Vektorer. i planen. Et opläg. Udgave Karsten Juul

Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. 3 4 4 2 2011 Karsten Juul

Til eleven FormÅlet med dette häfte er ikke at du skal få träning i at skrive besvarelser af standardopgaver. FormÅlet er at du skal få kendskab til den geometriske baggrund for standardmetoderne. SÅ bliver stoffet nemmere. Du skal selv fumle dig frem til facitterne på en eller anden måde. SÅ får du nemlig kendskab til det geometriske indhold, og det gçr du ikke hvis du bruger andres metoder i stedet for selv at se på figuren hvad der er rigtigt. Du skal ikke skrive hvordan du er kommet frem til facitterne. Du får andre opgaver hvor du skal Çve dig på dette. Vektorer i planen. Et opläg. 2. udgave 2011 É 2011 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra www.mat1.dk HÄftet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om hold, lärer og skole.

1. Eksempel KoordinatsÄt for punkt PÅ den venstre figur har vi tegnet et punkt P. PÅ den hçjre figur har vi vist hvordan vi afläser at punktet P har koordinatsättet (4, 3) Symbolet (4, 3) läser vi sådan: 4 komma 3 Vi bruger symbolet (4, 3) som en betegnelse for punktet: P (4, 3) P Q P Q R R 2. Ävelse KoordinatsÄt for punkt Brug figuren og oplysningerne i eksempel 1. Udfyld de tomme pladser: a) Punktet Q har koordinatsättet (, ) b) R (, ) c) Tegn punktet ( 2, 1) på venstre figur ovenfor. d) Tegn punktet ( 0, 1) på venstre figur ovenfor. e) Tegn punktet ( 3, 0) på venstre figur ovenfor. 3. Ävelse KoordinatsÄt for punkt a) A (, ) b) B (, ) G c) C (, ) d) D (, ) e) E (, ) E F f) F (, ) D g) G (, ) h) Tegn punktet (7, 5) i) Tegn punktet (6, 0) C B A j) Tegn punktet ( 4, 7) k) Tegn punktet ( 0, 6) l) Tegn punktet ( 6, 4) m) Tegn punktet (6, 5,5) Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 1 2011 Karsten Juul

4. Eksempel KoordinatsÄt for vektor Pilen på figuren viser en forskydning der fçrer punktet A over i punktet B. Det ses at forskydningen er 3 i x-aksens retning og 2 i y-aksens retning. Pilen, der kaldes en vektor, har koordinatsättet 3. 2 Dette symbol läses "tre komma to" selv om der ikke er noget komma når koordinatsättet skrives lodret. Eksempler: Forskydning med Forskydning med 3 fçrer A over i B. 2 3 fçrer B over i C. 2 Forskydning med 3 fçrer R over i P. 2 Forskydning med 1 fçrer R over i A. 2 Du skal forestille dig at pilen ligger lçst oven på papiret, og at du kan flytte den, men ikke dreje den. 5. Ävelse KoordinatsÄt for vektor Se på figuren ovenfor. a) Forskydning med fçrer A over i C. b) Forskydning med fçrer P over i A. c) Forskydning med fçrer A over i P. d) Forskydning med fçrer B over i A. e) Forskydning med vektoren 2 3 f) Forskydning med vektoren 2 3 fçrer punktet A over i punktet (, ). fçrer punktet (, ) over i punktet A. Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 2 2011 Karsten Juul

6. Ävelse KoordinatsÄt for vektor a) Forskydning med vektoren 3 fçrer punktet P over i punktet (, ). 5 b) Forskydning med vektoren 1 fçrer punktet P over i punktet (, ). 5 c) Forskydning med fçrer P over i et punkt på linjen l. 5 d) Forskydning med 2 fçrer P over i et punkt på linjen l. e) Hvis c 2, vil forskydning med vektoren c( 2) c2 fçre Q over i punktet (, ). f) Hvis c, vil forskydning med vektoren c( 2) fçre Q over i et punkt på linjen l. c2 g) Find nogle punkter som ved forskydning med 1 fçres over i et punkt på linjen l. 4 Svar: 7. Eksempel Parallel og vinkelret PÅ figuren ser vi at 2 er parallel med 4 1 2 og at 2 er vinkelret på 2 1. 4 l 2 4 4 2 m Vi har tegnet to hjälpelinjer for at vise at 2 er vinkelret på 2 1. 4 BÅde 2 og 4 1 er parallelle med m 2 og vinkelrette på l. 2 1 Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 3 2011 Karsten Juul

