STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den mindre når den blir målt av den mindre. 3. Et forhold er en slags relasjon mellom to størrelser av samme slag med tanke på mål. 4. Størrelser sies p ha et forhold til hverandre dersom de er i stand til å overgå hverandre ved å multipliseres opp (med, 3, 4 min tilf) 5. Størrelser sies å stå parvis i samme forhold til hverandre, den første til den andre og den tredje til den fjerde, dersom et gitt multiplum av den første er henholdsvis større enn, lik eller mindre enn et gitt (annet) multiplum av den tredje, medfører at det gitte multiplum av den andre er på tilsvarende vis større enn, lik eller mindre enn det gitte (annet) multiplum av den fjerde.
6 Størrelser som parvis har samme forhold sies å være proporsjonale. 7. Når fire størrelser forholder seg parvis slik, den første til den andre og den tredje til den fjerde, slik at et gitt multiplum av den første er større enn et gitt (annet) multiplum av den tredje, men at det gitte multiplum av den andre ikke er større enn det gitte (annet) multiplum av den fjerde, sies den første størrelsen å ha et større forhold til den andre, enn den tredje til den fjerde. 8. En proporsjon med tre ledd er den med færrest ledd. (Mellomproporsjonal) 9. Når tre størrelser er proporsjonale (slik at forholdet mellom den første og den andre og forholdet mellom den andre og den tredje er det samme) sies den første å ha et forhold til den tredje som er et duplisert forhold (sammensatt forhold) av det den første har til den andre. (Euklid bruker ikke her multiplum av!)
Dersom vi forflytter oss til definisjonene for hele tall, Bok 7, finner vi for proporsjoner definisjon 0 der han skriver: 0. Tall er proporsjonale når det første er det samme multiplum eller divisor (del) av det andre som det tredje er av det fjerde. Det førte vi legger merke til i Euklid s definisjoner for hele tall i Bok 7, er at han i motsetning til Bok 5, ikke omtaler forhold i det hele tatt. Vi ser også at definisjonene av proporsjonalitet for hele tall og for størrelser er ganske ulike. Vi skal imidlertid gå tilbake til definisjon 5 som tilskrives Eudoxus. Med denne forsøkte de greske matematikerne å komme nærmere det vi i dag kjenner som de irrasjonale tallene. Den tyske matematiker Richard Dedekind som ga en fullstendig beskrivelse av de reelle tallene, var inspirert av Eudoxus da han over to tusen år senere i 860 innførte de såkalte Dedekindske snitt. Dedekind innrømmet selv å ha vært inspirert av Eudoxus.
Grekerne kjente de naturlige tallene og de kjente til forhold - dvs det vi i dag vil oppfatte som brøker. En grunnleggende oppfatning var at to linjestykker måtte ha et felles minste mål - det vi i dag kaller minste felles divisor. Pythagoreerne ble imidlertid klar over at dette ikke alltid var tilfelle. To linjestykker som ikke har felles mål, kalles inkommensurable. Euklid skiller mellom (geometriske) størrelser og naturlige tall og behandler disse på to steder - størrelser i bok 5 og naturlige tall i bok 7. Hele tiden refereres det her til størrelser og tall som er kommensurable dvs at forholdet mellom dem kan uttrykkes som er rasjonalt tall. Det kan ved første øyekast virke forunderlig at Euklid behandler dette temaet to ganger. Man skulle tro at naturlige tall ville falle under den generelle betegnelsen størrelser. Ikke desto mindre virker det som om forhold i ett tilfelle kunne gjelde linjestykker, i et annet volum og i et tredje tall. Hos Euklid behandles disse separat. Ikke desto mindre sier han om kommensurable linjestykker at: Kommensurable linjestykker har samme forhold til hverandre som et (naturlig) tall har til et annet.
Om tall gir Euklid disse definisjonene i Bok 7. En enhet er den egenskap ting (objekter) har som vi kaller én. Et tall er en mangfoldighet sammensatt av enheter. 3. Et tall er en del (divisor) av et større tall når det måler (går opp i) det større tallet 4. Men en brøkdel av det om det ikke går opp i det større tallet 5. Et større tall er et multiplum av et mindre når det blir målt av (går opp i) dette. 6. Et jevnt tall er et tall som lar seg dele i to like deler 7. Et odde tall er det som ikke lar seg dele i to like deler, eller som er en enhet forskjellig fra et jevnt 8 Et jevnt gange jevnt tall er det som går et jevnt tall opp i et jevnt tall (en potens av )
9 Et jevnt gange odde tall er det som går et odde tall opp i et jevnt tall 0. Et odde gange odde tall er det som går et odde tall opp i et odde tall.. Et primtall er et tall som intet annet tall unntatt går opp i. Tall som er innbyrdes primiske er de som bare har som største felles divisor. 3. Et sammensatt tall er det som et annet tall som divisor 4. Tall som er innbyrdes kompositte er de som har en største felles divisor forskjellig fra 5 Et tall sies å gange opp et annet tall, når det andre tallet blir lagt til seg selv så mange ganger som det er enheter i det første, ved dette fremkommer et tall.
