אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 6

Transkript

1 אלגברה ליניארית א' פתרון 6 הוכיחו כי שתי מטריצות מסדר A,mxn ו B, שוות אם ורק אם Au Bu לכל u R n (רמז: הביטו בבסיס הסטנדרטי) הוכחה: נניח המטריצות שוות אז בלית ברירה לכל Au Bu u, R n נניח שלכל,Au Bu,u R n ונוכיח שהמטריצות שוות מההנחה בפרט יודעים שעבור וקטורי הבסיס הסטנדרטי של e,, e n },R n מתקיים Ae j Be j לכל j n אבל אנו יודעים ש Ae j זו העמודה ה j של A כלומר קיבלנו שלכל A B לכן B של זהה לעמודה ה j A של העמודה ה j, j n א נניח כי A מטריצה x הוכיחו כי אם לכל מטריצה (R) B M מתקיים מטריצת היחידה (x I I (כאן A λi אז,AB BA הוכחה: אפשר יהיה להשתמש בסעיף הבא, אך בנתיים נוכיח בנפרד עבור n נניח כי ) A מתחלפת עם )כל מטריצה אחרת B, כלומר AB BA (הכל x) a b נסמן A נביט במטריצות B "פשוטות" כדי לקבל תנאים על המקדמים c d של A (למעשה, כמו בשאלה הקודמת, מספיק לנו לדעת התחלפות של A רק עם מטריצות מהבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות אפשר להראות את זה בדומה לשאלה הקודמת ) בהמשך ( ניראה במושגים (כלליים )למה זה ) נכון) נביט ( במט' ) הבאות: ( B, B, B, B ) נבחן ( עבורן ) את ( השוויון BA) ),AB( כאשר ( ) למעשה ( יספיקו (חלק ( מהן מקבלים: a a b a b a b c c d c d מכאן ש c b במקרה הזה שאר המט' שלקחנו נותנות אותו מידע ) נביט ( ) במטריצה ( אחרת:( ( ) ( ) ( ) ( a a a d מכאן ש a d d d ( ) a כלומר הוכחנו שבהכרח A היא מהצורה A ai כדרוש a ב* נניח כי A מטריצה nxn הוכיחו כי אם לכל מטריצה (R) B M n מתקיים (nxn מטריצת היחידה I I n (כאן A λi אז,AB BA (רמז: להסתכל ב B מהצורה E, ij כלומר במטריצות שבהן יש במקום ij והשאר מספיק יהיה הנתון ש AE ij E ij A כדאי להסתכל תחילה על E) qq הוכחה: נשתמש ברמז, ונביט תחילה במטריצות מסוג E qq (כלומר עם במקום אחד באלכסון ו בכל שאר המקדמים)

2 נביט ב,AE qq E qq A לכל :i, j,(ae qq ) ij n k a j q ik(e qq ) kj באגף שמאל: (E qq A) ij n k (E qq) ik a kj a iq j q i q באגף ימין: a qj i q וכך לכל q,, n כלומר, עבור i j מקבלים ש ij a ז"א מקדמי A שהם מחוץ לאלכסון הראשי הם אפס כעת, נרצה להוכיח שכל איברי האלכסון שוים זה לזה ובכך נסיים נביט במטריצה E q (עבור > (q עבורה השוויון AE q E q A מתפרש באופן הבא (AE q ) ij n k a a i j q ik(e q ) kj באגף שמאל: (E q A) ij n k (E q) ik a kj j q a qj i באגף ימין: i נביט במקום (q,) בשני האגפים נקבל את השוויון a a qq וזה נכון לכל q,, n כלומר, כל איברי האלכסון שוים זה לזה! לכן אם מט' מתחלפת עם כל מטריצה אחרת, אז היא מהצורה A λi (וההפך, אם היא מהצורה הזאת, אז היא מתחלפת עם כל מטריצה אחרת, זה הוכח בתרגיל הקודם) לסיכום, מצאנו איפיון של מטריצות שמתחלפות עם הכל: אלה בדיוק מט' מהצורה λi הן נקראות גם "מטריצות סקלאריות" 3 הוכחה: (A + B) (A + B)(A + B) A + AB + BA + B וזה שווה ל A + AB + B אם ורק אם AB BA כדרוש A ( 6 4 ) ( ), B, C 3, D, E לחשב, אם אפשר: AB, BA, BC, (CD), B, C, D, (C t ), B+E t, (BE), (EB) AB ( ), B + E 8 t (BE) 8 פתרון: ( BA, B) ) הבאים לא ( מוגדרים: 3 3 9, BE, ( ) 3, EB EB אינה הפיכה, לפי שאלה 8 ג' בתרגיל זה או מכך ששורותיה תלויות ליניארית (אפשר לבדוק!) נמצא הופכית של C:

