעשית באופן מידי באמצעות ההקשה במקש מתאים. אפשר לשחק גם באופן הפוך: התלמידים מקריאים ביטוי ומבקשים לבצע בו פעולה, כאשר את התוצאה אפשר לראות מיד. לדוגמה: מדריך למורה אלגברה 04

103 yp P P P P P yp P P P yp yp P P P yp P P P P בהמשך מדריך נפרט פעולות נוספות מתחומי אלגברה סימבולית, המוצעות על ידי התוכנה. שיעורים. - מטרת השיעורים הוצאת גורם משותף מסוגריים חזרה על מושגים אלגבריים בסיסיים ופירוק רב איבר לגורמים. מערך השיעורים בתחילת השיעור יש לחזור על המושגים: חד איבר, רב איבר, איברים דומים, כינוס איברים דומים וכן על השיטות הבסיסיות של פירוק רב איבר לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף מסוגריים. השיעורים מבוססים על 0 דוגמאות: דוגמה: כנסו איברים דומים ברב איבר ;8xP, 5aP Pb + + 4abP ap Pb 7 דוגמה אתרו מחלק משותף והוציאו אותו מסוגריים בדו איבר yp דוגמה פרקו לגורמים את הדו איבר דוגמה פרקו לגורמים את הדו איבר,xP,6aP 4 xp b P + 5bP דוגמה 4 פרקו לגורמים את התלת איבר:,ab + ac ad דוגמה 5 פרקו לגורמים את התלת איבר (טרינום) דוגמה 6 פרקו לגורמים את הביטוי,-5xP 0xP + P 45xP ap (b P 4 c) + 7(b c) הדוגמאות הבאות מציגות בפעולה הפוכה את השימוש בטכניקות בסיסיות לפירוק רב איבר לגורמים: דוגמה 7 ולפתרון משוואות: דוגמה 8 דוגמה 9 דוגמה 0 הפכו למכפלה את הסכום פתרו את המשוואה: פתרו את המשוואה:,a(x y) + b(y x),xp,xp + x = 0 8x = 0 פתרו את המשוואה (t הוא המשתנה הנעלם):.tP 4 5tP = 0 שיעורי בית: מס. 7 תרגילים אינטראקטיביים:..5 מדריך למורה - אלגברה 05

104 א) ג) ב) תשובות ( a b 6) 7 + ( x y 5z) + x a y ( y x + xy) x y ד) ( a ) ( y x) ( a + 4b ) + ( x + y 5z) 5 + a ( a + ) ab ( a + b) ( a + 8ab ) א) ג) א) ב) ד) ב) ( y x z) x + 4b( b + a a ) ( x + y)( a + b ) ( x + y)( a + b ) ( a )( 6 a) ( m )( a b) ( x y)( x y ) ( b )( a + b) ab + b ( b c a) א) + a ג) ב) ( a ד) b) a + 4 א) ) b ( x y)( a + ג) ב) ( x ד) + y )( a b) א) a) ( y )( 7 + ג) ב) ד) ( a )( b + c) א) 7) + d ( b c)( a + ג) ב) ) y ( a )( x ד) פתרון התרגיל 6 ב): פרקו לגורמים: a) 6(a ) + a( פתרון a) 6(a ) + a( a) = 6(a ) - a(a - ) = (a - )(6 - טיפ: את התשובות (ולעיתים גם את שלבי הפתרון) לכל תרגיל בנושא של פירוק לגורמים אפשר לראות בסביבה אינטראקטיבית, שנפתחת בהקשה על תרגיל אינטראקטיבי כלשהו. רשמו את התרגיל בחלון העריכה באמצעות מקשי המקלדת או מקשי העריכה בצד שמאל של המסך: מדריך למורה - אלגברה 06

105 הקישו בצלמית "מקשים" ולאחר מכן ב"פירוק לגורמים" במחיצה "אלגברה- ": התוצאה תופיע ב"גיליון עבודה": בדרך זו אפשר לפתור כל תרגיל! כיצד לחבר תרגיל חדש בנושא פירוק לגורמים? רשמו מכפלה של כמה גורמים אלגבריים בחלון עריכה, כמו למשל b)(a a) (b, והקישו בצלמית "הרחבה". התוצאה תופיע ב"גיליון עבודה": הביטוי שהתקבל הוא התרגיל לפירוק! בדקו זאת: רשמו אותו בחלון העריכה והקישו "פירוק לגורמים". התוצאה: בצלמית באופן זה אפשר לחבר תרגילים חדשים ברמות קושי שונות (בהתאם למספר ולסוג הגורמים בביטוי המקורי). מדריך למורה - אלגברה 07

106 xp P + שיעורים -4. פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל המקוצר פירוק הטרינום הריבועי שימוש בפירוק לגורמים לצורך פתרון משוואות מטרת השיעורים להרחיב ולהעמיק טכניקה של פירוק רב איבר לגורמים ולהדגים שימוש בפירוק לגורמים לפתרון משוואות. מהלך השיעורים הנושא הראשון הוא פירוק לגורמים במקרים מיוחדים. השיעור מבוסס על הדוגמאות הבאות:,a + bc + b + ac דוגמה פ רקו לגורמים את הרב איבר דוגמה פ רקו לגורמים את הרב איבר.mx my + nx ny הנושא הבא - פירוק תלת איבר (טרינום). חשוב להדגיש שפעולה זאת אפשרית גם במקרה שהמקדם c אינו מתפרק לגורמים שלמים (מספר ראשוני), לדוגמה:, אלא שהדרך לפירוק היא פתרון משוואה ריבועית על פי משוואת השורשים, ולא לפי השיטה המוצגת בהמשך השיעור באמצעות הדוגמאות: 7x + = (x +?)(x +?) דוגמה א דוגמה ג פרקו לגורמים את הטרינום. בספר ניתן פתרון לתרגיל זה. טיפ: הקשה בצלמית "פירוק ביטוי לגורמים" מציגה פתרון לתרגיל: בביטוי המוצג מופיעים סימני כפל (נקודות) הן בין זוגות הסוגריים והן בין x לבין המקדם מספרי. אם ברצונכם להעלים את סימן הנקודה לחצו בצלמית בסרגל כלים ותקבלו: מדריך למורה - אלגברה 08

