Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne f (A) når: f (x) e x : ekstremt viktig i teori av differensiallikninger, se Ch 54 i boka (ikke pensum) f (x) cos (x) eller sin (x): mindre viktig 3 f (x) ln (x), x osv I diskret matematikk (teori av differenslikninger, eller rekurrensrelasjoner) er det veldig viktig å beregne f (A) når: f (x) x n (n er et vilkårlig helt tall) f (x) er et polynom Den generelle løsningen er teoretisk elegant og krever kunnskaper i MAT- (Kompleks analyse) Teorem (Ikke pensum!) La f (z) være en kompleks funksjon, analytisk i et område Ω C, og la A være en m m matrise (med reelle eller komplekse elementer), slik at dens egenverdier ligger i Ω La Γ være en lukket enkel kurve, som ligger i Ω og avrunder (ved å gå mot urviseren) alle egenverdier til A Da er f (A) f (z) (zi n A) dz πi Γ Men å beregne f (A) ved hjelp av denne formelen er veldig vanskelig! Det er lettere å beregne f (A) når f er et polynom, men problemet er å beregne A n hvis n er et vilkårlig helt tall (eller et konkret stort tall) La oss betrakte et enkelt tilfelle: a a A a a er en matrise, og n 5: a a a a 5 Resultatet er så stort at vi kan bare vise det kolonnevis: 98
Kolonne nr : a 5 +4a 3 a a +3a a a a +3a a a +a a a a +a a a +a a a 3 a 4 a +a 3 a a +3a a a +a a a +4a a a a +a a a 3 +a a 3 +3a a a +a a 4 Kolonne nr : a 4 a +a 3 a a +3a a a +a a a +4a a a a +a a a 3 +a 3 a +3a a a +a a 4 a 3 a a +a a a a +a a a +3a a a a +3a a a +4a a a 3 +a 5 Det er enda vanskeligere å beregne e A Men i noen tilfeller er det relativt enkelt: Eksempel A er en diagonalmatrise: a b e e a e b A er en triangulær matrise: e e a a b c b a e a a c (bea be c ) e c e a be a e a, a c, 3 (merkelig!) A er en anti-symmetrisk matrise: e a a cos (a) sin (a) sin (a) cos (a) I tilfellene ovenfor er det er også mulig å beregne f (A) der f (x) x n : Eksempel 3 A er en diagonalmatrise: a b n a n b n A er en triangulær matrise: n a b c n a b a a n b an c n a c c n a n nba n a n, a c, 99
3 (merkelig!) A er en anti-symmetrisk matrise: n a a n cos ( ) nπ a n sin ( ) ( nπ a a n sin ( ) nπ a n cos ( ) nπ a n cos nπ ) sin ( ) nπ sin ( ) nπ cos ( ) nπ For å løse problemet, har vi to nøkkelsetninger Først trenger vi en definisjon: Definisjon 4 (Def 5) Gitt to m m matriser A og B Vi sier at B er similær til A hviss B P AP der P en invertibel m m matrise La oss skrive dette slik: A B eller A P B Teorem 5 (Ikke pensum, ikke gitt i boka) Similæriteten er en ekvivalensrelasjon Bevis (kort) A I A A P B B P A ( ) ( ) 3 A P B & B Q C A P Q C Teorem 6 (For f (x) x n se Ex 55 og ovenfor) Hvis A P B (dvs B P AP og A P BP ), så er dvs f (A) P f (B), f (B) P f (A) P, f (A) P f (B) P (Se Ex 7) Hvis A er en diagonalmatrise λ A λ, λ m så er f (A) f (λ ) f (λ ) f (λ m )
Bevis (For f (x) x 5 ) Gitt B P AP Da er m 4: A 5 B 5 ( P AP ) 5 P AP P AP P AP P AP P AP P AAAAAP P A 5 P λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 (λ ) 5 (λ ) 5 (λ 3 ) 5 (λ 4 ) 5 λ λ λ 3 λ 4 Merknad 7 Similære matriser har flere similæritetsinvarianter (se Table 5 og Table 85 i boka) Anta at A er similær til B Da er: det A det B A er invertiblel B er invertiblel 3 rank (A) rank (B) 4 nullity (A) nullity (B) 5 tr (A) tr (B) 6 A og B har det samme karakteristisk polynom 7 A og B har de samme egenverdiene 8 A og B har de samme algebraiske og geometriske multiplisiteter (se Th 55 i boka)
