Løsningsforslag nr.4 - GEF2200

Transkript

1 Løsningsforslag nr.4 - GEF2200 i.h.h.karset@geo.uio.no Oppgave 1 - Definisjoner og annet pugg s a) Hva er normal tykkelse på det atmosfæriske grenselaget, og hvor finner vi det? 1-2 km. fra bakken og oppover i troposfæren b) Hva er en inversjon, og hva har det med grenselaget å gjøre? et meteorologisk fenomen hvor temperaturen øker med høyden. Her har vi veldig sterk stabilitet og det er veldig vanskelig for luften som ligger under å trenge gjennom denne inversjonen. Jo større temperaturøkning med høyden, jo mer stabilitet. c) Hva kalles lufta over grenselaget? Fri troposfære d) Gi en kort definisjon på det atmosfæriske grenselaget. den delen av den nedre troposfæren som føler effekten til endringer som skjer på bakken innen 30 min e) Hva er dette: Det sørger for at fuktighet og forurensing er godt blandet i grenselaget Det skjer på mikroskala, inni skyer og i grenselaget Det består av flere eddier som interakterer ikke-lineært for å lage tilfeldige, kaotiske bevegelser f) Hva menes med laminær bevelgelse, og hva er det absolutte motsatte? Rettlinjet bevegelse. Glatt og fin, uten forstyrrelser. Det absolutte motsatte er turbulens g) Forklar hvordan turbulens oppstår Mekanisk, termisk eller inertielt. Mekanisk turbulens (tvungen konveksjon) oppstår som regel pga vindstress mot bakken. Dette fører til svakere vind helt nede ved bakken sammenliknet med litt høyere opp. rær, bygninger osv forsterker dette. ermisk turbulens (konvektiv turbulens) forårsakes av oppstigende luft pga oppvarming og nedsynkende luft pga nedkjøling. Sistnevnte turbulens oppstår ved at større eddies 1

2 gir opphav til flere små. Merk: turbulens oppstår fordi naturen søker likevekt. I tilfeller hvor vi plutselig får instabilitet, søkes det etter stabilitet igjen. Har man f.eks. luftstrømmer med ulike hastigheter, forsøker tubulens å utligne dem. Har vi varm luft under kald luft, forsøker turbulens å frakte varm luft opp og kald luft ned for å få stabilitet igjen. h) Hva står KE for urbulent Kinetisk Energi i) Hvor langt frem i tid kan klarer vi å simulere eddier? Kommer an på størrelsen. Store eddier: min, mindre eddier (100 m): 1 min, de minste eddiene (1 mm - 1 cm): få sekunder j) Forklar hva som menes med at turbulens er hhv. stasjonær, homogen og isotropisk. Stasjonær: den varierer lite med tiden. Homogen: den varierer lite fra sted til sted. Isotropisk: den varierer lite med hvilken retning man ser på. k) Forklar hva følgende likning uttrykker: KE/m t = Ad + M + B + r ε Likningen forteller hvordan den spesifikke turbulente kinetiske energien endres over tid. Man har delt på massen, for å få spesifikk energi, altså energi per enhetsmassen. Ad er adveksjonen av KE med gjennomsnittshastigheten (altså hvordan den forflytter seg), M er mekanisk generert turbulens (generert av vindstress), B er oppdrift generert eller konsumert av turbulens, r er transport av turbulens av turbulensen selv, mens ε er raten turbulensen forsvinner med (går over i indre energi ved molekylær viskositet). l) b) Bruk likningen over til å forklare at turbulens sies å være dissipative. Fra likningen over ser vi at dersom vi ikke har kilde- eller slukledd (Ad, M, B, r), vil vi uansett ha at turbulensen vil avta over tid (gitt at vi har en turbulens...), siden ε = (( KE/m) 3/2 )/L ε m) Hva er Richardson tallet og hvordan er det definert? Det er et mål på hvor turbulente strømninger vi har under statisk stabile atmosfæriske forhold. Dersom Ri < 0, 25 har vi turbulens. Dersom Ri > 1, 0 har vi laminære strøminger. 0, 25 < Ri < 1, 0 kommer an på settingen. Ri er definert som B/M. Under stabile forhold vil en luftpakke som stiger eller synker konsumere KE, hvilket fører til at B-termen i utrykket er negativ. Ri er derfor et positivt tall. 2