107 שימו לב: הביטוי שהתקבל באמצעות התוכנה שונה במקצת מזה שבספר: כדאי לבקש מהתלמידים להוכיח ששני הביטויים שקולים. בהמשך השיעור מציגים כיצד אפשר לפרק ביטוי לגורמים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר: הפרש ריבועים וריבוע של סכום או של הפרש..8.6 תשובות ( a b)( a b) ( a b) ( a b) ( a + )( a ) a + 5p x = 0, x = 0.6 t = 0, t =, t = x = 4 ( p + q)( p q) שיעורי בית: תרגילים 8 7, תרגילים אינטראקטיביים: ( x + y)( x y) א) ג) ב) ד) ( x y) y + ( x ) x א) ג) ב) ד) ג) y t = 0, t ב) = = 0, y, = ה) ו) ( x )( x ) ( x + 0)( x ) ( x )( x + 4) ( x )( x + 4) ( x + y)( x y) 8 ( b + x)( b x) ( n m)( m n) m + x = 0, x א) = x = 0, x ד) =.75 א) +) x ( x + )( ג) ב) ד) 6 ( x 8 )( x +) א) ) x ( x + )( ג) ב) ( x + )( x ד) ) א) c) ( x + b + c)( x + b ג) ב) ( x + b ד) + c)( x c) א) =.5 x ב) ג) = x ד) ה) y = x = מדריך למורה - אלגברה 09

108 .P ap P ap P ap P bp P bp )P P P )P P שיעור 5. חזקות בעלות מעריך שלילי, כללי חזקות מטרת השיעור להרחיב את מושג החזקה במקרה של מעריך שלילי ולסכם את כללי חזקות. מהלך השיעור מציגים את סדרת חזקות של 0 החל מ- אותה לכיוון "הפוך", כאשר מעריך החזקות הולך וקטן. באופן זה מגיעים לנוסחה: יש להדגיש שהנוסחה נכונה רק כאשר הבסיס a אינו אפס. P, 0 כאשר מעריך החזקה הולך וגדל, וממשיכים P בהמשך מסכמים את כללי החזקות (נושא שלמדו כבר בכיתה ז' עבור מעריכים חיוביים x 0 ( x y) ( x + y) 4 6 9y 8 z (ap P - -4 )(ap P בלבד) ומציגים ארבע דוגמאות פתורות: -7 (ap + ap ap P : bp דוגמה דוגמה פשטו את הביטוי: פשטו את המנה: דוגמה פשטו את הביטוי דוגמה 4 פשטו את הביטוי שיעורי בית: תרגילים 9 ד) ג) ב) א) ה) תשובות ז) ו) ח) 7 5 a b ( ) 5 c + b ( a b) 4 xc 8 a c 5 5 ( ab) 7 5a 7 b xy y 4 x 5 x b א) ב) ו) ג) ז) ד) ח) ד) + x y y x 4 ( a + b) 4 a ( a ) ( a + b) ( bc) 4 x + y a x y ה) x y a + b א) א) ב) ב) ג) a + ג) b b a ד) ה) ו) 0 ab x ט) ( ) ה) 7 0 y ד) 7 x ג) 6 7 ב) 0 א).5 ז) ו) ה) 0 ד) ג) ב) א). 6 ז) 5 5 ו) 5 ה) 0 5 ד) 5 ג) 5 ב) 5 א). 7 ח) ז) ו) 0 ה) ד) ג) ב) 4 א) מדריך למורה - אלגברה 0

109 P + bp P 4 0 א) 0 ב) 0 ג) 0 ד) 0 ה) 0 ו) 0 ז) 0 שיעור 6. שורש ריבועי מטרת השיעור להזכיר את מושג השורש הריבועי, לסכם את כללי הפעולות בין שורשים ולהציג טכניקה של הכנסת גורם אל תוך השורש והוצאת גורם מתוך השורש. מהלך השיעור השיעור מתחיל מאזכור של הגדרת השורש הריבועי וכללי פעולות בין שורשים. חשוב להסביר כי שורש ריבועי ממספר שאינו ריבוע שלם הוא מספר אי רציונלי, כלומר מספר שאי אפשר להציגו כשבר פשוט ולא כשבר עשרוני סופי, או אינסופי מחזורי. זו הסיבה לכך שערך השורש המחושב באמצעות מחשבון או תוכנה אינו מדויק. ישנן שיטות לחישוב מקורב של שורש ריבועי באופן ידני, ללא שימוש במחשבון. אחת השיטות מתוארת בלוחות חמר שנכתבו בכתב יתדות לפני כ- 4,000 שנה בבבל העתיקה. על פי שיטה זו, כדי לחשב שורש ריבועי ממספר כלשהו a, מציגים אותו כסכום של ריבוע שלם ערך השורש של a הוא: הקרוב ביותר למספר הנתון ושארית c:. a = bp c.9 חישוב השורש הריבועי של 60 על פי שיטה זו: הערך המחושב באמצעות התוכנה: מומלץ להציג שיטה זו ולהציע לתלמידים לנמק אותה. הנימוק עלינו להוכיח כי. מדריך למורה - אלגברה

110 , :b קטנה יחסית ל- c אם השארית. כלומר, השגיאה היא, וריבוע של מספר הקטן מ- קטן בהרבה מ- : אזי יתקיים בדוגמה הנ"ל: ולכן ניתן להזנחה. שיעורי בית: תרגילים 0 7 תרגילים אינטראקטיביים:..,-,. תשובות 6 7 א) 4 ב) 0 ד) ג) ,8,0,0.4,0.,0.5,.,70,80. ו) 0.5 ג) ב) א) 5 ד) 0.4 ה) 0. י) 8 ט) 5 ח) 9 ז) 8. ב) A=5 G=4, ג) A=.5 G=0,. א) A=6.5 G=6, ד) A= G=, ה) A=6.5 G=4, ז) A=9 G=9, ח) A=7 G=7, ו) A=9 G=0, ט) A=6 G=0, א) 9 ג) ב) 0.06 ד).4 א) 4 ב) 9 ג) 4 ד) 8 ה) 6 ח) ז) 5 ו).5 9y y 5x 5 x c 6 5b b x ב) א) x ג) ד) ה) ו).6 ax + b x b 75 ב) א) 8 ד) ג) ה).7 מדריך למורה - אלגברה

