Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg Oppgve Løsigsforslg Eksme 7. ugust 006 TFY450 Atom- og molekylfysikk. Grutilstde ψ (x hr ige ullpukter. Første eksiterte tilstd ψ (x hr ett ullpukt. Når potesilet er edelig som her, må lle eergiegefuksjoer ψ(x være kotiuerlige, og det smme gjelder de deriverte, ψ (x = dψ(x/dx. For 0 < x < L hr de tidsuvhegige Schrödigerligige for. eksiterte tilstd ψ (x forme ψ = m h [V (x E ]ψ = mv 0 h ψ. Isettig v ψ = A si[k (x ] gir ψ = kψ, dvs k = h mv 0.. For x > L er V (x = V 0, og de tidsuvhegige Schrödigerligige tr forme De geerelle løsige er ψ = m h [V (x E ]ψ = mv 0 h ψ = k ψ. ψ (x = Ce k x + De k x (x > L, hvor koeffisiete D må settes lik ull fordi ψ skl være ormerr. For x < 0 er V (x = 5V 0, og vi hr tilsvrede De geerelle løsige er ψ = m h [V (x E ]ψ = 8mV 0 h ψ = (k ψ. ψ (x = C e k x + D e k x (x < 0, hvor koeffisiete D må settes lik ull fordi ψ skl være ormerr. For x > L er ψ (x = C exp( k x jevt vtgede mot ull for år x går mot uedelig. Fuksjoe k derfor ikke h oe ullpukt i dette området. [Kommetr: Det smme gjelder for lle ude eergiegetilstder i et potesil som dette.] Tilsvrede for x < 0. Følgelig må ullpuktet for eergiegetilstde ψ (x ligge i røområdet. [Kommetr: Det smme gjelder for lle ude eergiegetilstder i et potesil som dette.] c. Fr resulttee ovefor fier vi de reltive heligee ψ ψ = k for x > L og ψ ψ = k for x < 0, q.e.d. Etter dette lir prisippskisse v ψ (x omtret som følger:
Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg Nullpuktet (x = ligger litt til høyre for midte v røe, slik t origo ligger ærmere vestre ullpukt for siuse e puktet x = L ligger i forhold til høyre ullpukt for siuse. Dette fordi de reltive helige skl være doelt så stor i origo som for x = L. d. Prisippskisse v e evetuell ude tilstd ψ 4 (x med tre ullpukter er som følger: Fr dee ser vi t 3 λ 4 < L < λ 4. Side (3/λ 4 < L og L < λ, hr vi t (3/λ 4 < λ, dvs t e øvre skrke for λ 4 /λ er /3: λ 4 < λ 3. De tilsvrede edre skrke for k 4 /k er d 3/, som svrer til t E 4 E = k 4 k > (3/ = 9/4, dvs. E 4 > 9 4 E = 9 4 V 0. Me e tilstd med eergi større e rødyde V 0 k ikke være udet. eksisterer ltså ige 3.-eksiterte ude tilstd (med 3 ullpukter. Det Oppgve. Egeverdiligige Ĥlog Φ(φ = E log Φ(φ tr forme d Φ dφ = 0E log ( µr h Φ ν Φ E log = h ν. µr0 De geerelle løsige v dee er Φ = A si νφ + B cos νφ.
Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg 3 Kotiuitetsetigelsee Φ(0 = 0 og Φ(π = 0 gir hhvis B = 0 og si νπ = 0, som oppfylles v ν = m =,, 3,. De logitudile eergiegeverdiee og de tilhørede egefuksjoee er ltså Em log = h m ; Φ µr0 m (φ = A si mφ; m =,, 3,, q.e.d. For et rett rør hr vi e ordiær édimesjol oks med legde L = πr 0. Bølgefuksjoer på forme A si kx og kvtiserigsetigelse kl = π gir d k = π L = r 0 og E log = h k µ = h, =,, 3,, µr0 som er smme resultt som ovefor. [Hmilto-opertore Ĥlog oppgitt i oppgve ieærer ltså t vi egetlig ikke tr hesy til krumige v røret. Dette er e god tilærmelse så lege krumigsrdie er mye større e tverrsittsdimesjoe.]. Om vi kller de to trsversle evegelsesretigee for y- og z-retigee, k vi å ruke eergiegefuksjoer på produktform, ψ = Φ(φ si k y y si k z z, med kvtiserigsetigelsee k y L = y π og k z L = z π, der L = πr 0 /00. De to retigee idrr d til de totle eergie med eløpee E (y = h ky µ = h (00 µr0 y og E (z = h kz µ = h (00 µr0 z. De totle eergie for disse eergiegetilstdee lir dermed E m,y,z = h [ m + (00 µr0 y + (00 z ], m =,,, y =,,, z =,,. Ifølge Puli-prisippet er det plss til to spi- -prtikler (med spi hhvis opp og ed i hver romlig eergiegetilstd. De 0 fermioee vil derfor i grutilstde okkupere de romlige tilstdee med de 5 lveste eergiee. Eergiformele ovefor viser t dette er tilstdee med y = z = og m =,, 3, 4 og 5. De høyeste é-prtikkel-eergie er ltså E mx = h (5 + 00 + 00 = h 005. µr0 µr0 c. For de sirkulære okse: Grutilstde (lvest eergi svrer til de lveste ullpuktsverdie i telle, som opptrer for m = 0 (dvs L z = 0 og = : E (0 = ( hπ(0 µr0 De tilhørede eergiegefuksjoe er = h µr 0.4048 = h µr 0 5.783. ψ (0 = A (0 J 0 (.4048r/r 0.
Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg 4. eksiterte ivå svrer til de est lveste ullpuktsverdie, som er Π ( = 3.837 for = og m = ± : E ( = h 3.837 = h µr0 µr0 Til dette eergiivået hører det to egefuksjoer: 4.68. ψ (± = A ( J (3.837r/r 0 e ±iφ. Rdkrvee for de hlvsirkelformede okse er t ψ skl være lik ull for r = r 0 og for φ lik ull og π. Det første krvet oppfylles v lle løsigee for de sirkulære okse. Det dre krvet (for φ lik ull og π oppfylles ikke v disse fuksjoee (side e imφ =. Dette ekskluderer eergiivåee for m = 0, d vi for hvert v disse hr re é løsig. For hvert v de dre ivåee hr vi derimot to løsiger, som går som e ±i m φ. Av disse k vi de lieærkomisjoe (e i m φ e i m φ /i = si m φ. Og dee oppfyller rdkrvet. For okse til høyre hr vi ltså for hvert v eergiivåee (som følger v telle, for m =,, é eergiegefuksjo: ψ (m (ψ (m ψ ( m /i J m (Π (m r/r 0 si mφ, m =,,. Grutilstde fier vi d for m = og = (Π ( = 3.837, og eergie er idetisk med eergie for. eksiterte ivå for de sirkulære okse. Oppgve 3. Vi hr t χ χ = ( + eiα =, så tilstde χ er ormert. Ssylighete for å måle S z = h er kvdrtet v projeksjoe v χ på χ +, dvs kvdrtet v øvre kompoet i spiore χ, ltså P + =. Tilsvrede fier vi t P =, slik t de to ssylighetee til smme er lik. E serie v måliger v S z vil gi e eksperimetell ekreftelse v disse to ssylighetee, me gir som vi ser ige iformsjo om vikele α. E målig v S z vil etterlte spiet i de egetilstde som svrer til de målte egeverdie, ltså i tilstde χ + dersom vi måler S z = + h, osv. (. For Puli-spiore χ + = er =, = 0 og 0 = 0, slik t spiretige ifølge de oppgitte formlee lir σ χ+ = ê x σ x + ê y σ y + ê z σ z = ê z, i overesstemmelse med etegelse spi opp. Tilsvrede fier vi for Puli-spiore χ t σ χ = ê z ( spi ed. For de oppgitte tilstde χ = (, med = /, = e iα /
Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg 5 hr vi t = = og = e iα. Med de oppgitte formlee fier vi t spiretige for dee er σ = ê x σ x + ê y σ y + ê z σ z = ê x cos α + ê y si α. Dee retigsvektore ligger som vi ser i xy-plet og der vikele α med x-kse. E serie måliger v S z vil ekrefte t S z og dermed også σ z er lik ull, dvs t σ må peke i e eller e retig i xy-plet. Me vikele α estemmes ikke ved målige v S z. Ved å preprere esemlet i tilstde χ igje og så måle S x vil vi få ekreftet t σ x = cos α. Ved å preprere ed e gg og så måle S y k vi få e ekreftelse på t σ y = si α, ltså e fullstedig ekreftelse på de eregede spiretige σ. (Dette er é måte å gjøre det på. c. Forvetigsverdie v kompoete σ S v spiet er lett å rege ut: σ S = σ S = σ h σ = h, idet σ er e vektor med legde. Hver ekelt målig v kompoete σ S v spiet vil i prisippet (i ete gi + h og etterlte spiet i e egetilstd til opertore σ S med egeverdi + h ( spi opp i forhold til retige σ (ii eller gi h og etterlte spiet i e egetilstd til opertore σ S med egeverdi h ( spi ed i forhold til retige σ. Side forvetigsverdie v σ S le fuet å være + h for de ktuelle tilstde, ser vi t ssylighete for tilfelle (ii er ødt å være lik ull. Koklusjoe er t tilstde χ som vi måler på må være e egetilstd til opertore σ S med egeverdie h. ( Forvetigsverdiee v σ x, σ y og σ z for tilstde χ = fier vi slik: osv. σ x = χ σ x χ = ( ( 0 0 = + = Re(, ( = ( (