6. Når to tall er multiplisert og det fremkommer et tall (produktet), kalles dette et plan (rektangel) og sidene er tallene som inngår i multiplikasjonen. 7. Når tre tall er multiplisert og det fremkommer et tall (produktet), kalles dette et prisme og sidene er tallene som inngår i multiplikasjonen. 8. Et kvadrattall er likt tall ganget med likt tall 9. En kube er likt tall ganget med likt tall ganget med likt tall
DELELIGHET DIVISORER - FAKTORISERING Dersom et tall er et multiplum av et annet tall, sier vi at det andre tallet er delelig med det første. Dersom c = a b skriver vi a c tilsvarende b c Det siste kan vi lese som a går opp i c eller c er delelig med a Dersom a ikke går opp i c skriver vi a ł b Vi ser også umiddelbart at vi har disse reglene, i følge loven som sier at multiplikasjon er distributiv over addisjon.. a b a c a ( b ± c) a b a bc 3. Dessuten gjelder alltid a, a a og - a a.
Derimot er det litt forunderlig at vi har a 0 såfremt a 0. Men det henger sammen med at å dividere 0 med et helt tall forskjellig fra 0, gir 0 som rest. Tallet 8 som er et sammensatt tall kan skrives som 9. Det kan også skrives som 3 6. Både 9 og 6 er igjen sammensatte tall. Fortsetter vi å faktorisere finner vi at 8 = 3 3 som vi imidlertid velger å skrive som 8 = 3 3. Da har vi faktorisert tallet i primfaktorer og det går derfor ikke an å faktorisere tallet videre. Alle tall som går opp i 8, kaller vi for divisorer i 8. Dette er tallene,, 3, 6, 9. Vi vet at vi kan skrive et tall som sum av flere ledd på forskjellige måter. Eksempelvis kan vi skrive som 3 7 eller 3 6. Det er derfor ikke så urimelig å spørre om vi kan faktorisere et tall på forskjellige måter.
Vi kan vise at hvert tall bare har én faktorisering dersom vi skriver tallet som et produkt av primfaktorer. Vi kan lett overbevise oss om at de sammensatte tallene opp til f eks 4 kun har én faktorisering. Dette er imidlertid en iakttagelse opp til 4, og som vi ikke kan påstå gjelder generelt. Vi bruker nå et induksjonsbevis. Vi antar nå at alle tall opp til N (i vårt tilfelle 4) har en unik faktorisering. Hva så med N? Enten er N et primtall og da er faktoriseringen unik. Men hva om det er et sammensatt tall. Åpenbart må vi da kunne skrive N = n m, der både n <N og m <N, og følgelig har n og m hver en unik faktorisering. Dermed har vi vist at N har en faktorisering i primfaktorer. Vi kan også overbevise oss om at denne faktoriseringen er unik. Det er denne sammenhengen som kalles aritmetikkens fundamentalsetning.
Det at et tall a er en divisor i b er det samme som at b er delelig med a, dvs a b. Dersom a og b er heltall og det finnes et tall c slik at c a og c b, kaller vi c en felles divisor i a og b. Vi skal så definere hva vi mener med den største felles divisor i to tall a og b: Dersom a og b begge er heltall forskjellige fra 0, er heltallet c den største felles divisor i a og b dersom c er divisor i a og b - og divisor i alle hele tall d som er felles divisor i a og b. Vi skriver (a,b) for største felles divisor til a og b i har altså c = (a,b) Dersom c er største felles divisor i a og b, kan vi finne to tall m og n slik at vi har: c = m a n b Vi sier også at c er en lineær kombinasjon av a og b.
EUKLIDS DIVISJONSLEMMA OG ALGORITME Euklid s setning, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette går, der etter trekkes resten av fra det minste så mange ganger dette går, og slik fortsettes det. Dersom den siste resten er én enhet er de to opprinnelig tallene innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker. Dersom to tall AB og CD er primiske til hverandre, vil bare én enhet gå opp i begge, for dersom de to ikke er primiske til hverandre, vil et tall (forskjellig fra null) gå opp i begge.
Anta at et tall, E, går opp i begge. Ved divisjon (gjentatt subtraksjon) av AB med CD, vil vi få AF som rest der AF = AB DG (og DG er et multiplum av CD). AF < CD Ved divisjon av DG med AF, finner vi på tilsvarende måte resten GC - og videre A H F C G ved divisjon av FH med GC, finner vi AH. B D E
Da E går opp i CD, og BF er et multiplum av CD, må E gå opp i BF. Da E går opp i BA, vil den og gå opp i resten AF, dvs BA - BF. Men, som vi husker, går E også opp i CD, derfor går E opp i CG, dvs CD - DG. Siden CG går opp i FH, går E også opp i FH. A H F C G Og som vi husker, E går opp i AF, da vil E også gå opp i resten AH, men siden denne er en enhet, må E også være en enhet dvs =. B D E
Euklid s setning, algoritmen, fra Bok 7 Hvordan man finner største felles divisor (mål) for to ulike tall som ikke er innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker I dette beviset går Euklid frem som i setning, inntil han finner et tall AB som går opp i et foregående med rest CD, slik at CD går opp i AB, og dermed er en enhet. Siden tallene ikke er innbyrdes primiske, må denne enheten, største felles divisor, være forskjellig fra. Euclid s setning sier oss at for et hvert tallpar, k og n, finnes det to andre tall r og q, slik at vi har k = r n q og at denne formen er unik, dvs det finnes ingen andre tall enn r og q som har denne egenskapen.