111 פתרון תרגיל 7 )ה( פרק. משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה פתרון משוואות ואי שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה )לפחות שעות( עמודים בספר סעיפים בספר..5, נושאי הלימוד פתרון משוואה ממעלה ראשונה כולל פרמטר אחד פתרון משוואה ממעלה שנייה פתרון מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים - לכל היותר ממעלה שנייה המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות של משוואה או מערכת משוואות אי שוויונות ממעלה ראשונה ואי שוויונות ממעלה שנייה המשמעות האלגברית והמשמעות הגרפית של g(x) f(x) > פתרון של משוואות מסוגים שונים )לפחות 4 שעות( נושאי הלימוד פתרון משוואות הכוללות שברים אלגבריים פתרון משוואה אי רציונלית עם שני שורשים לכל היותר פתרון משוואה על ידי הצבה, כגון משוואה דו ריבועית המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות של משוואה או מערכת משוואות סעיפים בספר 4.8, עמודים בספר 86, לנושאים אלה מוקדשים 88 תרגילים "רגילים" וכ- 50 תרגילים אינטראקטיביים. מדריך למורה - אלגברה

112 שיעור 7. מהי משוואה? )חזרה( מטרת השיעור להזכיר מושגים בסיסיים בנושא המשוואה ופתרונותיה. מהלך השיעור מומלץ להתחיל בהגדרות של משוואה, אגפי משוואה, דרכי פתרון משוואה )בחשיבה לוגית או בדרך אלגברית(, פתרון )שורש( משוואה, זהות. יש להדגיש שלמשוואה יכול להיות פתרון אחד, כמה פתרונות, אינסוף פתרונות או אף x 5 x 5x לא פתרון אחד. בספר דוגמאות לכל אחד מהמקרים האלה. שיעורי בית: תרגילים א( x 8 4 ב( תשובות 4x ג( 56 א( - א( 8- ב( ב( ג( ג( ד( ד( - 4 5x א( כן א( x 5 0 ב( לא ב( ג( לא ד( כן ג( ד( x 6x 0 7 א( - ב( 5- א( לא, עבור 5=a יש פתרון א( ג( - ד(.4- ב( לא, עבור =a יש פתרון x 60, 0.5x ב( 5 x 0, x ב( x, x, x ד( x.5, x x 0, x ג( א( x 0, x, x פתרון תרגיל 4 )ד( 4x = x + a, x = 0. a = 4x x = x = 0. = -.4 מדריך למורה - אלגברה 4

113 פתרון משוואות ממעלה ראשונה )חזרה(, שיעור 8. משוואת עם שברים )נעלם במונה(, משוואת עם שברים )נעלם במחנה( מטרת השיעור ליישם טכניקה אלגברית בפתרון משוואות ממעלה ראשונה מסוגים שונים. מהלך השיעור השיעור מתבסס על 9 דוגמאות של משוואות ממעלה ראשונה מסוגים שונים: ) + 4(x.(x + ) (x + ) = 5 פתרו את המשוואה: דוגמה פתרו את המשוואה: דוגמה דוגמה דוגמה 4 דוגמה 5 דוגמה 6 פתרו את המשוואה: פתרו את המשוואה: פתרו את המשוואה: פתרו את המשוואה:. דוגמה 7 פתרו את המשוואה:. דוגמה 8 פתרו את המשוואה: x).(x + ) = ( )למשוואה זו אין פתרונות( דוגמה 9 פתרו את המשוואה: x) + = 5 x.( )למשוואה זו אינסוף פתרונות( בסוף השיעור מומלץ להציג לתלמידים "הוכחה" שכל המספרים שווים. הפיתוח מתבסס על פעולה אסורה של חילוק שני אגפי המשוואה בביטוי השווה לאפס: תחילה מגדירים,a = b + c ובסוף מחלקים ב- c).(a b "שעשועי מתמטיקה" מעין אלה גם מגוונים את השיעור וגם ממחישים את חשיבות המגבלות שיש בפעולת החילוק בביטוי שערכו אינו ידוע. שיעורי בית: תרגילים תרגילים אינטראקטיביים:..6 מדריך למורה - אלגברה 5

114 7 x א(.6 ב( תשובות ג( 6- ד( ד( ב(.- ב( ג( 70 ג(.75 ד( ד( ד( א( 0 א( 0.4 א( - א( ב( 0 ג(.75 ב( 7.5 ג( 5 ב( א( - א( 46- ג( 0.5 ג( 0 ד( ד( 5-, x 8,.x ב( ד( 0.08 x 4 ד( x ב( x 00, 0.74x א( 7.4 ג( x.6, x x 4 א( 8 ב(.4 ג( פתרון התרגיל 56 )ב(, 0% נקבל.9.6 הרכיבו משוואה ופתרו אותה: אם נגדיל את x ב- שיעורים מערכת משוואות ממעלה ראשונה מטרת השיעור להגדיר את המושג של מערכת משוואות ולהציג שיטות שונות לפתרונן. מהלך השיעור השיעור מתחיל בדוגמה מתחום המספרים המובילה למערכת של שתי משוואות משני נעלמים. מדגישים כי פתרון המערכת הוא זוג שני המספרים x ו- y. בהמשך השיעור מציגים את שיטת ההצבה על דוגמת המערכת: שתי הדוגמאות הבאות מציגות מערכות שונות: מדריך למורה - 6 אלגברה

