Vurdering Men - hva gjør jeg nå? 25-Oct-10
Hva er boka Alle teller? Tall og tallforståelse 1. Lærerveiledning for innføring av nøkkelbegreper 2. Forklaring på hvordan og hvorfor misforståelser og misoppfatninger oppstår. Masse konkrete eksempler for alle begrepene 3. Forslag til hvordan undervisningen bør legges opp ved innføring av nye begreper 4. Kartleggingsmateriale for å avdekke misforståelser og misoppfatninger (inklusive vurderingsskjema, temaoversikt, målformuleringer etter nivå, veiledning til oppfølgende intervju) 5. Lærerveiledning for hvordan undervisningen kan legges opp for elever og elevgrupper som har utviklet misforståelser og misoppfatninger. 25-Oct-10 2
Alle teller 2 Jeg har tatt testen og rettet den MEN hva gjør jeg nå? I dag skal vi se på: 1. Hva skal jeg se etter når jeg retter? 2. Hvilke feil er verst å ha? 3. Hvor begynner jeg? 4. Hva bør mine elever kunne og hvorfor? hoderegning og problemløsning 5. Organisering tips og ideer 25-Oct-10 3
Progresjon innfor området tall og algebra 1. Sortering og telling 2. Gjenkjenning av små mengder 3. Tallene fra 1 til 20 4. Posisjonssystemet og flersifrede tall 5. Addisjon subtraksjon av naturlige tall 6. Multiplikasjon divisjon av naturlige tall 7. Brøk som begrep 8. Regning med brøk, faktorisering, fellesnevner 9. Desimaltall summer av spesielle brøker 10. Regning med desimaltall brøker med enkle nevnere 11. Prosent del av en hel, forholdstall 12. Praktiske oppgaver forløper til likninger 13. Likninger 14. Bokstavregning (algebra) og formelregning 15. Algebraiske bevis 25-Oct-10 4
Tester Se vedlagt test Bruk progresjonsskjemaet som hjelp Hva mener du er det første man må ta tak i når det gjelder denne klassen? Hva med enkeltelever? Er det noen i faresonen? Hva vil du gjøre videre? 25-Oct-10 5
3 ting som er viktige for matematikkundervisningen 1. Elevene må ha grunnleggende matematisk ferdigheter der visse deler må være automatiserende 2. Elevene må ha forståelse for at i matematikken bygger kunnskap på kunnskap. 3. Matematikken kan generaliseres. Gi elevene struktur i kunnskapen og lær de å automatisere ferdigheter. 25-Oct-10 6
Matematisk kompetanse 25-Oct-10 7
Grunnlaget for tallforståelse Som å lære seg lese går fra avkoding til leseforståelse 1. Språk begreper 2. Tallenes oppbygnad 3. Gode hoderegningsstrategier 4. Automatisere kunnskap 25-Oct-10 8
1. Aktivt språkbruk Grunnleggende muntlig ferdighet: La elevene snakke matematikk. Ytre språk trengs for å få et indre språk, dvs matematisk språk. Å formulere matteoppgaver med egne ord. Å tenke høyt når de løser oppgaver. Å høre seg selv i regneregler og tabellkunnskap Å stille spørsmål og drøfte oppgaveløsninger med medelever. Å stille spørsmål og kommunisere med lærer. Å løse oppgaver i fellesskap gjennom gruppearbeid. 25-Oct-10 9
Hva kjennertegner norsk matematikkundervisning? Kilde: Tegn til Bedring? Rapport TIMSS 2007 Stor vektlegging av individuelt arbeid, bl. gjennom arbeidsplaner. Ofte begrunnet ut fra tanken om tilpasset undervisning. Forskning viser at det har vært en utvikling i skolen bort fra fellesskapsorientert undervisning mot det mer individualiserte. Samtidig : viser all forskning at kompetanseutvikling hos den enkelte skjer i et sosialt arbeidsfellesskap. Vygotskys teorier sier at det er i det muntlige, gjennom dialog i interaksjon med andre at mening skapes. Det samme sier teorier om begrepsutvikling. Stor vekt på individuelt arbeid fører også til en for ensidig og monoton undervisningsform, som igjen fører til brist i motivasjon hos elevene. 25-Oct-10 10