Oversatt til tall, kan Euklid s algoritme vises slik: Vi skal finne største felles divisor for tallene 435 og 5. Vi finner at 3 er det største multiplum av 5 mindre enn 435, resten blir 90 435 = 3 x 5 90 Vi ser at dersom 435 og 55 har en felles divisor, må denne også være divisor i 90. Ved å finne resten ved divisjon av 5 med 90, finner vi en ny rest som har divisor felles med 90. Vi ser at 90 går gang opp i 5 med 5 som rest 5 = x 90 5 Vi ser at 5 går 3 ganger opp i 90 med 5 som rest 90 = 3 x 5 5
Videre har vi at 5 går gang opp i 5 med 0 som rest 5= x 5 5 Siden 5 går opp i 5, må 5 være største felles divisor Det er for øvrig interessant at i Arithmetika angir Nichomachus (ca 40 e.kr) samme regel og sier om algoritmen at den vil ende med en enhet eller med det samme tall (største felles divisor) og han gir dette eksemplet: Med hensyn på og 49, trekker jeg det minste fra det første, så trekker jeg fra differensen 8 og får differensen 7 - så trekker 7 fra 8 og får 4 som han igjen trekker 7 fra - og fortsetter så, men 7 kan ikke trekkes fra 7(!) Vi må oppfatte ham her som ender med det samme tall.
LINEÆRE DIOFANTISKE LIGNINGER Hvilke hele tall kan vi lage som sum av multipla av heltallene a og b? Eventuelt kan vi spørre om hvilke multipla av to hele tall kan i sum bli lik et tredje helt tall c. Dette problemet tilsvarer ligningen () nedenfor der x og y er hele tall. () ax by = c a, b, c Z Dersom tallene ikke er for store, kan vi løse () ved inspeksjon dvs innsetting og prøving, men dersom tallene er store, blir denne metoden for tidkrevende. Ligningen ovenfor kaller vi en lineær diofantisk ligning siden de ukjente er lineære, dvs i første potens. Diofant (ca. 50 f.kr) er kjent for sine arbeider over kvadratiske og kubiske ubestemte ligninger i hele tall. Vi kjenner arbeidene hans fra boken Aritmetika
Fra funksjonsteorien vet vi at ligningen svarer til en rettlinjet graf dersom x og y er reelle tall. Løsningene av ligningen for hele tall tilsvarer punkter på linjen. Vi finner disse punktene på linjen gitt ved funksjonsuttrykket: () a y = x b c b Det er umiddelbart lett å se at et krav for at ligningen () har minst én løsning, er at c er et multiplum av (a, b), største felles divisor av a og b og motsatt - om c ikke er et multiplum av (a, b), har ligningen ingen løsning. Delelighetsreglene sier at venstre side alltid er delelig med (a, b). Ligningen kan derfor ikke ha heltallige løsninger i fall høyre side, c, ikke er delelig med (a, b).
Vi skal nå se på en teknikk for å løse en lineær diofantisk ligning, og tar et talleksempel: (3) 5x y = 3 Vi løser imidlertid først en hjelpeligning: (4) 5x y = Nå har vi 5 : = dvs 5 = og vi ser (5) = 5 (- ) Dvs hjelpeligningen har en løsning x = og y = - Vi multipliserer ligningen (4) ovenfor med 3 på begge sider og får: (6) 3 = 5 3 (- 6) Dvs at utgangsligningen (3) har løsningen x = 3 og y = -6, som vi kan kontrollere ved innsetting. Dette er imidlertid bare én løsning. Har (3) andre løsninger og i så fall hvilke?
Vi antar at den alminnelige løsningen av (3) har formen: (7) x = 3 α og y = -6 β. Innsatt i ligning (3) gir dette oss: (8) 5(3 α) (-6 β)= 3 Ut fra (6) finner vi denne ligningen for α og β: (9) 5α β = 0 som gir oss: (0) 5 β = α Ligningen (9) sier oss at vi finner løsninger når α er et multiplum av. Som eksempel kan vi velge α = 4, dermed blir β = -0. Vi finner nå ved innsetting i (7) løsningen x =7 og y = -6.
