Løsningsforslag Øving 7

Løsningsforslag Øving 7 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 016 Oppgave 5- Løsning Vinden blåser med konstant hastighet 8 m/s. Vi ønsker å finne den mekaniske energien per masseenhet i vindstrømmen, samt det totale og det utnyttbare effektpotensialet i vinden. Antagelser 1 Vindstrømmen er stasjonær med konstant og uniform hastighet. Vindturbinens virkningsgrad er uavhengig av hastighet. Egenskaper Luftens tetthet er ρ = 1.5 kg/m 3. Analyse Den mekaniske energien i vinden er lik den kinetiske energien, og den kan i sin helhet omdannes til arbeid. Vindens energipotensial er derfor lik den kinetiske energien, som er lik V / per masseenhet og vindens effektpotensial er ṁv / for en gitt massestrøm. e mek = ke = V = (8 m/s) = 3 J/kg = 0.03 kj/kg ṁ = ρv A = ρv πd 4 = (1.5 kg/m 3 π(50 m) )(8 m/s) 4 = 19635 kg/s Ẇ maks = Ėmek = ṁe mek = (19635 kg/s)(3 J/kg) = 6.8 10 5 W = 68 kw Den mekaniske energien per masseenhet er lik 0.03 kj/kg og det totale effektpotensialet er lik 68 kw. Den produserte elektriske effekten finnes ved å multiplisere det totale effektpotensialet med vindturbinens virkningsgrad. Ẇ elektrisk = η vindturbin Ẇ maks = (0.30)(6.8 10 5 W) = 1.88 10 5 W = 188 kw Totalt 188 kw elektrisk effekt kan genereres av denne vindturbinen under de angitte vindforhold. Diskusjon Generert elektrisk effekt varierer proporsjonalt med vindhastigheten i tredje potens. Effekten vil derfor variere kraftig med endrede vindforhold. For løsningsforslag til MatLab-oppgaven, se MatLab LF7.m på It slearning. 1

Oppgave 5-51 Løsning Et fly flyr på en bestemt høyde med en gitt hastighet. Trykket på stagnasjonspunktet på nesen til flyet skal bestemmes, og tilnærmingen ved høye hastigheter skal diskuteres. Antagelser 1 Luftstrømmen over flyet er stasjonær, inkompressibel og virvlingsfri med neglisjerbare friksjonseffekter (slik at Bernoulli ligningen kan brukes). Standard atmosfæreegenskaper gjelder. 3 Vindeffekter er neglisjerbare. Egenskaper Tettheten til den atmosfæriske luften ved en høyde på 1000 m er ρ = 0.31 kg/m 3, se tabell A-11 i boken. Analyse Vi lar punkt 1 være langt foran flyet på samme høyde som flynesen, og punkt ved nesen hvor strømningen stagnerer. Merk at punkt er et stagnasjonspunkt, og derfor er V = 0 og z 1 = z, vi bruker Bernoulli ligningen mellom punkt 1 og P 1 ρg + V 1 g + z 1 = P ρg + V g + z V 1 g = P P 1 ρg V 1 = P stag P atm ρ = P stag,overtrykk ρ Vi løser for P stag,overtrykk P stag,overtrykk = ρv 1 Siden 1 Pa = 1 N/m og 1 m/s = 3.6 km/h. = (0.31 kg/m3 )(300/3.6 m/s) = 1083 N/m = 1083 Pa Diskusjon En flyhastighet på 1050 km/h = 9 m/s tilsvarer et machtall mye større enn 0.3 (lydens hastighet er omtrent 340 m/s ved romtilstander, og lavere høyere opp, og derfor er machtallet minst 9/340 = 0.86). Derfor kan ikke strømningen lenger antas å være inkompressibel, og Bernoulli ligningen gitt over kan ikke brukes. Dette problemet kan løses ved å bruke den modifiserte Bernoulli ligningen som tar hensyn til kompressibilitet, som antar isentropisk strømning.

Oppgave 5-6 Løsning Luft strømmer gjennom et venturimeter med kjent diameter og trykk. Vi skal finne et uttrykk for volumstrømmen og sette inn verdier for å få et tallsvar. Antagelser 1 Strømningen gjennom venturimeteret er stasjonær, inkompressibel og virvlingsfri. Friksjon kan også neglisjeres, slik at vi kan anvende Bernoullis ligning. Vi antar at trykket er konstant over et tverrsnitt av venturimeteret, fordi tettheten til luft er såpass lav. (Trykket varierer ikke med høyden.) 3 Strømningen er horisontal. Egenskaper Tettheten til luft er ρ = 1. kg/m 3. Analyse Vi velger punkt 1 i første del av røret, hvor diameteren er konstant i strømningsretningen, og punkt i strupen hvor diameteren er minst. Begge punkt plasseres på rørets senterlinje for å følge en strømlinje. Vi ser at z 1 = z, så Bernoulli ligningen for punkt 1 og kan skrives på formen P 1 ρg + V 1 g + z 1 = P ρg + V g + z P 1 P = ρ V V 1 Vi har antatt at strømningen er inkompressibel, så tettheten er konstant. Konservering av masse gir at massestrømmen ρav = konstant. Vi kan stryke ρ og får da uttrykket for volumstrøm: V 1 = V = V A 1 V 1 = A V = V V 1 = V og V = V A 1 A Vi setter dette inn i uttrykket for trykkdifferansen P 1 P = ρ ( V/A ) ( V/A 1 ) = ρ V ( ) A 1 A A 1 Vi løser for V og får (P 1 P ) V = A ρ[1 (A /A 1 ) ] Volumstrømmen for dette tilfellet kan regnes ut ved å sette inn verdier V = πd (P 1 P ) π(0.046 m) (84 81) 10 4 ρ[1 (D /D 1 ) 4 = 3 N/m ] 4 (1. kg/m 3 )[1 (0.046/0.066) 4 ] = 0.134 m3 /s Diskusjon Man kan benytte et venturimeter for å finne volumstrømmen til gasser og væsker på en enkel måte. Man trenger kun å måle trykkdifferansen P 1 P. Den reelle volumstrømmen vil dog være noe lavere enn svaret man får ved å benytte ligningen vi har utledet, på grunn av 3