25-Oct-10 11
25-Oct-10 12
2. Tallenes oppbygnad Alle venner innenfor 0-10 Tiervennene Subtraksjon og addisjon parallelt se sambandet mellom regneartene 7 3+4=7 7-3=4 4+3=7 7-4=3 Dominobrikker Winnetkakort 7 3 4 25-Oct-10 13
Oppgave I butikken Vi har bare 3- kroner og 5- kroner. Det er ikke lov å veksle. Hva slags priser kan vi ha i butikken? Hva hvis vi bare hadde 4- kroner og 9- kroner? Eller bare 3-5- og 7- kroner? 25-Oct-10 14
2. Tallenes oppbygnad Tallområdet 11-20. Viktigste tallområdet Tiervennene må sitte først. Addisjon og subtraksjon parallelt Subtraksjon som helhet, sammenligning, forskjell X X X X X X X X Hvor mange flere har A enn B? (5-3=2) Winnetkakort med begreper og tall 25-Oct-10 15
Addisjon og subtraksjon i fire kategorier Oppgavenes struktur spiller en stor rolle for hvor vanskelig oppgavene vil være for elevene. Nødvendig at elevene får gjort erfaringer med alle disse aspektene ved addisjon og subtraksjon slik at de får utvikle rike begreper. Dvs at de både vet når det er passende å bruke de ulike regneoperasjonene, og at de har gode faktakunnskaper og ferdigheter som kan tas i bruk i selve regnearbeidet. 25-Oct-10 16
1. Endring Her har man et antall av et eller annet, så får man noen til (sammenslåing), eller noe forsvinner (separering), slik at en får et nytt antall til slutt. Tre ulike typer oppgaver (A + B = C) 1. Anne har 8 epler. Hun plukker 5 til. Hvor mange epler har hun nå? C er ukjent 2. Anne har 8 epler. Hun plukker noen flere, slik at hun har 13 stykker. Hvor mange plukket hun? B er ukjent 3. Anne har noen epler. Hun plukker 5 til. Da har hun 13 epler. Hvor mange hadde hun først? A er ukjent 25-Oct-10 17
1. Endring Eksempel på separering: A B = C Også her finner en tre ulike typer. 1. Anne har 13 epler i en pose. Så gir hun bort noen til broren. Da har hun 8 igjen. Hvor mange epler gav hun til broren? B er ukjent. Kan dere finne eksempel på de to andre typene? 25-Oct-10 18
2. Kombinere Her kombineres to mengder av et eller annet, eller en mengde separeres i to. A1 + A2 = B A = B1 + B2 Her kan en lage oppgaver av to forskjellige typer, avhengig hva som er ukjent. 1. Anne har 13 epler. 5 røde og resten grønne. Hvor mange grønne har hun? B2 er ukjent 2. Anne har 5 røde og 8 grønne epler. Hvor mange epler har hun? B er ukjent 25-Oct-10 19
3. Sammenligne I oppgaver i denne kategorien handler det om å sammenligne antallet i to mengder. Denne strukturen kan illustreres slik: A1 A2 D A1 og A2 er de to mengdene, mens D er differansen mellom dem 25-Oct-10 20
Tilpasning gjennom ulike presentasjonsformer Subtraksjon ved sammenligning - differanse 20-13= Hvor mye mangler på at de to rekkene blir like lange? Syv er forskjellen mellom 20 og 13 25-Oct-10 21
4. Å gjøre likt Oppgaver av denne kategorien er omtrent som i sammenligningskategorien, men her skal vi utligne forskjellen. Eksempler: 1. Anne har 13 epler, mens Berit har 5. Hvor mange flere må Berit få for at hun skal ha like mange som Anne? 2. Berit har 5 epler. Hvis hun får 8 til, vil hun ha like mange som Anne. 3. Anne har 13 epler. Hvis Berit får 8 til, vil hun ha like mange som Anne. Hvor mange epler har Berit? 25-Oct-10 22
