Partielle differesiallikiger. à. Iledig. Differesiallikiger kytter samme størrelse og edriger i størrelse. Matematisk kommer dette til uttrykk ved at likige i tillegg til de ukjete fuksjoe også ieholder e eller flere av fuksjoes deriverte. I evariabelteorie fies metoder for å løse. ordes og. ordes lieære differesiallikiger med kostate koeffisieter. Vi skal studere differesiallikiger hvor fuksjoe avheger av flere variable, ærmere bestemt to variable. Vi skal løse to roblemer, ett kyttet til varmeledig eller diffusjo ( varmeledigslikige ) og et aet kyttet til utbredig av bølger ( bølgelikige ). I tillegg til differesiallikigee treger vi et sett med radkrav og startkrav for å sikre at løsige blir etydig. Vi skal motivere disse kravee etterhvert som de itroduseres. øsige blir gitt i form av fourierrekker og i begge tilfeller eder vi o med geerelle formler som ka brukes i alle situasjoee som vi studerer. Før vi løser differesiallikigee med tilleggskrav skal vi motivere likigee og se ærmere å betydige av kostatee k (varmeledig ) og c ( bølgeutbredig ) samt fie deres verdier i e del situasjoer... Varmeledig. Et legeme D har total idre eergi U, [ J ]. egemets idre eergi er e størrelse som sier oe om legemets tilstad og er dermed e tilstadsvariabel. Varme, Q ( [ J ] ), og arbeid, W ( [ J ] ), derimot er rosesser som virker å legemet og beskriver ikke legemets tilstad, de er ikke tilstadsvariable. Arbeid som utføres å legemet ka gå med til å edre legemets ytre eergi ( ku kietisk, W =DE K ) eller til å edre legemets idre eergi ( temeratur ). Tilført varme ka gå med til å utføre arbeid eller øke legemets idre eergi. Tilsvarede for avgitt varme. Sammehege mellom størrelsee er termodyamikkes første lov D U = Q - W. Når edrigee er små ka love skrives å differesiell form som du= ð Q - ð W, hvor ð markerer at disse bidragee ikke er edriger av tilstadsfuksjoer til legemet. Idre eergi som legemet avgir til idre eergi i omgivelsee, eller idre eergi fra omgivelsee som overføres til idre eergi i legemet kalles varme Q. Resultatet er e temeraturøkig i systemet som mottar de idre eergie, og e temeratursekig i systemet som avgir de idre eergie. Dette fordi det er bevegelseseergi som overføres mellom systemee ( ete ved at artikler forlater et system og går over til det adre, eller ved at artikler kolliderer og utveksler bevegelseseergi ( eller begge deler )). Bevegelseseergie å mikroivå ( uordet bevegelse ) er kyttet til temerature. Dermed har vi at ) idre eergi til idre eergi ( temeraturedriger f. eks. ved at legemer i kotakt fører til avkjølig av det varmeste legemet og ovarmig av det kaldeste legemet ) kalles varme. De adre 3 mulighetee er: ) ytre eergi til ytre eergi ( f.eks. kietisk til otesiell ) kalles mekaisk arbeid, 3) ytre eergi til idre eergi ( f. eks. friksjosarbeid ) er ta av mekaisk eergi og 4) idre eergi til ytre eergi ( f. eks. e gass som eksaderer i sylider og driver et stemel ) er termisk arbeid. Det er således ige fysisk forskjell å idre eergi og varme. Idre eergi i et system som i si helhet overføres til idre eergi i et aet system er varmeoverførige mellom systemee. Itet mekaisk arbeid utføres side varme i si helehet eder o som idre eergi i det adre systemet, altså er W =. Da er varme edrige i legemets idre eergi, D U = Q, fra termodyamikkes første lov. Gjeomsittlig varmestrøm gjeom legemets overflate i løet av tidsitervallet @t, t +Dt D er H êêê = ÅÅÅÅÅÅ Q = D U, [ J/s ]. Når D t D t tidsitervallet miker blir de gjeomsittlige varmestrømme i grese D t Ø de øyeblikkelige varmestrømme i tidsuktet t: H = HHt = dq = du, [ J/s ]. Vi treger e sammeheg mellom temeraturedrig og varmestrøm. Et d t d t legeme med høy temeratur T H og et legeme med lav temeratur T forbides med e homoge stav. Varmeoverføri-
STRevPDE3H.mm3.b ge fra det varme legemet til det kalde legemet er roorsjoal med temersturdifferese T H - T. Varmeoverførige er også roorsjoal med staves tverrsittsareal A ( vikelrett å varmeledigsretige ). Proorsjoalitetskostate k T [W/mK] er varmeledigskoeffisiete, og kalles også termisk ledigskoeffisiet eller termisk koduktivitet. Varmeoverførige er omvedt roorsjoal med staves legde l. Samlet blir varmestrømme fra det varme legemet til det kalde legemet H = dq =k T A T H - T ÅÅÅÅÅÅÅ d t l. Et legeme med masse m tilføres varme Q som edrer de idre eergie i legemet med D U og legemets temeratur edres med D T. Vi øsker e størrelse som sier oss hvor godt legemet er eget til å lagre mottatt varme som idre eergi. Jo bedre legemet er til å lagre de mottatte eergie desto midre blir temeraturedrige. Vi defierer legemets gjeomsittlige varmekaasitet som C êê = Q D T = D U [ J/K ]. Et stort legeme har mer masse å fordele de D T mottatte eergie å e ett lite legeme av samme tye. Altså vil temerature øke midre i det store legemet e i det lille legemet ( år tilført varme er de samme til begge legemee ). Vi øsker et mål for eergilagrigseve som ikke åvirkes av legemets størrelse, me som mer rereseterer materialets varmelagrigseve. Dette oås ved å dividere med legemets masse og dette gir legemets gjeomsittlige sesifikke varmekaasitet êê c = ÅÅÅÅÅ D U [J/kg K ]. Merk at m D T for homogee legemer er varmekaasitete og de sesifikke varmekaasitete begge kostate og dermed lik gjeomsittsverdie. Når de tilførte eergie blir lite og dermed også temeraturedrige blir lite, så er i grese D U = Q Ø de sesifikke varmekaasitete c = ÅÅÅÅÅ dq C. Vi har at c = ÅÅÅÅÅ. Tyisk avheger varmekaasitetee av m d T m temerature til legemet. Vi skal studere varmeledig ie i et legeme som ikke behøver å være homoget. Det er ødvedig å videreutvikle begreee slik at størrelsee avheger av uktet i legemet som betraktes. Vi ser å e lite boks ( i raksis et ukt ) hvor legemets tetthet er så godt som kostat å bokse. egemet tilføres varme Q og bokses adel av dee er D Q. Etter at temerature har jevet seg ut i bokse så er temeraturedrige D T. a bokses volum være D V og bokses masse D m. Bokses gjeomsittlige tetthet er da ÅÅÅÅÅÅ D m Å. Side de tilføret varme i si helhet blir idre eergi har D V vi at eergitetthete som bokse tilføres er volumehet er ÅÅÅÅÅÅ DU Å D V = ÅÅÅÅÅÅ DQ Å D V, @J ê m3 D. Fra defiisjoe av sesifikk varmekaasitet har vi at ÅÅÅÅÅÅ DQ Å D V = ÅÅÅÅÅÅ DU Å D V = c ÅÅÅÅÅÅ D m Å D T. I grese år alle sidee i bokse blir ull og dee reduseres til er ukt får vi D V tetthete r = dm du. Eergitetthete i legemet i det aktuelle uktet er da dv dv = c rdt. Her er D T = T - T. Starttemerature T avheger ikke av tide, de er jo gitt ved et bestemt tidsukt, me de ka variere i legemet. Vi skal iføre varmeflukse i ethvert ukt i legemet. Side vi ikke leger ser å hele