Oppgave Løsningsfoslag Eksamen i fag TEP40 Fluidmekanikk Onsdag 8 desembe 00 kl 500 900 Hastighetspotensialet fo en todimensjonal potensialstømning av en inkompessibel fluid e gitt som: (, ) Acos ln () A og e positive konstante og og θ e sylindekoodinate a) Hastighetskomponentene u og u θ finnes ved å patielldeivee i henholdsvis og θ etning (se ligning (0 3) elle tabell 0 ): u Acos () u A( sin ) 0Asin (3) Langt unna oigo, altså nå, vil / gå mot null og hastighetsfeltet bli demed: u Acos u Asin Dette hastighetsfeltet kan enkelt tansfomees til katesiske koodinate de u og v e hastighetene i henholdsvis x og y etning (buk fo eksempel ligning (0 39)): u u cos u sin Acos Asin A vu sin u cos Acossin Asincos 0 Langt fa oigo e dette altså en stømning med konstant hastighet A i positive x etning b) I et stagnasjonspunkt e hastighetsvektoen lik null Demed må alle hastighetskomponentene væe null i stagnasjonspunktet En stømning kan ha ett elle flee stagnasjonspunkt, men det tenge ikke å væe stagnasjonspunkt i enhve stømning Eventuelle stagnasjonspunkt i det foeliggende stømningstilfellet finnes ved å sette både u og u θ fa lingingene () og (3) lik null:
u Acos 0 (4) u Asin 0 (5) Vi se umiddelbat at u θ = 0 både nå θ = 0 og θ = π, altså langs den positive og negative x aksen Kavet at u = 0 oppfylles bae nå: Acos elle A cos Ax, det vil si x / A Siden det e oppgitt at både A og e positive konstante bety dette at vi ha et stagnasjonspunkt på den negative x aksen, altså i punktet gitt ved x / Aog y 0 I polakoodinate bli dette stagnasjonspunktet i s og de s / A Det finnes ikke ande stagnasjonspunkt i denne stømningen c) Stømfunksjonen ψ(, θ) finnes ved å integee ligningen (9 7) (se også figu 9 7): u elle u A cos (6) u elle u Asin (7) Vi foeta en patiell integasjon av den føste av disse to ligningene, ligning (6), og få da A sin f ( ) de f () e en vilkålig funksjon av Dette esultatet kan nå deivees patielt med hensyn på : Asin 0 f '( ) Ved å sammenligne med ligning (7) finne vi at f '( ) 0, det vil si at f () e en en konstant (uavhengig av ) Det e oppgitt at ψ = 0 i stagnasjonspunktet og dette kavet benyttes til å bestemme f () : ( s, ) Assin f( ) 0 Demed finne vi at f () 0 og det endelige esultatet kan skives som: (, ) Asin Asin ( )
d) Hastighetsfeltet e vivlingsfitt nå vivlingsvektoen V 0 (se ligning 0 9) Vivlingsvektoen i sylindekooindate e gitt i ligning (4 3) Fo todimensjonal støming i (, θ) planet foenkles denne til: ( u ) u k i følge ligning (4 33) Hvis vivlingen ikke e lik null stå altså vivlingsvektoen nomalt på (, θ) planet Vi sette nå inn fo de to hastighetskomponentene og få: Asin Acos k Asin ( Asin ) k 0 Det e demed påvist at vivlingen e identisk lik null ovealt og stømningen e demed vivlingsfi Vi kan defo (på gunn av vivlingsfihet) benytte enoullis ligning (0 7) ove alt og ikke bae langs en stømlinje: P V P V gz gz i vilkålig punkt (, ) uendelig langt fa oigo, Tyngekaften e ikke nevnt i oppgaveteksten og vi kan defo anta at stømningen foegå i hoisontalplanet slik at den potensielle enegien e den samme ovealt I spøsmål a) viste vi at hastighetsvektoen bli lik A i støelse langt bote fa oigo Vi få demed at A P (, ) P Acos Asin A P A cos cos Asin A Med buk av den tigonometiske identitetensin cos foenkles dette slik at vi få løsningen: A P (, ) P cos Det kan bemekes at tykket i stagnasjonspunktet s / A og bli P(, s ) P A Dette stagnasjonstykket e det ikke sput ette i oppgaven e)fo at en flate skal kunne oppfattes som en mateiell flate må den væe sammenfallende med en stømlinje Dette e en nødvendig betingelse siden det ikke kan stømme gjennom