Vi kan nå skrive den alminnelige løsningen tilsvarende (7) på formen; () x = 3 m og y = -6-5m Et annet ord for c er en lineærkombinasjon av a og b. Vi kan skrive () ax by = (a,b) Vi ser på ligningen (3) 9x 7y = Vi har nå (4a) 9 = 7 5 5 = 9-7 (4b) 7 = 5 = 7-5 (4c) 5 = = 5 -
Nå kan vi nøste oss tilbake ved å starte med siste ligning (4c), sette inn for fra annen ligning (4b): (5) = 5 - ( 7-5 ) Deretter setter vi inn for 5 fra første ligning (4a) og får: (6) = [ 9-7] - ( 7 - [ 9-7] ) Nå har vi fått som lineærkombinasjon av 9 og 7 og regner ut: = 9-7 - 7 9 4 7 = ( ) 9 ( 4) 7 = 3 9 8 7 Dermed har vi: (7) 9 3 7 (-8) =
Ved multiplikasjon på begge sider med et vilkårlig tall M, finner vi løsningen av (8) 9x 7y = M som x = 3M og y = -8M Generelt gjelder at vi kan forkorte med felles faktor inntil koeffisientene til x og y er innbyrdes primiske. Vi har og løsningen av ligning (9) (9) 9x 7 0 som er oppfylt for 0 y0 = x0 = 7 y0 = 9 (9 og (8) gir oss den fullstendige løsningen () av den diofantiske ligningen (0) (0) 9x y = 0 7 0 M () x = x M y = y 8M 0 3 0
Bhaskara s metode Vi skal nå se på en alternativ løsningsmetode for lineære diofantiske ligninger oppkalt etter den indiske matematiker Bhaskara og starter med ligningen () 9x 7y = Vi har da en funksjonell sammenheng mellom x og y: (3) y = 9 x 7 Vi spalter så ut multipla av 7 fra første ledd: ( 4 5) x 5x (4) y = = x 7 7 Siden både y og -x er et hele tall, må også brøken være et helt tall, vi kaller denne m
Vi har nå: 5 x (5) m = 5x = 7m 7 Vi kan skrive denne på formen (6) som er en ny Diofantisk ligning. (6) 5x 7m = Her anvender vi divisjonslemmaet nok en gang - (7) x = 7 m m = m 5 5 Som etter samme resonnement som ovenfor, brøken er et heltatt, gir oss (8) m = 5n
som vi kan skrive på formen (9) m 5n = (30) m = 5 n n = n som igjen gir: (3) n = k n = k Av denne ligningen finner vi m (3) m = n n = ( k ) ( k )
(3) m= 5k (33) x = (5k (5k ) ) 5 0k 5 = 5 k = 7k 3 5 (34) 9( 7k 3) y = = 9k 7 8 Vi finner dermed løsningen (x, y)= ( 7k 3, 9k 8). Husk at her så vi på løsningen av ligning med høyreside = og ikke M
PRIMTALL Setning 0 fra Bok 9 lyder slik: Det er flere primtall en noe fast angitt tall. Euklid gir så dette beviset: La A, B og C være de kjente primtall. Jeg påstår nå at det er flere primtall enn disse. Jeg tar nå det minste tall som A, B og C går opp i. dvs minste felles multiplum og kaller dette DE. Så legger jeg en enhet DF til DE, slik at jeg har DE DF = EF Nå vil EF enten være et primtall eller ikke. Dersom det er et primtall, er dette i tillegg til de tre andre flere enn det gitte antall tre.
Anta at EF ikke er et primtall. Det betyr igjen at et tall G vil gå opp i EF. Da påstår jeg igjen at A, B eller C ikke er lik G. For anta at det var slik at G var lik A, B eller C. Nå vil jo A, B, og C gå opp i DE. Derfor må G også gå opp i DE. Men G går også opp i EF. Dermed vil G også gå opp i differensen DF som jo er en enhet. Dette er en motsigelse av at G var et primtall. Dermed må G være et (nytt) primtall forskjellig fra A, B og C, og dermed i tillegg til disse.
Euklid konstruerer altså dette primtallet p = p p p3... p n n som produkt av en mengde primtall opp til p n og adderer til Ved en rekursiv teknikk kan vi på denne måten finne en følge primtall. Dersom vi starter med og 3, blir det neste 7. Tar vi så i neste omgang, 3 og 7, blir neste tall 43. På denne måten vår vi serien {, 3, 7, 43, 807,.}. Her er 807 = 3 39. Vi har nå funnet to nye primtall, 3 og 39 som ikke inngår i følgen.
Vi definerer altså et primtall som et tall som bare har og tallet selv som divisorer. Tallet er det minste av primtallene. Vi har tidligere sett at om vi starter med multipla av, vil vi finne at 3 ikke er inneholdt blant disse, 3 er følgelig et primtall. Tallet 4 er inneholdt i multipla av, mens 5 ikke er multiplum hverken av eller 3. Slik kan vi fortsette å kartlegge primtallene. Tankegangen her kan vi utnytte i det som kalles Erathostenes sold eller sil. Vi skriver opp alle tall opp til f eks 00. Tallet er første primtall - vi stryker så alle multipla av, 3 er neste primtall vi stryker så alle multipla av 3, og slik fortsetter vi oppover. De tallene vi ikke har strøket dvs de som ikke er multipla av mindre tall er primtall.
3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0
For å undersøke om et tall, a, er et primtall kan vi dividere med en suksessivt økende følge av primtall, men det er ikke nødvendig å gå lenger enn til det høyeste primtall. Primtallene har vært utsatt for et ganske omfattende studium. Det gjelder spesielt primtallenes fordeling. Man har kunnet beskrive antall primtall innenfor gitt intervall [, x] med funksjonen Li( x) x = dt t ln Tabellen på neste side viser antall primtall i intervall opp til x sammenholdt med verdier av funksjonen
Intervall opp til 50 000 00 000 00 000 000 000 Antall primtall 5 34 9 593 7 985 78 499 Li (x) 5 67 9 630 8 036 78 68 Prosent 0.64 0.39 0.8 0.6 avvik
Vi kan for øvrig utvide uttrykket Euklid konstruerer til: p n n = 3... n =! Dette tallet kan ikke ha noe naturlig tall opp til og med n som divisor og må derfor være et primtall større enn n!. Vi skal så ta for oss et av de mest bemerkelsesverdige setningene i Euklid s elementer. Setning om de perfekte tall. Perfekte tall har summen av divisorer lik tallet. Et eksempel er 6, der vi har 6 = 3. Et annet er 8, der vi har 8 = 4 7 4.