legemet, me å små biter av legemet, så må vi ta hesy til varmeflukses retig i uktet. Vi lar varmefluksvektore være Jêê, @J ê m sd. Vi beytter ( som valig ) utadrettet ehetsormal, êê, å bokses overflate. Varmetetthete som kommer i gjeom e del av overflate med areal d s er -Jêê ÿ êê d s. Beyttes divergessetige å bokse ka de totale varmeflukse i gjeom bokses overflate skrives som - ÿh Jêê dv. Edrige av varmetetthete i bokse i løet av tide dt er d ÅÅÅÅÅÅ dt H du dv, @J ê m3 sd. Edrige er ositiv år varmeflukse er rettet i i bokse. De iadrettede varmeflukse er tidsehet og volumehet er - ÿh Jêê, @J ê m 3 sd. Totalt gir dette ÅÅÅÅÅÅ d dt H du dv =- ÿh êêê J, for ehver boks, og dermed for ethvert ukt i legemet. Setter i for eergitetthete og får kotiuitetslikige ( bevarigslikige ) for varmetetthete: c r ÅÅÅÅÅÅÅ T + ÿh J t êêê =. eddet c r T er uavhegig av tide og bidrar ikke til de deriverte. Vi atar at både sesifikk varmekaasitet og tetthet e uavhegige av tide ( eller varierer så lite at de ka betraktes som uavhegige av tide ) og at uktee i legemet ikke flytter seg ga. termisk eksasjo eller komresjo. Dette er ødvedig for ellers utføresdet et arbeid å bokse og hele. lov må brukes. Dermed er: c r ÅÅÅÅÅÅ T Å + ÿh êêê J =. Vi treger e sammeheg mellom varmefluksvektore og temerature. For de edimesjoale varmestrømme har vi H = dq =k d t T A T H - T ÅÅÅÅÅÅÅ. Varmestrømme er varmeflukse gjeom e flata. Altså er i størrelse J = ÅÅÅÅÅ H l A =k T T H - T ÅÅÅÅÅÅÅ. l [ Merk dimesjoee ( ehetee ). Det første leddet i kotiuitetslikige er varme er volum og tid, mes varmeflukse er varme er areal og tid. De siste romdimesjoe ligger i divergese, som har ehet er legde, så ehetee stemmer. ] I grese l Ø fås temeraturedrige i uktet som de deriverte. I flere variable er de deriverte ( som registrerer flervariabelfuksjoes edrig i uktet ) gitt ved gradiete. Følgelig må T H - T ÅÅÅÅÅÅÅ erstattes med T i l grese l Ø. Forteget bestemmes fra at gradiete er rettet mot maksimal vekst, dvs. fra T til T H, mes varmeflukse er rettet fra høyeste temeratur til laveste temeratur, dvs. fra T H til T. Forteget må være egativt og vi har vektorforme av varmestrømigslove Jêê =-k T T. Termodyamikkes adre hovedsetig sier at varme alltid strømmer fra et varmere sted til et kaldere sted. Kosekvese av dette er at k T >. Isatt i kotiuitetslikige blir dette: c r ÅÅÅÅÅÅ T Å - ÿhk t T T =. Hvis legemet selv ieholder e varmekilde som J T leverer varmetetthete q er tidsehet, @ D, blir likige c r ÅÅÅÅÅÅÅ - ÿhk T T = q. Hvis varmeledigskoeff- m 3 s t t
STRevPDE3H.mm3.b 3 isiete er de samme i alle legemets ukter ( eller at variasjoe er så lite at vi ka se bort fra de ) så ka varmeledigskoeffisiete settes utefor derivasjoe. Slike legemer kalles termisk homogee. Varmeledigskoeffisiete ka avhege av temerature, oe som fører til termisk ihomogeitet. Vi har sett bort fra dette i og med kravet om kostat varmeledigskoeffisiet ( dette er e god tilærmig år temeraturvariasjoee ikke er for store ). Totalt gir dette de 3-dimesjoale varmeledigslikige: ÅÅÅÅÅÅ T Å - k T ÅÅÅÅÅÅÅ t c r ÿ H T = ÅÅÅÅÅÅÅ q c r. Vi treger å berege leddet ÿh T. Gradiete er T = I ÅÅÅÅÅÅÅ T ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ M. Divergese av dette vektorfeltet er, T y, T z + T ÿ T = ÅÅÅÅÅÅ H ÅÅÅÅÅÅÅ T + ÅÅÅÅÅÅÅ y I ÅÅÅÅÅÅÅ T y M + ÅÅÅÅÅÅ z H ÅÅÅÅÅÅÅ T z = T + T. Dee størrelse kalles lalace av temerature T og y z skrives også som ÿ T = T =DT. Varmeledigslikige tar da si valige form ÅÅÅÅÅÅ T Å - k T ÅÅÅÅÅÅÅ t c r D T = ÅÅÅÅÅÅÅ q c r. Vi skal studere varmeledig i e ty stav ute itere varmekilder ( q = ). egges stave lags - akse så blir temerature uavhegig av y og z koordiatee. Settes k = k T ÅÅÅÅÅÅÅ får vi de versjo av varmeledigslikige som vi skal studere: T ÅÅÅÅÅÅ Å t - k T =. Til slutt e kort drøftig av koeffisiete k i varmeledigslikige. Vi ser at k [ m /s ] ikke er varmeledigskoeffisiete direkte, me termisk koduktivitet er sesifikk varmekaasitet og massetetthet. Med varmekaasitete C = mc er r c = ÅÅÅÅÅ C som er varmekaasitet er volum. Både varmekaasitete og tetthete avheger av temerature, V me vi skal se bort fra dee tye variasjo og ata at k er kostat ( i raksis begreser dette itervallet for temeraturvariasjoee ). E ae størrelse som brukes mye er varmegjeomgagskoeffisiete K, også kalt k-faktore (eller u- faktore ), som er forholdet mellom varmeledigskoeffisiete og staves legde eller vegges tykkelse l, dvs. K = k T ÅÅÅÅÅ. Varmeledigslikige gir oss temeraturvariasjoe i selve vegge og ka brukes til å modellere resose l å skiftede forhold ( ute/ie ). I raksis holder det med overslagsregig basert å K- faktore for f.eks. å bestemme ødvedig effekt for å holde e fast ietemeratur for e gitt utetemeratur. Sammehege mellom k- faktore K og koeffisiete k i varmeledigslikige er k = ÅÅÅÅÅÅÅ Kl c r. Noe varmeledigsever ( eller termiske koduktiviteter ) k T for tyiske marerialer i watt er meter og kelvi @ W stål 5., betog og glass.8, tre.4 -., isoor. og luft.4. Avsluttigsvis skal vi berege koeffisiete k for e sølvstav. Sølv har tetthete r =.5 g ê cm 3, varmeledigkoeffisiet k T = 46 W ê mk og sesifikk varmekaasitet c = 34 J ê kgk. Dette gir k = =.65 ÿ -4 m ê s. Hvis 46 34ÿ.5ÿ 3 likige brukes til å studere varmeledig i e væske, så må det forutsettes at væska er i ro i alle ukter ( ige koveksjo ) da bevegelse i væska bidrar til varmeoverførig. Videre vil væsketetthete variere oe med temerature ( som betyr at tetthete ikke ka betraktes som kostat år starttemerature i væska varierer ), mes væsketrykket er ær kostat ( ige tygdekraft ). Dermed er det sesifikk varmekaasitet ved kostat trykk, c, som må brukes. For faste stoffer som f.eks. beyttes som bygigsmaterialer, er sesifikk varmekaasitet ved kostat volum og kostat trykk este like. Verdie kalles de sesifikke varmekaasitete, ute referase til trykk eller volum, og vi skiller ikke mellom de to sesifikke varmekaasitetee i fortsettelse. c r m K D:.. Diffusjo i fisjosreaktor. Vi skal se å diffusjo av øytroer i e kjerefysisk ( fisjos ) reaktor. I reaktorkjere fies radioaktivt kjerebresel hvor kjerer saltes sotat å gru av aturlig radioaktivitet. De aturlige radioaktivitete frigjør blat aet øytroer. Disse øytroee ka så fages o av kjerer som saltes og frigjør flere øytroer. Dette fører til ytterligere kjeresaltiger som i si tur frigjør eda flere øytroer. Ofagige av øytroer med åfølgede kjeresaltig kalles idusert kjeresaltig. Hver kjeresaltig frigjør eergi og følgelig er reaktores eergiroduksjo i gag. Det er de iduserte kjeresaltige som er domierede og som står for eergiroduksjoe. Kjeresaltige gir også ye og lettere kjerer i tillegg til øytroer. Disse ka i si tur være radioaktive og saltes videre eller fage o øytroer og så saltes, og gir dermed bidrag til øutrofluks og eergirodukasjo. Vi skal stille o e foreklet modell for øytroeregskaet i form av e flukstetthet i reaktorkjere. Dette er av iteresse å gru av øytroees setrale rolle i kjeresaltige ( gir idusert kjeresaltig ). Det radioaktive materialet i reaktorkjere består i hovedsak av 38 U. For at 38 U skal saltes og bidra med eergi og øytroer, så må de ikommede øytroee ha høy eergi ( stor fart ). Kjerer som skal brukes som reaktorbresel må lett kue fage o øytroer og saltes. Videre må saltige frigi mist ett øytro som bidrar til saltig av e y kjere. Dermed holdes kjeresaltige og eergiroduksjoe i gag. Det viser seg at det bare fies tre kjerer med dee egeskae: 33 U, 35 U og 39 Pu. Av disse fies bare 35 U i tilstrekkelige megder i ature. De utgjør
