GEF2200 Atmosfærefysikk 2012

Transkript

1 GEF2200 Atmosfærefysikk 2012 Løsningsforslag til oppgavesett 09 A.42.R Exam The atmosphere has an absorbtivity a ir for infrared radiation, and a sol for shortwave radiation. The solar irradiance at the top of the atmosphere is F sol. Assume that the atmosphere emits the same amount of IR-radiation in the upward and downward direction (F atm ), and that Kirchoff s law applies for the atmosphere, and that the irradiance of the Earth is F E. a. For shortwave radiation, a sol is absorbed by the atmosphere. The incoming solar irradiance reaching the surface is then (1 a sol )F sol. b. The atmosphere absorbs a ir of the longwave radiation, so that the outgoing irradiance from Earth reaching the top of the atmosphere is (1 a ir )F E. c. What is absorbed by the atmosphere is reemitted as F atm in both upward and downward direction. Radiative balance at the surface: (1 a sol )F sol + F atm = F E (1) d. Radiative balance at the top of the atmosphere: F sol = (1 a ir )F E + F atm (2) e. To find the temperature of the Earth, we need to solve the equations for F E, since F E = σt 4 E. 1

2 F atm from Equation (2) is inserted into Equation (1): F E = (1 a sol )F sol + F sol (1 a ir )F E F E (2 a ir ) = (2 a sol )F sol F E = 2 a sol 2 a ir F sol (3) Using the values given, a ir = 0.75, a sol = 0.15, F sol = 241Wm 2 and σ = 5, Wm 2 K 4, we get the temperature T E = 4 FE σ 2 asol F = 4 sol 2 a ir σ (4) = 281.6K (5) f. Using the expression for F E in Equation (3), we have from Equation (2) F atm = F sol (1 a ir )F E = F sol (1 a ir ) 2 a sol F sol 2 a [ ir = 1 (1 a ir ) 2 a ] sol F sol (6) 2 a ir = Wm 2 Because this layer does not radiate as a blackbody, and since Kirchoff s law applies, ε ir = a ir, we have that ε ir σt 4 atm = F atm T atm = 4 Fatm ε ir σ = 244.4K (7) A.54.R a. Skissen er gitt i Figur 4.10 i boka.1. I λ Inkommende stråling di λ Endring i stråling. Absorbert stråling er dermed gitt som di λ. z øyde, positiv akse oppover. dz Tykkelse av laget. 2

3 Figure 1: Svekking av stråling I λ gjennom et enhetstverrsnitt, som passerer gjennom et lag av infinitesimal tykkelse (Wallace & obbs, 2006, Figure 4.10, modifisert med +di λ istedenfor di λ ). r Masse absorberende gass per enhetsmass av luft, med andre ord masseblandingsforholdet. k λ Masseabsorpsjonskoeffisient. rk λ kalles noen ganger bare absorpsjonskoeffisient, men vi bruker ikke denne her. Tettheten til luft. θ Senitvinkelen. Ligningen di λ I λ = k λ r sec(θ)dz (8) viser hvordan inkommende monokromatisk irradians svekkes på grunn av absorpsjon når det passerer igjennom laget med tykkelse dz (Figur 1), og er basisen for å utlede Beer s lov. Endringen i radiansen I λ er di λ (som dermed er negativ), og absorbert radians er derfor di λ. Litt nærmere forklaring: Boken blander di λ sammen med absorbert radians i Figur 4.10 og i teksten, så Figur 4.10 er derfor modifisert i Figur 1 her. I boken er di λ positiv i figuren, men negativ i teksten. Opprinnelig uttrykk for svekkelsen (endringen i I λ ) langs en veilengde ds er gitt ved ligning 4.17 i boka som en negativ størrelse: di λ = I λ rk λ ds (9) (Dersom I λ var absorbert irradians, så skulle ligning (9) ikke hatt negativt fortegn.) Boken påstår videre at ds = sec(θ)dz, noe som 3

4 ikke er riktig når z-aksen peker oppover. Sammenhengen mellom s og z er at når s = 0, så er z = z, og s øker fram (nedover) mot høyden z. Det gir oss sammenhengen: Gitt ved en liten endring (differensial): s = sec(θ)(z z) (10) ds = sec(θ)dz (11) Dermed har vi fra ligning (9) at endringen i irradiansen er gitt ved når z-aksen peker oppover. di λ = I λ rk λ sec(θ)dz (12) Bakgrunnen for å sette negativt fortegn er at man ønsker å relatere ligningen til den absorberte mengden stråling di λ. Vi ender da opp med å sette negativt fortegn på begge sider av ligning (12), og får ligning (8). Vi har nå løst fortegnsproblemene, og kan integrere ligning (8) fra z = til z: ( ) z Iλ ln = rk λ sec(θ)dz (13) I λ, Siden den optiske tykkelsen er definert som τ λ = z rk λ sec(θ)dz (14) ser vi at forholdet mellom transmissivitet (T ) og optisk tykkelse (τ λ ) er gitt ved ( ) Iλ ln = ln T λ = τ λ (15) I λ, Når θ = 0 har vi sec(θ) = 1 og da kalles τ λ normal optisk tykkelse. Dersom sec(θ) er med, kalles τ λ gjerne for slant optical depth på engelsk. Det beste er å ha med sec(θ) kalle τ λ for optisk tykkelse, og bare kalle den normal optisk tykkelse når sec-leddet er utelatt. b. Vi setter inn tetthetsprofilet (z) = (0)exp (16) 4

