Statikk og likevekt Elastisitetsteori.05.05 YS-MEK 0.05.05
man uke 0 3 forelesning: 8 5 elastisitetsteori gruppe: gravitasjon+likevekt innlev. oblig 0 forelesning: spes. relativitet gruppe: spes. relativitet Pinse 9 6 ingen forelesning orakel 4-6 Ø394 tir ons tor gruppe: gravitasjon+likevekt 3 0 7 3 forelesning: spes. relativitet gruppe: gravitasjon+likevekt 4 8 4 Himmelfart gruppe: spes. relativitet forelesning: repetisjon gruppe: spes. relativitet gruppe: spes. relativitet gruppe: repetisjon ingen forelesning gruppe: repetisjon gruppe: repetisjon EKSMEN fre 5 9 5 ingen datalab datalab 4 V39 datalab 4 V39
Eksamen: Onsdag, 3. Juni, 4:30 8:30 Tillatte jelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og eneter i fsikk og teknikk eller* ngell, Lian, Øgrim: siske størrelser og eneter: Navn og smboler* Rottmann: Matematisk formelsamling* Elektronisk kalkulator av godkjent tpe. * ikke nødvendig ormelark er del av oppgaveteksten. Tidligere eksamensoppgaver: ttp://www.uio.no/studier/emner/matnat/fs/ys-mek0/v5/eks/eks.tml YS-MEK 0.05.05 3
Eksempel: stige krefter: gravitasjon G normalkreftene N, N friksjonskreftene, O N retning: N 0 retning: N G 0 L cos kraftmoment: N L Lsin G cos 0 O G N 3 ligninger men 4 ukjente: N, N,, problemet er ubestemt Når begnner stigen å skli? begge sider må begnne å skli samtidig YS-MEK 0.05.05 4
Eksempel: stige stigen sklir når = μ N og = μ N N N retning: O N retning: N G 0 G N N N N L cos kraftmoment: N L Lsin G cos 0 N N G tan G 0 N tan tan tan G G vis vinkelen er mindre begnner stigen å skli (uavengig av vekten til stigen) N G glatt vegg: μ = 0 glatt gulv: μ = 0 G N tan 90 YS-MEK 0.05.05 5
ttp://pingo.upb.de/ access number: 878 En stige (S) med masse M står mot veggen. riksjon mellom veggen og stigen er neglisjerbar. En person (P) med masse m klatrer opp stigen. aren for at stigen sklir blir N. større. mindre 3. er det samme kraftmoment om kontaktpunkt på gulvet: person klatrer opp større kraftmoment fra gravitasjon (positiv) trenger større kraftmoment fra N for at τ = 0 normalkraften N fra veggen øker friksjonskraften øker slik at = 0 faren for at stigen sklir øker G S G P N YS-MEK 0.05.05 6
ttp://pingo.upb.de/ access number: 878 En kiste står på et skråplan. Massesenteret er markert med et punkt. I vilken av de fire tilfeller velter kisten (vis i det ele tatt)?.. B 3. C 4. D 5. og C 6. C og D 7. alle er stabilt YS-MEK 0.05.05 7
Eksempel: kiste på skråplan b En omogen kiste med masse m, bredde b og øde står på et skråplan med vinkel α. Hva er betingelser for likevekt? krefter på kisten: gravitasjon G retning: f mg sin α = 0 retning: N mg cos α = 0 normalkraft N friksjon f G N O c f kraftmoment om O: Nc + mg sin α b mg cos α = 0 c + tan α b = 0 c = betingelse (b tan α) kisten kan enten skli eller velte vis den velter er O den eneste kontaktpunkt og c = 0 for at kisten velter: tan α = b YS-MEK 0.05.05 8
