SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1
Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet på hypotenusen lik summen av arealene av kvadratene på katetene. Syns du dette virker «gresk»? Kanskje det blir enklere hvis vi tegner en rettvinklet trekant og skriver læresetningen på en litt kortere form C C b a Katet Hypotenus A c B A Katet B I en rettvinklet trekant med hypotenusen a og katetene b og c har vi at a 2 b 2 + c 2 Ofte sier vi dette enda enklere: «I en rettvinklet trekant har vi at hypotenusen i andre er lik kateten i andre pluss kateten i andre.» (hypotenus) 2 (katet) 2 + (katet) 2 2
Ligninger som inneholder x 2 Ligningen x 2 9 har to løsninger x 3 og x 3 fordi både 3 2 og ( 3) 2 er 9. Når vi regner med den pytagoreiske læresetningen, er svaret vi er ute etter, lengden av et linjestykke. Derfor benytter vi da bare den positive løsningen x 3. Oppgave: Regn ut lengden av a i trekanten. b 4 cm a? a er hypotenus. Da har vi ifølge «pytagoras»: a 2 b 2 + c 2 a 2 4 2 + 7 2 a 2 16 + 49 a 2 65 a 65 8,1 a 8 cm c 7 cm Trekant med vinkler på 30, 60 og 90 I en trekant der vinklene er 30, 60 og 90, er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den minste kateten. Tangeringspunkt Tangent Tangent En linje som har bare ett punkt felles med en sirkel, kalles en tangent. Punktet som er felles for sirkelen og tangenten, kalles tangeringspunktet. Tangenten står normalt på radien i tangeringspunktet. 3
Arealet av en sirkelsektor Arealet av en sirkelsektor kan vi finne med formelen A πr2 n 360 r n Når er to vinkler like store? u Toppvinkler er par vis like store. u v v De samsvarende vinklene vi får når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er like store. y x x y Periferivinkel Sentralvinkel Sentralvinkelen er dobbelt så stor som periferivinkelen over samme bue En vinkle med toppunkt i senrum av en sirkel kalles en sentralvinkel. En vinkel med toppunkt på sirkelperiferien kalles periferivinkel. 4
Vi regner ut sider i formlike trekanter ved å gå veien om målestokk Oppgave: Regn ut lengden av AB. C 3,0 cm 4,5 cm F A x B D 7,5 cm E Δ ABC ~ Δ DEF AB x cm 3,0 Målestokken M 4,5 0,67 x M DE x 0,67 7,5 x 5,0 AB 5,0 cm Tips! Begynn med en kjent side i den trekanten der x er, når du skal regne ut målestokken. Vi regner ut sider i formlike trekanter ved å sette opp en proporsjon Oppgave: Regn ut lengden av AB. C 3,0 cm 4,5 cm F A x B D E 7,5 cm Δ ABC ~ Δ DEF AB x cm Fordi trekantene er formlike, har vi: AB : DE AC : DF x : 7,5 3,0 : 4,5 Produktet av ytterleddene produktet av innerleddene 4,5 x 7,5 3,0 4,5x 22,5 x 5,0 AB 5,0 cm 5
Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel B TALL OG ALGEBRA Når vi skal løse opp en parentes med plusstegn foran, kan vi ta bort parentsen og trekke sammen leddene. a + (a + b) a + a + b 2a + b Når vi skal løse opp en parentes med minustegn foran, kan vi ta bort parentesen og samtidig skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. Deretter kan vi trekke sammen leddene. 3a (a + b) 3a a b 2a b 3a (a b) 3a a + b 2a + b 3a ( a + b) 3a + a b 4a b Når vi multipliserer et tall eller en variabel (bokstav) med et uttrykk i en parentes, multipliserer vi tallet eller variabelen med hvert ledd i parentesen. Regn ut 7(3a 4b). Vi får da: 7(3a 4b) 7 3a 7 4b 21a 28b Vi multipliserer to parenteser ved å multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. Regn ut (x + 2)(x + 3) Vi regner slik: (x + 2)(x + 3) x x + x 3 + 2 x + 2 3 x² + 3x + 2x + 6 x² + 5x + 6 (x + 2) 2 kan vi regne ut slik: (x + 2) 2 (x + 2)(x + 2) x x + x 2 + 2 x + 2 2 x 2 + 2x + 2x + 4 x 2 + 4x + 4 6
BRØK Å addere og subtrahere brøker med samme nevner Å trekke sammen tellerne og beholde nevneren. 2 + 3 2+3 5_ 7 7 7 7 7 + 4 1_ 7+4 1 10 9 9 9 9 9 Utvide brøker, forkorte brøker Vi utvider en brøk ved å multiplisere telleren og nevneren med det samme tallet. Da forandrer ikke brøken verdi. Utvid brøken 3_ med 2. 5 Vi får 3_ 3 2 6 5 5 2 10 Skriv tre brøker som har samme verdi som 3_. 5 3_ 3 2 6 6 3 18 18 4 72 5 5 2 10 10 3 30 30 4 120 3_ 6 18 72 5 10 30 120 Vi forkorter en brøk ved å dividere telleren og nevneren med det samme tallet. Da forandrer ikke brøken verdi. 10 14 5 10 10 : 2 5_ 14 : 2 7 5 : 5 1_ 10 : 5 2 Vi forkorter med 2. Vi forkorter med 5. 7
Å addere og subtrahere brøker med ulike nevnere Hvor mye er 1_ + 1_? 2 3 Vi bruker det vi har lært om å utvide brøkene. Det kan vi benytte for å få den samme nevneren på brøkene. Da spør vi: «Hvilket tall er det minste tallet som er delelig med både 2 og 3?» Du vet at svaret er 6. Vi sier da at 6 er minste felles multiplum for 2 og 3. Oppgaven løser vi slik: 1_ 2 + 1 1 3 + 1 2 3_ + 2_ 3 2 3 3 2 6 6 5_ 6 Vi utvider brøkene slik at de får den samme nevn eren. Vi sier at 6 er fellesnevneren. Noen ganger forkorter vi skrivemåten for fellesnevneren til FN. Når vi skal trekke sammen brøker med ulike nevnere, utvider vi alle brøkene slik at de får felles nevner (like nevnere). Å addere og subtrahere brøker som inneholder bokstaver Når vi har lik nevner i alle brøkene 5 a + 3 5 + 3 a a 8_ a Vi adderer tellerne og beholder nevneren. 2x 5 3y + 8x + + y_ 5 5 5 2x + 3y + 8x + y 5 10x + 4y 5 8
Multiplikasjon av brøker Vi multipliserer to brøker med hverandre ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner. 5 2 5 2 10 5 2 eller 5 2_ 5_ 2 3 3 3 3 1 3 1 3 10 3 6 3 6 3 18 11 7 11 7 77 Divisjon av brøker Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 5 : 2 5 5 eller 5_ : 2 5_ : 2_ 5_ 1 5 1 5 6 6 2 12 6 6 1 6 2 6 2 12 5 7 : 2 5 3_ 15 1 1 3 7 2 14 14 9
Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel C ANVENDT MATEMATIKK Vei fart tid HVOR LANGT? Du skal finne ut: Hvor langt? Du skal finne s. Hold fingeren over s. Da står det v t i formelen. Hvor langt fart tid s v t Eksempel Stine er på tur med farfaren sin. De kjører med en gjennomsnittsfart på 60 km/t (km/h). Turen tar 4 timer. Hvor langt har de kjørt? Du skal finne s. s v t s 60 4 s 240 De har kjørt 240 km. 10