Definisjon 8 (Def 5) En m m matrise A er diagonaliserbar ( diagonalizable), hviss A P D der D er en diagonalmatrise, dvs P AP D λ λ λ m Vi sier at P diagonaliserer ( diagonalizes) A Merknad 9 Vi sier ofte at A kan diagonaliseres Eksempel (Ex 5 og 5) Matrisen kan diagonaliseres La A P 3 Da er P AP 3 Sammenlign med løsningen i boka! Matrisen A 3 5 kan ikke diagonaliseres (se Seksjon 54) Egenverdier og egenvektorer La oss se nærmere på formelen P AP D λ λ λ m AP P P AP P D,
Hvis matrisen P består av m kolonner P c c c m, er AP Ac Ac Ac m, P D λ c λ c λ m c m, dvs Ac i λ i c i Definisjon (Def 5) En ikke-triviell (c ) vektor c R m kalles en egenvektor som tilsvarer en egenverdi λ, hviss La oss flytte Ac til venstre: Ac λc λc Ac (λi A) c Siden λi A er en kvadratisk matrise, og c, kan ikke λi A være invertibel, derfor det (λi A) Vi har faktisk bevist et teorem: Teorem (Th 5) Tallet λ er en egenverdi til A hviss det tilfredsstiller den karakteristiske likningen ( the characteristic equation) det (λi A) Definisjon 3 (Nedenfor Th 5) Polynomet p (λ) det (λi A) λ m + a m λ m + + a λ + a kalles det karakteristiske polynomet ( the characteristic polynomial) til A 3 Det karakteristiske polynomet Nedenfor er noen nyttige formler for koeffi sientene til det karakteristiske polynomet De skal hjelpe dere til å kontrollere resultatene i Oblig 5 3 Generelle matriser Gitt n n matrisen A a ij Anta at alle egenverdier til A er reelle Dette betyr at det karakteristiske polynomet er lik p (t) det (ti A) (t λ ) α (t λ ) α (t λ k ) α k, 3
der I er n n identitetsmatrisen, λ i er reelle egenverdier (alle λ i er forskjellige fra hverandre), α i er deres algebraiske multiplisiteter (se Th 55 i boka), og α + α + + α k n Merknad 4 Vanligvis brukes variabelen λ for det karakteristiske polynomet: p (λ) det (λi A) (λ λ ) α (λ λ ) α (λ λ k ) α k Vi bruker t i stedet, for å skille variabelen t fra egenverdiene λ i (som er konkrete reelle tall) Merknad 5 Det anbefales av praktiske grunn å bruke polynomet til å beregne p (t) det (A ti) p (t) ( ) n p (t) Polynomet p (t) har samme røtter λ i som p (t) Det defineres også egenrom (eigenspaces) E (λ i ) Null (λ i I A) (se Def ovenfor Ex 56 i boka) og de geometriske multiplisitetene (se Th 55) β i dim (Null (λ i I A)) nullity (λ i I A) Merknad 6 Det anbefales av praktiske grunn å bruke matrisene A λ i I i stedet: β i dim (Null (A λ i I)) nullity (A λ i I) En annen form for p (t) er p (t) (t λ ) (t λ ) (t λ n ) der λ i er egenverdiene til A skrevet så mange ganger som deres algebraiske multiplisiteter Minner også om at trasen til A (se Def 38 i boka) er lik tr (A) a + a + + a nn La p (t) t n + c n t n + c n t n + + c t + c Teorem 7 c n tr (A) (λ + λ + + λ n ), c ( ) n det (A) ( ) n λ λ λ n 4