4 STRevPDE3H.mm3.b ca..7% av aturlig ura. Dette er for lav kosetrasjo for effektiv kjeresaltig, og uraet behadles slik at kosetrasjoe av 35 U økes til ca. 3%. Arikigsrosesse er eergikrevede og ka ta så mye som % av de elektriske eergie som kjerekraftverket roduserer. Reaktore kotrolleres ved å bruke stoff som absorberer øytroer. Noe av dette stoffet ( tyisk bor eller cadmium ) er i kjølematerialet i reaktorkjere. Dee absorbsjoe ka ikke reguleres side megde av absorberede stoff i kjølematerialet er de samme hele tide. I tillegg fies kotrollstaver ( legerig som ieholder bor og/eller cadmium ) som ka føres i i eller trekkes ut av reaktorkjere. Dermed varieres megde av øytroabsorberede stoff i reaktorkjere. Nøytroflukse og dermed kjeresaltigsrate og eergiroduksjo ka økes eller miskes og reaktore er kotrollerbar. Nøytroee som frigjøres i saltigee av 35 U, i gjeomsitt.43 øytroer er saltig, frigjøres ete øyeblikkelig etter saltige eller oe seere. Disse forsikede øytroee, i gjeomsitt.65 øytroer er saltig, gjør det mulig å kotrollere reaktore. Av de tre kjeree er det 35 U som har flest forsikede øytroer, oe som gjør at e 35 U - fyrt reaktor er lettest å kotrollere. Nøytroee som kommer fra de iduserte kjeresaltige ( og som driver reaktore ) har stor fart. Sasylighete for at et øytro skal ifages av e 35 U kjere er avhegig av øytroets fart, og miker med farte til øytroet. Det er derfor øskelig å bremse øytroee, ute å mike atallet. Stoffer som brukes til dette kalles moderatorer. Tyiske moderatorer er va, tugt va og grafitt. ( Det er mulig å blade øtroabsorberede stoff i moderatore, som i kjølematerialet, og i så fall bidrar dette til reaktorkotrolle. ) Reaktorer som beytter bremsede øytroer kalles termiske reaktorer og er domierede i eergiforsyige. Det fies reaktorer som beytter øytroee direkte ute å bremse dem først. Disse kalles hurtige reaktorer og beyttes bl. a. til å framskaffe mer kjerebresel. De hurtige øytroee absorberes av 38 U og via b - desitegrasjo ( seder ut ett elektro ( og litt til )) roduseres lutoium 39 Pu, som er e av de tre mulige breselskjeree. a D N være atall frie øytroer i e lite boks med volum D V om et vilkårlig ukt i reaktorkjere. Nøytrotetthete i det lille volumet er da D N. Atall frie øytroer som beveger seg ut gjeom bokses overflate mius atall D V frie øytroer som beveger seg i gjeom bokses overflate i løet av tilsrommet D t, er gjeomsittlig øytrofluks gjeom bokses overflate i løet av tidsrommet D t. Vi skal bruke øytroflukstetthete og divideret med bokses volum D V. Når tidsrommet D t og volumet D V begge går mot ull får vi ( de øyeblikkelige ) øytroflukstetthete i det aktuelle uktet i reaktorkjere. Vi skriver de som F og de har ehet @ D. For at de iduserte m 5 s kjeresaltige skal komme i gag må øytroer absorberes og dermed taes fra øytroflukse. Så lege det er ok kjerebresel til å absorbere øytroee vil absorbsjoe være roorsjoal med øytroflukse. Tilsvarede vil øytroroduksjoe fra kjeresaltige være roorsjoal med øytroabsorbsjoe og dermed roorsjoal med øytroflukse. Vi ser å hva som skjer i et lite volum og går dermed over til øytroflukstetthete. Nettoeffekte av absorbsjo og roduksjo av øytroer er roorsjoal med øytroflukstetthete. a s være roorsjoalitetskostate. s beskriver ettoeffekte av absorbsjo og roduksjo. Positiv s betyr at det i det aktuelle volumet absorberes flere øytroer e det roduseres. Merk at s varierer etter som kotrollstavee skyves i eller dras ut av reaktorkjere. s er roorsjoal med forskjelle mellom absorbsjos og roduksjos tverrsittee for øytroer i materialet. Disse tverrsittee gir sasylighete for øytroabsorbsjo og øytroroduksjo og begge har ehet @m D. Proorsjoalitetskostate er slik at s har ehet @ ÅÅÅÅ D. Absorbsjo og roduksjo av øytroer gir bidraget s F til s øytroflukstetthete. ( Bidraget er ositivt år øytroabsorbsjoe er større e øytroroduksjoe. ) Varmeledig ka ses som diffusjo av varme og dermed er diffusjo beskervet av de samme likige. Nøytroer har ige elektrisk ladig og åvirkes ikke av kjereladigee eller elektroee. Følgelig beveger de seg tilfeldig i reaktorkjere og støter samme med kjerer ( ser her bort fra absorbsjoe ). Dee tilfeldige bevegelse er diffusjoe av øytroer i reaktorkjere. Nøytrodiffusjoe gitt ved øytroflukstetthete ofyller diffusjolikige: F ÅÅÅÅÅÅÅ - D DF=. Her er D diffusjoskostate @m ê sd. Diffusjoskostate tilsvarer k i varmeledigslikige. t Vi drøfter alle bidragee til øytroflukstetthete: F ÅÅÅÅÅÅ er edrige i øytroflukstetthete er tidsehet i det aktuelle uktet. Edrige er ositiv år F vokser, dvs. år øytroflukstetthete ( og dermed øytroees bevegelse ) er rettet i mot uktet. På samme måte som eergie overføres fra områder med høy temeratur til områder med lavere temeratur, vil øytrodiffusjoe være rettet fra områder med høy kosetrasjo av øytroer til områder med lavere kosetrasjo av øytroer. Eergitilførsele til uktet var k D T. På samme måte blir tilførsele av øytroflukstetthet til uktet D DF. Netto tilførsel av øytroflukstetthet til uktet fra absorbsjo og roduksjo av øytroer er - s F. Miusteget