3 3 4 R R R R R ; R 3 R 3 + R R R /( ) R 3 R 3 7R ; R R 3R 3 R 3 R 3 ( ) 7 9 R R R 3; R R R 3 C לכן C הפיכה ו (אפשר לבדוק שזו אכן ההופכית של C ע"י בדיקת השוויונים (CC C C I ניזכר שאם מטריצה היא הפיכה, אז גם ה transposed שלה הפיכה ליתר דיוק, כיוון ש C הפיכה, C t גם הפיכה, ו t (C t ) (C ) R R R ; R 3 R 3 + R נחפש הופכית של D: R R ; R (new) R (new) + R 3 R R הגענו לכך ש D שקולת שורות למטריצה שבה שורת האפסים, כלומר למטריצה לא הפיכה לכן D בעצמה לא הפיכה (או בדרך אחרת, נמשיך עוד שני צעדים לקבל הצורה הקנונית של D וניראה שזו לא מט' היחידה) כלומר, לא קיים D נטען שלכן גם CD לא הפיכה, כלומר לא קיימת (CD) אכן, אם נניח שהייתה קיימת,(CD) אז היה (CD) CD I מכאן ש D הפיכה משמאל, לכן הפיכה סתירה לכן CD לא הפיכה 3

4 פתרו את המשוואה עבור X, כלומר מצאו מט' X מסדר x שמקיימת: ( ) ( ) ( ) X ( ) a b פתרון: דרך אחת היא לסמן X ולאחר כמה חישובים לקבל מערכת c d משוואות (ליניאריות) על המקדמים של X ולפתור אותה (או לראות שאין פתרון) ( ) 3 A דרך אחרת המשוואה שלנו היא מהצורה A, X B C אם נסמן, ( ) ( ) B, C ) נשים לב ( תחילה שהמטריצות,A B הפיכות (אנו יודעים מהתרגול/הרצאה, שמטריצה a b x,, היא הפיכה אם ורק אם bc,ad ואם כך, אז ההופכית שלה היא c ( d ) d b ( אז הן הפיכות ומתקיים: ad bc ( ) ( ) ( c ) a 3 3 A, B 3 נחזור למשוואה הנתונה אם נכפיל את שני האגפים של A X B C ב A משמאל, נקבל XB A C במה שהתקבל, נכפיל שני אגפים ב B מימין ונקבל CB X A (ופתרנו!) ) אז נותר ( רק ) לחשב: ( ) ( ) ( X A CB 3 (אפשר גם לבדוק ע" י הצבה במשוואה המקורית, שזהו אכן פתרון שלה והוא פתרון יחיד, כי ראינו שבהכרח הפתרון הוא CB A) A מצאו את A רשמו את A ואת A כמכפלת מטריצות 6 נסמן אלמנטריות ψ ψ3 פתרון: ψ לכן A הפיכה ו A היא המטריצה מימין בשלב האחרון כאן אנו יודעים ש,ψ 3 (ψ (ψ (A))) I כאשר,i,, 3,ψ i אלה פעולות השורה האלמנטריות שהתבצעו אם i,,, 3 E, i אלה הן המטריצות האלמנטריות שמתאימות לפעולות אלה (עם אינדקסים מתאימים), אז E 3 E E A I מכאן ש E 3 A E E 4