5 der = konstant er skalahøyden, inn i ligningen for optisk tykkelse: τ λ = rk λ sec(θ)dz (17) z = (0)rk λ sec(θ) exp dz z = rk λ (0)sec(θ)exp (18) c. Vi har θ = 0 (sec(θ) = 1), samt at (0) = 1kgm 3 = 10km = 10 4 m rk λ = 10 3 m 2 kg 1 Da kan den optiske tykkelsen gitt ved ligning (18) skrives τ λ = rk λ (0)sec(θ)exp = 10 exp 10 (19) og når vi setter inn for z = 40, 30, 20 og 10km, får vi de respektive optiske tykkelsene: z [km] τ λ d. Transmissivitetene T λ fra toppen av atmosfæren ned til de spesifiserte høydene beregnes fra ligning (15) som Det gir z [km] τ λ T λ T λ = I λ I λ, = exp( τ λ ) (20) e. For en atmosfære uten spredning eller refleksjon, er absorptiviteten gitt ved transmissiviteten: a λ = 1 T λ. Dette gir oss: 5

6 z [km] τ λ T λ a λ f. Vi ser på endringen i absorptiviteten fra lag til lag, og finner hvor den er størst. Dette er mellom 20 og 30km: z [km] τ λ T λ a λ a λ Maksimum endring i absorptiviteten er gitt der den optiske tykkelsen er nær 1. Det kan vises at den største endringen i absorptiviteten er når den optiske tykkelsen er 1. A.59.R Midterm a. Ligningen tar for seg kun strålingseffekter, og angir temperaturendring per tid. Vi vet at det er strålingsavkjøling i troposfæren, og ca strålingslikevekt i stratosfæren. Dette er vist i Figur 2 (tykk sort linje). For troposfæren er altså dt/dt < 0, slik at F må øke med høyden (df/dz > 0). For stratosfæren er dt/dt 0, slik at F er tilnærmet konstant med høyden (df/dz 0). b. I stratosfæren er O 3, CO 2 og 2 O viktigst. CO 2 og 2 O gir avkjølende bidrag i det infrarøde spekteret, men O 3 gir et lite bidrag i det infrarøde (positivt nederst, negativt øverst), men stort bidrag i det kortbølgede spekteret (jfr. ozonlaget). I troposfæren er 2 O viktigst, og gir avkjølende bidrag i det langbølgede spekteret. CO 2 gir avgkjølende bidrag her også, men det kanselleres i stor grad av 2 O sin oppvarmende effekt i det kortbølgede spekteret. 6

7 Figure 2: Effekt av stråling på temperatur. Sort tykk linje er netto effekt, rød linje er O 3, blå 2 O og sort tynn CO 2. Stiplet linje er langbølget bidrag, heltrukken er kortbølget bidrag. (Wallace & obbs 2006, Figure 4.29.) c. Konveksjon vil frigjøre latent varme gjennom kondensasjon, og på den måten motvirke strålingsavkjølingen. Følbar og latent varme ved bakken, vil også motvirke strålingens bidrag (via turbulens). Ofte snakker man om strålings-konvektiv likevekt, og det antyder at konveksjon har en betydelig effekt på ligningen. På den måten står vanndampen for mesteparten av den avkjølende effekten på grunn av stråling, men også for en ca tilsvarende oppvarming gjennom kondensasjon (latent varme frigis). d. Dersom bakken er varmere enn skybasen, vil skybasen kunne varmes opp. På toppen av skyen er det strålingsavkjøling om natten, slik at temperaturgradienten i skyen blir mer og mer ustabil utover natten. Blir luftmassene i skyen ustabile vil det utvikles konveksjon. Strålingen fra bakken vil ikke kunne varme opp luften mellom skybasen og bakken nok til å få konveksjon under skybasen (se Figur 3). Skyene må altså ha en viss høyde for at skybasen skal være mye kaldere enn bakken. usk dessuten at det inne i skyen er mettet luft. Dersom skyen ikke er ustabil i utgangspunktet, må det en endring i temperaturgradienten til for å få ustabil luft. På dagtid vil solen varme opp toppen av skyen og på den måten 7