115 דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: בסעיף.5 מוצגת שיטת השוואת המקדמים באמצעות הדוגמאות הבאות: דוגמה פתרו את מערכת המשוואות ממעלה ראשונה: דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: דוגמה פתרו מערכת המשוואות: דוגמה 4 פתרו את מערכת המשוואות: בסעיף.6 מוצגת שיטת ההשוואה באמצעות הדוגמה: דוגמה פתרו את המערכת: חשוב להדגיש שכל מערכת אפשר לפתור בכמה שיטות. שיעורי בית: תרגילים שיעורים אינטראקטיביים:.,.,.,.,..4 מדריך למורה - אלגברה 7

116 תשובות y x ב(, x y x 7 y ד( y, x 7 x 4, y 5 x א( y, x 5 y y y ג( x, x 5 5 x ב ב c, c 8 a 5, b 9 א( לא ב( לא u, v 7 ב( u, v 4 x 5, א( y א( x, ב( y ג( x 4.4, y.4 ב( x 0, y 6 x, א( y א( x 6.5, ב( y.5 x 5, y 9 x, y 8, x ב( y 6 x 5, א( y ב( x, y 0.5 ב( x 4, א( y x, א( y x 8, א( y 9 ב( x, ב( y x x 4, y 4 0.5, y 6 x, א( y ב( א( x 0, y 6 x, א( y x 5, ב( y ב( x, ג( y x, ד( y x 7, y מדריך למורה - אלגברה 8

117 א( א( a 5, b 8 x 8.5, y 4.6 פתרון תרגיל 78 )ב( x, ב( y 0.75 x 7 ב(, y 0.75 פתרו את המערכת בשיטת ההשוואה: טיפ: הסביבה של אלגברה סימבולית מאפשרת לפתור מערכת של משוואות ממעלה ראשונה או שנייה. רשמו את משוואות המערכת בחלון עריכה, כאשר בין המשוואות סימן (;) והקישו בצלמית "חשבונייה". פתרון המערכת יופיע בגיליון העבודה: דרך אחרת לפתרון המערכת היא לפתוח מחיצה "אלגברה- " בצד ימין של המסך, ולהקיש בצלמית "שיטת ההצבה". בגיליון העבודה יופיע פתרון מפורט של המערכת על פי שיטה זו: מדריך למורה - אלגברה 9

118 שיעור. מטרת השיעור פתרון מערכת משוואות בשיטה גרפית להראות את הקשר בין הייצוג האלגברי של מערכת משוואת ממעלה ראשונה לבין הייצוג הגרפי. מהלך השיעור מומלץ להתחיל בהשוואת המשוואה משני נעלמים לפונקציה המקשרת ביניהם. בהמשך להסיק כי הפתרון האלגברי של המערכת הוא למעשה זוג שיעורי נקודות חיתוך של שני הגרפים המייצגים כל משוואה. חשוב להדגיש שהפתרון הגרפי תמיד מקורב, ומשתמשים בו כדי להמחיש או לוודא את הפתרון האלגברי. הייצוג הגרפי פועל גם ב"כיוון ההפוך". אם רוצים לדעת את מיקומם היחסי של שני ישרים, משתמשים בייצוג האלגברי, פותרים את מערכת המשוואות המייצגות כל ישר, ומסיקים לגבי שיעורי נקודת החיתוך של הישרים )או העדר נקודה כזו כשהישרים מקבילים(. בסוף השיעור מומלץ להציג חידה "מי צודק?": האם למערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה בשני נעלמים יש פתרון אחד, משום ששני הישרים נפגשים בנקודה אחת? או ששני הישרים נפגשים בנקודה אחת, משום שלמערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה בשני נעלמים יש פתרון אחד? הצודק הוא התלמיד, כיוון שהטענה על מפגש שני ישרים היא אחת האקסיומות של אוקלידס, שאינה ניתנת להוכחה. תכונותיהם ללא קשר לייצוג. מערכת משוואות מתארת את הישירים ואת שיעורי בית: תרגילים מדריך למורה - אלגברה 0

119 תשובות 0,6,.4,0 0,6, א( 5,0 ב( ג(, 0, ד( 0.5,0 0,,,0.79 א( ב(.80 ג( ד( ה( ו( מדריך למורה - אלגברה

120 0,.8 א(,,4 א( ב(.8,9 ג( ד(,6 מדריך למורה - אלגברה

121 הרומל ךירדמ - הרבגלא.8 )א, )ב, )ג, )ד,.84 )א.5,.5 )ב 4, )ג,5 )ד,.87 )א )ב

122 טיפ: כדי לפתור מערכת בשיטה גרפית, רשמו אותה בחלון עריכה )עם הסימן (;) בין המשוואות( ולחצו בצלמית "שרטוט". חלון עם גרפים של הפונקציות שרשמתם ייפתח במרכז המסך. דוגמה תרגיל 85 א(: הוכיחו שלמערכת אין פתרון: רושמים את המערכת ומקישים בצלמית: הגרפים מוצגים בחלון: אפשר להגדיל את הרזולוציה על ידי שינוי תחומי ההגדרה של המשתנים: מדריך למורה - אלגברה 4

123 אולם ייצוג גרפי בלבד אינו יכול לשמש כהוכחה לכך שלמערכת אין פתרון )כי אולי שני הישרים ייפגשו אי שם רחוק מאוד...(. לכן נדרשת הוכחה אלגברית. מציבים במשוואה השנייה את y מהשוואה הראשונה: y = x 6x - (x) = 0x = למשוואה זו אין פתרון. שיעורים. - משוואות ממעלה שנייה )חזרה( מטרת השיעור להזכיר מושגים הקשורים למשוואה ריבועית ולהציג את הדרך לפתרונה. מהלך השיעור השיעור מתחיל מהצגת הבעיה שפתרונה מוביל למשוואה ריבועית. בהמשך מזכירים את המושגים העיקריים: משוואה חלקית. השיעור מתבסס על הצגת פתרון הבעיות: דוגמה פתרו את המשוואה: דוגמה פתרו את המשוואה: דוגמה דוגמה 4 דוגמה 5 פתרו את המשוואה: פתרו את המשוואה: פתרו את המשוואה:,x 5x = 64 = 0 x - 7 = 0 x + 7 = 0.-x + 5x = 0 מקדמי המשוואה, האיבר החופשי, בשיעור השני המוקדש לנושא זה מזכירים את נוסחת השורשים של משוואה ריבועית מלאה. יש לציין את חשיבותה של הדיסקרימיננטה. כאשר לא ידוע מראש האם למשוואה יש שורשים. מומלץ תחילה לחשב אותה, ולפי סימנה לדעת אם יש טעם להשתמש בנוסחת השורשים: אם < 0 D, אזי למשוואה אין שורשים ממשיים. שלוש האפשרויות: > 0,D D = 0 ו- < 0 D מוצגות באמצעות הדוגמאות: פתרו את המשוואה: מדריך למורה - x - D > 0 ( 6x + שני שורשים שונים(, - 5 = 0 דוגמה דוגמה פתרו את המשוואה: - - D = 0( 4x שני שורשים שווים(, 4x + = 0 דוגמה פתרו את המשוואה: - D < 0( x אין פתרונות(. 4x + 5 = 0 אלגברה

