Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7

Transkript

1 Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7 Nøgleord og begreber Repetition: Polære koordinater Lagkagestykker Koordinatskift Type II varianten August 22, opgave 1 Populære anvendelser Flyv højere... Koordinatskift i mange variable Cylinderkoordinater Sfæriske koordinater Calculus 2-26 Uge

2 Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, ) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer y-aksen. 2 y P (r cos(θ), r sin(θ)) r 1 θ O 1 x Calculus 2-26 Uge

3 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polært og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polære koordinater (r, θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x, y), x > har polære koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus 2-26 Uge

4 Lagkageområde [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Polært rektangel y (b cos β,b sin β) θ=β r=a r=b θ=α x {(r, θ) a r b, α θ β} {(x, y) = (r cos θ, r sin θ) a r b, α θ β} Calculus 2-26 Uge

5 Lagkageområde [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Definition Et polært rektangel er et område i R 2 bestemt ved polære koordinater R = {(r, θ) a r b, α θ β} I kartesiske koordinater er området {(r cos θ, r sin θ) a r b, α θ β} Calculus 2-26 Uge

6 Lagkageområde [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Inddelt polært rektangel y (r i, θ j ) x {(r, θ) a r b, α θ β} Calculus 2-26 Uge

7 Lagkageområde, areal [S] 12.4 Double integrals in polar... Areal af polært rektangel y (r,θ)=( a+b 2, α+β 2 ) x Areal af {(r, θ) a r b, α θ β} er 1 2 (β α)(b2 a 2 ) = a + b (b a)(β α) 2 Calculus 2-26 Uge

8 Polær inddeling [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Definition a = r r i 1 r i r i r m = b α = θ θ j 1 θ j θ j θ n = β inddeler det polære rektanglet R = [a, b] [α, β] i brikker med midtpunkter og areal r i = r i 1 + r i 2, θ j = θ j 1 + θ j 2 A = 1 2 (r i + r i 1 )(r i r i 1 )(θ j θ j 1 ) = r i r θ Calculus 2-26 Uge

9 Polær Riemann sum [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er 1 m i=1 n f(x i, yj ) A = j=1 m n f(ri cos θj, ri sin θj )ri r θ i=1 j=1 Calculus 2-26 Uge

10 Lagkageområde, integral [S] 12.4 Double integrals in polar... 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel R = {(r, θ) a r b, α θ β} er integralet et itereret integral R f(x, y)da = β b α a f(r cos θ, r sin θ)rdr dθ Calculus 2-26 Uge

11 Cirkelring [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 1 Halvcirkelringen R = {(x, y) y, 1 x 2 + y 2 4} beskrives i polære koordinater ved Som reduceres x = r cos θ, y = r sin θ r sin θ, 1 (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 4 θ π, 1 r 2 Calculus 2-26 Uge

12 Cirkelring [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 1 Halvcirkelringen er det polære rektangel R = {(x, y) y, 1 x 2 + y 2 4} {(r, θ) 1 r 2, θ π} Calculus 2-26 Uge

13 Cirkelring Eksempel 1 - figur [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates y x {(r, θ) 1 r 2, θ π} Calculus 2-26 Uge

14 Integral over en cirkelring [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 1 - fortsat Givet funktionen på halvcirkelringen f(x, y) = 3x + 4y 2 I polære koordinater er R = {(x, y) y, 1 x 2 + y 2 4} f(r cos θ, r sin θ) = 3r cos θ + 4(r sin θ) 2 Calculus 2-26 Uge

15 Integral over en cirkelring [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 1 - fortsat Dobbeltintegralet over {(r, θ) 1 r 2, θ π} beregnes ved polært koordinatskift R f(x, y)da = β α b a f(r cos θ, r sin θ)rdr dθ Det itererede integral f(x, y)da = R π 2 1 (3r cos θ + 4r 2 sin 2 θ)rdr dθ Calculus 2-26 Uge

16 Integral over en cirkelring [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 1 - fortsat (3x + 4y 2 )da = R = = = = π π π π 2 [ r 3 cos θ + r 4 sin 2 θ ] r=2 r=1 dθ (7 cos θ + 15 sin 2 θ) dθ (7 cos θ + 15 (1 cos 2θ)) dθ 2 [7 sin θ ] θ=π (2θ sin 2θ) = 15 2 π 1 (3r cos θ + 4r 2 sin 2 θ)rdr dθ Calculus 2-26 Uge θ=

17 Integral over en cirkelskive [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 2 Toppen af et æg {(x, y, z) x 2 + y 2 1, z 1 x 2 y 2 } beskrives i "cylinder" koordinater ved x = r cos θ, y = r sin θ Det er {(r, θ, z) r 1, z 1 r 2 } Calculus 2-26 Uge

18 Top [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Eksempel 2 - figur z x 1 y {(r, θ, z) r 1, z 1 r 2 } Calculus 2-26 Uge

19 Integral over en cirkelskive [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 2 - fortsat Volumenet er et integral af funktionen på cirkelskiven f(x, y) = 1 x 2 y 2 R = {(x, y) x 2 + y 2 1} Dobbelt integralet beregnes ved koordinatskift V = R f(x, y)da = 2π 1 (1 r 2 )rdr dθ Calculus 2-26 Uge