8 Figure 3: Effekt av stråling på skyer. (Wallace & obbs 2006, Figure 4.30.) motvirke den destabiliserende oppvarmingen av skybasen. W (W ) Absorbtiviteten i laget er gitt ved a = 1 T λ = 1 e R k λ u (21) der u er tetthetsvektet veilengde (density weighted path length). For et lag som inneholder 1kgm 2 gass, er den optiske dybden k λ u = Siden e x 1 + x for x 1, har vi at a = 1 (1 0.01) = 0.01 = 1% For et lag som er tykt nok til å absorbere halvparten av innkommende stråling har vi T λ = e τ λ = 0.5 Tar vi logaritmen, får vi optisk tykkelse τ λ = k λ u = ln 0.5 = slik at massen per enhetsareal langs veien er gitt ved u: ln(1 a) u = k λ = ln(0.5) k λ = = 69.3kg (22) k λ 8

9 W (W ) Løsningsforslag i boka. W (W ) Vi ser på dette problemet som et lag med grensene 1 øverst og 2 nederst. a. For å finne den absorberte fraksjonen mellom to optiske tykkelser τ λ,1 = 0.2 ved høyde Z 1 og τ λ,2 = 4 ved høyde Z 2, må vi beregne transmissiviteten siden absobtiviteten er gitt ved a λ = 1 T λ (antar uten spredning og refleksjon). Transmissiviteten er gitt ved T λ = exp( τ λ ) (23) Andelen som er absorbert i laget er derfor differansen mellom hva som er absorbert fra z = og til henholdsvis Z 2 og Z 1 : a λ,2 a λ,1 = (1 T λ,2 ) (1 T λ,1 ) = T λ,1 T λ,2 = exp( τ λ,1 ) exp( τ λ,2 ) = exp( 0.2) exp( 4) = = 80% b. Av den utgående monokromatiske intensiteten fra TOA med bølgelengde λ og null senitvinkel, så blir andelen e 0.2 emittert fra toppen av laget uten absorbsjon, og andelen e 4.0 emittert fra laget under uten absorbsjon. Dermed blir andelen emittert fra laget den samme som svaret i a. Vi har utgående monokromatisk radians, med bølgelengde λ og senitvinkel null. Laget er det samme, og intuitivt må det emittere den samme mengden som den absorberte. ε λ,1 ε λ,2 = a λ,1 a λ,2 (24) Grunnen til dette er at Kirchhoffs lov gjelder (a λ = ε λ ). Vi kan da se at andelen som emitteres på toppen av laget og utover må være (siden den optiske tykkelsen er den samme) ε λ,1 = a λ,1 = 1 T λ,1 (25) usk at a λ,1 var mengden som ble absorbert over laget. Det som emitteres fra bunnen og utover er tilsvarende ε λ,2 = a λ,2 = 1 T λ,2 (26) 9

10 slik at den emitterte strålingen fra laget blir ε λ,2 ε λ,1 = a λ,1 a λ,2 = T λ,2 T λ,1 = 80,0% c. Vi har en isoterm atmosfære og skal finne antall skalahøyder som laget strekker seg igjennom. Antar at k λ r er konstant. På toppen av laget har vi τ λ = k λ r z ρdz = 0.2 (27) og gjør om til trykkoordinater ved hjelp av den hydrostatiske ligningen. τ λ = k pt λr dp = 0.2 (28) g Dette gir trykket på toppen av laget p T : Og tilsvarende for bunnen: 0 p T = 0.2 g k λ r p B = 4.0 g k λ r (29) (30) For å finne dybden av laget kan vi dermed (på grunn av antakelsene) bruke den hypsometriske ligningen: ( ) ( ) pb 4.0 z = ln = ln p T 0.2 = 3.00 c2. Alternativ tilnærming: For en isoterm atmosfære har vi at = 0 exp( z/) (31) Vi har ellers senitvinkel lik null (φ = 0) og kan integrere den optiske tykkelsen (Ligning W ) τ λ = k λ rds (32) s = k λ r 0 exp sec(φ)dz z = k λ r 0 sec(φ) exp (33) 10

11 Vi får da τ λ = k λ r 0 sec(φ)exp (34) snur om på uttrykket: z ( ) = ln τλ k λ r 0 (35) Antallet skalahøyder mellom Z 1 og Z 2 kan dermed beregnes ( ) Z 1 Z 2 τλ,1 = ln k λ r 0 ( ) τλ,2 + ln k λ r 0 ( ) ( ) τλ,2 4 = ln = ln = τ λ,1 (36) 11