HVOR FORT? Du skal finne ut: Hvor fort? Eksempel Eivind kjører turbuss. En dag kjører han 165 km på 3 timer. Hvor stor har gjennomsnittsfarten vært? Du skal finne v. v s : t v 165 : 3 v 55 Du skal finne v. Hold fingeren over v. Da står det s : t i formelen. Hvor fort strekning : tid v s : t Gjennomsnittsfarten har vært på 55 km/t (km/h). HVOR LANG TID? Du skal finne ut: Hvor lang tid? Du skal finne t. Hold fingeren over t. Da står det s : v i formelen. Hvor lang tid strekning : fart t s : v Eksempel Hvor lang tid bruker Lise på å kjøre 225 km dersom gjennomsnittsfarten er 45 km/t (km/h)? Du skal finne t. t s : v t 225 : 45 t 5 Hun bruker 5 t. 11
Å regne med prosent Hege ønsker seg nye støvletter. Før jul koster støvlettene 799 kr. Etter jul selges de med 40 % rabatt. Hvor mye koster støvlettene etter jul? Prosent betyr hundredel. Du kan regne slik: Støvlettene koster 799,00 kr 799 kr 40 rabatt 100 319,60 kr Pris på salg Etter jul koster støvlettene 479,40 kr 479,40 kr Inger-Johanne skal kjøpe seg gitar. Gitaren koster 2 700 kr til ordinær pris. Inger-Johanne kjøper gitaren kontant og betaler 2 295 kr. Hvor mange prosent avslag får hun? Du kan regne slik: Gitaren koster 2 700 kr Hun betalte 2 295 kr Avslag 405 kr 405 kr Avslag i prosent: 2 700 kr 0,15 15 % Inger-Johanne får 15 % i avslag Hesten Cora selges med 20 % rabatt fordi den har vintereksem. Da selges den for 21 000 kr. Hva ville hesten Cora ha kostet dersom den ikke hadde hatt vintereksem? Du kan regne slik: Cora koster opprinnelig 100 %, og den selges med et avslag på 20 %. Salgsprisen 21 000 kr svarer til 80 % av opprinnelig pris. 21 000 kr 1 % 80 262,50 kr 100 % 262,50 kr 100 26 250 kr Hesten Cora ville ha kostet 26 250 kr 12
Å gjøre om tidsenheter 2,40 timer 2 timer + 0,40 timer Forkortet skriver vi dette slik 2,40 t 2t + 0,40 t 0,40 t 0,40 60 min 24 min Da er: 2,40 t 2 t + 0,40 60 min 2 t + 24 min Dette skriver vi slik: 2,40 t 2 t + 24 min Å regne med promille En lysestake veier 420 g. Den inneholder 830 rent sølv. Hvor mange gram rent sølv inneholder lysestaken? Promille betyr tusendel, og vi skriver promille slik:. 420 g 830 1 000 348 g Lysestaken inneholder 348 g rent sølv Å regne med valuta Joachim er på ferie i Spania. Han skal kjøpe seg nye solbriller som koster 18,50 euro (EUR). Hvor mye er dette i norske kroner (NOK)? Du kan regne slik: 1 EUR tilsvarer 7,74 NOK. 7,74 18,50 143,19 143 18,50 EUR tilsvarer 143 NOK Solbrillene koster 143 NOK. Du skal finne NOK. NOK kurs valuta 13
Oda er på ferie i Sverige. Hun skal kjøpe seg ei bukse som koster 360 svenske kroner (SEK). Hvor mye er dette i norske kroner (NOK)? Du kan regne slik: 100 SEK tilsvarer 83,58 NOK. 1 SEK tilsvarer 0,84 NOK. 0,84 360 302,40 360 SEK tilsvarer 302,40 NOK Buksa koster 302,40 NOK. Jørgen skal på ferie til Hellas. Han har spart 2 400 kr som han vil veksle i euro (EUR). Hvor mye får Jørgen i euro? Du kan regne slik: 1 EUR tilsvarer 7,74 NOK. 2400 : 7,74 310,08 310 2 400 NOK tilsvarer 310 EUR. Jørgen får 310 EUR. Du skal finne valuta. valuta NOK kurs Mia er på shopping i London. Hun vil kjøpe seg et par sko som koster 30 engelske pund (GBP). Hun vil betale med euro (EUR). Hva blir prisen i euro? Du kan regne slik: 1 GBP tilsvarer 11,12 NOK. 30 11,12 333,60 30 GBP tilsvarer 333,60 NOK. 1 EUR tilsvarer 7,74 NOK. 333,60 : 7,74 43,11 43 30 GBP tilsvarer 43 EUR. Prisen på skoene er 43 EUR. 14