friksjonstap. Men forskjellen kan være så liten som 1 % i et godt venturimeter. Vi kan ta høyde for friksjonstapet ved å innføre en tapskoeffisient for utsrømning C d for venturimeteret (P 1 P ) V = C d A ρ[1 (A /A 1 ) ] C c har en verdi under 1 og kan være så høy som 0.99 for et godt venturimeter. Koeffisienten øker også med Reynolds-tallet, og for Re > 10 5 er koeffisienten som regel større enn 0.96. 4

Løsning oppgave: Oppdriftsreduksjon. «Squat effect» a) Massen til lasten. Her kan vi bruke Archimedes: Oppdrift = vekt av fortrengt fluid. m m lekter lekterlast h b 10 h b 1 1 10 5 5 mlast bh bh 10 kg b) Finner strømningshastigheten U fra massebevarelse: V0bd V0bd UBH bd U BH bd c) Finner vanntrykket med Bernoulli fra overflaten til like under lekteren: a 1 bd 0 gh g(h d) p pa gd V0 p p U BH bd d) Nå kan vi ikke bruke Archimedes fordi vannet har hastighet under kjølen, vi må bruke definisjonen på Oppdrift Netto trykkraft. Svaret fra c) med kritisk dybde d = h: bh bh 1 p pa gh V0 BH (1) Liktevekt krever F=0 i vertikalretningen på lekteren, netto trykkraft = mg: 1 1 p p p p b m g ghb gh innsatt i (1): a lekter last a BH bh V0 gh Tallverdi V0 = 4.5 m/s bh Hvis skipperen dumper lasten: 1 1 p p p p b m g ghb gh innsatt i (1): a lekter 10 a 10 BH bh 9 V0 5 gh Tallverdi V0 = 6.0 m/s bh Trykket under lekteren avtar med V0, så det hjelper ikke skipperen mye å dumpe lasten. Passasjerbåten Queen Elizabeth II gikk på grunn i 199 syd for Boston, og havarikommisjonen konkluderte at årsaken var «Squat Effekt». Det spekuleres også om denne effekten var en medvirkende årsak til Costa Concordia-ulykken i 01.

Oppgave 5-64 Løsning Et pitotrør utstyrt med et vannmanometer holdes parallellt til en luftstrømning, og høydeforskjellen til vannkolonnene måles. Strømningshastigheten til luft skal bestemmes. Antagelser 1 Strømningen av luft er stasjonær, inkompressibel og virvlingsfri med neglisjerbare friksjonseffekter (slik at Benoullis ligning kan brukes). Effekten til luftkolonnen på trykkforandringen er neglisjerbar på grunn av luftens lave tetthet, og derfor kan luftkolonnen i manometeret utelates i utregningene. Egenskaper Vi lar tettheten til vann være ρ vann = 1000 kg/m 3. Tettheten til luft er gitt til ρ luft = 1.16 kg/m 3. Analyse Vi lar punkt 1 være på siden av røret hvor innløpet er parallellt med strømningen og er festet til den statiske armen til det pitotstatiske røret, og punkt være på tuppen av røret, hvor innløpet står normalt på strømningen og er festet til den dynamiske armen til det pitotstatiske røret. Punkt er et stagnasjonspunkt, derfor er V = 0 og z 1 = z, Bernoullis ligning mellom punkt 1 og gir P 1 ρ luft g + V 1 g + z 1 = P ρ luft g + V g + z P 1 ρ luft g + V 1 g = P (P P 1 ) V 1 = ρ luft g ρ luft Trykkøkningen ved tuppen av det pitotstatiske røret tilsvarer trykkforandringen som vises av høydeforskjellen i vannkolonnene i manometeret. P P 1 = ρ vann gh Vi setter dette inn i uttrykket for V 1 og får ρ vann gh (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s )(0.055 m) V 1 = = ρ luft 1.16 kg/m 3 = 30.5 m/s Diskusjon Merk at strømningshastigheten i et rør eller i en kanal kan måles enkelt med et pitotstatisk system ved å sette det pitotstatiske systemet inn i røret eller kanalen parallellt med 6

strømningen, og måle høydeforskjellen i manometerarmene. Merk også at dette er hastigheten ved pitotrøret. Målinger ved ulike posisjoner i et tverrsnitt kan brukes til å bestemme den gjennomsnittlige strømningshastigheten. 7