Eksempel: kiste på skråplan b f mgsin kisten begnner å skli vis: kritisk vinkel: N mg cos f N c ( b tan) mgsin mg cos tan G N O c f samtidlig må være: c 0 b tan ellers ar kisten allerede veltet kisten begnner å velte vis: c 0 kritisk vinkel: b tan samtidlig må være: f N tan ellers ar kisten allerede sklidd eksempel: 0. 5 b 0. 4 kisten sklir ved a crit arctan( ). 8 b 0.6 kisten velter ved acrit arctan 6. 6 YS-MEK 0.05.05 9
Elastisitetsteori Hvordan blir faste stoffer deformert når de påvirkes av krefter? Vi ar så langt modellert deformasjoner med fjærkrefter: k YS-MEK 0.05.05 0
bjelke i likevekt: vi tenker oss en imaginær snittflate vi tenker oss en snittflate på en atomær skala 0 kraft mellom to atomer i retning: fjærkraft k( ) 0 bra tilnærming for små kubisk krstall YS-MEK 0.05.05
kraft på en snittflate med areal k( ) N N 0 z N l N z l spenning l tøning k l l k l E k l Elastisitetsmodul Youngs modul materialegenskap enet: N m Pa E Hookes lov YS-MEK 0.05.05
Elastisitetsmodul eksempler: stål 0 Pa = 00 GPa = 00 kn/mm bl 9 GPa silikon 0.05 GPa Eksempel Et lodd på kg enger i en ståltråd med mm diameter og lengden m. Hva er forlengelsen av tråden? spenning: mg kg 9.8 m/s.50-4 r (50 ) m 7 Pa E L L E -5 7.50 Pa m 6.50 0 Pa m 6.5 m YS-MEK 0.05.05 3
Spennings-tøningskurve plastisk deformasjon sammentrekning elastisk deformasjon brudd Hookes lov: E YS-MEK 0.05.05 4
tøning i retning: E tøning i retning: E tverrkontraksjonstall Poissons tall volumendring: V ( )( )( z z) z V V ( z) ( ) z ( ) z z z ( ) 0.5 0.0.3 volum er konstant for de fleste materialer YS-MEK 0.05.05 5
Skjærdeformasjon normalspenning: E skjærspenning: G G: skjærmodul skjærmodulen G er relatert til elastisitetsmodulen E og tverrkontraksjonstallet for isotrope materialer: G E ( ) YS-MEK 0.05.05 6
Vridning to motsatte kraftmomenter τ vrir en tråd om en vinkel φ torsjonsmodul: D r relatert til skjærdeformasjon D GR r l 4 G: skjærmodul YS-MEK 0.05.05 7
Bøing av en bjelke midtlinjen: den nøtrale linjen ovenfor komprimeres bjelken nedenfor forlenges bjelken forlengelsen l i avstand fra den nøtrale linjen: l ( R ) R l R l l R Hookes lov: ( ) E l l E R spenning i bjelken YS-MEK 0.05.05 8
en bjelke med øde og bredde b: nettokraft er null, men det virker et kraftmoment om O i r i i r d b ( ) d E R d E R I I d bøningen er gitt ved: flatetregetsmoment R I E τ: kraftmoment fra tre krefter E: materialegenskap I : geometrisk jo større flatetregetsmoment, jo større motstand mot bøning ( ) l E l E R : avstand fra nøtral linje YS-MEK 0.05.05 9
YS-MEK 0.05.05 0 Eksempel: flatetregetsmoment for en 4 cm trevirke: / / d b d I b 8 3 8 3 3 3 3 b b to orienteringer: 4 4 3 cm 3 8 cm 4 I 4 4 3 4 cm 3 3 cm 4 I I
ttp://pingo.upb.de/ access number: 878 En massiv bjelke og en I-bjelke av samme material og dimensjon er innspent i den ene enden og den andre enden er fri. Hvilen bjelke bøes mest? tverrsnitt av bjelkene. massiv bjelke. I-bjelke 3. det samme for begge b b YS-MEK 0.05.05
H H b I B BH 3 I B 3 3 ( BH b ) B H 0 cm b 9.4 cm 8 cm I 833 cm 00 cm 4 I 43 cm 4.8 cm 4 R I E YS-MEK 0.05.05