5 אם באותה הזדמנות מסתכלים על המתרחש בחלק הימני של התהליך, רואים גם בדרך אחרת ש A E 3 E E I E 3 E E נחשב את המטריצות המתאימות לפעולות האלמנטריות E ψ (I), E ψ (I) (הפעולה ההפוכה ל R 3 R 3 R היא (R 3 R 3 + R באופן דומה,,E ψ (I), E ψ (I) E ו E 3 ψ 3 (I), E3 ψ3 (I) אז יש לנו כתיבה של A,A כמכפלות של מט' אלמנטריות: A E 3 E E, A E E E 3 7 א הוכיחו כי מטריצה אלכסונית היא הפיכה או ורק אם כל איברי האלכסון (הראשי) שלה שונים מאפס הוכחה: בכיוון אחד, אם במטריצה אלכסונית איברי האלכסון כולם שונים מאפס, אז יש לה הופכית: ניקח עבור ) n diag(λ,, λ (מטריצה אלכסונית עם איברי אלכסון (λ,, λ n diag( והיא תהיה ההופכית של הראשונה (כי מכפלה λ,, λ n את המטריצה האלכסונית ) של אחת בשניה, בשני הסדרים, זו מט' היחידה (בודקים)) בכיוון השני, נניח שיש לנו מטריצה אלכסונית שהיא הפיכה ונרצה להוכיח שאיברי האלכסון שלה שונים מ אכן, אם נניח שיש איבר שווה לאפס באלכסון, אז נקבל שיש לה שורת אפסים לכן היא לא הפיכה (הערה: בכיוון הראשון, אפשר גם להתחיל לדרג את המטריצה ולהגיע לכך שהצורה הקנונית שלה היא מט' היחידה, ובכך להוכיח שהיא הפיכה אפשר גם לדייק ולקבל באותה הזדמנות מהי ההופכית שלה, בצורה הרגילה שבה חיפשנו הופכית בעזרת "דירוג סימולטני" של המטריצה הנתונה וביצוע פעולות זהות על מט' היחידה) ב הוכיחו כי מטריצה משולשית עליונה היא הפיכה אם ורק אם כל איברי האלכסון הראשי שלה שונים מאפס הוכחה: נניח שמט' משולשית עליונה היא עם איברי אלכסון שונים מאפס כולם, ונרצה להוכיח שהיא הפיכה ראשית, נוכל להניח שאיברי האלכסון כולם שוים ל (אחרת נחלק את השורות המתאימות בקבועים מתאימים, השונים מאפס(!)) מכאן, אפשר להתחיל לדרג: בעזרת השורה האחרונה לאפס את כל האיברים בעמודה האחרונה שבשורות מעליה אם השורה הלפני אחרונה לאפס את כל האיברים בעמודה לפני אחרונה שמעליה וכו' נגיד לכך שהצורה המדורגת הקנונית של המטריצה שלנו היא מט' היחידה ולכן המט' שלנו הפיכה

6 נניח שמט' משולשית עליונה היא הפיכה ונרצה להוכיח שאיברי האלכסון שלה שונים מאפס או באופן שקול, נניח שיש איבר באלכסון שלה ששווה לאפס, ונוכיח שהמט' לא הפיכה לפי ההנחה, נקבל ששורות המטריצה הן תלויות ליניארית (או באופן אחר, הצורה הקנונית שלה תכיל שורת אפסים) נוכיח זאת אם השורה האחרונה היא שורת אפסים, אז סיימנו אם לא, ניקח את השורה הכי נמוכה שבה לראשונה מופיע באלכסון (לראשונה אם הולכים מלמטה) נניח שזו שורה מס' k אז שורה זו תלויה ליניארית בשורות שמתחתיה, k +,, n זאת כיוון שהשורות מתחתיה הן בת"ל (כי הן מדורגות ולא אפס), ומספרן n k לכן הן מהוות בסיס לתת מרחב הוקטורים ש k הקואורדינטות הראשונות שלהן הן והשורה ה k היא כזאת: k הקואורדינטות הראשונות שלה הן לכן היא צירוף ליניארי של השורות מתחתיה לכן השורות של המט' הן תלויות ליניארית לכן היא לא הפיכה A (אפשר להניח שגם A היא a b c 3 ג חשבו את המט' ההופכית של משולשית עליונה) פתרון: מסעיף ב', יודעים שהמטריצה הנתונה הפיכה בסעיף ד' נוכיח למה ההופכית d e f A g h שלה היא גם משולשית עליונה, ובנתיים נשתמש בזה: נניח k צריך שיתקיים: a b d e f d e + ag f + ah + bk c g h g h + ck 3 k 3k הבאה במשתנים :d, e, f, g, h, k אז הגענו למערכת d g 3k e + ag f + ah + bk h + ck e + a f + ah + 3 אז נותר לפתור את המע',d, g, k 3 נפתור אותה ראשית, h + 3 c אפשר לפתור בעזרת שיטת גאוס כרגיל, או לרשום מיד ש e,a h 6c ומכאן f 3 b + 6 ac 6