3 Dersom produksjonen av KE pga mekanisk generert vindstress (M) er mye større enn destruksjonen av turbulens pga oppstigende/nedynkende luftpakker i den statisk stabile lufta (B), vil vi ha turbulens (Ri < 0, 25) Oppgave 2 Når man skal regne på turbulens, dekomponerer man ofte turbulente parametre (som vind, potensiell temperatur m.m.) i en midlet og en perturbert komponent: θ = θ + θ. Dette kalles Reynoldsmidling. Når man skal regne på Reynoldsmidlede parametre har man en del regler å følge: 1. θ = 0 (Fordi summen av alle fluktasjonene over tidsperioden man har midlet er lik null) 2. θ = θ (Fordi gjennomsnittet til θ ikke varierer over perioden man midler over) 3. θ + w = θ + w (Fordi 1 (θ + w) dt = 1 θ dt + 1 w dt = θ + w) 4. cθ = cθ, hvor c er konstant. (Fordi 1 cθ dt = 1 c θ dt = cθ) a) Vis at θw = 0 b) Vis at wθ = wθ + w θ θw = 1 = θ 1 = θ w = θ 0 = 0 θw dt w dt wθ = (w + w )(θ + θ ) = (θw + θw + wθ + θ w ) = (θw + θw + wθ + θ w ) (fra regel 3 over) = θw θ w (θw = θw fordi 1 θw dt = θw 1 = θw + θ w dt = θw) 3

4 c) Forklar hvorfor w θ θ w = 0 Dere vet fra tidligere at når man skal integrere et produkt, kan man ikke integrere hver av faktorene for seg, for så å multiplisere svarene sammen til slutt. Dersom en av faktorene ikke er avhengig av variabelen det integreres over, kan man sette denne utefor integralet, integrere den andre faktoren, for så å multiplisere dem sammen, men dette er ikke tilfelle for θ og w er begge avhengige av t. Oppgave 3 Intensiteten til turbulensen i u-retning er definert som variansen σ 2 = 1 N N [u i u] 2 = 1 N i=1 N [u i] 2 = [u ] 2, i=1 altså et mål på hvordan vindhastigheten gjennomsnittlig avviker fra gjennomsnittsvinden over en tidsperiode på en halvtime. (u i er avikket fra gjennomsnittet u ved måling nummer i, altså har vi at u i = u i u. Her har vi altså Reynoldsmidlet hastigheten. Dersom man har diskrete verdier blir det å summere over N det samme som vi gjorde i forrige oppgave hvor vi integrerte over ). Studer abell 1 under og finn ut hvor, når og for hvilke vindkomponenter tubulensen er a) Stasjonær At turbulensen er stasjonær betyr at den ikke endrer seg med tiden, slik at a 2 = 0. Dette er tilfelle på lokalisasjon A for u t 2, og lokalisasjon B for v 2. b) Homogen At turbulensen er homogen betyr at de statistiske verdiene ikke endrer seg med lokalisasjon, slik at a 2 = 0, hvor r er distanse. Dette er r tilfelle for u 2 kl , for v 2 kl of for w 2 kl c) Isotropisk At turbulensen er isotropisk betyr at den er lik i alle retninger, dvs at u 2 = v 2 = w 2. Dette er tilfelle på lokalisasjon A kl

5 abell 1: Varianser til vinden i u-, v- og w- retning. Enhet: m2 s 2 Komponent Hvor Sted A Sted B Når u 2 0,5 0,5 0,7 0,5 v 2 0,25 0,5 0,25 0,25 w 2 0,7 0,5 0,7 0,25 Oppgave 4 I abell 2 har vi oppgitt momentane målinger av potensiell temperatur (θ) og vertikal hastighet (w). a) Fyll inn alle de tomme rutene i tabellen. b) Verifiser likheten wθ = wθ + w θ c) Hvilket av leddene i likheten i oppgave b) representerer kovariansen, og hva forteller denne kovariansen oss? w θ. Dette leddet forteller hvordan θ og w samvarierer. d) Hvilke verdier av kovariansen er knyttet opp mot en statisk stabil atmosfære? w θ < 0 e) Gitt positiv kovarians; vil en forstyrrelse (perturbasjon) av en luftpakke før til transport av varme opp eller ned? (Se Figur 9.8 i boka) Når vi har en positiv kovarians, har vi et ustabilt grenselag, som i Figur 9.8a). Vi ser at varmetransporten skjer oppover. f) Bruk abell 2 og avgjør om det her er snakk om et stabilt eller ustabilt grenselag, og om transport av varme skjer opp eller ned. Fra den ferdigutfylte tabellen ser vi at w θ > 0. Dette svarer til et statisk ustabilt grenselag og transport av varme oppover. 5

6 abell 2: Momentane målinger av potensiell temperatur (θ) og vertikal hastighet (w) w θ w θ w 2 θ 2 wθ w θ 0 0, ,4 1,0 0,16 1,0 147,5 0,4 1-0, ,6-1,0 0,36 1,0-146,5 0,6 2 1, ,9 1,0 0,81 1,0 295,0 0,9 3 0, ,7 4,0 0,49 16,0 238,4 2,8 4 0, ,8-2,0 0,64 4,0 262,8-1,6 5-0, ,3 0 0, , , ,6-2,0 0,36 4,0-146,0 1,2 7 0, ,1-5,0 0,01 25,0 0 0,5 8-0, ,0-1,0 1,0 1,0-263,7 1,0 9-0, ,2 5,0 0,04 25,0-29,9-1,0 Gjennomsnitt 0, ,396 7,8 29,88 0,48 6