STRevPDE3H.mm3.b 5 skyldes at s er ositiv år absorbsjoe er større e roduksjoe, oe som fører til færre øytroer og dermed lavere øytroflukstetthet i uktet. De aturlige radioaktivitete i materialet bidrar også med e øytroflukstetthet. Dee åvirkes ikke av adre rosesser og er derfor uavhegig av F. Vi kaller de aturlige øytroflukstetthete er tidsehet for j. Ehete til j er @ ÅÅÅÅ D. m 5 s F Totalt gir dette følgede regska for øytroflukstetthete: ÅÅÅÅÅÅÅ = D DF-s F+j. t Vi ifører s = ÅÅÅÅÅ s D, ehet @ ÅÅÅÅÅÅ D og = ÅÅÅÅÅ j m D, ehet @ D. Dette gir: ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ F -DF+sF=. Dee likige er kjet m 7 s D t uder avet reaktorlikige eller de allmee diffusjoslikige. Til slutt vurderes effektivitete av eergiroduksjoe. Et kjerekraftverk med e reaktor som roduserer 3 GW termisk eergi gir GW elektrisk eergi. Til roduksjoe i ett døg som gir 4 GWh elektrisk eergi kreves ca. 3. kg 35 U, som svarer til ca. kg ariket ura. Til sammelikig kreves ca. kiloto kull ( faktor 5 ) for de samme eergiroduksjoe. ( Effektivitete å ca. ÅÅÅÅ fra termisk eergi ( dam ) til elektrisk eergi ( turbi ) er de 3 samme for begge kraftverkee. Begge roduserer dam. ) ( Sammelikes reaktorlikige med varmelikige som vi skal løse så er = og s =. Dette tilsvarer e reaktor ute radioaktivt bresel og hvor øytroee som befier seg i reaktorkjere i starte ikke roduserer ye øytroer. Dette er ikke sesielt itressat fra et reaktorsysukt. Det er av iteresse i varmeledig. ) Kommetar. I tillegg kommer krav fra reaktorvegger. Det er mage forhold som er utelatt og modelle er e kraftig foreklig av forholdee i e fisjosreaktor. à.3. Bølgeutbredig lags e streg. Vi skal drøfte trasversale bølger å e ty streg. Med e ( ty ) streg forstår vi et stivt legeme hvis adre dimesjoer ka eglisjeres i forhold til legde. Strege forutsettes å være homoge og dermed ha samme legdetetthet i alle ukter samt samme tverrsitt ( og dermed samme tverrsittsareal ) i ethvert ukt. Strekkrafte ( tesjoe ) i strege må være så stor at streges motstad mot bøyig ka eglisjeres. Videre atar vi at streges trasversale utslag er så lite at strekkrafte ( tesjoe ) er de samme i alle uktee å strege. ( Hvis utslaget er så stort at strege strekkes betydelig lokalt, så gjør elastisitete at strekkrafte varierer. ) Tyisk vil stregee å musikkistrumeter ofylle disse betigelsee. Vi legger - akse lags strege med vestre edeukt i origo = og høyre edeukt i =, hvor streges legde i likevekt er. a vikele mellom streges tagetlije og - akse være a. a masse til er lite utsitt av strege omkrig tagerigsuktet være dm og utsittets legde være ds. Streges legdetetthet er r = dm. ar vi d s streges tverrsittsareal være A og volumtetthete være r så er r = ÅÅÅÅ r dv = ÅÅÅÅÅ r Ads =ra. Vi skal bestemme kreftee d s d s å dm. a strekkraftes kostate verdi være T. Strekkraftes - komoet er T cos a og y-komoete er T si a. Strekkrafte drar i stregstykket i hvert edeukt og kreftee er motsatt rettet. Vikele varierer fra det ee edeuktet til det adre. Følgelig er det differase mellom strekkreftee i edeuktee som gir etto strekkraft å dm. Side utsittet av strege er kort varierer vikele lite over utsittet og differase gis av differesialet. Netto strekkraft i - retig er dt = d H T cos a = -T si a d a. Når streges utslag er lite er også vikele a lite. Dette gir at si a º a º. Følgelig er dt =, oe som uttrykker kraftbalase i - retige. Dette betyr at itet ukt å strege akselereres i - retige. Da streges ukter orielig er i ro så har uktee ige bevegelse i - retige. Følgelig er all bevegelse å tvers av - akse og bølge er trasversal. Strekkraftes etto bidrag i y- retige er dt y = d H T si a = T cos a d a. Med a º er cos aº og dermed dt y = Tda. Stigigstallet til tagetlije er ta a= ÅÅÅÅÅÅÅ dy d, som gir ved derivasjo mh. at H + ta Ha ÅÅÅÅÅÅÅ d a d = d y. d Igje gir a º at ta aº så d a= d y d. Totalt blir dette dt d y = T d y d. Det ka virke ytre vertikale krefter å d strege, f. eks. tygde. Tyisk er strekkrafte mye større e tygde og dee ka sløyfes ( e må ikke holde musikkistrumetet horisotalt for at øsket klag skal oås ). Vi tar for fullstedighetes skyld med e ytre vertikal ettokraft å strege som bidrar med df å utsittet med masse dm. Total vertikal kraft å utsittet er da dt y + df. Newtos. lov for utsittet med masse dm er Hdm a = dt y + df. Streges vertikale akselerasjo er a = d y. Med d t streges utslag y = uh, t og ytre kraft er ehetsmasse f = df d m følger u = ÅÅÅ Td u + df, hvor de artielt t d m d m deriverte blir beyttet side utslaget er e fuksjo av to variable. Side utslaget er lite ( u º ) er strege essesielt
6 STRevPDE3H.mm3.b lags - akse hele tide og vi har tilærmet at ds= d. Dermed er dm= r ds= r d. Isatt gir dette u = T ÅÅÅÅÅÅ u t r + f. Vi ifører c = "####### ÅÅÅÅÅÅ T r = "######## T får bølgelikige for trasversale bølger å e streg: r A u - c u = f. Vi skal seere se at c er farte som bølge brer seg med i - retige. t Merk at f ikke er krafte å strege, me kraft er ehetsmasse i hvert ukt å strege. Vi har f = df dm = ÅÅÅÅ df r ds = ÅÅÅÅÅÅ df r, hvor vi i siste likhet har beyttet tilærmige ds= d. De totale ytre krafte å stre- d ge fra = A til = B er F AB = =B Ÿ =A B df= Ÿ A r fd..4. Bølgefart for forskjellige tyer bølger. Vi skal å se å oe bølgetyer og hvorda de forskjellige bølgees fart varierer med forholdee. Bølgelikige beskriver utbredelse av forskjellige tyer bølger i forskjellige media og vakum. Kostate c i bølgelikigee er i alle tilfeller bølgefarte..4.. Svigede stålsterg. For bølgefarte til de svigede strege ovefor har vi c = "####### ÅÅÅÅÅÅ T r, hvor T er strekkrafte å strege og r er streges legdetetthet. a tverrsittsarealet til strege være A og volumtetthete r. Da er r = A r, år streges volumtetthet er kostat ( dvs. strege er homoge, tyisk for streger i musikkistrumeter ). E stålstreg med tverrsittareal A =.5 mm = 5 ÿ -7 m sees fast med e kraft 5 N. Bølgefarte blir da c = "######## T r A = "################ 5 ÅÅÅÅÅ ####### = 3 m ê s. Farte øker med tesjoe og miker med legdetetthete ( øker treghete ). 7.8ÿ 3 ÿ5ÿ -7 Dette er farte bølge beveger seg med i - retige..4.. ydbølger i gasser. ydbølger er trykkbølger og treger derfor alltid et medium å bre seg ut i. Side det ikke er oe trykk i vakum, så ka det heller ikke fies lydbølger der. ydfarte er temeraturavkegig og er ved ë C i luft 344 m/s, helium 999 m/s og hydroge 33 m/s. Når lydfarte er i m/s og temerature i K så er lydfarte i luft i et stort temeraturområde tilærmet gitt som c =.55 è!!!! T..4.3. Elektromagetiske bølger. Eksemler å elektromagetiske bølger er radiobølger, mikrobølger, lys, UV- strålig, røtgestrålig og gammastålig. Disse brer seg både i vakum og medier som luft, va og glass. I vakum er lysfarte ca..998 ÿ 8 m/s. De reduseres i alle media og er f. eks. i is.84 ÿ 8 m/s, i va ved ë C.49 ÿ 8 m/s, i koksalt.94 ÿ 8 m/s, i tett flitglass.86 ÿ 8 m/s og i diamat.4 ÿ 8 m/s..4.4. Elastiske bølger. Elastiske materialer ka strekkes, bøyes og vris. Dette gir ohav til strekkbølger, skjærbølger og torsjos ( vridigs ) bølger. Strekkbølgee brer seg i strekkretige ( bølge er logitudial ), mes skjærbølger og torsjosbølger brer seg vikelrett å skjærretige og torsjosretige ( bølge er trasversal ). Jordskjelv er elastiske bølger som brer seg i jordskora. Et jordskjelv ieholder alle tre bølgetyee, og disse brer seg med forskjellig fart og år fram til