7 A a 3 b + 6 ac לסיכום, c 6 3 ד* למה אפשר היה לעשות את ההנחה בסעיף ג'? הוכיחו כי אם מטריצה משולשית עליונה היא הפיכה, אז ההופכית שלה היא גם משולשית עליונה הוכחה: נניח כי A מטריצה משולשית עליונה היא הפיכה, כלומר (לפי מה שראינו) כל איברי האלכסון שלה שונים מאפס נבצע את תהליך למציאת מט' הופכית לפי השיטה שלנו: נביט ב (A I) אנו מדרגים את A ומבצעים את אותן פעולות שורה על I: תחילה, נחלק בקבועים מתאימים כדי ליצור ים באלכסון בצד ימין (היכן שעתידה להופיע A), זה מכפיל את האלכסון של I בקבועים בשלב השני, בעזרת השורה האחרונה, נאפס את האיברים של A בעמודה האחרונה, כלומר נחסיר מכל השורות את האחרונה מוכפלת בקבועים מתאימים בצד ימין זה משפיע רק על העמודה האחרונה בשורות שמעל האחרונה בשלב הבא, בעזרת השורה הלפני אחרונה נאפס בצד שמאל את איברי העמודה הלפני אחרונה שמופיעים מעל השורה הלפני אחרונה בצד ימין זה ישפיע רק על האיברים שנמצאים מעל האלכסון בעמודה הלפני אחרונה ממשיכים באותו אופן בצד שמאל תיווצר מט' היחידה, ואילו בצד ימין תיווצר המט' A כל הצעדים משפיעים על אגף ימין רק באיברים שמעל האלכסון, ואילו האיברים מתחת לאלכסון נשארים להיות לכן קיבלנו ש A היא מטריצה משולשית עליונה כדרוש 8 א נניח,A B מט' ריבועיות מאותו סדר, ו AB הפיכה הוכיחו כי גם A ו B הפיכות היה בתרגול ב תהיינה,A B מט' ריבועיות מאותו סדר נניח ש AB I הוכיחו ש BA I הוכחה: זה בעתם משפט שהוכח בהרצאה לגבי כך שאם מטריצה היא הפיכה מצד אחד, אז היא הפיכה כאן למשל מכך ש A הפיכה מצד ימין, נוכיח שהיא הפיכה וש A B ומכאן הדרוש כלומר, כדאי להסתכל בהוכחת המשפט הזה (ייתכנו הוכחות שונות) ג נניח ש n > m,a nxm, B mxn הוכיחו כי (nxn) AB לא הפיכה הוכחה: נביט במערכת ההומוגנית Bx יש בה יותר משתנים ממשוואות (m n), > לכן יש לה לפחות משתנה חופשי אחד, ולכן יש לה פתרון לא טריביאלי: קיים v כך ש Bv נשים לב שכאשר פונים למערכת (AB)x ומציבים בה את v הנ"ל, מקבלים A (AB)v A(Bv) כלומר, קיבלנו של (AB)x יש פתרון לא טריביאלי לכן AB לא הפיכה 9 א* נניח כי A nxn מטריצה נילפוטנטית הוכיחו כי אז I A ו A I + הן הפיכות (מטריצה A נקראת נילפוטנטית אם קיים m N כך ש m (A (רמז: הביטו תחילה במקרה n ולמקרה הכללי, היזכרו בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, או בנוסחת כפל מקוצר) הוכחה: נוכיח תחילה עבור I A נביא שתי הוכחות: הוכחה (ראינו בתרגול) נשים לב שנוסחת הכפל המקוצר הבאה מתקיימת עבור כל מטריצה A ולכל N: N 7