8. Ävelse Parallel og vinkelret a) Hvilken af de viste vektorer er parallel med linjen l? b) Hvilken af de viste vektorer er vinkelret på linjen m? c) NÅr k, er 6 k vinkelret på l. 2 5 3 9 2 7 d) NÅr h, er h 1 parallel med m. e) NÅr k, er 3 k parallel med 2. 5 9. Ävelse Parallel og vinkelret a) Find et tal t så linjen gennem P og ( 3, t) er vinkelret på 2. 4 t b) En linje l er vinkelret på 3. 1 Find et tal h så h er vinkelret på l. 2 h 2 4 3 1 10. Ävelse Vinkelret a) Ved forskydning med 1 fçres punkterne på 3 linjen l over i punkterne på en linje m. Tegn linjen m. 1 3 b) Find en vektor h vinkelret på 1 k så l 3 ved forskydning med h fçres over i m. k h k Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 4 2011 Karsten Juul

11. Ävelse Gange vektor med tal a) PÅ figuren nedenfor skal du tegne fçlgende: Det punkt som P fçres over i ved forskydning med 3. 2 Det punkt som P fçres over i ved forskydning med c3 c2 Det punkt som P fçres over i ved forskydning med c3 c2 når c 3. når c 2. b) Udregn det punkt ( s, t) som P fçres over i ved forskydning med c3 c2 ( s, t) (, ) når c 10. c) Skriv udtrykt ved c koordinatsättet ( s, t) til det punkt som P fçres over i ved forskydning med c3. ( s, t) (, ) c2 3 2 12. Ävelse To forskydninger a) Et punkt der starter i P, forskydes fçrst med 4 1. Derefter forskydes det videre med 5 3. 2 2 5 Hvor meget er punktet i alt forskudt mod hçjre? 2 Og hvor meget er punktet i alt forskudt opad? Dette er forskydningen med vektoren. 1 b) Et punkt forskydes fçrst med 1 3. 3 Derefter forskydes det videre med 4. 2 Hvor meget er punktet i alt forskudt mod hçjre? Og hvor meget er punktet i alt forskudt opad? Dette er forskydningen med vektoren. Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 5 2011 Karsten Juul

13. Ävelse To forskydninger Se på figuren nedenfor. a) Find en vektor h sådan at hvis et punkt fçrst forskydes med 6 k, og derefter forskydes 1 videre med h, så er punktet i alt forskudt med 3 h k. 4 k b) Find en vektor h sådan at hvis et punkt fçrst forskydes med h k, og derefter forskydes videre k med 3, så er punktet i alt forskudt med 5 h 4. 0 k 3 4 5 0 6 1 14. Ävelse To forskydninger gange vektor med tal a) Find et tal c sådan at hvis et punkt fçrst forskydes med 1 og 3 derefter forskydes videre med c ( 1), så er punktet i alt c 2 forskudt med 3. c 11 b) Bestem tallene s og t sådan at hvis et punkt fçrst forskydes med s 1 og derefter forskydes videre med t ( 1) s 3, så er t 2 det i alt forskudt med 1. 8 s t 3 11 1 2 1 8 1 3 Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 6 2011 Karsten Juul

15. Ävelse To forskydninger gange vektor med tal Se på figuren nedenfor. a) Bestem tallene s og t sådan at hvis et punkt fçrst forskydes med s 4 s 0 videre med t 4, så er det i alt forskudt med 14 t 4. s 8 b) Bestem tallene s og t sådan at hvis et punkt fçrst forskydes med s 4 s 0 videre med t 4, så er det i alt forskudt med 0 t 4. s 8 og derefter forskydes t og derefter forskydes t 0 8 14 8 4 4 4 0 16. Ävelse Linjer der stçr vinkelret pç hinanden a) Er vinkel u lig 90? h i j b) Hvilken af linjerne h, i og j er vinkelret på linjen k? c) Tegn en linje l der er vinkelret på linjen i. d) Tegn en linje m der er vinkelret på linjen h. e) Tegn en linje n der er vinkelret på linjen j. k u 17. Ävelse Linjer der stçr vinkelret pç hinanden a) Tegn to forskellige linjer som begge er vinkelret på linjen l. l b) Tegn en linje som er forskellig fra l og er vinkelret på de to linjer du tegnede som svar på a). Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 7 2011 Karsten Juul

18. Ävelse Linjer der stçr vinkelret pç hinanden a) Tegn en linje der går gennem punktet A og er vinkelret på linjen m. b) Tegn en linje der går gennem punktet B og er vinkelret på linjen m. A B m 19. Ävelse Projektion af punkt pç linje a) Tegn det punkt Q som er skäringspunkt mellem linjen l og den linje gennem P som er vinkelret på l. Dette punkt Q kalder man projektionen af P på l. b) Tegn det punkt S som er projektionen af R på l. l R P 20. Eksempel Projektion af punkt pç linje PÅ figuren nedenfor er vist: Projektionen af punktet P på linjen l er punktet Q. For at tegne projektionen af P på l kan man tegne den linje som går gennem P og er vinkelret på l. SkÄringspunktet mellem denne linje og l er projektionen af P på l. 21. Ävelse Projektion af punkt pç linje a) Projektionen af punktet P på linjen l kalder vi R. Tegn punktet R. b) Projektionen af punktet P på linjen m kalder vi S. Tegn punktet S. c) T er det punkt på m hvis projektion på l er Q. Tegn punktet T. Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 8 2011 Karsten Juul