Setning 36 i Bok 9 lyder slik: Dersom vi fører opp så mange tall vi måtte ønske (i en rekke), fra til til 4 osv hele tiden i fordobling, inntil summen er et primtall, vil denne summen multiplisert med det siste leddet i rekken være et perfekt tall. Vi skal ikke gå inn på Euklid s bevis for setningen, som er svært omfattende, men se litt på beviset fra en mer moderne synsvinkel, rekkeregningen på vår algebraiske form. I sin bevisførsel gjør Euklid bruk av den foregående setning 35 som gir summen av en geometrisk rekke.
I setning 36 sier altså Euklid at dersom vi har at er et primtall så vil tallet være et perfekt tall der: og Euklid viser nå på en interessant, skjønt svært omstendelig måte at siden han har så må vi og ha Ved å multiplisere med på begge sider, finner han: S n P n... = n n S n n n S P =... = n n... = n n ( ) ( ) n n n S...... ( ) = = n n n n n S S S... S n
Han må nå vise at tallet Pn = Sn ikke kan andre faktorer enn dem som er inneholdt i uttrykket. n S n = S n n ( n )... S = n Dette gjør han ved et kontradiksjonsbevis, i det han antar at tallet har en faktor x forskjellig fra disse: n S x m S n = n x = m n n n Nå er det bare tall i mengden {,,,... } som går opp i og x var forutsatt ikke inneholdt i denne mengden. n Dermed går x ikke opp i Dermed går heller ikke Sn opp i m. Da er et primtall, er det primisk til m. S n
Sn n Siden er primisk til m, må vi ha m. Euklid antar derfor videre at han i så fall har m = r n = n r Nå vet han at: : : og ved å multiplisere dividend og divisor i det siste forholdet med, finner han: r : n = S n : n r S n som han kan skrive som r n r n S (husk at dette gjør han geometrisk!) n = Sn Nå vet han fra før at høyresiden er lik x m. Dermed har han at r n r S n = x m (dette ser vi med kryssmultiplikasjon) Siden han har satt r m =, betyr den siste likheten at n r x = Sn som er en verdi x ikke kan ha. Dermed er hypotesen motsagt og P n kan ikke ha andre primfaktorer enn dem som er inneholdt i det nevnte uttrykket, og følgelig er et perfekt tall. S n r
På 5 tallet arbeider matematikere som Pierre de Fermat (60-635) og Marin Mersenne (588 648) videre med primtallene og de perfekte tallene. I et brev til Mersenne fremsetter Fermat tre setninger, der han bygger på en tabell som knytter de naturlige tallene til n -: 3 4 5 6 7 8 9. 3 7 5 3 63 7 55 5. Her finner han at følgende relasjoner synes å holde. Vi skal merke oss at Fermat ikke gir noe bevis for disse setningene, men sier at man umiddelbart vil innse riktigheten av dem:. Dersom eksponenten ikke er et primtall, vil det tilsvarende tallet pq heller ikke være et primtall, siden ( ) alltid er delelig med p q ( ) og ( )
. Dersom eksponenten n er et primtall, vil det tilsvarende tallet bare være delelig med det dobbelte av eksponenten i det vi har, n n ( ) : n = ( ) : n Dette er som man vil se et spesialtilfelle av Fermat s lille teorem: dersom p er et primtall og a er primisk til p, så er ( a p ) delelig med p - alternativt a p a (mod p). 3. Dersom eksponenten n er et primtall, vil det tilsvarende tallet bare være delelig med tall på formen (mn ). Hvis det tilsvarende tallet ikke har faktorer av denne formen, er det et primtall. To andre greske matematikere, Theon fra Smyrna og Nicomakos definerer også perfekte tall og Nikomakos nevner fire av dem, 6, 8, 496 og 88.
Mersenne som vi har omtalt tidligere, fremsatte påstanden om at tall på formen: p = n er primtall dersom n er et primtall. Nå er f eks 57 et primtall, men det ble påvist i 95 ved hjelp av en av de aller første regnemaskinene at 57 er et sammensatt tall. Det er lett å se at dersom n = m er et partall, har vi følgende etter konjugatsetningen: m m m p = = ( ) ( ) Det er noe vanskeligere å se at dersom n = rq er et odde - men sammensatt tall, er p et sammensatt tall. Vi starter med formelen for en geometrisk rekke: a a... a q = q a a Vi setter nå a = r. Dermed har vi i formelen ovenfor:
: ( r ) ( r )... ( Som vi kan skrive som ( r ) q = r ) q r q ( ) = r ( ) r r r r q (( ) )( ( ) ( )... ( ) ) Setter vi inn n = rq i formelen ovenfor, finner vi for dette leddet rq r q p = = ( ) som vi vet kan faktoriseres som ovenfor. Til slutt skal vise Fermat s lille teorem, og også nevne et teorem av Euler som er en generalisering av dette. Euler s teorem skal vi komme tilbake til i forbindelse med krypteringssystemer.