124 טיפ: המחיצה "משוואות- " במחשבון אלגברי מכילה מקשים ייחודיים למשוואה ריבועית: פתרון מיידי, פתרון מפורט, חישוב דיסקרימיננטה, פתרון לפי נוסחאות ווייט. לדוגמה: רשמו משוואה והקישו במקש מתאים. מדריך למורה - אלגברה 6

125 x 0, x שיעורי בית: תרגילים )משוואה ריבועית חלקית(, 06 0 )משוואה ריבועית מלאה(, תרגילים אינטראקטיביים:.7 תשובות x ג( 0.6 0, x ב( 5 x 0, x x 0, x x 0, x א( 7 ד( 0.04 ה( 9 ו( אין פתרון.96 x, 8 x,.5 x, א( 6.5 ב( ג(.97 x, x 4 x, 4 x x, x, ד( 5 א( 4 ה( 0.5 ב( ג( 5 ו( ד( x 0, x 0.4, ד( 75, x x, x 0, x x, x ב( 4 0, x א( 4. ד( x, x.5 ג( 4 x 0, x ב( 9 ג( x,, 0 x 0, x x, א( 4. א( 8 ב( 8 ד( x, x ג( 0.5 x, x x, x ג( 96 x, x ב( 0.5 x, x ב( 0.6 x 0, x x, א( x ב( x 0 א( 49 x, x א( 0.5 x, x ד( 0.5 א( 0.54 ה( ב( ו( ג( x.8, x ו(.8 x 0.5, x 4 x 4.65, x x 5.54, x x ה( 0.65, x ד( מדריך למורה - אלגברה 7

126 x 4 x, x ח( x, x ז( 0.5 x 8, x 9 ג( x, x 0. ב( x, x א( 6.6, x.8 ו( x 0.58, x.58 ה( x 7, x ד( 8 x, x 7 ב( x.5, x א( x, x 0.6 ד( x.5, x ג( פתרון תרגיל 05 )א( 0 פתרו את המשוואה: x 9 = 0 x = 9 x =, x = - כיוון שגם במחנה השבר יש נעלם, עלינו לבדוק אם הפתרון שמצאנו לא מאפס אותו. כך נמצא ש- x אינו מתאים. תשובה: - = x שיעור 4. משוואה ריבועית עם פרמטרים. משוואה ריבועית לא מסודרת מטרת השיעור לחקור את הקשר בין קיום פתרונות של משוואה ריבועית לבין ערכי המקדמים ולסקור שיטות פתרון משוואות ריבועיות לא מסודרות. מהלך השיעור השיעור מתבסס על מספר דוגמאות פתורות: דוגמה מהם ערכי פרמטר,a כדי שלמשוואה = 0 + 6x ax + יהיה שורש אחד? דוגמה מהם ערכי הפרמטר,a כדי שלמשוואה = 0 + 6x ax + יהיו שני שורשים שונים? x דוגמה מהם ערכי הפרמטר,q כדי שלמשוואה = 0 q + 6x + לא יהיה כלל פתרון? בנושא של משוואות לא מסודרות יש להתבסס על שתי הדוגמאות:.(x ) x(x ) = 0 דוגמה דוגמה מדריך למורה - אלגברה 8

127 טיפ: התוכנה פותרת גם משוואות לא מסודרות. לדוגמה: רשמו את המשוואה שבדוגמה, הקישו בצלמית "חשבונייה" והפתרון המפורט יופיע בגיליון עבודה: שיעורי בית: תרגילים. תרגילים אינטראקטיביים: 7.0 תשובות א( a.5 ב( a.5 א( q ב( q ג( a.5.. x 6, x 4 x 0, x א( ב(. x, x ד( 49 x, x ג( פתרון תרגיל פתחו את נוסחת השורשים למשוואה x + mx + c = 0 הערה: נוסחת שורשים זו פשוטה יותר מנוסחת השורשים במקרה הכללי, אולם היא מתאימה רק למקרה שבו המקדם b זוגי. שיעור 5. מערכת משוואות ממעלה שנייה מטרת השיעור להציג שיטות לפתרון מערכות של שתי משוואות משני נעלמים, כאשר אחת מהן או שתיהן ממעלה שנייה. מהלך השיעור השיעור מתבסס על פתרון דוגמאות: מדריך למורה - 9 אלגברה

128 דוגמה יתר של משולש ישר זווית באורך ס"מ ושטחו 0 סמ"ר. מצאו את הניצבים. דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: שיעורי בית: תרגילים 4 6 תרגילים אינטראקטיביים:.5.,4.,.,.,. פתרון תרגיל 6 אנייה שטה מ- A ל- B בכיוון זרימת הנהר לאט פי.5 מסירה, כאשר בכל שעה היא מפגרת אחר הסירה ב- 8 ק"מ. בכיוון ההפוך, נגד זרימת הנהר, שטה הסירה במהירות גדולה פי מהאנייה. מצאו את המהירויות של שני כלי השיט במים עומדים. פתרון נסמן ב- x את מהירות האנייה במים עומדים, ב- y את מהירות הסירה במים עומדים,y + z ו- x + z וב- z את מהירות הזרימה של המים בנהר. שימו לב: א. בתרגיל זה שלושה נעלמים! ב. מהירויות האנייה והסירה בכיוון הזרימה הן בהתאמה:.y z ובכיוון ההפוך: z x ו- על פי נתוני הבעיה: )( y + z =.5(x + z) )( y + z = x + z + 8 )( y - z = (x z) מ- )( מקבלים: + 8 x y = מציבים ב- )( ו- )(: מדריך למורה - אלגברה 0

