Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår. Vi kan ikke regne ut hva som kommer til å skje, men ved hjelp av sannsynligheter kan vi vurdere hva som er mest sannsynlige utfall av alternative beslutninger. Beste strategi i tilfeldige situasjoner er å velge det som gir best sannsynligheter, for det vil lønne seg "i detlangeløp". Begreper: Tilfeldighet, hending/hendelse, forsøk, resultat, utfall,mengder, sannsynlighetsmodell, avhengighet, betinget sannsynlighet, mm. Regneregler: P A B,P A B,P A B, Total sannsynlighet, Bayes setning Viktige tips: Bruk av figurer: Venndiagram, sannsynlighetstrær, tabeller Hendinger og mengder Matematikken gir oss i de andre naturvitenskapene tallmessig oversikt over hva som vil skje i eksperimenter, forsøk og virkelige situasjoner når vi kjenner en del forutsetninger og premisser. Resultatet er altså ofte forutsigbart. Når vi derimot kaster en terning, er det umulig å si noe sikkert om resultatet. Likevel er det fruktbart å kunne si noe om hva som kan skje og prøve å tallfeste de forskjellige mulighetene. Sannsynlighetsregning prøver å kvantifisere (tallfeste) tilfeldighet. Dette gjøres ved å angi en sannsynlighet (sjanse, odds) til de forskjellige, mulige resultater. Tilfeldig: Umulig å forutsi resultatet Eksperiment: Kaste en mynt og observere om vi får M eller K, kaste en terning og observere om vi får 6, kaste to terninger og observere summen av antall øyne, trekke 2 kuler fra en krukke og observere om de har lik farve, osv. Legg merke til at vi må angi både hva som skal gjøres og hva som skal observeres! Kaste en terning er intet stokastisk forsøk, vi må spesifisere hva som skal observeres: Observere antall øyne Observere om vi får like antall øyne Observereomvifår3 eller Ulven 200 1 sannsynlighet.tex

Utfall, elementær begivenhet: Et mulig enkeltresultat av et forsøk. Alle utfall er mulige, gjensidig utelukkende og utgjør tilsammen Utfallsformmet til et forsøk. Hendelse, hending, begivenhet: Samling av flere utfall, delmengder av utfallsrommet. Sannsynlighet: Tall mellom 0 og 1 (0 og 100% brukes av vanlige folk, men ikke matematikere/statistikere!). At sannsynligheten for å få 6 med et terningkast er P X 6 1 betyr i praksis at 6 hvis vi gjentar eksperimentet 6000000 ganger, så kan vi regne med at ca. 1000000 av kastene gir sekser. ( De store talls lov ) Eksempler: Gjøremål: Observasjon: Utfallsrom med utfall: Eksempler på hendelser: A. Kaste mynt Kron eller mynt S {M,K} {M},{K},{M,K} B. Kaste terning Sekser? S {J,N} {J},{N},{J,N} C. Kaste terning Antall øyne? S {1,2,3,,,6} {1},{2,,6},{1,3,} D. Kaste to terninger Sum øyne? S {2,3,,,6,7,8,,10,11,12} {7},{3,6,,12} E. Undersøke lyspære Hvor lenge lyser den? S 0, 0,1000, 1000, F. Trekke ut en rekrutt Observere høyde S 10,20 (f.eks.) 180,20, 10, 180 Legg merke til: A.,B.,C. og D. har endelige utfallsrom, E. og F. har uendelige utfallsrom A.,B.,C. og D. har diskrete utfallsrom, E. og F. har kontinuerlige utfallsrom I E. og F. kan ikke utfall defineres (f.eks. 180), kun hendelser (f.eks. 17., 180. ) da ingen lyspære varer nøyaktig 180 timer og ingen rekrutt er nøyaktig 180 cm. Må angi intervaller i disse to tilfellene. Hendelsen {M,K} angir ikke noe som kan skje (umulig å få M og K samtidig), men en samling av flere mulige utfall.vi kan derfor si at P({M,K}) 1, da enten M eller K må skje. Notasjonseksempler med mengder: A.: P M 1, P M,K 1, P 0 2 C.: P 2,,6 1 2 eller L 2,,6 : Likeantalløyne U 1,3, : Ulikeantalløyne Ulven 200 2 sannsynlighet.tex