forskjellige tider. I et flytede medium er det umulig med skjærbølger og torsjosbølger. Dette fordi det ikke er oe kraft som motvirker bøyig og vridig. Følgelig er det ku strekkbølgee ( - bølgee ) som ka bre seg gjeom et flytede medium. E kosekves av dette er at skjærbølger og torsjosbølger totalreflekteres ( eergi ka ikke taes, ei heller bølgeeergi ) i overgag mellom fast stoff og flytede stoff. Det er dee totalrefleksjoe som viser at jorde må ha e flytede kjere. Hvor dyt overgage befier seg ka bestemmes fra hvor de reflekterte bølge år jordoverflate. Vi skal se å farte til elastiske bølger i e bjelke. Bjelke har tverrsittsareal A og er fastset i e ede. I de adre ede virker e kraft F som gir et ormalstrekk S = ÅÅÅÅÅ F A. Deformasjoe E = D er forholdet mellom hvor mye bjelke strekkes D ( som følge av krafte F ) og bjelkes hvilelegde ( itet strekk å bjelke ),. Hookes lov sier at deformasjoe er roorsjoalt med strekket. Tallet Y kalles Yougs elastitetsmodulus. Sammehege mellom ormalstrekket og og deformasjoe er gitt ved Hookes lov S = YE (som valigvis formuleres E = ÅÅÅÅÅ S ). Hvis Y bjelke slies etter at de er strukket til legde +D, så vil strekket dra bjelke samme til hvilelegde, hvor strekket er S =. Da har uktee i bjelke maksimal fart ( all otesiell strekkeergi har gått over til kietisk eergi ) så treghete gjør at bjelke klemmes samme ytterligere til legde -D. Strekkrafte går uder sammeressige
STRevPDE3H.mm3.b 7 over til å skyve bjelke ut igje. Slik vil bjelke svige til evig tid hvis eergie ikke taes. Dette er strekkbølge ( logitudiell ) i bjelke. Farte til strekkbølge i bjelke er c = "###### ÅÅÅÅÅ Y, hvor r er bjelkes volumtetthet. r Hvis bjelke bøyes og slies eller hvis de vris om seterakse og slies, så vil de i det første tilfellet svige i laet hvor de ble bøyd, og i det adre tilfellet vri seg fram og tilbake om seterakse. Dette følger fra tilsvarede betraktiger som for strekkbølge. Treghete og eergibevarige gjør at bjelke bøyes eller vris like mye i begge retigee etter at de er sluet. Dette er trasversale bølger i bjelke. For skjærbølge ( bjelke bøyes ) er bølgefarte c = "###### ÅÅÅÅÅ G, hvor G er bjelkes skjærmodulus. Det viser seg at torsjosbølge ( bjelke vris om seterakse ) har r samme fart som skjærbølge, c = "###### ÅÅÅÅÅ G. ( Hookes lov gjelder også i disse to tilfellee, me må omarbeides litt og r Yougs modulus Y byttes mot skjærmoduluse G. ) ydbølger er logitudielle trykkbølger. a trykkedrige være D og voluedrige D V, mes hvilevolumet er V. egemets bulk ( volum ) modulus er k =-ÅÅÅÅÅÅ D DVêV, miusteget igår side e trykkøkig skyldes komresjo og dermed volummikig. Totalt blir k ositiv. Relativ volumedrig er DV V =-ÅÅÅÅÅÅ D, som sier at jo større bulkmoduluse k k til materialet er desto midre blir volumedrige for e gitt trykkedrig. Buklmoduluse er dermed et mål for hvor vaskelig materialet er å komrimere. Jo større bulkmodulus desto større grad av ikomressibilitet. ydfarte i bjelke er c = "##### k ÅÅÅÅ r. Så oe verdier. For stål er Y =. ÿ N ê m, G =.8 ÿ N ê m og k =.3 ÿ N ê m. Stålets tetthet er r = 7.8 ÿ 3 kg ê m 3. Dette gir følgede beregede for stål (ikke målte, avvik vil forekomme ) bølgefarter for ).ÿ strekkbølge c = $%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅ = 56 m ê s, ) skjærbølge og vridigsbølge c = $%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅ = 3 m ê s og 3) lydbølge 7.8ÿ 3 7.8ÿ 3.3ÿ c = $%%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅ = 38 m ê s. 7.8ÿ 3 Vi ser igje å stålstrege som vi startet med. Det ble forutsatt at tesjoe, T, var stor ok til at bøyigsmotstade kue sløyfes. Når strege dras ut av likevekt bøyes de i hvert ukt. Bøyigsmotstade bestemmes av skjærmodulus G. Tesjoe må være så stor at strekkrafte gitt ved Y er mye større e skjærkrafte gitt ved G. Dette karakteriserer oførsele som streg i motsetig til oførsele som bjelke hvor skjærkrafte er av betydig..8ÿ.4.5. Overflatebølger å væsker. Det ka vises at overflatebølger å e væske ( tyisk va ) beveger seg med farte c = "################################ I ÅÅÅÅ g + ÅÅÅÅÅÅÅ kt M tah Hkh ########, hvor g k r er tygdes akselerasjo ( ikke satt til 9.8 m ê s side formele er gyldig også å adre laeter ), k er bølgetallet som fås fra bølgelegde l ved k = ÅÅÅÅÅÅÅ, T er væskes overflateseig, r er væskes volumtetthet og h er væskedybde ( l avstade fra bue til væskeoverflate i de uforstyrrede væske, dvs. ute bølger ). Før vi drøfter bølgefarte må vi se ærmere å de hyerbolske fuksjoee og overflateseige til væske. Her følger e kort iførig i de hyerbolske fuksjoee. De hyerbolske fuksjoee er sihh = ÅÅÅÅ He - e - og coshh = ÅÅÅÅ He + e -. Dette er ikke ye fuksjoer, ku yttige lieærkombiasjoer av eksoetialfuksjoer. Vi sammeliger med de trigoometriske fuksjoee si og cos. Disse ofyller cos H + si H =. Dette viser at uktet Hcos, si ligger å ehetssirkele og vi ka kalle cosius og sius for sirkelfuksjoee. Med u = cosh og v = sih ka ehetssirkele skrives u + v =. De hyerbolske fuksjoee ofyller cosh H - sih H = ( det er bare å sette i og rege ut uttrykket ). Dette viser at uktet Hcosh, sih ligger å hyerbele. Derav avet hyerbolske fuksjoer. Med u = coshh og v = sihh ka hyerbele skrives u - v =. Vi ser at vi har edret forteget i uttrykket for ehetssirkele. De hyerbolske tages er defiert å tilsvarede måte som tagesfuksjoe: tahh = ÅÅÅÅÅÅ sihh = e -e ÅÅÅÅÅÅ -. Her følger coshh e +e - oe egeskaer til de hyerbolske tagesfuksjoe. Fuksjoe er stregt voksede og odde dvs. tahh- =-tahh. Verdimegde er H-,, dvs. fuksjoe ofyller ulikhetee - < tahh <. Videre er tahh º for ær. Alle egeskaee ka vises ved å drøfte eksoetialfuksjoee som igår i fuksjosuttrykket. Så til oe umeriske verdier som vi får bruk for i drøftige av bølgefarte. Når 3 så er tahh.995 og