129 )4( )5( x z =.5(x + z) x z = (x - z) x - z = 8, z = x - 8 מ- )5( קבלים: x x 8 =.5(x + x 8) נציב ב- )4( פותרים: )קמ"ש( = x מציבים ב- :)( )קמ"ש( = x y = טיפ: רשמו את המערכת )(-)( בחלון עריכה והקישו בחשבונייה. פתרון המערכת יוצג בגיליון עבודה: הערה פתרון אוטומטי אינו מחליף את הצורך להבין את הבעיה ולחבר מערכת משוואות מתאימה לנתונים. למעשה, הבנת הבעיה וחיבור מערכת משוואות מהווים קושי מרכזי לתלמידים, לכן אין לחשוש מפגיעה בתהליך הלימודים: פתרון אוטומטי מקל רק על בדיקת התשובה, ולא על תהליך הפתרון. הדבר נכון לכל הנושאים הנלמדים באלגברה: למחשבון אלגברי תפקיד דומה לזה של מחשבון רגיל הוא עוזר לבדוק את התוצאה )ולעיתים גם את שלבי הביניים(, אולם אינו משחרר את התלמיד מהצורך להתאמץ ולפתור תרגיל. מדריך למורה - אלגברה

130 ,, 7,, 4, 4,,, 5, תשובות ג( ד(,,, 4,6, ב( 5,7 4,, ב( 7,0 ג( ד(, 5, 5,, ד(,,, 5, ג( 7,, ב(,7 4, ב( א( 7,,, 4 4,, א(,7,,, 4.5,.5 א( א( ג( ד( 5,,, 5, 5,, ד(,5,,, ב(,,4, 4, 5, 4, 6 א( א( ג( 0, ג( 4,, ב(,4 9,4,,, 5,9 א( ב( אורך מ', רוחב. מ' 9 ס"מ, 40 ס" 64 0 קמ"ש, קמ"ש. שיעור 6. אי שוויונות מטרת השיעור לסכם את ההגדרה ואת התכונות של אי שוויונות. מהלך השיעור השיעור מתבסס על דוגמאות: דוגמה הוכיחו שעבור כל הערכים של a מתקיים האי שוויון: (a -)(a 5) < (a -4) דוגמה הוכיחו כי סכום ריבועיים של שני מספרים שאינם שווים גדול. a ממכפלתם הכפולה: + b > ab דוגמה נתון ו- ואת המנה < y <. עלינו להעריך xy 5 < x < 6 את הסכום x, + y את ההפרש x, y את המכפלה מדריך למורה - אלגברה

131 x - C b z a M x y c B דוגמה 4 הוכיחו שסכום המרחקים מכל נקודה בתוך המשולש לקדקודיו גדול מחצי ההיקף שלו. שיעורי בית: תרגילים y 7 x A 8a 8b - תשובות מדריך למורה אלגברה ב( -,- ג( +,+ ד( -,- 5 0, , 0 7,, 7 5 9, 5 6, 5, a 5 b 5 a b א( +,+, 5 א( ב( ג( a 4 b 4 ד( א( ד( ב( 4.8a 4. ה( 8b ו( ג( a b a b 5 5a א( 0 5 ד( a 0.4 4a א( a ב(.6 0.a ה(.8 ב( ג( 5 a 6 60 xy 84.9 p y 9 8 y 5 א( א( ב( ב( 9 א( 0 6 א( כן א( 6 x y 9 ב( 5 ב( כן ב( y x 6 ג( ד( 9.8 ב( 6.5 שטח.4 א ) 97 היקף

132 c כן 8 0 פתרון תרגיל 7 )ב( הוכיחו את האי שוויון: + > 0, > 0 c c + 0 c + c = (c - ) (c - ) 0 הוכחה קיבלנו אי שוויון אמת: פתרון תרגיל 0 מה גדול יותר: או לכן גם האי שוויון המקורי הוא אי שוויון אמת. (b,ab(a + אם a ו- b חיוביים ואינם שווים? a + b a + b - ab(a + b) = (a + b)(a - ab + b ) - ab(a + b) = = (a + b)(a - ab + b - ab) = (a + b)( a ab + b ) = (a + b)(a - b) > 0 a + b > ab(a + b).a + b = (a + b)(a - ab + b ) פתרון לכן טיפ: בפתרון התרגיל נעזרנו בזהות אפשר לבדוק אותה באמצעות המחשבון האלגברי: רשמו את הביטוי שאותו רוצים לפרק לגורמים בחלון עריכה, פתחו מחיצה "אלגברה- " במחשבון בצד ימין מטה, והקישו בצלמית "פירוק ביטוי לגורמים": התוצאה מופיעה בגיליון עבודה:.4.4 שיעור 7. אי שוויונות חזקים ואי שוויונות חלשים. תחום וקטע מטרת השיעור להרחיב את הנושא של אי שוויונות. להציג מושגים חדשים: קטע אינסופי פתוח או סגור, נקודת קצה, ייצוג גרפי של פתרון. מדריך למורה - אלגברה 4

133 מהלך השיעור השיעור מל ווה בדוגמאות: 4 דוגמה פתרו את האי שוויון + 45 x.6x > פתרון: 5 x 5 דוגמה 4 פתרו את האי - שוויון - -5x x (x + ) -6 > -.4 x.(x + 8) 5x < 4 x פתרון: דוגמה פתרון: דוגמה 4 4 פתרו את 4- האי שוויון פתרו את האי שוויון - דוגמה 5 פתרו את האי שוויון x).(x + ) + 5 > ( מדריך למורה - אלגברה 5 שיעורי בית: תרגילים א( n ב( ג( n תשובות ד( n 0 ה( n ו( n n 4 n 4 א( n א( x 6 ב( n ב( ג( n 6 ד( ה( n 7 ו( n 4 x 9 א( כן א( לא ב( לא ב( כן ב( y 0.4 ג( כן ג( כן ג( x ד( ד( לא ד( לא ה( x.4 a ג( b. ז( y.6 ב( a 9 ח( y ד( m 0.55 א( x 0.4 א( x b 4 ו( x א( א( x 0. ב( y 0.5 ב( a 0.5 ג( p 4 ג( x 7 ד( a 7 ד( y