P L 1 2, P U 1 2 D.: L 2,,6,8,10,12 : Liketall D3 3,6,,12 : Delelig med 3 P L 18 12, P D3 (Se lenger ned hvis du ikke skjønner hvorfor.) Kommentar: Når vi har utfall (6) skriver vi: P X 6 Når vi har hendelser skriver vi: P A når vi mener P X A Sannsynlighetsmodeller Som sagt: Hvis P(seks) 1 6, så betyr dette at ca. 1 6 av et stort antall kast vil gi seks. Dette kan formuleres som De Store Talls lov: " P seks lim n antall seks n 1 6 " (Anførselstegn, da dette ikke er helt riktig, korrekt formulering er: antall seks lim n P n 1 1 6 Hvis det første uttrykket hadde vært riktig, hadde vi hatt determinisme istedenfor tilfeldighet! Dette problemet, som bøker ikke nevner, er faktisk utgangspunktet for at man isteden valgte å definere sannsynlighetsregningen aksiomatisk (matematisk), ikke empirisk (De Store Talls lov). Da gjør man seg uavhengig av, og trenger ikke ta hensyn til problemene med de store talls lov. Aksiomene baserer seg altså ikke på de store talls lov, men vi kan utlede de store talls lov (korrekt formulering) ut fra aksiomene. Viktige resultater: (Aksiomene!) Motsatt sannsynlighet: P(A 1 P A er viktig fordi det ofte er letter å regne ut det motsatte av det det spørres om! Addisjonssetningen: P A B P A P B P A B når A og B ikke er disjunkte, dvs A B ikke er tom mengde. Ulven 200 3 sannsynlighet.tex

Produktsetningen: P A B P A P B når A og B er uavhengige, dvs når hendelsene A og B ikke influerer på hverandre. (Avhengighet: Se betinget sannsynlighet senere.) Når vi skal finne sannsynligheter, er de vanligste mulighetene: Empirisk sannsynlighet: Brukes når det er umulig å utlede noen teoretisk sannsynlighet. Da må vi basere oss på erfaring. P(guttefødsel) er litt større enn P(jentefødsel) og tallfestingen av disse er kun basert på empirisk vurdering av fødselsstatistikker. Tegnestifteksemplet må også undersøkes empirisk. (Sannsynligheten for at en tegnestift skal lande med spissen opp.) Geometrisk/Symmetrisk sannsynlighet: P X 6 p 1 for et terningkast er basert på at alle utfall er like sannsynlige, da det rent 6 geometrisk ikke er noen grunn til at et resultat skal være mer sannsynlig enn de andre.med 6 like sannsynligeutfallmådap p p p p p 1 p 1 6 Tilfeller med like sannsynlige utfall kalles Uniforme sannsynlighetsmodeller. Her gjelder den viktige huskeregelen: Sammensatte sannsynligheter: P noe skjer antall gunstige enkeltutfall antall mulige enkeltutfall I mer komplekse tilfeller må man se på modellen som en sammensetning av uniforme modeller, slik at p gunstige kan brukes. Det vil si at utfall i det forsøket vi studerer betraktes som mulige hendelser satt sammen av utfall i et enklere, uniformt forsøk! Eksempel på sammensatte sannsynligheter: E. Kast med to terninger hvor summen av øyne studeres. Utfallsrom: S 2,3,,,6,7,8,,10,11,12 Utfallene her kan sees på som hendelser i et annet forsøk, nemlig kast med to terninger hvor man observerer øyne og i hvilken rekkefølge vi fikk dem. I dette forsøket har vi utfallsrommet: S { Ulven 200 sannsynlighet.tex