8 STRevPDE3H.mm3.b è!!!!!!!!!!!!! tahh è!!!!!!!!!!!.995 >.997. Videre er ÅÅÅÅÅÅ tahh.996, < <. så tahh º med relativ feil midre e.4 år»».. Dette avslutter itroduksjoe til de hyerbolske fuksjoee. Her følger e kort itroduksjo til feomeet overflateseig. På væskeoverflater daes det e ty væskefilm som det må e viss kraft til for å trege gjeom. Det er dee filme som gjør at isekter ka gå å va ute syke. Trykket å filme fra isektee er ikke stort ok til å trege gjeom overflatefilme og dermed syke. Et aet forsøk ( utført av Galileo Galilei ) er å legge e ål å et airark og vete til det vatruke airet syker og se at åle flyter. Pairet legger åle så forsiktig å væskefilme at åle ikke treger gjeom. Det er samme feome som vises i såebobler. Der er det e film å utside og e film å iside og samme holder de såeløsige å lass. Overflateseige gir elastisitete til overflatefilme, og er forholdet mellom strekkrafte i overflatefilme og legde dee krafte virker å. Overflateseige til f. eks. e såefilm ka måles ved å bruke e rektagulær ramme ( stereg ) med e bevegelig side av legde l. Krafte, F, som må til for å holde de bevegelige strege i ro ( hidre at såefilme drar strege til seg ved at såefilmes areal miker ) er strekkrafte. Krafte virker både å de bevegelige strege og å de motsatte side i rektaglet. Følgelig er legde som krafte virker å l. Overflateseige er da T = ÅÅÅÅÅÅ F l. Noe tyiske verdier for overflateseige til va i N/m ved temeraturer i C: 75.6 ved, 74. ved, 7.8 ved, 7. ved 3, 69.6 ved 4, 67.9 ved 5 og 58.9 ved. Vaets tetthet er ved de samme temeraturee [kg/m 3 ]: 999.8;, 999.7;, 998.;, 995.7; 3, 99.; 4, 988.; 5, 958.4;. Vi skal studere bølgefarte til overflatebølger å va ved forskjellige bølgelegder og vurdere hvilke effekter som er viktige. Væskedybde kommer i bare i tahhkh, og med kh stor ka tahhkh settes lik og dermed sløyfes. Dette tilfellet kalles bølger å dyt va. E raktisk brukbar regel er at è!!!!!!!!!!!!!!!!! tahh kh ka settes lik år kh > 3, da er è!!!!!!!!!!!!!!!!! tahhkh >.997. Dette kravet gir ÅÅÅÅ h l > ÅÅÅÅÅÅÅ 3 fl h > ÅÅÅÅ l. Altså er bølge å dyt va straks væskedybde overskrider halve bølgelegde og butoografie er da av lite eller ige betydig. Omvedt har vi at år kh er lite så er dybde lite i forhold til bølgelegde og tahhkh er tilærmet lik kh. Dette tilfellet kalles bølger å grudt va. E raktisk brukbar regel er kh. ( da er tahhkh º kh med relativ feil midre e.4 ). Dette gir h l som krever at bølgelegde skal være mist 65 gager dybde. For verdier av kh som avviker vesetlig fra disse må hele formele brukes. eddet som kommer fra overflateseige ÅÅÅÅÅÅÅ kt r og leddet som kommer fra tygde ÅÅÅÅ g gir ohav til forskjellige k bølgetyer. Bølger kyttet til overflateseige kalles kaillarbølger, mes bølger kyttet til tygde kalles tygdebølger. Vi skal se hvilke bølgelegder som tilhører kaillarområdet og hvilke som tilhører tygdeområdet. Vi bestemmer forholdet mellom leddee: ÅÅÅÅÅÅÅ Kaillar Tygde = k T r g = 4 T ÅÅÅÅ. Kaillarleddet og tygdeleddet er av samme betydig år r g l forholdet er. Dette gir skillebølgelegde for va ved temerature C og stadardverdie for tygdes akselerasjo å jorde: l= "######## ÅÅÅÅÅÅÅ T = "################# 7.8ÿ ÅÅÅÅÅÅ -3 =.7 m. For bølger med bølgelegde midre e ca. to cetimeter er r g 998.ÿ9.8 kaillarkrafte domierede, mes for bølger med bølgelegde over ca. to cetimeter er tygdekrafte domierede. For bølger med bølgelegde midre e.5 cm ka tygdeleddet sløyfes, mes kaillarleddet ka sløyfes år bølgelegde overskrider cm. Vi har å drøftet de forskjellige leddees betydig og skal se å tre eksemler. ) Vide blåser å et va ( e søleytt ) og setter o små bølger ( riel ). ( Vibrasjoer vil også geerere riel. ) Bølgelegde er to millimeter. Utetemerature er ë C. Bestem bølgefarte år vaets dybde er mist e millimeter. Vadybde er mist halve bølgelegde og bølge er å dyt va. Videre er bølgelegde i kaillarområdet så lite at tygdeleddet ka sløyfes. Kaillarbølges fart er med god tilærmig gitt ved c = "######## ÅÅÅÅÅÅÅ kt = "######### T ÅÅÅ = "################ ###### ÿ7.8ÿ-3 ÅÅÅÅ =.5 m ê s. Merk at i kaillarområdet øker bølgefarte år bølgelegde miker. r rl 998.ÿ. Dette betyr at de korteste og dermed miste bølgee kommer først fram. ( Dette ka være vaskelig å observere side disse bølgee demes hurtig. )
STRevPDE3H.mm3.b 9 ) Neste tilfelle er bølger å havet som er resultatet av e storm/orka. Store bølger har bølgelegde å ca. m. Når havdyet overskrider m så er bølgee å dyt va og de er klart i tygdebølgeområdet. Tygdebølges fart er c = "##### g ÅÅÅÅ = "####### g l ÅÅÅÅÅÅÅ k = "############ 9.8ÿ ÅÅÅÅÅÅÅ = 8 m ê s = 64 km ê h = 34 ko ( tilærmet ). Dette er farte e hurtigbåt må holde hvis de skal ri bølge. Merk at tygdebølgees fart øker med økede bølgelegde. Dette betyr at de legste og dermed største bølgee kommer først fram etter et uvær. 3) Til slutt skal vi se å feomeet tsuami. Ordet er jaask og betyr havebølge. Dette er bølger med bølgelegder o til km og amlitude å oe meter. Til havs er de ikke merkbare, me år bølge kommer i til lad så bremses de og resses samme. All bølgeeergi samles å et lite område og bølgeamlitude vokser o mot 5 m ( uvalig stor tsuami, mer tyisk 5-5 m ), derav avet havebølge. Slike bølger ka utløses av jordskjelv, udersjøiske ras, vulkautbrudd og himmellegemer som kolliderer med jorde ( ka da få bølgehøyer å flere hudre meter ). For tide er det itet jordisk havdy som overskrider km, så vår tsuami er alltid å grudt va ( 65 ÿ = 78 km ). At kaillarkreftee ka sløyfes bør være klart. Dette gir tsuamies bølgefart c = "########### g è!!!!!!! ÅÅÅÅ kh = gh = è!!!!!!!!!!!!!!!!! 9.8 ÿ 4 = 98 m ê s = 73 km ê h = 385 ko, hvor vi har beyttet det gjeomsittlige k havdyet å ca. 4 m, for å få e tyisk verdi. Merk at bølgefarte er uavhegig av bølgelegde og at de øker med havdybde. Ved observasjo av disse bølgefartee skal e merke seg at det er bølgetoees fart det er sakk om. Eergie som trasorteres av bølge går med e ae fart e bølgetoees fart. For tygdebølger å dyt va ka det vises at eergie går med halve farte til bølgetoee. Dette ka observeres som at bølgetoer daes i de bakre dele av bølgeområdet og går gjeom hele bølgeområdet til de forsvier i frote av bølgeområdet. ( Se å bølgee fra e båt, det er litt vaskelig å observere. ) Det er bølgeområdets fart ( farte til bølgemøstret ) som er farte eergie trasorteres med. Det er dee farte som må brukes for å bestemme bølgees akomsttider. For stormbølgee i eksemlet foregår trasorte av bølgeeergi med farte 9 m/s. à.. Varmeledigsroblemet og bølgeutbredigsroblemet. Vi skal formulere begge roblemee og sasyliggjøre at systemee har etydige løsiger. Formulerig av varmeledigsroblemet. Varmeledigsroblemet formuleres for e stav som er så ty at vi ka se bort fra staves tverrsitt. Alterativt holder formulerige for et legeme ( f. eks. e vegg ) hvor varmeledige i all hovedsak foregår i e retig ( f. eks. gjeom vegge ) slik at vi som tilærmig ka sløyfe all varmeledig i de adre to retigee. Staves varmeledigseve avheger av materialegeskaee til stave. Geerelt varierer varmeledigseve fra ukt til ukt i stave, me vi skal øye oss med å studere e termisk homoge stav slik at varmeledigseve er de samme i alle ukter å stave, altså kostat varmeledigseve. Vi lar stave ligge lags - akse fra = til = ( staves legde er altså ). Videre er stave varmeisolert i alle ukter bortsett fra edeuktee hvor eergi ka tilføres eller taes. Vi skal studere tilfellet hvor begge edeuktee holdes å fast temeratur med verdi. Vi lar staves temeratur ( som ka variere i stave ) være T = TH, t. Vi