For at elevene skal utvikle gode begreper, er det nødvendig både med regneferdigheter og med kunnskap om når faktaene og ferdighetene bør brukes. Elevene må få gjøre erfaringer med alle de forskjellige strukturene hvor begrepet kan bringes på bane. Dette gjøres gjennom en bevisst variasjon i strukturen i oppgavene elevene arbeider med, og i hvilken av størrelsene som er den ukjente. 25-Oct-10 23
3. Hoderegningsstrategier 80 % av all regning gjøres i hodet Hoderegningsstrategier Gjør oppgavene på arket 25-Oct-10 24
Regnestrategier og se matematiske sammenhenger 25-Oct-10 25
3. Hoderegningsstrategier Sortere oppgaver etter strategier LETT VANSKELIG Sortere oppgaver etter valg av regnemåter HODEREGNING LOMMEREGNER OPPSTILLING SANNSYNLIG USANNSYNNLIG 25-Oct-10 26
3. Hoderegningsstrategier En er rett, hvilken? Hva er det for feil på de andre? 376-149=? 370-150=220 220+6+1=225 376-100=276-40=236-9=227 380-150=230 230-4+1=227 300-100=200 200-30-3=167 300-100=200 70-40=30 6-9=3 200+30+3=233 25-Oct-10 27
Multiplikasjon Blir elevene flinke til å multiplisere ved å pugge gangetabellen? Lærebøkene bruker oftest for banale oppgaver innbyr til telling for eksempel kuber i 2 grupper Når elevene skal løse multiplikasjonsoppgavene bruker de: 1. Addisjon, for eksempel 4x3 = 3+3=6+3=9+3=12 2. Gjentatt addisjon, 7x5=5+5+5+5+5+5+5 men elevene løser heller oppgaven som 10+10+10+5 dvs bruker addisjon 3. Rekketelling Tallene blir bare gjentatt som sekvens. F.eks ved 4x2 vil eleven telle 2,4,6,8 4. Fordobling Elever som har oversikt over tallrekka, de kan rekketelling og kan bruke fordobling. De regner sjelden feil. 25-Oct-10 28
Hva bør vi fokusere på? Å vektlegge rollen til like grupper Å vektlegge forskjellen mellom mengde og element i hver mengde Å havne i situasjoner som er multiplikative (hva er multiplikasjon) Elevene bør få erfaring tidlig at dette er en effektiv operasjon, vi lærere må gi elevene store tall Oppgaver knyttet til dagligliv Være bevisst på at 3 multiplisert med 4 (3+3+3+3) ikke er det samme som 3 ganger 4 (4+4+4). 25-Oct-10 29
Se oppgaver Hvilken strategi, er lurt å bruke ved de ulike oppgavene? 25-Oct-10 30
3. Hoderegning - multiplikasjon Dobling: 2 x 6 = 12 4 x 6 = 24 8 x 6 = 48 Halvering og dobling: 5 x 8. 10 x 4 En mer og en mindre: 6 x 7 =?. 5 x 7 = 35.. + 7 = 42 Gange med hele tiere og hundrere Divisjon og multiplikasjon parallelt 25-Oct-10 31
Spill og oppgaver med halvering og dobling 25-Oct-10 32
4. Automatisering av ferdigheter Viktig og artig! Frigjør kapasitet til problemløsning og til ny læring 25-Oct-10 33
Automatisering av ferdigheter Elever har behov for å øve på automatisering av matematikk kunnskaper i alle skoleår. Øvingen bør skje i korte og avgrensede perioder. Elevene bør stimuleres til: Å øve på addisjons- og subtraksjonstabeller mellom 0 20. Å øve på multiplikasjonstabellene. Å øve på formler og regneregler Å innarbeide rutiner med korte øvingssekvenser for hele klassen. 25-Oct-10 34
Hundreruta mi 25-Oct-10 35
25-Oct-10 36