134 y 0 ה( x.5 ו( ז( x 5 x.56 x ק"מ.58 פתרון תרגיל 49 )ב( ;a -b הוכיחו כי אם מתקיים a b 5a + 4b אזי פתרון a b 5a + 4b 5a + 4b a b 5a a -b 4b 4a -6b a -b פתרון תרגיל 5 )ג( הוכיחו כי: כאשר.ab > 0 הוכחה: שיעורים אי שוויונות ממעלה שנייה מטרת השיעורים להציג דרכים שונות לפתרון אי שוויונות ממעלה שנייה: דרך אלגברית )מערכות "גם וגם" ו-"או-או"( בעזרת גרף של פונקציה ריבועית ו"שיטת האינטרוולים" )שיטת "הנחש"(. מהלך השיעור בשיעור הראשון יש להתמקד בהדגמת הפתרון האלגברי, המוביל לפתרון מערכת של שני אי שוויונות. יש להדגיש שדרך זו אפשרית רק אם אפשר לפרק את האי שוויון הריבועי למכפלת שני גורמים, כלומר כאשר לטרינום יש שורשים ממשיים. פתרון גרפי של אי שוויון ריבועי ממחיש את שתי האפשרויות: כאשר לטרינום יש שורשים, אפשר לפרק אותו לגורמים ולפתור את האי שוויון בדרך אלגברית. במקרה זה הפרבולה המייצגת את הפונקציה הריבועית חותכת את הציר x בשתי נקודות, אשר קובעות את התחום שבו מתקיים האי שוויון )במקרה של שורש אחד כפול הפרבולה המשיקה לציר(. מדריך למורה - אלגברה 6

135 הייצוג הגרפי ממחיש את הפתרון האלגברי, לכן מומלץ להציגו בכל תרגיל יחד עם הפתרון האלגברי. השיעור מל ווה בדוגמאות: דוגמה צלעות מלבן הן באורך ו- ס"מ. האריכו כל צלע באותו מספר סנטימטרים, כך ששטח המלבן נעשה גדול מ- סמ"ר. בכמה האריכו כל צלע? דרך אחת היא לפרק את האגף השמאלי לגורמים: דרך שנייה (x + 6)(x ) > 0 בייצוג היא ו"רואים" את הפתרון. גרפי: משרטטים את הפרבולה.x - דוגמה פתרו את האי שוויון: > x הפתרון האלגברי הוא איחוד הפתרונות של שתי מערכות: ו- הפתרון הוא: > x <.x או הייצוג הגרפי ממחיש את הפתרון האלגברי: y + 4 דוגמה פתרו את האי שוויון > 0 + 5x -x. הפתרון האלגברי: הייצוג הגרפי ממחיש את הפתרון האלגברי: דוגמה 4 פתרו את האי שוויון: x - משרטטים גרף הפונקציה: הפרבולה משיקה - -4 לציר x, לכן התשובה:.(x 4) x הוא כל מספר שאינו 4 מדריך למורה - אלגברה 7

136 דוגמה 5 פתרו את האי שוויון > x.x משרטטים את גרף הפונקציה: תשובה: x הוא כל מספר. x kx + 4 > 0 דוגמה 6 מצאו את כל הערכים של k שעבורם האי שוויון יתקיים עבור כל הערכים של x. הפתרון האלגברי: < 4 k < -4 כדי לשרטט גרפים של משפחת הפונקציות, רושמים את הפונקציה בחלון עריכה, מסמנים באות a את הפרמטרים ומקישים בצלמית של שרטוט גרף. יופיע חלון עם מספר גרפים, המתאימים לערכי הפרמטר מ- עד 5: בצד שמאל של החלון אפשר לשנות את תחומי ההשתנות של y x, ו- a ואת מספר הגרפים. אפשר להעתיק את התוצאה למסמך וורד או לחלון ההנדסה, ובו אפשר להוסיף לקווי הגרפים טקסט, סימנים מיוחדים או צורות גיאומטריות. מדריך למורה - אלגברה 8

137 שימו לב: קנה מידה של הצירים בחלון הנדסה הוא x, = y לכן הגרפים שונים בדרך כלל מאלה שבחלון הגרפים )אלא אם גם בו תציבו תחומי x ו- y זהים(. הייצוג הגרפי של הפונקציה + 4 kx y = x מאפשר להמחיש את התוצאה שהתקבלה בפתרון האלגברי: 4 < k < -4. דוגמה 7 מצאו את כל הערכים של k שעבורם האי שוויון < kx הערכים של x. יתקיים לכל x דוגמה 8 מצאו את כל הערכים של m שעבורם האי שוויון (m - 9)x + (m - )x + 4 > 0 תשובה: < m < -5 יתקיים לכל הערכים של x. שיעורי בית: תרגילים 64 7 א( תשובות ב( x 4 או x x.64 מדריך למורה - אלגברה 9

138 ג( x או x ד( x x א( 4 x 0.5 ב( כל.65 ד( x או x ג( x x א( ב( אף ג( x 6 x.66 מדריך למורה - אלגברה 40

139 x 0 x 0 x כל ד( x ה( או ו( x 0.4 x x א( אף ב( ג(.67 x x x ד( כל ה( אף ו( 6 r r או r 0 x 5 x מדריך למורה - אלגברה 4