1,1 1,2 1,3 1, 1, 1,6 2,1 2,2 2,3 2, 2, 2,6 3,1 3,2 3,3 3, 3, 3,6,1,2,3,,,6,1,2,3,,,6 6,1 6,2 6,3 6, 6, 6,6 } og dette utfallsrommet er uniformt med p 1. Utfallet 7 er f.eks. hendelsen {(6,1),(,2),(,3),(3,),(2,),(1,6)} i det uniforme forsøket. Vi får P 7 P 6,1 P,2... P 1,6 p p p p p p 6 (da utfallene i det uniforme forsøket er disjunkte) Vi får sannsynlighetsfordelingen: x 2 3 6 7 8 10 11 12 P X x 1 2 3 6 3 2 1 Betinget sannsynlighet Her anbefaler jeg meget sterkt at dere lærer dere til å bruke tabeller og sannsynlighetstrær, slik det blir vist lenger ned! Reglene for betinget sannsynlighet er særlig aktuelle ved sammensatte hendelser og forsøk som går i flere trinn, eller er sammensatt av flere forsøk Også aktuelt når man bare kjenner sannsynligheter for hendelser, altså sammensatte utfall. Forsøk: Trekke kort fra kortstokk og observere valør. E: Ess H: Honnørkort S: Spar Begrepet og notasjonen for betinget sannsynlighet er enkel nok: a) P Ess, når vi vet at det er en spar P E S (sier E gitt S) b) P Ess, når vi vet at det er en honnør P E H (sier E gitt H) Men hvordan regner vi det ut? a) Vi befinner oss i praksis i et redusert utfallsrom, nemlig de 13 forskjellige sparkortene. Av disse er bare ett ess og vi får P E S 1 eller forholdet mellom antall muligheter i E S; 1 13 og S; 13. 1 I et uniformt utfallsrom kan vi regne: 1 2 13 13 2 P E S P S b) Redusert utfallsrom er her de 16 honnørene, og da vi har ess får vi: P E H 16 som også kunne vært skrevet P E H 2 P H 16 2 16 Regel for betinget sannsynlighet: P A B P A B P B Ulven 200 sannsynlighet.tex

som gir to andre regler: P A B P B P A B eller P A B P A P B A Uavhengige hendelser Legg merke til at P E 1 som er lik P E S men forskjellig fra P E H. 2 13 Hendelsen E er derfor uavhengig av S, men avhengig av H. To hendelser A og B er uavhengige hvis: P A B A ellerpåenannenmåtep A B P A P B Betingede sannsynligheter kommer kanskje best frem hvis man tegner Venn-diagrammene som tabeller eller sannsynlighetstrær: Eksempel: Vi skal trekke en elev fra en gruppe på 100 elever, der vi har 60 jenter og 0 gutter. Av jentene røyker 18, av guttene 10. Vi tegner venndiagrammet som oppdelt i de fire mulighetene: J G R R R J R J R G R G Som kan illustreres med tabeller: J G Med antall: R 18 10 Med sannsynlighet: R 60 0 100 J G R 0.18 0.1 R 0.6 0. 1 Fordelen med tabeller er at vi kan regne ut det meste rett fra tabellen uten å tenke så mye på formlene med betinget sannsynlighet: P R J 18 60 0.18 og P J 0.6 100 100 P R J 18 0.18 P R J 60 0.6 P J Tilsvarende: P R G 10 0.1 P R G 0 0. P G Dessuten: P R 18 10 0.18 0.1 P R J P R G 100 Total sannsynlighet I mange oppgaver kan de betingede sannsynlighetene være oppgitt f.eks. slik: P J 0.6, P G 0., P R J 0.3 og P R G 0.2 I tabell: J G R 0.6 0.3 0. 0.2 R 0.6 0. 1 Ulven 200 6 sannsynlighet.tex