Automatisering av ferdigheter Snuboks Tre på rad Fluesmekker Winnetkakort Bingo Kortstokk Terningsspill Hoppespill (ute, gymsal, korridoren) Skrive på ryggen Ukeprøver Multiplikasjons striper 25-Oct-10 37
Automatisere tallkombinasjoner 18-venn bingo Sett inn tallene 6-16 25-Oct-10 38
Hvorfor gå og huske på, de ting en heller kan forstå! 25-Oct-10 39
Problemløsning - kommunikasjon Kommunikasjon og resonering i matematikk er viktig Viktig med samarbeid i matematikk, noen å diskutere med. Alt samarbeid begynner med at man kan arbeide selvstendig. To typer oppgaver: 1.Vanlige problemløsningsoppgaver 2.Åpne spørsmål 25-Oct-10 40
1. Problemløsning Målet er å komme på en løsning på problemet, kunne vise løsningen på problemet, kunne forklare for noen hvordan jeg tenkt, jeg er delaktig i diskusjonen etterpå. Arbeidsgangen 1. Elevene leser stille for seg selv 2. Læreren svarer på spm og tydeliggjør begreper 3. Elevene arbeider i smågrupper, viktig at alle elever skriver selv 4. Elevene viser og forteller hvordan de løst oppgaven 5. Læreren leder diskusjonen og viser på samband og generaliseringer. 25-Oct-10 41
Læringsstrategier i matematikk Gerd Fredheim: 1. Les gjennom oppgaven 2. Sett ring rundt spørsmålet 3. Strek under ledetråder og ord som er ledetråder 4. Tegn oppgaven 5. Sett det opp som et regnestykke 6. Regn ut 25-Oct-10 42
1. Problemløsning Forskjell på tekstoppgaver og problemløsning Matematisk julekalender Abelkonkurransen Kengurukonkurransen Tenk kreativt ALP Gudrun Malmer : A-, B-, begrepsnivå og C- nivå, evne til kreativ og konstruktiv tenking 25-Oct-10 43
2. Åpne spørsmål Alle lykkes Skaper diskusjonsmuligheter Lav inngangsterskel Du kan differensiere oppgaven Du har leselekse. Du leser like mange sider hver dag. Hvor mange sider leser du på en uke? Hvor mange sider leser du på en måned? Hvor mange sider blir det om du leser 23 sider om dagen? 2,5 sider om dagen?...? (differensiering) 25-Oct-10 44
Undersøkelseslandskap Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap om oppgaver som innebærer at elevene må være kreative problemløsere. Opp mot undersøkelseslandskapet setter han oppgaveparadigmet, som Geir Botten oversetter med tradisjonelle matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige svar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet, som er mer åpne. 25-Oct-10 45
Undersøkelseslandskap Læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et undersøkelseslandskap. Lærer: Hva tror dere vil skje hvis... Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å undersøke Elev: Men kan det være slik at... Elev: Ja, men hva skjer hvis... Elev: Og hvis... Lærer: Hvorfor det, tro? Elev: Ja, hvorfor det. Kan det være slik at... Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må være... 25-Oct-10 46
2. Åpne spørsmål/undersøkelseslandskap 1. Gjennomsnittsalderen i en familie er 25 år. Hvor gamle er hver og en i familien? 2. Brenn en cd (finn en hitliste der sangenes lengde står) På cd:en får det plass 50 minutter musikk. Hvilke sanger vil dere ha med? 3. Anna skal ha fest. Hun vil ha fruktsalat. Hun kjøper flest epler, hun kjøper færre appelsiner enn bananer. Hva kjøper hun? 4. Gjør oppgaver som passer til svarene. Bruk addisjon, subtraksjon, blandede regnemåter a. 243 b. 1 c. 432 25-Oct-10 47