140 שיעור 0. שיטת האינטרוולים )שיטת "הנחש"( מטרת השיעור להציג שיטה נוספת של פתרון אי שוויונות. מהלך השיעור שיטת האינטרוולים מאפשרת לפתור אי שוויון ללא צורך בחיבור ובפתרון מערכות של אי שוויונות, המתאימות למקרים שונים של סימני הגורמים. על פי שיטה זו, יש למצוא את שורשי הפונקציה, המהווים את קצות הקטעים שבהם הפונקציה מחליפה סימן, ולגלות את סימן הפונקציה בקטע אחד בלבד. השיעור מתבסס על הדוגמאות: דוגמה מצאו ערכי x, שעבורם טרינום ריבועי + 4x x חיובי, וערכי x שעבורם הוא שלילי. דוגמה פתרו את האי שוויון < 0 x.x.(x 9)(x + )(x - ) > 0. דוגמה דוגמה 4 פתרו את האי שוויון פתרו את האי שוויון. דוגמה 5 פתרו את האי שוויון שיעורי בית: תרגילים תשובות ג( 0 x 4 ו( 5 x 0 x ב( x 0 או x 7 ה( x x 0 x 9 א( x 8 או x 7 ד( x 0. או x 6. א( x 0 או x 5 ד( x 0 או ב( ה( 4 x ג( ו( x או x x ב( x 0 או א( 0 x 4 או x 4 x או 5 x ד( x או ג( x א( x 5 או x 5 ב( x ג( 7 x מדריך למורה - אלגברה 4

141 x 5 או x ד( x 4 ה( x 8 ו( x 4 א( x או x 5 ב( ג( x.5.76 ו( x 0.5 x ה(.5 ד( x 7 או x או x 0 x או x אף א( x ב( x או x 0.5 ג( או x.77 x או x x 0 x 0.5 x ד( או ו( x או 4 x א( או ה( x או ג( x 4 או x x ב( x או 4 x 5 x 6 x 4 ד( x או ה( 5 x או x או ו( x 4 או x.78 5x 0 x 5 x 6 0 x x א( 6 או או ב( או.79 ד( x או x 5 ג( 8 x x 4 ה( x 0.4 ו( או x.5 טיפ: המחשבון האלגברי פותר את האי שוויונות בשיטת האינטרוולים. רשמו את האי שוויון בחלון העריכה והקישו בצלמית החשבונייה. הפתרון יוצג בגיליון העבודה. לדוגמה: פתרון תרגיל 79 )ה(: שימוש ביכולת זו של התוכנה מאפשר הן לבדוק פתרונות של כל תרגיל בנושא והן לחבר אי שוויונות בעצמו, להעתיק אותם למסמך וורד )לבוחן או מבחן, למשל(, ולקבל פתרון מידי. מדריך למורה - אלגברה 4

142 שיעור. - משוואות מסוגים שונים מטרת השיעורים להציג דרכי פתרון משוואות מיוחדות משלושה סוגים: משוואה דו-ריבועית, משוואה עם שברים אלגבריים )נעלם במונה ונעלם במכנה( ומשוואה עם שורשים. מהלך השיעור בשיעור הראשון מציגים את הממושג של משוואה דו-ריבועית ואת הדרך לפתרונה באמצעות הדוגמאות: דוגמה פתרו משוואה: = 0,x 4 7x +.9x 4 + 5x - 4 = 0 דוגמה פתרו את המשוואה: חשוב להזכיר, כי קיומם של פתרונות משוואה ריבועית לגבי המשתנה החדש t = x אינו מבטיח קיום פתרונות למשוואה המקורית: ערכי t חייבים להיות לא שליליים! המשך השיעור יוקדש למשוואות עם שברים, כאשר נעלם יכול להיות הן במונה והן במכנה. השיעור מתבסס על הדוגמאות: דוגמה פתרו את המשוואה:,. דוגמה 4 דוגמה 5 פתרו את המשוואה:, פתרו את המשוואה: בשיעור שלאחר מכן מציגים באמצעות הדוגמאות שלהלן את המשוואות האי רציונליות )משוואות עם שורשים(:. פתרו את המשוואה דוגמה 6. פתרו את המשוואה דוגמה 7. פתרו את המשוואה דוגמה 8. דוגמה 9 פתרו את המשוואה פתרון משוואות עם שברים אלגבריים ועם שורשים מחייב בדיקה, לכן הזמן הנדרש להצגת כל דוגמה ארוך יותר. מדריך למורה - אלגברה 44

143 שיעורי בית: תרגילים 80 88, תרגילים אינטראקטיביים: 6. תשובות x,4, x, ב( x,4, x,.80 א( x,4, x, ד( 7 x,4, x, ג( x, x ד( 5, x ג(, x ב(,.8 א( x x, x ג(, x ו( 6 x 4 x x 0 ג(, x ב( 7, x ה( 40 x, ב( 0 x א( 8, x x.8, x ד( 5 x א( 0, x.8.8 x ו(, x x ד( אין פתרון ה( x.84 א( x ב(.85 א( x ב( x 0 x ד( x ג( x 0 ב( x 8, x א( x, ב( אין פתרון ג( 4 ד( אין פתרון x,.87 א( 5 x 0, x ד( 5 x 4 ג( x, x ב( 8,.88 א( 8 טיפ: המחשבון האלגברי שבתוכנה מאפשר לפתור גם משוואות מיוחדות שונים. לדוגמה: פתרון תרגיל 8 )ב( מסוגים פתרו את המשוואה: רשמו את המשוואה בחלון העריכה: מדריך למורה - אלגברה 45

144 הקישו בצלמית "חשבונייה" והפתרון יוצג בגיליון העבודה: שימו לב: את המשוואה הזו אפשר לפתור גם בדרך אחרת, "מתוחכמת" יותר: מגדירים משתנה חדש:. אז: המשוואה הופכת לפשוטה יותר: זו משוואה ריבועית לגבי t: פותרים אותה: חוזרים למשתנה המקורי: פותרים את המשוואות )כל אחת ממעלה ראשונה(, ומקבלים תשובה: - התוכנה פותרת גם משוואות עם שברים. לדוגמה: תרגיל 87 )ד(: פתרו משוואה: מדריך למורה אלגברה 46

145 פתרון תשובה: אין פתרונות. מדריך למורה - אלגברה 47