Sammendrag og formler Nye Mega 10B Kapittel D LIGNINGER Ligninger med en ukjent Vi kan addere (legge til) eller subtrahere (trekke fra) like mye på hver side av likhetstegnet i en ligning uten at likheten forsvinner. I praksis gjør vi dette ved å flytte ledd fra den ene siden av ligningen til den andre siden, samtidig som vi lar leddet skifte fortegn. Vi kan multiplisere begge sidene av en ligning med det samme tallet uten at likheten forandres. 2x 10 2x 2 x 5 10 2 x_ 2 x_ 2 5 5 2 Vi multipliserer ligningen med 2. x 2 2 1 1 5 2 x 10 Vi forkorter. 15
Å SETTE PRØVE PÅ SVARET Tine løste ligningen 5x + 12 42 + 2x og fant svaret x 10. For å finne ut om x 10 er rett løsning av ligningen, satte hun prøve på svaret, slik vi har vist til høyre. Å sette prøve på svaret vil si at vi setter inn den verdien vi fant for x i den opprinnelig ligningen, for å se om verdien av ligningens venstre side er den samme som verdien av ligningens høyre side. Å løse en ligning er jo det samme som å finne den verdien av x som gjør ligningens venstre side like ligningens høyre side. Når vi skal sette prøve på ligninger, gjør vi det slik: Venstre side: 5x + 12 5 10 + 12 50 + 12 62 Høyre side: 42 + 2x 42 + 2 10 42 + 20 62 V.S. H.S. x 10 er da løsningen på ligningen. Ligninger med to ukjente A GRAFISK LØSNING Løs ligningssettet I y x + 3 II y 2x + 9 Løsning: Legg merke til at begge ligningene her er skrevet på funksjonsform. Vi lager verditabell: I y x + 3 II y 2x + 9 x x+ 3 y (x,y) x 2x + 9 y (x,y) 1 1 + 3 4 (1,4) 2 2. 2 + 9 5 (2,5) 4 4+ 3 1 ( 4, 1) 1 2. ( 1)+ 9 11 ( 1,11) 5 5 + 3 8 (5,8) 4 2. 4 + 9 1 (4,1) II y 10 8 I 6 4 (2,5) 2 x 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 2 4 6 Løsningen av ligningssettet er x 2, y 5. 16
B INNSETTINGSMETODEN Løs ligningssettet I x + y 5 II x y 1 Løsning: I x + y 5 y 5 x II x y 1 Husk at y 5 x x (5 x ) 1 x 5 + x 1 x + x 1 + 5 2x 6 x 3 Vi løser ligning I med hensyn på y, det vil si at vi får y alene på venstre side. Vi setter uttrykket vi fant for y, inn i ligning II og finner x av ligning II: Vi har at y 5 x y 5 3 y 2 x 3 Vi går tilbake til ligning I og setter inn x 3. x 3 og y 2 er løsningen av ligningssettet. 17
Sammendrag og formler Nye Mega 10B Kapittel E FUNKSJONER Lineære funksjoner En funkjson som kan skrives på formen y ax, går alltid gjennom origo. Funksjoner som kan skrives y a 1 x + b 1 y a 1 x + b 2 y a 1 x + b 3 har parallelle grafer. De skjærer andreaksen i b 1, b 2 osv. I funksjons uttrykket y ax + b kalles ofte a stigningstallet. Funksjoner som kan skrives på formen y ax + b der a og b er tall, kaller vi lineære funksjoner. Grafen til disse funksjonene er alltid rette linjer. 18