For binomialkoeffisientene må vi opplagt ha at de er delelige med p, når p er et primtall da p jo ikke kan gå opp i noen av de andre faktorene i nevner. Dette skal vi gjøre bruk av når vi beviser Fermat s lille teorem. Dette teoremet sier: Når p er et primtall, har vi at a p a (mod p). Dvs a p = p m Vi skal vise teoremet ved et induksjonsbevis. La oss anta at teoremet er bevist for a. Nå har vi: )!!(! n p n p n p = =... 3 ) ( 3 p p p p p a p a p a p a a
som vi kan skrive som: {.} p p ( a ) = a p restledd p og dette gir oss: ( a ) a (mod p) a p Vi kan også formulere teoremet slik: (mod p) Leonhard Euler formulerte i 747 en generalisering av dette som vi skal se senere.
RESTKLASSER KONGRUENSREGNING Anta at vi har sammenhengen: a = k n og r b = p n r Der a, b, k, n, r og r alle er hele tall. Ved divisjon med n har tallene a og b restene og Dersom vi adderer tallene a og b, finner vi: a b = ( k p) n ( r r ) Dersom vi multipliserer tallene, finner vi: a b ) = k p n ( k r p r ) n r r = = k p n ( k r p r n r r [ ] r r Vi finner da reglene, om vi adderer to tall som har restene s og t ved divisjon med n, vil summen ha resten (s t), og dersom vi multipliserer, vil produktet har resten s t.
Dersom vi dividerer med 7, ser vi at tallene 8 og 9 har samme rest, nemlig. Tilsvarende har 9 og 30 samme rest,. Tallene 0 og 3 har resten 3. Dette skriver vi slik: 8 (mod 7) leses modulo 7 9 (mod 7) 0 3 (mod 7) Når vi skriver 3 9 (mod 4) leser vi dette som 3 og 9 er kongruente modulo 4 og med dette mener vi at de har samme rest ved divisjon med 4, nemlig 3. En annen måte å betrakte det på er å si at 3 og 9 er kongruente modulo 4 fordi differensen (3-9) = er delbar med 4.
Generelt har vi altså: a b (mod n) n (a b) Vi illustrerer det med dette eksemplet: 77 4 (mod 9) 77 = 7 5 = 9 8 5 og 4 = 36 5 = 9 4 5 Vi har da: (77 4) = (9 8 5) (9 4 5) = 9 4 Vi kan nå undersøke disse påstandene: d a d ab d a d b d a b d a d b d a -b
Vi har disse regnereglene som gjelder for kongruenser: Dersom vi har a b c d (mod n) gjelder () a b c d (mod n) () a b c d (mod n) a c k k (3) (mod n) Vi arbeider i mengden av hele tall, Z, noe som gjør at vi kan arbeide med kongruenser med negative tall. Dette skal vise seg å være en stor fordel.
Vi har for eksempel 43 = 3 0 43 0 (mod ) 43 = 4-43 - (mod ) Ved kvadrering av 43 kan vi da gå to veier: 43 0 43 ( ) 00 (mod ) (-) =. Nå skal vi bruke regel (3) sammen med kongruenser med negative tall på et eksempel: Vi har at 34 - (mod ) dette gir oss etter (3) 8 34 ( ) 8 (mod )
8 34 ( ) 8 (mod ) Vi har at 0 = 04 og 04 4 (mod ) 80 8 80 8 Nå er ( ) = 04 og ( ) 4 (mod ) Videre er 4 8 = 65536 4 (mod ) Dermed finner vi at 34 8 ( ) 4 = 8 og 8 4 (mod )
Restklasser og restsystem. To hele tall sies å tilhøre samme restklasse modulo n når de er kongruente modulo n. Mengden av de hele tall inndeles derfor i n restklasser modulo n, svarende til de n mulige verdiene vi kan få for rest etter divisjon med n, 0,,,, n -. Dersom vi ser på tallene opp til, tilhører 3, 6, og 9 samme restklasse modulo 3, tilsvarende tilhører, 4, 7 og 0 samme restklasse modulo 3, tallene, 5, 7 og tilhører samme restklasse modulo 3. Disse tallene gir i rekkefølge 0,, og ved divisjon med 3. Vi sier nå at disse n restklasser modulo n danner et fullstendig restsystem modulo n. Tallene 0,,, 3,., n danner altså et slikt restsystem modulo n
Vi skal vise en setning angående restklasser, men illustrerer dette først med et eksempel: Her starter vi med tallene 3 og 5 som er innbyrdes primiske. Vi velger i tillegg det hele tallet 4 og konstruerer summer av 4 og multipla av 3. Vi ser da på disse tallene: 4, 3 4, 3 4, 3 3 4, 4 3 4, som gir 4, 7, 0, 3, 6. Studerer vi disse modulo 5, finner vi: 4 4 mod 5, 7 mod 5, 0 0 mod 5, 3 3 mod 5, 6 mod 5, Disse tallene, 4, 7, 0, 3, 6, representerer altså også et fullstendig restsystem modulo 5.