fordi P R J P J P R J 0.6 0.3 og P R G P G P R G 0. 0.2 Da kan vi regne ut P R P R J P R G 0.6 0.3 0. 0.2 0.28 Vi kunne også ha skrevet P R P J P R J P G P R G som er setningen for total sannsynlighet. (Forsøk på formulering: Hvis utfallsrommet er delt opp i D 1,D 2,...der D i er disjunkte og tilsammen utgjør hele utfallsrommet, så kan en mengde skrives som unionen: A A D 1 A D 2...) For oversiktens skyld, tabellen fullstendig utfyllt: J G R 0.18 0.1 0.28 R 0.2 0.3 0.72 0.6 0. 1 Legg merke til at summering av rader og kolonner stemmer hele veien. Dette gir gode muligheter for å kontrollere svar! Med sannsynlighetstre: Å trekke ut en person kan omformes til et såkalt to-trinns-forsøk der vi først undersøker kjønn og deretter undersøker om personen røyker. Dette kan illustreres med et sannsynlighetstre der alle muligheter listes opp slik: R J J R J R G G R G For å få en jente som røyker må vi først få en jente, deretter en jente som røyker, dvs først J og deretter R J hvilket fører til at P R J P J P R J 0.6 0.3 0.18 Tilsvarende P R G P G P R G 0. 0.2 0.1 Samler vi opp alle som røyker, uavhengig av kjønn, får vi: P R P R J P R G P J P R J P G P R G 0.18 0.1 0.28 Vi har igjen sett et eksempel på total sannsynlighet: Hvis utfallsrommet S er fullstendig oppdelt i O 1,O 2,O 3,...,O n og vi har gitt P A O 1, P A O 2,...,P A O n i tillegg til P O 1,P O 2,...,P O n har vi P A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n (Med fullstendig oppdeling mener vi at O-ene dekker hele S og at alle O-ene er disjunkte.) Dette kan illustreres slik med en tabell: Ulven 200 7 sannsynlighet.tex

O 1 O 2... O n A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n P A A P O 1 P O 2... P O n 1 Eksempel på et rent fler-trinns-forsøk: I rene fler-trinns-forsøk er det som regel sannsynlighetstre som gir best oversikt. Vi har en urne med 2 røde, 3 svarte og hvite kuler. Vi trekker to kuler og observerer farven og rekkefølgen vi trekker farvene i. Vi bruker notasjonen for hvit kule trukket først og H 2 for hvit kule trukket sist osv. Uten tilbakelegging: (Avhengighet) Vi trekker uten tilbakelegging og får derfor avhengighet, sannsynligheter for den andre kulen avhenger av hva den første var. Vi ønsker å regne ut sannsynligheten for at en, og bare en, av kullene er hvit. H 2 H 2 H 2 H 2 Sannsynligetstreet over viser at P(en hvit) kan settes sammen av hendelsene H 2 og H 2 og vi får derfor: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H 2 0 8 8 7 I tabell kan det fremstilles slik: H 2 H 2 3 8 8 8 8 1 Med tilbakelegging: (Uavhengighet) Hvis vi legger tilbake den første kulen før vi trekker den andre, vil sannsynligheter for den andre kulen være helt uavhengig av hva den første var, og vi kan bruke multiplikasjonsregelen uten betinging. Vi får samme sannsynlighetstreet, men i utregningen forsvinner alle betinginger: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H 2 0 81 Ulven 200 8 sannsynlighet.tex

