Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1 x x dx Løsning oppgave 1.1 a) x + x + 1dx 1 x + 1 x + x + C (1) x + x + x + C (). b) e 4x + x dx 1 4 e4x + ln x + C () 1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1. c) 1 1 x x dx x 1 ] x 1 1 1 ] 1 (1) 1 ] (1) 4 8 ] 1 1 ] 1 6 16 ] 6 6 ] 6 4 6 5 6 9 6 (4) (5) (6) (7) (8) (9) (1) Oppgave Funksjonene f og g er gitt ved f(x) x 1x + 16 (11) g(x) x + 4 (1) a. Tegn grafene til f og g i det samme koordinatsystemet. b. Finn ved regning arealet av det omrdet over x-aksen og som er avgrenset av grafen til f og y-aksen. c. Finn arealet av det omrdet under x-aksen som bare er avgrenset av grafene til f og g. (1) Versjon:19. oktober 1 /1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 4 Løsning 4.1 a) 4. b) Føst må vi finne nøyaktig hvor f skjærer x-aksen. Dette er når f(x) Vi bruker verdien nærmest y-aksen, x. f(x) (14) x 1x + 16 (15) x 1 ± 1 4 1 16 (16) x 1 ± 6 (17) x og x 8 (18) ] 1 x 1x + 16dx x 5x + 16x (19) ( ) 1 5 + 16 () () 8 + 8 6 + 96 8 6 + 96 44 (1) () Versjon:19. oktober 1 /1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 4. c) Vi må først finne skjæring mellom f og g. f(x) g(x) () x 1x + 16 x + 4 (4) x 8x + 1 (5) x 8 ± 64 4 1 1 (6) 1 x 8 ± 64 48 (7) x 8 ± 4 (8) x og x 6 (9) Vi kan se fra funksjonsutrykket til g(x) at denne alltid ligger i fjærde kvadrant. f(x) vil alltid ha lavere verdi mellom skjæringspunktene. Derfor vil g(x) ligger over f(x) i området fra x, 6]. Integralet blir derfor g(x) f(x)dx 6 6 (x + 4) (x 1x + 16)dx () x + 8x 1dx (1) 1 ] 6 x + 4x 1x 1 ] 6 + 4 6 1 6 1 ] + 4 1 16 ] + 4 6 7 8 ] + 16 4 16 ] + 144 7 8 ] 8 16 ] 7 + 144 8 8 ] 16 + 4 16 ] 8 4 ] + () () (4) (5) (6) (7) (8) (9) Versjon:19. oktober 1 4/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 5 Oppgave Formelen for en sirkel med sentrum i origo er gitt ved En funksjon er gitt ved x + y r (4) f(x) 9 x, x, ] (41) a. Tegn grafen til f. b. Hva slags flatestykke er avgrenset av grafen til f og de to koordinataksene? c. Vi dreier dette flatestykket 6 o om x-aksen. Finn ved integrasjon volumet av den gjenstanden vi da fr. d. Kontroller svaret i oppgave c uten integrere nr du fr oppgitt at volumet V av en kule med radius r er V 4 πr 6 Løsning oppgave 6.1 a) 6. b) Flatestykket er en kvart av en sirkel. Formelen f(x) 9 x kan utledes fra x +y r. Sirkelen har derfor en radius på 6. c) Vi skal finne dreievolumet og bruker da at V π f(x) dx Versjon:19. oktober 1 5/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 6..1 d) Volumet blir det samme. V π π ( dx 9 x ) π 9 x dx (4) 9x 1 x ] π (9 1 ] 7 ( ] 9 1 ]) ) (4) (44) π 7 7 (45) ( 81 π 7 ) (46) π 54 (47) 18π (48) V 1 ( ) 4 πr 1 1 ( ) 4 π 7 (49) 18 π (5) 54 π (51) 18π (5) Versjon:19. oktober 1 6/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 Del Hjelpemidler: Formelsamling Kalkulator Wiki 7 Oppgave 4 a. Finn integralene (I) x sin(x)dx (II) x x+5 x+1 dx b. Finn de bestemte integralene (I) ln 5 e x ln (II) 4 dx (e x +) 4x x +x dx 8 Løsning oppgave 4 Her er det to funksjoner multiplisert med