lar staves starttemeratur være hh. Dette gir følgede varmeledigsroblem: varmeledigslikige ÅÅÅÅÅÅ - k T =, radkravee TH, t = TH, t = og startkravet 3 TH, = hh. Varmeledigslikige gjelder for t > fl < < og bestemmer hvorda eergie brer seg ( temerature edres ) i stave. Koeffisiete k i likige er kyttet til varmeledigseve ( se iledige ). ikiges høyre side er som betyr at de idre uktee i stave ikke mottar eergi fra eller taer eergi til omgivelsee. Hvis stave mottar eller taer eergi i de idre uktee, så må varmeledigslikige modifiseres til ÅÅÅÅÅÅ - k T = f H, t, hvor f H, t beskriver varmetaet eller varmetilførsele. ( Vi skal alltid ata varmeisolasjo av de idre uktee i stave slik at f H, t =. ) Radkravee TH, t = TH, t = gjelder for t og sier at temerature i staves edeukter ( som er staves rad ) er kostat lik til alle tider. Startkravet 3 TH, = hh er gyldig for < < og gir staves starttemeratur. Starttemerature forteller oss hvorda stave er varmet o til å begye med. De totale iformasjoe som varmeledigsroblemet ieholder er hvorda stave trasorterer eergie mellom forskjellige ukter i stave og at ige idre ukter mottar eller taer
STRevPDE3H.mm3.b eergi ( dette er varmeledigslikige ), hva som til ehver tid skjer i staves edeukter ( dette er radkravet ) og hva de termiske situasjoe for stave er i begyelse ( dette er startkravet ). Fra fysikke er det rimelig å kokludere at varmeledigsroblemet er fullstedig beskrevet. Vi har kotroll med hele stave ( edeuktee ikludert ) til alle tider og all eergi som er blitt tilført til stave og tat av stave. Vi kokluderer med at roblemet må ha e etydig løsig. Formulerig av bølgeutbredigsroblemet. Bølgeutbredigsroblemet formuleres for trasversale svigiger å e streg. a strege ligge lags - akse fra = til =. Streges hvilelegde er altså. a streges utslag i uktet og i tidsuktet t være uh, t. ( Streges legde er å større e ). Når strege føres fra likevekt ( -akse ) vil strekkrafte dra strege tilbake mot likevekt. Streges masse gjør at strege ikke ka stoe i likevekt ( masse gir strege treghet ) og de fortsetter forbi likevekt til maksimalt utslag oås å de adre side av likevektsosisjoe. Igje drar strekkrafte strege mot likevekt og treghete gjør at stege fortsetter tilbake til utgagsuktet. Slik fortsette strege å svige til evig tid hvis itet bremser svigigee. Det ka vises at ewtos. lov for strege er ( se iledige ): u - c u =. Streges trasversale hastighet ( vikelrett å - akse ) er ÅÅÅÅÅ og streges trasversale akselerasjo er u. Det adre leddet i likige u kommer fra strekkrafte. Streges trasversale bevegelse gir e bølge som beveger seg lags - akse med kostat fart c. Bølgeroblemet er: bølgelikige u - c u =, radkravee uh, t = uh, t = og startkravee 3 uh, = ghï ÅÅÅÅÅÅ H, = hh. Bølgelikige u - c u = beskriver bølges bevegelse lags - akse og er gyldig for < < fl t >. Radkravee uh, t = uh, t = sier at strege er set fast i edeuktee side utslaget er og er gyldig for t. Startkravee 3 uh, = ghï ÅÅÅÅÅÅ H, = hh gir streges startosisjo gh og streges startfart hh, og er gyldig for < <. ( Det er mulig å formulere roblemet for tilfellet med et løst edeukt og også for tilfellet med adre krefter e strekkrafte å de idre uktee i strege. E slik kraft gir et ekstra ledd i bølgelikige u - c u = f H, t. Her forutsetter vi at det ku er strekkrafte som virker å streges idre ukter, dvs f H, t =. ) Fra fysikke er det rimelig å kokludere at bølgeroblemet er fullstedig beskrevet. Dette fordi bølges bevegelse styres av bølgelikige, edeuktees bevegelse ( de er i ro ) styres av radkravee og streges startosisjo og startfart styres av startkravee. Da er det ikke mer vi behøver å vite så bølgeroblemet må ha etydig løsig. [ Egetlig er dette resoemetet feil! Dette skyldes at vi i overgage fra fysisk beskrivelse av roblemet har beyttet flere tilærmiger og forekliger for å komme fram til de matematiske modelle. Vi er ikke sikret at de matematiske modelle har løsig eller at løsige er etydig. Disse egeskaee ka ha gått tat i tilærmigee. Det er derfor ødvedig å vise at de matematiske modelle virkelig har e etydig løsig. Dette er gjort både for varmeledigsroblemet og for bølgeutbredigsroblemet. At det må forholde seg slik er ødvedig ut fra fysikke og avvik ( ikke etydig løsig ) fører til at de matematiske modelle må forkastes som ufysisk. ] à.. øsig av varmeledigsroblemet. Varmeledigsroblemet som beskrevet ovefor består i å løse systemet: ÅÅÅÅÅÅ - k T =, TH, t = TH, t = og TH, = hh. Dette skal vi gjøre i tre tri: Tri : Varmeledigslikige omgjøres til ordiære differesiallikiger ( differesiallikiger i e variabel ), Tri : Radkravet brukes til å begrese atall muligheter mest mulig og Tri 3: fra disse løsigee lager vi de størst mulige løsige av varmeledigslikige for å kue ofylle startkravet med e så geerell fuksjo hh som mulig. Vi følger osettet og starter med: Tri : Omgjørig av de artielle differesiallikige ( PDE ) til ordiære differesiallikiger ( ODE ). Vi skal bruke e metode som kalles roduktmetode eller searasjo av variablee. Idee er å faktorisere flervariabelfuksjoe i deler som ku ieholder e variabel hver for så å skille ( searere ) variablee fra hveradre. Temeraturfuksjoe som er løsig av varmeledigsroblemet er e fuksjo av to variable TH, t. Vi søker ye fuksjoer av e variabel U = UH og V = VHt med TH, t = UH VHt. Vi holder rede å at U ku avheger av og V ku avheger av t, og beytter kortforme T = UV. Isatt for temeraturfuksjoe gir dette ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ UV = UV og T = ÅÅÅÅÅ UV = U V. Isatt i varmeledigslikige gir dette U V - ku V =. Poeget er å å samle all
STRevPDE3H.mm3.b avhegighet for seg å de ee side av likige og all t avhegighet for seg å de adre side av likige ( dette er å searere variablee ). Dette svarer til å samle V fuksjoe å e side av likige og U fuksjoe å de adre side. Det siller ige rolle hvilke side kostate k settes å, me det blir litt oversiktligere å ta de samme med V fuksjoe. Dette gir UV = ku V fl ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ V k V = ÅÅÅÅÅÅÅ U. Her avheger vestre side ku av tide t, mes høyre side ku U avheger av osisjoskoordiate. Hvis vi varierer så edres ikke vestre side fordi t er e uavhegig ( fri ) variabel, og forholdet ÅÅÅÅÅÅÅ U er derfor kostat. Side dette forholdet er det samme som forholdet ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ V er også dette U k V forholdet kostat. Dette gir at det fies et reelt tall l med ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ V k V = ÅÅÅÅÅÅÅ U =l. Vi får to ordiære differesiallikiger U U =lu og V =lkv. Vi er ferdig med tri. Tri : Vi skal bruke radkravet TH, t = TH, t = til å begrese mulighetee