>0. < lim =0 +4 =0, + =0

Størrelse: px

Begynne med side:

Download ">0. < lim =0 +4 =0, + =0"

Ragnhild Enger
6 år siden
Visninger:

1 07 תרגול מד"ר יציבות הגדרנו יציבות ויציבות אסימפטוטית עבור משוואות לינאריות במקדמים קבועים עבור הנקודות הקריטיות. הגדרה עבור מערכת אוטונמית כללית: תהי aנק' קריטית של מערכת אוטונומית כך = ש- =0. הנק' aנקראת: 1. יציבה: כאשר בהינתן >0 קיים >0 קטן מספיק כך שאם 0 < אז >0. < 2. יציבה אסימפטוטית: אם עבור איזשהו >0 מתקיים 0 < אז lim =0. 3 יציבה לחלוטין: אם היא יציבה ויציבה אסימפטוטית. 4. נק' קריטית שהיא יציבה אך לא אסימפ' נקראת.neutrally stable עבור מד"ר מסדר ראשון ישנו קריטריון פשוט ליציבות אסימפ': משפט: הנק' הקריטית 0 של המשוואה האוטונומית מסדר ראשון יציבה = אסימפ' אמ"מ ( 2) עבור איזשהו >0,.<0 0< < במקרה זה המשוואה גם יציבה לחלוטין. תרגיל: חקור יציבות עבור המשוואות: +4=0, + =0 פתרון: עבור המשוואות הנתונות נמצא את הפתרון ההומוגני הכללי ולפי צורתו נקבע את יציבות המשוואה. a. פולינום אופייני: +4=0 =+2 2 = + את הפתרון ניתן לרשום גם כך: = + cos2+ sin2 = + cos2 + sin2 = +2 cos2+ + כלומר הפתרון תמיד חסום, אך מצד שני אינו דועך ל- 0 כאשר. מכאן שע"פ ההגדרה, המד"ר הנתונה יציבה אך אינה יציבה לחלוטין, כי אינה יציבה אסימפ'. b. פולינום אופייני: + =0 = + = +1= + = ברור שהפתרון הכללי לא מקיים תנאי אחד (1) כיוון ש- =. כלומר קיים תמיד לפחות פתרון אחד בקבוצת הפתרונות הבסיסית שאינו חסום ובפרט המשוואה כלל לא מייצגת מערכת יציבה. הערה: עבור משוואות לינאריות במקדמים קבועים, יציבות אסימפטוטית גוררת יציבות לחלוטין. משפט: הנק' הקריטית 0 של מערכת משוואות אוטונומית לינארית במקדמים קבועים יציבה = אסימפ' אמ"מ לכל ע"ע שלAהחלק הממשי שלילי. במקרה זה, המערכת גם יציבה לחלוטין. ראינו כי עבור משוואה לינארית מסדר לפי קריטריון הורביץ התנאים ליציבות לחלוטין: IIבמקדמים קבועים ++=0 ניתן לכתוב בצורה: =+ =+ = +>0 = >0 +<0 > 1

2 בדוגמא הקודמת: +4=0 אכן אינה יציבה אסימפ' ולכן אינה יציבה לחלוטין. = = 4 =0,=4 תרגיל: נמצא תנאים עבור יציבות של מד"ר. פתרון: נניח משוואה לינארית הומוגנית כלשהי במקדמים קבועים מסדר n. אז בה"כ יש לה kשורשים אופיינים שונים. וכל,,, שורש תורם לקבוצה הבסיסית פתרונות מהצורה:,,, אם >0 Reאלו פתרונות לא חסומים ולכן הפתרון כלל אינו יציב. אם <0 Reאלו פתרונות הדועכים ל- 0 כאשר, והפתרון יציב לחלוטין. האפשרות היחידה עבורה מתקבלים פתרונות שהם חסומים שלא דועכים ל- 0 כאשר היא כאשר.Re אם כי חשוב לשים לב, שרק כאשר הוא שורש פשוט (מריבוי 1) הוא תורם פתרון יחיד וחסום. עבור שורש מרובה (ריבוי >1) הפתרונות שהוא תורם לא חסומים (קצב גידול לינארי) ולכן הפתרון כלל אינו יציב. בסה"כ מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים מייצגת מערכת יציבה אך לא לחלוטין אמ"מ מתקיימים התנאים: (1) כל השורשים האופיינים של המשוואה מקיימיםRe 0. (2) קיים לפחות שורש אחד המקיים =0.Re (3) כל שורש המקיים =0 Reהוא שורש פשוט. בדוגמא הקודמת 4=0 +.,, ±2= מתקיימים שלושת התנאים הנ"ל, המערכת יציבה (לא לחלוטין). סוג של נקודות יציבות בהנתן משוואה אוטונומית: =+ =+ הפ"א: ++ = ++=0.Δ= 4= +4 נסמן שורשים., הערה: נשים לב כי המשוואה =0 2+יכולה להתקבל משתי המערכות הבאות:.=,==0.a = = = 2,=.b = =+ מקרה 0, 0,Δ 0:I :Focal points i. כאשר. 0,Δ<0,, =± זו מערכת שפתרונותיה הם ספירלות. a. אם >0 הספירלות מכוונות לראשית. 2