Anvendelse av delelighetsreglene Vi skriver T(n) for tverrsummen av tallet n skrevet i 0-tall systemet. Vi viser først at a 0 m a (mod 9) Vi har 0 (mod 9) m Regneregel (3) gir oss da 0 (mod 9) Regneregel () gir oss da: a 0 m a (mod 9) k Regneregel () gir oss da: n = a 0 a T ( n) (mod 9) n k = 0 k n k = 0 k Dermed har vi vist at n T(n) (mod 9)
Vi skal vise et interessant teorem kjent som Fermat s lille teorem, også kjent som et spesialtilfelle av et mer generelt teorem av Euler Gitt et vilkårlig a som ikke er delbar med primtallet p, da har vi følgende: a p (mod p) Vi skal føre beviset som et induksjonsbevis. Vi har først: a p (mod p) a p a (mod p) Teoremet gjelder åpenbart for a =. Vi forutsetter derfor i det følgende at teoremet gjelder for a, og vil vise at da gjelder det for (a )
Vi har nå ( a ) p = a p a Siden alle binomialkoeffisientene inneholder p som faktor, har m vi for alle ledd etter a: a p 0 (mod p) Dette gir oss da: p p p a p m p p a 3 p 3... p p ( a ) a p ( a ) ( a ) (mod p) (mod p) ( a ) p (mod p).
Leonhard Euler (707-783) formulerte i 747 en generalisering av dette teoremet til Fermat Han definerer en ϕ(n) som antall naturlige tall mindre enn n som ikke har felles faktor med n. for et primtall p, har vi ϕ(p) = p Dersom vi har to primtall p og q, kan vi vise at ϕ(p q) = (p )(q -) Nå kan vi skrive Euler s teorem på denne formen: ( pq) a ϕ = a ( p )( q ) (mod pq) Der a og pq ikke har felles faktor.
Til sist skal vi se på et interessant teorem, det såkalte Wilson s teorem som første gang ble bevist av Lagrange. Vi tar ikke med beviset her. Dersom p er et primtall, har vi, p [(p )! ]. Dette kan vi formulere som (p )! (mod p) Alternativt: ( p )! p vil alltid bli et helt tall når p er et primtall
KRYPTOGRAFI Vi skal her se på noen enkle former for kryptografering. Det første prinsippet vi skal to for oss er en additiv kode. Her får hver bokstav et nummer. Den kodede bokstaven til en nøkkelbokstav blir da en bokstav med nummer lik nøkkelbokstavens nummer pluss et fast tillegg. Dersom vi nummerer bokstavene,, osv fra A, og bruker tillegg 4 vil vi kode EUKLID som IYOPMH E 5 4 = 9 I U 4 = 5 Y K 4 = 5 O L 4 = 6 P I 9 4 = 3 M D 4 4 = 8 H
Vi får imidlertid et problem. Når vi har 9 bokstaver i alfabetet og nummeret til den kodede bokstaven blir større enn 9. Det er da vi kan benytte oss av kongruensregning. Nå nummeret til nøkkelbokstaven er m, og tillegget er d, finner vi nummeret til den kodede bokstaven n, som m d = n (mod 9) Vi får imidlertid et bedre system ved å bruke en multiplikativ kode. Da multipliserer vi nøkkelbokstavens nummer med en fast faktor. Vi skal se på dette systemet: A 5 = 5 5 (mod 9) O B 5 = 30 (mod 9) A E 5 5 = 75 7 (mod 9) Q L 5 =80 6 (mod 9) F
Både den additive og den multiplikative kode kan forbedres ved at tillegg og faktor ikke er faste, men varierer enten periodisk eller i et på forhånd avtalt mønster. E 5 7 = 35 6 (mod 9) F U 9 = 89 5 (mod 9) 0 K = (mod 9) V L 7 = 84 6 (mod 9) Z I 9 9 = 8 3 (mod 9) W D 4 = 8 8 (mod 9) H
Et annet prinsipp for kryptografi er permutasjon dvs at numrene for bokstaver i alfabetet systematisk kastes om. La oss si at en gruppe på 5 bokstaver f eks HERON som svarer til numrene 8-5- 8-5-4, utsettes for en omkastning 8-8-5-4-5: H 8 8 R E 5 8 H R O 8 5 O 5 4 N N 4 5 E En slik omkastning er gitt ved en kodenøkkel eller krypteringsnøkkel. På tilsvarende måte må det finnes en omvendt omkastning, en dekodenøkkel eller en dekrypteringsnøkkel.
I det følgende skal vi forenkle alfabetet noe og bare se på de fem første bokstavene, A,B,C,D,E, F som vi nummerer,, 3, 4, 5, 6 Vi lar nå numrene være eksponenter i potenser av 3 og regner modulo 7. Da finner vi denne tabellen: n 3 4 5 6 3 n 3 9 7 8 43 79 m 3 6 4 5 Fra denne tabellen, krypteringsnøkkelen, kan vi konstruere en dekrypteringsnøkkel.