mest mulig. Vi setter i roduktet for temeraturfuksjoe TH, t = UH VHt. Radkravet blir TH, t = UH VHt = TH, t = UH VHt =. Vi ka ikke ha VHt = for alle t for da blir TH, t = UH VHt =, og dee ulløsige ka ikke ofylle startkravet med midre også hh = for alle. Altså må VHt for mist e t verdi. Side UH og UH er kostater så må disse være for de aktuelle t verdie og dermed er UH = UH =. Dette er radkravet å roduktform. Side kravee er å U fuksjoe så løser vi differesiallikige U =lu først og begreser mulighetee ved å bruke kravee UH = UH =. E. ordes differesiallikig av dee tye har 3 forskjellige slags løsiger avhegig av verdie av l. Vi drøfter tilfellee: ) l> gir løsiger av tye UH = Ae è!!! l + Be -è!!! l. Kravet UH = gir at A + B = fl B =-A. Isatt gir dette UH = AI e è!!! l - e -è!!! l M. Kravet UH = gir UH = AI e è!!! l - e -è!!! l M = Ae -è!!! l I e è!!! l - M =. Side e -è!!! l og A ( for ellers blir TH, t = og det er ige løsig ) så må e è!!! l - = fl e è!!! l = fl è!!! l = l = fll=. Side dette er eeste mulighet får vi e motsigelse da vi har forutsatt i løsigsformele at l >. Koklusjoe er at tilfellet l > ku gir løsige TH, t =, som ofyller radkravee, og dee ulløsige er ikke brukbar side de ikke ka ofylle startkravet. Tilfellet l > er herved utelukket. ) l= gir løsiger av tye UH = A + B. Kravet UH = gir at A =. øsigee får forme UH = B, og det este kravet gir UH = B= fl B =, side stave har ositiv legde. Eeste løsig er igje de ubrukelige ulløsige. Tilfellet l = er også utelukket. 3) l< er eeste mulighet. øsigee er å å forme UH = A cos I è!!!!!! -l M + B sii è!!!!!! -l M, hvor -l >. Kravet UH = gir at UH = A cos I è!!!!!! -l M + B sii è!!!!!! -l M = A =. øsige får forme UH = B sii è!!!!!! -l M. Kravet UH = gir UH = B sii è!!!!!! -l M = fl sii è!!!!!! -l M =, side B = gir de ubrukelige ulløsige. Følgelig må argumetet være ett av ulluktee til siusfuksjoe, œ. Dermed er è!!!!!! -l = så l =-H ÅÅÅÅÅÅÅ, œ. Fuksjoee blir B si H ÅÅ, hvor œ. Side siusfuksjoe er odde ( sih- =-si ) så gir de egative verdiee itet ytt. Verdie = gir ullfuksjoe og det er derfor ok å bruke de ositive heltallee, dvs. de aturlige tallee. Totalt gir dette løsigee B si H ÅÅ og l =-H ÅÅÅÅÅÅÅ med œ. Det gjestår å fie V fuksjoee som er løsiger av V =lkv med l =-H ÅÅÅÅÅÅÅ. øsigee av differesiallikige er alltid å forme VHt = Ce l kt. Isatt for l gir dette VHt = Ce -k H t, med œ. Dette avslutter tri. Tri 3: Vi skal lage e størst mulig løsig av varmeledigslikige fra løsigee som vi fat i tri. Vi har fuet e løsig for hvert aturlige tall og lister disse løsigee ved å ideksere dem med, T H, t. Fra TH, t = UH VHt følger ved idekserig T H, t = U H V Ht = B C e -k H t si H ÅÅ. Side B og C er ukjete kostater så er roduktet også e ukjet kostat som vi ka kalle A. Vi har dermed fuet løsigee T H, t = A e -k H t si H ÅÅ, œ. Adre løsiger å roduktform som tilfredstiller radkravee fies ikke. Varmeledigslikige er lieær. Dette betyr at e lieærkombiasjo av løsiger selv er e løsig. Vi treger å vise lieæritete dvs. at at + bt er e løsig år T og T er løsiger. Side derivasjoee er lieære oerasjoer følger at HaT +bt - k HaT +bt Å = ai - k T ÅÅ M + bi - k T ÅÅ M = a ÿ + b ÿ = og åstade følger. De største lieærkombiasjoe som vi ka lage fra løsigee som vi fat er = T H, t = A e -k H t si H ÅÅ. Ehver edelig sum av dee tye er e løsig av varmeledigslikige. For å vise at rekka ( de uedelige summe ) også er e løsig av varmeledigslikige må kovergesege- = skaee til rekka studeres. Vi utelater de bite og tar for gitt at også rekka er e løsig. Et siste krav må ofylles. Startkravet TH, = hh gir for de største lieærkombiasjoe A e -k H si H ÅÅ = = A si H ÅÅ = hh. Dette betyr at vår roduktmetode løser roblemet hvis =
STRevPDE3H.mm3.b starttemerature lar seg skrive som rekka = A si H ÅÅ. Vi kjeer igje roblemet som å fie fouriersiusrekka tilfuksjoe h. øsige er gitt ved fouriersius-koeffisietee til h fuksjoe: A = h = ÅÅÅÅ Ÿ hh si H ÅÅ d. Alle triee er å utført og vi har følgede løsig av varmeledigsroblemet: h e -k H ÅÅÅÅÅÅ - k T =, TH, t = TH, t = og TH, = hh: TH, t = t si H ÅÅ, med = h = ÅÅÅÅ Ÿ hh si H ÅÅ d. Merk at koeffisietee h settes rett i fra fourierrekka til h fuksjoe, hvis dee er kjet. Itegralee er da ferdig bereget. à.3. øsig av bølgeutbredigsroblemet. Bølbeutbredigsroblemet som beskrevet ovefor består i å løse systemet: u - c u =, uh, t = uh, t = og uh, = ghï ÅÅÅÅÅ H, = hh. Vi følger samme tretrismetode som for varmeledigsroblemet. Tri : Vi searerer variablee uh, t = UH VHt, og setter dette i i bølgelikige. Dette gir UV = c U V fl ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ V c V = ÅÅÅÅÅÅÅ U. Av samme gru som før er forholdee kostate og må være et reelt tall l. Dette gir U differesiallikigee U =lu og V =lc V. Tri er utført. Tri : Radkravee uh, t = uh, t = gir at UH = UH =. Dette er samme roblem som for varmeledigslikige og løsige er som før UH = B si H ÅÅ med l =-H ÅÅÅÅÅÅÅ og œ. Det gjestår å fie V fuksjoee som er løsiger av V =lc V med l =-H ÅÅÅÅÅÅÅ og œ. Side l er egativ er løsigee å forme VHt = C cosh ÅÅ c c t + D sih ÅÅ t med œ. Dette avslutter tri. Tri 3: At bølgelikige er lieær følger direkte fra at derivasjoee er lieære oerasjoer. ieæritete vises fra Hau +bu Å - c Hau +bu Å = ai u ÅÅ - c u ÅÅ M + bi u ÅÅ - c u ÅÅ M = a ÿ + b ÿ =, som viser at au + bu er e løsig år u og u er løsiger. Vi ka da lage ye løsiger ved å lieækombiere gamle som for varmeledigsroiblemet. Vi slår samme kostatee BC=a og BD= b og daer de største lieærkombiasjoe av løsigee = Ha cosh ÅÅ c t + b sih ÅÅ c t si H ÅÅ. Heller ikke her skal vi udersøke rekkas kovergesegeskaer. I tillegg skal vi ata at rekka ka deriveres leddvis. Det første radkravet gir = Ha cosh ÅÅ c + b sih ÅÅ c si H ÅÅ = = a si H ÅÅ = gh. øsiger blir fouriersiusrekka til g fuksjoe med fouriersius- koeffisieter a = g = ÅÅÅÅ Ÿ gh si H ÅÅ d. Det adre radkravet er å de deriverte av rekka. Vi deriverer leddvis ( i samsvar med atakelse ) og får ÅÅÅÅÅ = Ha cosh ÅÅ c t +b sih ÅÅ c t si H ÅÅ = ÅÅÅÅÅ = Ha cosh ÅÅ c t +b sih ÅÅ c t si H ÅÅ = = H-a c ÅÅ sih ÅÅ c t +b ÅÅ c cosh ÅÅ c t si H ÅÅ. Rekkas verdi i t = er = H-a c ÅÅ sih ÅÅ c + b ÅÅ c cosh ÅÅ c si H ÅÅ = = b c ÅÅ si H ÅÅ = hh. øsige blir fouriersiusrekka til h fuksjoe med fouriersius- koeffisieter b ÅÅÅÅ c = h = ÅÅÅÅ Ÿ hh si H ÅÅ dflb = h ÅÅ c = ÅÅ c Ÿ hh si H ÅÅ d. Tri 3 er utført og vi har følgede løsig av bølgeutbredigsroblemet u - c u =, uh, t = uh, t = og uh, = ghï ÅÅÅÅÅÅ H, = hh: uh, t = = Hg cosh ÅÅ c t + ÅÅ c h sih ÅÅ c t si H ÅÅ med g = ÅÅÅÅ Ÿ gh si H ÅÅ d og h = ÅÅÅÅ Ÿ hh si H ÅÅ d. Igje setter vi rett i for koeffisietee hvis fourierrekkee til g og h fuksjoee er kjete.