3 אם <0 מתרחקות מן הראשית אם =0 הן עקומות סגורות..b.c >0,Δ>0:Nodalואז Points ממשים מאותו סימן. המערכת יציבה כאשר שליליים., עקומת פאזה תהיה מהצורה להעלות שרטוט לאתר הקורס). = פרבולות המשיקות לראשית. (אין שרטוט המתרגלת הבטיחה ממשיים,<0,Δ>0:Saddle Points מסימן מנוגד. עקומת הפאזה. = שתי אסימפטוטות והיפרבולות..ii.iii מקרה :II Δ=0,=מקרה 0< i. (a), עקומת הפאזה מורכבת מקוים ישרים דרך הראשית (קונפיגורצית כוכב) יציב אם >0. לא יציב אם <0..nodal points לעיל, נקבל גם (b) מקרה.ii,Δ 0,=0 עקומת הפאזה: קוים מקבילים מהצורה.+=. הראשית נקודה יציבה (אבל לא לחלוטין) אם >0 ולא יציב <0..iii 3

4 +=0,. =0(b) ובמקרה =0 (a) נקבל במקרה =Δ=0 אז =0 עבור (a).neutrally stable עבור (b) לא יציב. +1=0,=0,=1 Δ= 4<0,=±.iv דוגמא: זהו מקרה (I) (c). שיטת וריאצית הפרמטרי יתכן וחומר זה לא רלוונטי למבחן מקרה פרטי: משוואות לינאריות לא הומוגניות מסדר 2 + += ראינו בעבר כיצב למצוא פתרון מסויים עבור משוואות מהצורה הנ"ל כאשר היו, קבועים, ו- הייתה מהצורה המתאימה. שיטת וריאצית הפרמטרים מאפשר למצוא פתרון עבור,,כלשהם. כדי להשתמש בשיטה זו, יש צורך לדעת את הפתרון הכללי למשוואה ההומוגנית: + +=0 בהינתן שני פתרונות בת"ל של המשוואה ההומוגנית כזכור,, הפתרון הכללי למשוואה ההומוגנית: = + בשיטת וריאצית הפרמטרים נחליף את בפונקציות, של., -x = + =, =,. =cos, =sin = cos+ sin ואז פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית יהיה: נמצא אותם ע"י התנאים: = =0.a + =.b פתרון המשוואה נותן: כעת ע"י אינטגרציה ניתן לקבל את. תרגיל:, 0<<. += פתרון: פתרונות המשוואה ההומוגנית: הפתרון הכללי למשוואה ההומוגנית: נגדיר: 4

5 Kiril Solovey = cos+ sin אפשר להשתמש בנוסחאות הישירות, או לפתור את מע' המשוואות: cos+ sin=0 sin+ cos= 1 cos = tan, =1 =ln, = =cosln+ sin = cos+ sin+ משוואות לא הומגניות מסדר n = מקבלים כי: וריאציות פרמטרים נניח בסיס,, במרחב הפתרונות X (של המשוואה ההומוגנית). אז פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית: = = 0,, 0 = cos sin = sin cos, cos sin = sin cos נחפש פתרון פרטי ל-( 1 ) מהצורה: נמצא את ע"י פתרון מע' משוואות: cos sin = sin cos 0 8 = 8sin 8cos = 8cos 8sin = det det, באופן כללי, כדי למצוא, נפתור לפי נוסחת קרמר: = כאשר 0 0 זוהי המטריצה Wכאשר העמודה ה- iשלה הוחלפה עם וקטור מהצורה כאשר fבמקום ה- i. 0 =,, 0 5

6 =8, =cos, =sin דוגמא: נחפש פתרון פרטי מהצורה: = + +,, = det= = = = = = = = = = = 2 לפי כלל קרמר: 6

Like dokumenter

תרגיל מספר 10 מבנים אלגבריים

תרגיל מספר 10 מבנים אלגבריים. שיעורי בית 10 (א) הוכיחו כי [x] f(x) = x 2 +x+4 Z 11 ראשוני ולכן 4 + x F = Z 11 [x]/ x 2 + שדה. בשיעורי בית קודמים ראינו כי פולינומים עד דרגה 3 הוא ראושני אמ"מ אין לו שורש.