3 matriser La n, og Teorem 8 A a a a a p (t) t + c t + c p (t), c tr (A) (λ + λ ), c det (A) λ λ 33 3 3 matriser La n 3, og Teorem 9 A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 p (t) t 3 + c t + c t + c p (t), c tr (A) (λ + λ + λ 3 ), c a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 3 a 3 a 33 λ λ + λ λ 3 + λ λ 3, c det (A) λ λ λ 3 34 4 4 matriser (ikke pensum!) La n 4, og Teorem A a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 p (t) t 4 + c 3 t 3 + c t + c t + c p (t), c 3 tr (A) (λ + λ + λ 3 + λ 4 ), c a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 4 a 4 a 44 + a a 3 a 3 a 33 + a a 4 a 4 a 44 + a 33 a 34 a 43 a 44 λ λ + λ λ 3 + λ λ 4 + λ λ 3 + λ λ 4 + λ 3 λ 4, a a a 3 c a a a 3 a 3 a 3 a 33 + a a a 4 a a a 4 a 4 a 4 a 44 + a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 a 4 a 43 a 44 + a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 a 4 a 43 a 44 (λ λ λ 3 + λ λ λ 4 + λ λ 3 λ 4 + λ λ 3 λ 4 ), c det (A) λ λ λ 3 λ 4 5
4 Diagonalisering av matriser Nedenfor er oppsummeringen av Th 5, 53 og 55 Teorem La A være en n n matrise Vi antar som vanlig at alle egenverdiene er reelle Matrisen A kan diagonaliseres (er diagonaliserbar) hvis og bare hvis det finnes n lineært uavhengige egenvektorer For alle i, β i α i 3 Matrisen A kan diagonaliseres hvis og bare hvis for alle i β i α i 4 For å diagonalisere matrisen, sett n lineært uavhengige egenvektorer som kolonner i en matrise P, og da blir A P DP, D P AP, der D er en diagonalmatrise som inneholder egenverdiene (hver λ i treffes α i ganger) på hoveddiagonalen 5 Hvis alle α i, dvs matrisen har n forskjellige egenverdier, er da også β i, og matrisen er diagonaliserbar 5 Eksempler I eksemplene nedenfor undersøker vi om en matrise A kan diagonaliseres Hvis svaret er ja, anvender vi resultatet til å finne formelen for A n 5 Ex 5, 5 og 56 A p (t) det 3 8, 3 t 8 t (t + ) (t 3) λ : 4 A + I 8 t x x G J, t, 6
λ 3: A 3I 8 4 x t x, t G J, Endelig: P D, P AP, 3 3 8 A n ( P DP ) n P D n P 3 n 3 n ( ) n ( ) n ( ) n 5 Ex 53 + 3 n A 4 7 8 n ( ) 3 n ( ) n ( ) n + 3 n 3 n Det er ikke tillatt å bruke kolonneoperasjoner i dette kurset, unntatt for å beregne determinanter t t p (t) det t det t 4 7 8 t 7 4 8 t det t t 4 7t 8 t det t 4 7t 8 t t 3 8t + 7t 4 Nedenfor Ex 53 er det beskrevet en metode hvordan å finne heltallsløsninger λ til den karaktersitiske likningen t 3 8t + 7t 4 Siden λ 4, kan λ være ±, ±4 λ 4 passer: dvs λ 4, λ,3 ± 3 t 3 8t + 7t 4 (t 4) ( t 4t + ), Spørsmål Undersøk om A kan diagonaliseres uten å finne egenvektorer 7
53 Ex 57, 58, 5 og 55 A 3, p (t) (t ) (t ) λ, α β : A I x y z t t t t G J, t, λ, α, β?: A I x y z β s r s r G J + s,, r + s, P P AP, P 3, D Finner nå A n : A n ( P DP ) n P D n P P n n n n n n P 8
n + n n + n n n n n n n n n n n n n n n n n + + n n n n n n n n Hvis n 3, er A 3 3 + 3 89 6 38 89 89 89 89 6 383 54 Ex 5 Matrisen kan ikke diagonaliseres p (t) det A 3 5 t t 3 5 t (t ) (t ) Siden den algebraiske multiplisiteten til λ,3 er lik, er det lurt å sjekke λ først: A I G J, 3 5 x x x 3 t Den geometriske multiplisiteten Derfor kan ikke A diagonaliseres!, t dim E () dim (Null (A I)) < 6 Diagonalisering av operatorer (Ch 85) Minner en viktig formel fra Ch 85: 9
Teorem 3 (Th 85) Hvis T er en operator, dvs V W, og vi har to basiser G og H, så er T H T H H P H G T G G P G H P H G T G P G H P T G P der P P G H 6 Ex 853 utvidet T : P P, B (, x, x ), f a + bx + cx, T (f) c + (a + b + c) x + (a + 3c) x, c T (f) B a + b + c a b a + 3c 3 c T B 3 3 f B, La G (g, g, g 3 ) ( + x + x, + x, x ), P B G, P G B (P B G ) n T G, T n G n, n T n B P B G T n G P G B, n n n n + n n + n n n n n n n n n n n + n
T 3 G T 3 B P B G 3 3 3 3 3 3 89 89 P G B, 89 6 38 89 89 89 89 6 383