Hva kan vi gjøre på skolen? Kan man omfordele ressursene? Hvem skal hjelpe elever som trenger mer hjelp? Hva er best? Hjelpe de i klassen eller ta de ut? Og ikke minst hvem av lærene skal ha timene? For 2 år siden prøvde vi noe nytt 25-Oct-10 48
Matematikkurs? Lese- og matematikkurs Dette er et tiltak for de elevene som trenger en andre sjanse for å komme videre i sin lese- og matematikkutvikling slik at de kan nå målene. Hovedmål Å forebygge tapsopplevelser. Elever som ikke lykkes godt nok i den tidlige opplæringen får ofte sekundærvansker som dårlig selvbilde og usikkerhet. Dette fører igjen til svakere innsats og prestasjon videre i skolearbeidet. Gjennom å gripe fatt i problem ved et tidlig tidspunkt kan vi sørge for at et stort flertall elever opplever å lykkes i den første lese- og matematikkopplæringen. Mål: Målet er at elevene skal kunne lese og regne på gjennomsnittsnivået for sitt klassetrinn. Innen en periode på 3 år ønsker vi primært at dette tilbudet bare skal gjelde elever fra 2. -4. trinn. 25-Oct-10 49
Hva er matematikkurset? Et individuelt eller klasse treningsprogram for elever som trenger en andre sjanse for å oppnå forventet tallforståelse og tallbehandling på sitt trinn. Det består av en 70 minutters økt tre dager per uke sammen med en lærer. Økten inneholder noen faste aktiviteter og følger en oppsatt mal. Programmet varer fra 3-6 uker. Det kan være aktuelt for noen elever å få delta på et nytt kurs. Programmet forutsetter et forpliktende samarbeid med hjemmet. Der foreldrene må underskrive et kontrakt. Etter avsluttet kurs skrives det en evaluering som legges i elevens mappe. 25-Oct-10 50
Hvordan får jeg det til? En rapport som kom i 2008 heter: Lærerkompetanser og elevers læring i førskole og skole Den bygger på analyse av forskning som er gjennomført de siste årene. Fremkommer at matematikk har mye felles med øvrige fag, men på enkelte områder bør undervisningen i dette faget være annerledes enn i andre fag. 25-Oct-10 51
Hva sier rapporten? 1. Lærer bør lede læringsarbeidet gjennom felles start og fellesoppsummering. 2. Læreboka ser ut å ha en sentral plass i undervisninga. 3. Variasjon i metode og tilnærming for å nå flest mulig elever. 4. Det faglige innholdet bør relateres til mange forskjellige sammenhenger. 5. Helklasseundervisning der elevene får bidra med innspill og samtidig får personlig oppfølging og tilbakemelding gir positiv læringseffekt. 6. Klare og tydelige mål for læringsarbeidet. 25-Oct-10 52
Målet er at læreren er opptatte av refleksjon og matematiske samtale med elevene, verdsetter elevenes løsinger, og oppfordrer de til å skriftliggjøre sine oppdagelser. Hver time har en lærerstyrt oppstart: hva skal vi lære i dag? hva kan dere om dette fra før? Hver time blir avsluttet med oppsummering og metakognisjon hva har vi lært i dag?. 25-Oct-10 53
Lærerne er nøkkelen til suksess! Holder faglig fokus: Læring viktigere enn aktivitet Underviser for begrepsforståelse Ser og utnytter sammenhenger Legger opp til konstruktive diskusjoner Utfordrer og stiller faglige krav til alle elever Utvikler positive holdninger Kjærnslie m. fl. (2007) PISA-undersøkelsen Askew m. fl. (1997), Effective Teachers of Numeracy Clark m fl. (2002), Early Numeracy Research Project, Final Report 25-Oct-10 54