8 I A N (I A)(I + A + A + + A N ) (הוכחה: באינדוקציה הנוסחה תקפה בזכות כך שכל שתי חזקות (טבעיות) של A מתחלפות ביניהן ) p (A p A q A q A וגם A מתחלפת עם (AI IA A) I ( נשים לב שאם A היא מטריצה נילפונטנית מסדר m, אז לפי נוסחה זו נקבל ש I A m I (I A)(I + A + + A m ) מכאן ש I A הפיכה, וההופכית שלה היא m I + A + A + + A הוכחה נניח ש A)v (I עבור וקטור v R n נרצה להוכיח שבהכרח v (כי אז I A הפיכה) לפי ההנחה, מתקיים Av,Iv כלומר Av v כלומר, כיצד A פועלת על v כזה? היא משאירה אותו במקום אם נפעיל את A על שני האגפים (נכפיל בה משמאל), נקבל A v Av v באופן כללי, נוכיח באינדוקציה שלכל A N v v,n N הוכחה: בסיס עבור N זה נכון צעד נניח שזה נכון עבור N, כלומר A N v v אז A N+ v A N (Av) A N v v הוכחנו טענת עזר זו נשים לב שבפרט עבור m שהוא סדר הנילפוטנטיות של A, נקבל ש A m v v אבל m,a כלומר קיבלנו ש v כרצוי! לכן I A הפיכה, עבור A נילפוטנטית הוכחה עבור :I + A דרך אחת היא לחזור על אותן הוכחות כמו קודם (נוסחת הכפל המקוצר תהיה עם סימנים מתחלפים! גם הטענה באינדוקציה) דרך אחרת נשים של שאם A נילפוטנטית מסדר m, אז גם A נילפוטנטית (ואפילו מאותו סדר בדיוק) נשתמש במה שהוכחנו, עבור A, שהיא גם נילפוטנטית מקבלים ש (A ) I A+ I היא הפיכה כדרוש ב* פתרון: ) ( x,a A ומתקיים A (בודקים!) אז כן חזקות עבור,n יותר גבוהות הן מט' האפס A 3x3 A A כאן עבור 3 n מדובר ב ו 3 A אפשר גם לרשום עבור 4 n רואים שמה שמתרחש הוא שעם כל חזקה, האלכסון של ה ים עולה, עד שהוא נעלם ומקבלים את מט' האפס החל מחזקה מסוימת זו והלאה כלומר, בפרט הטענה שלנו היא שמט' מסוג כזה הן נילפוטנטיות ij a כלומר, j i + נעבור למקרה הכללי: מדובר במטריצה שמקדמיה הם elsewise 8

9 A A nxn אנו רוצים לטעון שה"אלכסון" של ה ים עולה עם כל חזקה ובמדויק: ( i, j n (עבור (A p j i + p ) ij טענה: עבור,p N elsewise הוכחה: באינדוקציה על p בסיס עבור p, כך לקחנו את A צעד נניח שזה נכון עבור p ונוכיח עבור + p נחשב את A) +p ) ij (A p+ ) ij n לפי ההגדרה, k (Ap ) ik (A) kj הגורם (A) kj הוא חוץ מאשר אם j k אם j זה כלל לא אפשרי, לכן הסכום הוא אם > j, אז יש k כזה, ומכל הסכום נשאר רק מחובר אחד: (A p+ ) ij (A p ) i,j לפי הנחת האינדוקציה j i + p elsewise j i + (p + ) elsewise אפשר לסכם את המקרים > j j, בשורה אחת: (A p+ j i + (p + ) ) ij elsewise (עבור j אין i כך ש ) + (p,j i + לכן אז באמת נקבל ( וסיימנו נשים לב (אם נביט בנוסחה שמצאנו למקדמי A), p שעבור n p עדיין יש איברים שאינם, ואילו עבור p n כל איברי המטריצה A p הם אפס כלומר, A nxn מסוג זה היא מטריצה נילפוטנטית מסדר n (הערה: בין השאר גם הראנו שקיימות מטריצות נילפוטנטיות מסדר n עבור כל n טבעי אמנם בנתיים בנתיים מצאנו מט' מגדלים שונים עבור n ים שונים, אז עדיין אפשר לשאול עבור גודל מטריצה מסוים, מאיזה סדר נילפוטנטיות היא יכולה להיות) ג חשבו את (A I), כאשר A זו המט' מסעיף ב' (רמז: סעיף א') פתרון: ראשית, לפי סעיף א', כיוון שראינו כי A נילפוטנטית, אז I A הפיכה כמו כן, לפי אותו סעיף, ראינו ש n,(i A) I + A + + A שהרי סדר הנילפוטנטיות של A כאן הוא n לכן 9