Vi skal nå se hvordan vi kan bruke teorien for Diofantiske ligninger til dekryptere en kodet melding der vi vet multiplikator. Vi antar nå at vi kjenner multiplikator = 7. Vi koder nå først N som har nummer 4. 4 7 = 38 = 8 9 6 Nå vet den som får den krypterte meldingen at den kodede bokstaven er F som har nummer 6. Det gir ligningen: 7a 6 (mod 9) som vi kan skrive som 7a 9 b = 6 Som igjen svarer til den diofantiske ligningen 7x 9 y = der a = 6x og b = 6y
7x 9 y = 9 = 7 = 9 7 7 = 5 5 = 7 = 5 = 5 5 = = 5 Så nøster vi opp: = 5 = (7 ) ( 5) =7 3 4 5 = 7 3(9 7) 4(7 ) = 8 7 3 9 4 = 7 3 9 4 (9 7) = 7 7 9 Dette gir oss løsningen av den partikulære ligningen: (a, b) = (7, 4)
I tillegg kommer løsningene av: 7e 9f = 0 Dermed finner vi for den fullstendige løsningen x = 7 9n y= 4 7n For å finne en x som ligger i mengden {,..,9} setter vi n = Da finner vi x = 4 En annen måte for å danne krypteringsnøkler finner vi ved å se på multiplikasjonstabeller modulo et primtall
Vi kan sette opp addisjons- og multiplikasjonstabeller for kongruensregning. Tabellene for regning modulo er ganske enkle. For regning modulo 3 finner vi for addisjon og multiplikasjon: 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ser vi på tabellutsnittet for [, ] for multiplikasjonstabellen ser vi at dette er en permutasjon av,. Vi tar for oss multiplikasjon modulo 5 som er et primtall og ser bare på tabellutsnittet for [,, 3, 4]
.. 3 4 3 4 4 3 Vi ser nå at tabellen gir alle permutasjoner av {,,3,4}. Vi ser også at tabellen er symmetrisk om begge diagonalene. Hvorfor? Vi ser også at dersom vi betrakter en rad som en bestemt permutasjon av {,,3,4}, vil en annen rad gi den motsatte eller inverse. Hva er sammenhengen?. Vi ser at å multiplisere med og deretter med 3, fører tilbake til utgangspunktet. x 3 = 6 x (mod 5) 3 3 4 4 4 3
Vi ser så på potenser av modulo 5: 3 4 5 6 7 8 4 8 6 3 64 8 56 4 3 4 3 Vi ser så på potenser av 3 modulo 7 3 4 5 6 7 8 9 3 9 7 8 43 79 87 656 9 683 4 6 4 5 3 6 Vi ser at i begge tilfelle danner restene en permutasjon av tallene opp til p
Vi skal så se på mer avanserte systemer. En av dem, det såkalte RSA systemet, bygger på Euler s setning som vi har nevnt tidligere. Vi husker at vi der definerte en ϕ(n) som antall naturlige tall mindre enn n som ikke har felles faktor med n. Vi husker også at for et primtall p, har vi ϕ(p) = p Dersom vi har to primtall p og q, kan vi vise at ϕ(p q) = (p )(q -) Nå kan vi skrive Euler s teorem på denne formen: ( pq) a ϕ = a ( p )( q ) (mod pq) Der a og pq ikke har felles faktor. Først skal vi imidlertid illustrere prinsippet med et eksempel
Vi velger to primtall, f eks 7 og 3, som har produkt 9. Av dette finner vi ϕ(9)= 7. Der etter velger vi to tall slik at produktet får til rest ved divisjon med 7, f eks 9 og 5, som har produkt 45. Vi har da nemlig: 45 = 7 Nå krypterer vi f eks 3 som 3 9 6 (mod 9) Når vi dekrypterer 6, går vi frem slik: 6 5 3 (mod 9) Forklaringen på denne prosessen er: (3 9 ) 5 = 3 45 = 3 7 = (3 7 ) 3 og videre har vi 3 mod (9)
Alle bøker klassifiseres etter den såkalte ISBN koden. Denne koden består av et 0 sifret tall. Vi kan kontrollere denne koden ved hjelp av kongruensregning. Vi skriver de 0 sifrene som x, x, x,..., { 3 x0 } Kontrollen ligger nå i at denne kongruensligningen skal være oppfylt x x 3x3... 0x0 0 (mod ) Vi skal se på et eksempel. Number Theory av Andrews har ISBN nummer: 0-76-55-5. Setter vi dette inn i ligningen, finner vi summen 09 som er 9. Denne koden er et eksempel på en feilrettingskode.
Det norske personnummersystemet er en tilsvarende feilrettingskode. Personnummeret vårt består av sifre, de seks første er fødselsdato og de tre neste er et personlig nummer som skiller mellom mennesker født på samme dato. De to siste er kontrollsiffer og regnes slik: (mod ) (mod ) De tre kontrollsifrene må velges slik at man unngår å få 0 som rest ved divisjon med, 9 8 7 6 5 4 3 0 9 6 7 3 0 5 4 8 x x x x x x x x x x 0 9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 9 8 7 6 x x x x x x x x x x x
En feilrettingskode er et system for å sikre at en kode overføres fra sender til mottager uten feil dvs at et tegn ikke overføres korrekt. Dersom det dreier seg om et kodet budskap, er det ikke nødvendig å kjenne budskapet eller klarteksten for å gjennomføre feilrettingen. De eksemplene vi har vist, ISBN-koden og personnummersystemet, bruker altså kongruensregning for å avsløre eventuelle feil.