I tabell blir det seende slik ut: H 2 H 2 1 Jeg håper disse eksemplene illustrerer at det er lettere å takle oppgaver med betinget sannsynlighet og setningen for total sannsynlighet, hvis dere alltid tegner sannsynlighetstrær eller tabeller. Tabellene har også den fordelen at det er lett å kontrollere om man har regnet riktig. Med sannsynligheter i alle ruter skal alle vannrette og loddrette summer stemme og til slutt gi 1 nederst i høyre hjørne. Kombinatorikk Kombinatorikk er læren om hvordan vi kan gruppere og ordne et utvalg av elementer, og brukes til å regne ut sannsynligheter. Hvis vi trekker ut r elementer fra en mengde på n elementer, har vi hovedtilfeller: Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet n r n r Uordnet n r 1 n r r Tips: Prøv å gjøre om alle kombinatorikkoppgaver til et lappetrekkingseksperiment, der du skal trekke ut r av de n lappene. Still deg selv spørsmålene: Spiller rekkefølgen på de r uttukne lappene noen rolle? (Ordnet/uordnet utvalg?) Kan samme lappen trekkes flere ganger? (Med/uten tilbakelegging?) Eksempler: MTL/O Det skal spilles fotballkamper i en serie, hvor mange utfall kan vi få? Har n 3 lapper hvor vi har skrevet H,U eller B. Trekker r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, fordi hver lapp er resultatet på en spesiell kamp. Vi må legge tilbake lappen vi trekker hver gang, da flere kamper kan få samme resultat. Altså: Ordnet, med tilbakelegging: n r 3 23 UTL/O Vi har 28 elever og skal ta ut et stafettlag på personer. På hvor mange måter kan dette gjøres? Skriver navnene på n 28 lapper. Trekker ut r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, forskjell på å bli trukket ut til første eller siste etappe. Hver løper kan trekkes ut bare en gang. Altså: Ordnet, uten tilbakelegging: n r 28 28 27 26 2 100 LR: 6 npr UTL/U: Du skal trekke ut kort fra en kortstokk. Hvor mange forskjellige hender kan du få? Kortstokken er allerede n 2 lapper, ferdig påskrevet. Rekkefølgen spiller ingen rolle, du har den samme hånden uansett hvordan du stiller den opp. Hvert kort kan bare trekkes en gang. n 2 Altså: Uordnet, uten tilbakelegging: r 2 1 0... 0 630100 13 13 12 11... 1 LR: 2 nc 13 MTL/U: (Egentlig ikke pensum, sjelden variant, men for fullstendighetens skyld) Du skal kjøpe r 10 aksjer fra n 1 forskjellige selskaper. På hvor mange måter kan du sette opp porteføljen din? Ulven 200 sannsynlighet.tex

Rekkefølgen spiller ingen rolle. Du kan kjøpe samme aksje flere ganger. n r 1 1 10 1 Altså: Uordnet, med tilbakelegging: r LR: 2 nc 10 Sannsynlighetsfordelinger To viktige sannsynlighetsfordelinger ble introdusert i vg1: 10 2 23 22... 1 10 8... 1 16126 Binomisk fordeling: Forsøk: Kaste en mynt n ganger og observere antall kron. P K P M 0. Sannsynligheten for å få x kron blir da: P X x n x p x 1 p n x x 0. x 0. x Formelen kan utledes ved kombinatorikk. La oss se på muligheten for å få 3 kron. Mulige forsøksserier er f.eks. KKKMM, KKMMK, KMMKK osv. Sannsynligheten for å få akkurat en av disse blir da 0. 3 0. 2 Vi innser at vi har slike serier, da vi kan få seriene ved å trekke ut n forskjellige 3 plasseringer for r 3 kron som en uordnet trekning uten tilbakelegging. Hypergeometrisk fordeling: En klasse har N 28 elever hvorav A 10 er jenter. Vi trekker ut n elever. Hvaer sannsynligheten for at x av disse er jenter? Her får vi A N A 10 P X x x n x x N n 28 10 x 28 Hypergeometrisk fordeling: Avhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker uten tilbakelegging! Binomisk fordeling: Uavhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker med tilbakelegging. (Eller har så stor n at sannsynligheten holder seg konstant uansett.) I begge tilfeller gjør vi n enkeltforsøk med bare to utfall og teller antall suksesser tilsammen i alle enkeltforsøkene. Ulven 200 10 sannsynlighet.tex