10 (I A) הערת אגב: (בלי קשר לשאלה הנוכחית, תרגיל אחר) מצאו מטריצה x נילפוטנטית שאינה מכילה שורה (או עמודה) של אפסים או בכלל לא מכילה אפסים נניח ש A מטריצה ריבועית המקיימת 4I A A הוכיחו כי A הפיכה ומצאו את ההופכית שלה A אז A הוכחה: נשים לב שמהנתון מתקיים,A A 4I אז (A4 I) I 4 הפיכה מימין, לכן הפיכה (ממשפט), וההופכית שלה היא (I A4) 4 ( ) A,A,B C M מצאו מט' הופכית של מט' הבלוקים X אם C B נניח (R) n ידוע ש B,A מט' הפיכות (*הוכיחו ש X הפיכה) פתרון: דרך א' הוכחנו בתרגול שמטריצה מהסוג של X t הפיכה לכן גם X הפיכה (וההופכית שלה היא בדיוק X X)) t ) ) t ה transposed של ההופכית של X t כל זה לפי משפט שידוע לנו: אם מט' A הפיכה, אז גם A t הפיכה, ו ((A t ) (A ) t דרך ב' נבצע שלבי הוכחה אנולוגיים עבור המקרה שלנו ראשית, נוכיח ש X הפיכה בשלב הראשון, נבצע פעולות שורה על n השורות הראשונות, כאלה פעולות שמביאות את A לצורה מדורגת קנונית (שהיא מט' היחידה) מט' האפס לא משתנה בשלב השני, נבצע פעולות שורה על n השורות האחרונות, כאלה שיביאו את B לצורה מדורגת קנונית (שהיא מט' היחידה, כי B, כמו A, הפיכה), וישנו את C לאיזושהי C ( ) ( ) ( ) A I I C B C B C I כעת, הצורה הקנונית של X תיהיה מט' היחידה, שכן אפשר להמשיך ולבצע פעולות שורה שיאפסו את C (בעזרת מט' היחידה שמעליה), ולא ישנו את I שבפינה הימנית תחתונה ( ) ( ) I I C I I I n לכן X הפיכה ( ) כעת, נמצא את המט' ההופכית שלה D E דרך אחת היא כמו שעשינו לגבי ה transposed שלה: לסמן X, להביט F G ב XX I (או (X X I ולמצוא משם את X דרך אחרת למציאת ההופכית ננסה להשתמש בתהליך הרגיל שראינו למציאת הופכית נרשום זו ליד זו את X ומט' היחידה, נדרג את X, ואז מ I n תתקבל X

11 ( ) ( ) A I I A C B I E C B I E ( ) ( ) I A I A C I B E3 I C B יש לרשום כאן במפורט מה הן הפעולות האלמנטריות (כל פעם סדרה שלהן) שמבוצעות, שכן, אנו יודעים ש,E 3 E E X I n לכן,X E 3 E E לכן יהיה חיוני למצוא בדיוק את המטריצות המתאימות לפעולות שביצענו תחילה, ) נטפל ב E) משנים רק את השורות העליונות ואותן 'מכפילים' ב A לכן A הפעולה תהיה E נבדוק: I ( ) ( ) ( ) A A I E X I C B C B באופן דומה, סדרת הפעולות השניה, E, לא משנה את השורות העליונות, ובשורות התחתונות אנו רוצים ) לבצע בדיוק ( אותן פעולות שהיינו מבצעים אם היינו רוצים להעביר את I E נבדוק: B למט' היחידה, כלומר B ( ) ( ) ( ) I I I E E X B C B B C I גילינו כאן שליתר דיוק, ה C שמתקבלת אחרי סדרת הפעולות השניה היא למעשה C B C (הערה: כזכור לנו, כדי מטריצה של פעולה אלמנטרית (או מכפלה שלהן), היא בדיוק המטריצה שמתקבלת ממטריצת היחידה אחרי שמבצעים עליה את הפעולה האלמנטרית (או סדרת הפעולות האלמנטריות) מכאן גם מצאנו את E, E הנ"ל) נותר לברר מה מתרחש בסדרת הפעולות השלישית, E 3 אנו רוצים לבצע פעולות שורה: לחסר מהשורות התחתונות את העליונות שמופעל עליהן משהו, כך שבסה"כ נחסר C B C מהשורות ) התחתונות כדי לקבל )מ I את C, מכפילים ב C אם נבצע את I 3 E נבדוק: התהליך על מט' היחידה, נקבל E 3 E E X B C I ( I B C I ) ( I B C I ) ( ) I I כלומר, סה"כ קיבלנו ( ) ( ) ( ) I I A X E 3 E E B C I B I ( ) ( ) ( ) I A A B C I B B CA B וסיימנו