hverandre. Vi setter u x og v sin(x) Da har vi at 8.. a,i) u x u 1 v 1 cos(x) v sin(x) u v dx u v x ( 1 cos(x) ) (5) u vdx (54) ( 1 ( 14 )) sin(x) (55) 1 4 x cos(x) + 1 sin(x) (56) 8 8.. a,ii) Først må vi polynomdividere (x x +5 : x + 1) (x ) + 8 x+1 x +x x +5 x 8 Da har vi skrevet om utrykket, og kan integrere (57) x + 8 x + 1 dx 1 x x + 8 ln x + 1 + C (58) Versjon:19. oktober 1 7/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 8.1 b,i Her bør vi bruke integrasjon med substitusjon Da får vi de nye grensene u e x + (59) du dx ex (6) du e x dx (61) u e ln 5 + 7 (6) u e ln + 4 (6) 7 4 1 u du 7 4 u du (64) u 1] 7 4 (65) 1 7 + 1 4 (66) 4 8 + 7 8 8 (67) (68) 8. b,ii Her må vi delbrøkoppspalte 4x x + x x + + 1 x 1 (69) Da kan vi integrere Versjon:19. oktober 1 8/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 4 x + + 1 4 x 1 dx 4 x + dx + 1 dx x + 1 (7) ln x + ] 4 + ln x + 1 ]4 (71) ln 4 + ln + ] + ln 4 + 1 ln + 1 ] (7) ln 7 ln 5 ] + ln 5 ln ] (7) ln 7 ln 5 ] + ln 5 ln ] (74) ln 7 ln 5 + ln 5 ln (75) ln 7 ln 5 ln (76), 11 (77) 9 Oppgave 5 En forretning selger vintersportsutstyr. Etter var salget S(x) i millioner kroner per mned x mneder etter nyttr gitt ved ( π S(x) 6 + 4cos 6 x π ), x, 1] (78) a. Tegn grafen til S b. Finn ved regning det totale salget dette året c. Finn det gjennomsnittlige salget per mned 1 løsning oppgave 5 1.1 a) 1. b) Her må vi integrere over hele året Versjon:19. oktober 1 9/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 1 ( π 6 + 4 cos 6 x π ) dx 6x + 4 ( π π sin 6 x π ) ] 1 (79) 6 1 + 4 (π π sin π ) ] 4 ( π sin π ) ] (8) 7 + 4 (π π sin π ) ] 4 ( π sin π ) ] (81) 7 + 4 ] 4 ] (8) π π 7 4 π + 4 π (8) 7 (84) 1. c) Det blir solgt varer i 1 måneder for 7 millioner. Gjennomsnittlig salg blir da 7 1 6 11 Oppgave 6 En funksjon f er gitt ved a. Finn nullpunktet til f b. Vis at f(x) ln x x, D f, (85) f (x) ln x x x c. Finn de eksakte koordinatene til toppunktet til f d. Tegn grafen til f nr x, e. Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjene x e og x e Vi dreier dette flatestykket 6 o om x-aksen. Volumet V av den omdreiningsgjenstanden vi da fr er gitt ved Finn volumet e V π f(x)] dx e Versjon:19. oktober 1 1/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 1 Løsning oppgave 6 1.1 a) f(x) når ln x ln x (86) e ln x e (87) x 1 (88) 1. b) Dette er et rasjonalt utrykk. Vi må derfor fine u og v og bruke at ( ) u v u vuv v u ln x u 1 x v x v 1 x (89) Da kan vi løse derivasjonene 1. c) ln x x 1 x 1 x x ln x (9) x 1 x x 1 ln x x x ln x x x Toppunkt når f (x) da er ln x ( ) x x (91) (9) (9) ln x (94) ln x (95) x e (96) Beregner y verdi f(e ) ln e e e (97) Versjon:19. oktober 1 11/1
R Integrasjonsmetoder, timer 5. oktober 1 1.4 d) 1.5 e) e V π π Vi bruker integrasjon ved substitusjon e e e ( ln x x ) dx (98) (ln x) dx (99) x Nå kan vi bytte ut integrasjonsvariabelen V π Da kan vi beregne integralet u ln x (1) du dx 1 x (11) du 1 dx (1) x ( ) 1 u du π u + C π 1 (ln x) + C (1) 1 V π (ln e ) 1 ] (ln e) (14) π 1 7 1] (15) 6 π 7, (16) Versjon:19. oktober 1 1/1