en mateiell flate og det kan helle ikke stømme på tves av en stømlinje (se kapitel 4 ) Stømlinje kjennetegnes blant annet av at stømfunksjonen e konstant langs en stømlinje (kap 9 3) La oss sette inn s( )/sini uttykket fo stømfunksjonen fa spøsmål c): s( ) (, ) Asin ( ) A sin ( ) ( As)( ) 0 sin Stømfunksjonen e altså like null langs den oppgitte flaten som demed kan oppfattes som en mateiell flate Denne flaten e ikke ulik baugpatiet på et skip med stagnasjonspunktet midt foan Konstanten A e ganske enkelt stømningshastigheten langt bote fa oigo Hvis det e skipet som bevege seg og vannet e i o vil A væe skipets masjfat 0 Oppgave I føste del av denne oppgaven betakte vi et ø med sikulæt tvesnitt som stå på høykant og benyttes som en vanntank Røet e lukket nedest men e åpent i toppen fo å kunne samle opp egnvann med tetthet Røet ha lengde L og en inde diamete D Atmosfæetykket e p a a) Røet e halvfullt med stillestående vann Tykket øke lineæt nedove i vannet og i dybden h unde vannspeilet e tykket gitt ved ligning (3 8): P P gh a () Ved bunnen av øet e vanndybden h lik L/ og vanntykket på bunnen bli defo lik: P Pa gl () Tykket e det samme ove hele den sikulæe bunnen og kaften som vike fa vannet på kaets bunn bli defo: F PA Pa gl D (3) 4 Denne kaften vike vetikalt nedove, altså i samme etning som tyngekaften b) Vannet vames opp av solstålingen slik at tettheten minske til = 098 Vi se bot fa fodampning og massen til vannet i tanken demed bevat: V V
de V og V e vannvolument fø og ette soloppvamingen Vi finne demed at ha ha som gi oss den nye vanndybden: L h h / elle h 050L (4) 098 Vi kan nå buke ligning () med i stedet fo og få da at P Pa gh Pa g( h/ ) Pa gh Pa gl som e eksakt samme tykk på bunnen som fø soloppvamingen (se ligning ) Dette kunne man ha innsett siden vannmassen som holdes oppe av bunnen e ufoandet Siden vanntykket mot bunnen e det samme fø og ette soloppvamingen vil også kaften fa vannet mot bunnen væe den samme Kaften F e altså lik F som e bestemt av ligning (3) Vi betakte nå stømningen i en øledning som føe vann fa en kilde A som ligge i høyde H = 35 mete ove badehuset Enegiligningen fo stasjonæ stømning fa A til kan skives slik (ligning 5 77): P A A V A za h P V pumpe z htubin hl (5) g g g g de den totale tapshøyden ifølge ligning (8 58)e: L V V j h f K D g g i i L i L, j i i j (6) c) Stømningen i øledningen e tubulent og kinetisk enegi koeksjonsfakto α kan defo settes tilnæmet lik 05 Vi anta atmosfæetykk PA Patmog neglisjeba vannhastighet VA 0 ved kilden I badehuset stømme vannet ut med hastighet V i atmosfæen, dvs P Patmog høydefoskjellen za z H 35m Med disse antagelsene foenkles ligning (5) til: V za z hl (7) g
Vi ha foutsatt at ingen stømningsmaskine (pumpe og/elle tubine) e involvet Røledningen e satt sammen av 00 like ølengde av L = 3 metes lengde og innvendig diamete D = 60 mm Den totale tapshøyden i (6) kan defo uttykkes som: 00LV V 00L V hl f (00 ) KL f 99KL (8) D g g D g Lokale tap ved innstømningen og utløpet kan neglisjees Vi kan nå sette inn dette uttykket i ligning (7) og finne da at: 00L H f 99K D Tapskoeffisienten L V (9) g KL fo hve enkel skjøt e oppgitt til 0 Fiksjonsfaktoen f avhenge av den elative uheten / D 060 mm/ 60mm 00 Fo et Reynold tall på fo eksempel 00 000 gi Moody diagammet i appendiks (figue A ) at f 0038 og vedien vaiee svæt lite med Re Haalands fomel (8 5) gi f 00383 fo dette Reynoldstallet Innsatt i Colebooks ligning (8 50) få vi da f 0038 Med disse tallstøelsene kan vi finne stømningshastigheten fa ligning (9): V gh 98ms 35m 8004ms 00L 300m 99 05 0038 99 0 f K L D 006m Volumstømmen (se ligning 5 8) bli demed: V VA ms m m s ls l 4 3 3 8004 (006 ) 509 0 509 3054 / min Disse esultatene e baset på antagelsen om at stømningen e tubulent La oss defo beegne Reynolds tallet: 3 VD 980kgm 8004ms 0060m 3 Re 64 659 650 3 0400 Nsm He ha vi benyttet oppgitte tallvedie fo tettheten og den dynamisk viskositeten Stømning i ø e tubulent fo Re 4 000 (se kap 8 ) og stømningen i øledningen i opgaven e defo utvilsomt tubulent d) En del av den tilgjengelige mekaniske enegien skal benyttes til å podusee elektisitet ved hjelp av en tubin Støst utbytte oppnåes nå det tanspotees 30 lite vann p sekund Da e stømningshastigheten:
V 3 3 V V 300 m s 06ms A D 006m 4 4 Med en tubin som ta ut enegi av stømningen bli ligning (5) V za z hl htubin (0) g i stedet fo den tidligee ligning (7) fa spøsmål c) Uttykket fo den totale tapshøyden hl e som fø gitt ved ligning (9) selv om hastigheten V nå e en annen (men fotsatt høy nok til at stømningen e tubulent) Demed kan vi ved å kombinee (9) og (0) finne: V 00L V htubin za z hl H f 99K L g D g Med tallvedie innsatt få vi nå: 06ms 300m htubin 35m05 0038 990 84m 006m 98ms Effekten W tubin e abeid Wtubin p tidsenhet (se kap 5 6) og beegnes som: W mgh Vgh tubin tubin tubin tubin tubin He e tubin tubinens vikningsgad som e oppgitt til 79% elle 079 Med tallvedie innsatt finne vi: 3 3 3 3 Wtubin 079980kgm 300 m s 98ms 84m 504kgm s 50W Dette e akkuat nok effekt til 3 halogenlampe á 40 Watt Oppgave 3 a) I denne oppgaven e bevegelsesligningen fo en viskøs væske gitt som: dv 0g elle dx dv dx g () de v e hastigheten langs y aksen i fohold til det viste koodinatsystemet (se figuen) Væsken ha viskositetskoeffisient og tetthet Denne ligningen e en
foenkling av Navie Stokes bevegelsesligning i y etningen (ligning 9 6c i læeboken) Ligning () e en ande odens odinæ diffeensialligning og vi tenge defo to gensebetingelse fo å bestemme løsningen av denne V y x g h p 0 Ved beltet må væsken hefte til beltet og heftbetingelsen ( no slip ) ligning (9 65) gjelde Dekomponet langs y aksen gi dette kavet: v V nå x 0 (a) Det e oppgitt at tangensialspenningen xy mellom væskefilmen og atmosfæen kan neglisjees Vi finne uttykket fo denne skjæspenningskomponenten fa ligning (9 56) som u v v xy y x x Oppgaven folange altså at denne skjæspenningen skal væe lik null på væskeoveflaten og vi få demed gensebetingelsen: dv 0 nå x h dx (b) Den foenklede bevegelsesligningen () integees føst en gang i x: dv g x C (3) dx og deette en gang til: g (4) vx ( ) x Cx C He e både C og C integasjonskonstante Med buk av gensebetingelsen (a) i (4) få vi:
v(0) 0 0 C V C V Ved buk av gensebetingelsen (b) i (3) få vi: dv g g h C 0 C h dx Med disse uttykkene fo C og C innsatt i (4) få vi den endelige løsningen: g vx ( ) V xh ( x) (5) b) Løsningen (5) ovenfo gjelde helt fa beltet til den fi væskeoveflaten Spesielt ved oveflaten få vi ved innsetting at: gh v(h) V (6) hvo / e den kinematiske viskositetskoeffisienten c) Uttykket (6) fo væskehastigheten v på væskeoveflaten vise at væsken kan bevege seg oppove (v(h) > 0) elle nedove (v(h) < 0) avhengig av hvo sto beltehastigheten V e i fohold til de ande støelsene som inngå i poblemet Figuen vise hvodan foholdet mellom filmhastigheten og beltehastigheten v/v vaie fa beltet (v/v = ) og utove i væskefilmen fo fem foskjellige vedie av paameteen c gh /V Vi se at oveflatehastigheten v(h) = 0 fo c = 0, v(h) > 0 fo c < 0 og v(h) > 0 fo c > 0 Dette kan sees også fa uttykket (6) ovenfo Hastighetspofilet fo c = 5 e et eksempel på et tilfelle de væsken enne nedove i den yte delen av væskefilmen selv om den tekkes oppove av beltet i omådet næ beltet
Volumstømmen i væskefilmen kan finnes som: h h h g h g 3 g 3 ( ) ( ) x 0 6 3 0 0 x0 V vxdx V xh x dxvx xh x Vh h Netto volumstøm V i filmen bli lik null nå uttykket ovenfo e lik null, altså nå beltehastigheten e lik: g V h 3 Dette spesielle tilfellet tilsvae at konstanten c definet foan e lik 3/ Et hastighetspofil fo c = 5 e vist i figuen ovenfo d) Vivlingsvektoen V fo plan stømning i (x, y) planet kan skives som: v u dv ( ) k k (7) x y dx Den siste delen av ligningen ovenfo gjelde bae nå hastighetskomponenten u i x etningen e lik null slik som i denne oppgaven Avhengig av om dv/dx e positiv elle negativ peke vivlingsvektoen i positiv elle negativ z etning Med dv/dx fa ligning (3) ovenfo og C innsatt i (7) få vi: dv g g h x h xk dx (8) Det samme esultatet kan finnes ved å deivee den endelige løsningen fa spøsmål a) Paentesen i (8) kan aldi bli negativ inne i væskefilmen siden x h Demed kan vi konkludee med at vivlingsvektoen alltid peke i negativ z etning, altså innove i papiplanet i figuen Ved oveflaten x h bli vivlingen alltid lik null