Kvadratiske funksjoner Framstill grafen til funksjonen y x 2. Vi lager verditabell. x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 24 y 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 x 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Proporsjonale størrelser To størrelser som øker eller minker i samme forhold, kaller vi proporsjonale størrelser. To størrelser som er proporsjonale, kan alltid skrives på formen y k. x der k kan være et hvilket som helst tall. Grafen til proporsjonale størrelser går alltid gjennom origo. k kaller vi proporsjonalitetskonstanten. 19
Sammendrag og formler Nye Mega 10B Kapittel F AREAL OG OMKRETS I det følgende benytter vi O for omkrets og A for areal. Kvadrat a O a + a + a + a 4a A a a a 2 a Rektangel b O l + b + l + b 2l + 2b A l b lb Parallellogram l h b O l + b + l + b 2l + 2b A l h Trekant l h A g h 2 g Trapes b h A (a + b)h 2 a Sirkel d r O 3,14 d πd eller 2πr A πr 2 Når vi skal regne med måltall som er avrundede tall, skal svaret ha så mange gjeldende siffer som det er gjeldende siffer i det måltallet som har færrest gjeldende siffer. 20
ROMGEOMETRI Volum av et prisme l b h Volumet V av et rett, firkantet prisme er: V l b h s s s Volumet av en terning er: V s s s s 3 G h Volumet av et rett prisme kan vi regne ut ved å multiplisere arealet av grunnflaten med høyden i prismet. V G h l b h Hvis vi har et rett, firkantet prisme, er G l b Da er V l b h Overflaten av et prisme Regn ut overflaten av et rett, firkantet prisme med disse målene: Per regnet slik: Overflaten er: 5,0 cm 4,0 cm 2 40 cm 2 4,0 cm 3,0 cm 2 24 cm 2 5,0 cm 3,0 cm 2 30 cm 2 Overflaten 94 cm 2 5,0 cm Nina regnet slik: Jeg bruker formelen for overflaten av et rett, firkantet prisme. Overflaten 2lb + 2lh + 2bh I dette tilfellet er l 5,0 cm, b 4,0 cm, h 3,0 cm Jeg får da: Overflaten 2 5,0 cm 4,0 cm + 2 5,0 cm 3,0 cm + 2 4,0 cm 3,0 cm 40 cm 2 + 30 cm 2 + 24 cm 2 94 cm 2 3,0 cm 4,0 cm 21
Volum av en sylinder G h Volumet av en sylinder finner vi ved multiplisere arealet av grunnflaten i sylinderen med høyden. V G h r h Hvis vi kjenner sylinderens radius, r, får vi V π r 2 h Overflaten av en sylinder Overflaten av en sylinder 2π r 2 + 2π rh Regn ut overflaten av sylinderen: Overflaten 2π r 2 + 2π rh 2 3,14 5,0 cm 5,0 cm + 2 3,14 5,0 cm 10,0 cm 157 cm 2 + 314 cm 2 471 cm 2 r 5,0 cm h 10,0 cm 22
Volum av kjegler Volumet av en rett kjegle er lik en tredel av volumet av en rett sylinder med samme grunnflate. G h V eller V π r2 h 3 3 Overflate av kjegler A π r 2 + π rs πr 2 er grunnflaten, og i πrs er s sidekanten der s 2 r 2 + h 2. r s Volumet av kuler Formelen for volumet av en kule er 4 π r 3 V 3 der r er radien til kula. r Overflaten av kuler Formelen for overflaten av en kule er A 4 π r 2 der r er radien til kula. 23
Massetetthet Hvis vi kaller har vi: massen m volumet V massetettheten d (densiteten), m d V massen massetettheten volumet 24