22. Ävelse Projektion af vektor pç linje a) Tegn det punkt A hvor pilen starter. b) Tegn det punkt B hvor pilen ender. c) Tegn det punkt C som er projektionen af A på linjen m. d) Tegn det punkt D som er projektionen af B på linjen m. e) Tegn den pil der begynder i C og ender i D. Den vektor du tegnede i e), er projektionen af vektoren 3 på linjen m. 4 23. Eksempel Projektion af vektor pç linje PÅ figuren er vist: Projektionen af vektoren 3 på linjen l er vektoren 4 4. 2 3 4 m 3 4 4 2 24. Ävelse Projektion af vektor pç linje a) Tegn den vektor der er projektionen af vektoren 1 på linjen l. 5 b) Tegn den vektor der er projektionen af vektoren 1 på linjen m. Denne vektor er 5. c) Bestem tre koordinatsät for vektorer hvis projektion på l er 3. 3 1 5 3 3 Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 9 2011 Karsten Juul

25. Eksempel Projektion af vektor pç vektor PÅ figuren nedenfor er vist: Projektionen af vektoren 8 på vektoren 3 1 er vektoren 2 6. 4 For at kunne tegne projektionen har vi tegnet en hjälpelinje der er parallel med 3. 6 Ved projektion af vektorer er projektionen på 3 det samme som projektionen på en linje der er 6 parallel med 3. BemÄrk: En vektor der ligger på en linje, er parallel med linjen. 6 8 1 2 4 3 6 26. Ävelse Projektion af vektor pç vektor a) Tegn en linje som er parallel med vektoren 2. 2 b) Tegn den vektor som er projektionen af 2 på 2 6 2 c) Projektionen af 2 på 2 6 er 2. d) Projektionen af 2 på 0 6 er 2. e) Projektionen af 2 6. på 8 4 er 0 2. 2 6 2 2 8 4 Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 10 2011 Karsten Juul

27. Ävelse LÄngde af vektor a) Brug Pythagoras' sätning til at bestemme längden af vektoren 6. 8 b) NÅr c 1 2, hvad er så längden af c6. c8 c) Bestem c så längden af c6 er 1. c8 6 8 28. Ävelse LÄngde af vektor a) Bestem längden af 12. 5 b) NÅr c 2, hvad er så längden af c( 12) c5 c) Bestem c så längden af c( 12) er 1. c5 d) Bestem c så längden af c( 12) er 7. c5? 12 5 Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 11 2011 Karsten Juul

29. Ävelse Projekt PÅ figur 20 er vist en pil der går fra E(2, 1) til B (6, 4). Pilespidsens längde og bredde er AB 1 og CD 1. a) E fçres over i B ved forskydning med en vektor. Bestem vektorens koordinatsät. b) Beregn längden af denne vektor. c) Beregn längden EA ved hjälp af svaret på foregående spçrgsmål og oplysningen om pilespidsens längde. d) E fçres over i A ved forskydning med en vektor. Bestem vektorens koordinatsät ved at bruge svarene på de tre foregående spçrgsmål. e) Bestem koordinatsättet til A ved bl.a. at bruge svaret på foregående spçrgsmål. f ) Bestem koordinatsättet til en vektor der er vinkelret på linjestykket EB. g) Beregn koordinatsättet til D ved bl.a. at bruge svarene på de to foregående spçrgsmål. h) Beregn koordinatsättet til C. i) Lav et elektronisk dokument med fçlgende definitioner: AB=1 CD=1 Ex=2 Ey=1 Bx=6 By=4 Skriv udregningerne fra a)-h) med AB, CD, Ex osv. i stedet for 1, 1, 2 osv. Du får brug for at vide at vi kan få en vektor der er vinkelret på x ved at skrive y y. x Det skal väre sådan at når du Ändrer tallene i ovenstående definitioner, så udregnes automatisk koordinaterne til C og D. Indret dokumentet sådan at pilen tegnes. Lav det evt. sådan at man ser pilen Ändre sig. Lav evt. noget lignende med en anden figur du välger. Skriv en rapport hvor du gçr rede for udregningerne. Vektorer i planen. Et opläg. Udgave 2. Side 12 2011 Karsten Juul