20 Integral over en cirkelskive [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 2 - fortsat V = = = 2π 2π 2π 1 [ r 2 (1 r 2 )rdr dθ 2 r dθ ] r=1 r= dθ = π 2 Calculus 2-26 Uge

21 Polært Type II [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Type II - figur y r=h 2 (θ) θ=β r=h 1 (θ) θ=α x D = {(r, θ) α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} Calculus 2-26 Uge

22 Polær Type II [S] 12.3 Double integrals over general regions Polær Type II integral 3 For f givet på D = {(r, θ) α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} er integralet et itereret integral D f(x, y)da = β h2 (θ) α h 1 (θ) f(r cos θ, r sin θ)rdr dθ Calculus 2-26 Uge

23 Polær Type II, eksempel [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 3 Legemet {(x, y, z) x 2 + y 2 2x, z x 2 + y 2 } beskrives i "cylinder" koordinater ved Det er x = r cos θ, y = r sin θ {(r, θ, z) π 2 θ π 2, r 2 cos θ, z r2 } Calculus 2-26 Uge

24 Stub [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates Eksempel 3 - skitse (lav bedre selv!) z x y {(r, θ, z) π 2 θ π 2, r 2 cos θ, z r2 } Calculus 2-26 Uge

25 Polær Type II, eksempel [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 3 - fortsat Volumenet er et integral af funktionen på området i polære koordinater f(x, y) = x 2 + y 2 D = {(r, θ) π 2 θ π, r 2 cos θ} 2 Dobbelt integralet beregnes ved koordinatskift V = D f(x, y)da = π/2 2 cos θ π/2 r 2 rdr dθ Calculus 2-26 Uge

26 Polær Type II, eksempel [S] 12.4 Double integrals in polar... Eksempel 3 - fortsat V = = = π/2 π/2 π/2 π/2 π/2 =... π/2 2 cos θ [ r 4 4 r 2 rdr dθ ] r=2 cos θ r= 4 cos 4 θ dθ dθ = 3π 2 Calculus 2-26 Uge

27 Kilen [S] 12.4 Double integrals in polar... Kile Kilen med radius a og højde b er i "cylinderkoordinater": D = {(r, θ) r a, θ π} E = {(r, θ, z) (r, θ) D, z b r sin θ} a Vis, at volumenet V er V = 2 3 a2 b Calculus 2-26 Uge

28 Kile i polære koordinater [S] 12.4 Double integrals in polar... Kile - figur z b a a x y D = {(r, θ) r a, θ π} E = {(r, θ, z) (r, θ) D, z b r sin θ} a Calculus 2-26 Uge

29 Volumen af kile [S] 12.4 Double integrals in polar... Kile - fortsat D = {(r, θ) r a, θ π} er et polært rektangel. Volumenet af kilen er b a y da = D π a b r sin(θ) rdr dθ a Calculus 2-26 Uge

30 Volumen af kile [S] [S] 12.4 Double integrals in polar... Kile - fortsat D b a y da = = = π π π a b r sin(θ) rdr dθ a [ ] r=a b 3a r3 sin θ dθ a 2 b 3 sin θ dθ = a2 b 3 [ cos θ]π = 2 3 a2 b r= Calculus 2-26 Uge

31 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x, y. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y 2 x R = {(x, y) x, y, x 2 + y 2 4} Calculus 2-26 Uge

32 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - figur z x y R = {(r, θ) r 2, θ π 2 } Calculus 2-26 Uge

33 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - fortsat R = {(r, θ) r 2, θ π 2 } er et polært rektangel. Integralet er R x 2 y da = π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ) rdr dθ Calculus 2-26 Uge

34 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 1 - fortsat R x 2 y da = = = = π/2 π/2 π/2 2 r 3 cos 2 (θ) sin(θ) rdr dθ [ 1 5 r5 cos 2 θ sin θ 32 5 cos2 θ sin θ dθ [ cos3 θ = ] π/2 ] r=2 r= dθ Calculus 2-26 Uge

35 Populært [S] 12.5 Applications of double integrals Anvendelser Beregn nyttige integraler i en variabel. Find areal, volumen, tyngdepunkt og moment. Bestem ladning af elektriske fordelinger. Statisktiske fordelinger for 2 stokastiske variable. Fortsæt med 3 variable... Calculus 2-26 Uge

36 Flere variable [S] 12.7 Triple integrals Udvidelse Volumenet af en kasse er produktet af kantlængderne. Riemannsummen for en funktion i 3 variable defineret på en kasse er tripelsummen af funktionsværdi gange volumen for kassen opdelt i klodser. Tripelintegralet er grænseværdien af Riemansummerne for finere klodsinddeling. Tripelintegralet beregnes ved Fubinis sætning som 3 itererede integraler. Fortsæt med 4 eller flere variable... Calculus 2-26 Uge

37 Jacobideterminanten [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Definition 14.6 For en differentiabel afbildning f : R n R n (u 1,..., u n ) (v 1,..., v m ) = (f 1 (u 1,..., u n ),..., f n (u 1,..., u n )) er Jacobideterminanten determinanten af Jacobimatricen f 1 f det f u u n u =..... f n u 1... Man skriver også f n u n det f (u) = det v u (u) Calculus 2-26 Uge

38 Koordinatskift [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Sætning 14.1 Givet en differentiabel afbildning g : R n R n og et område D R n. For en integrabel funktion f : g(d) R gælder integralskift formlen g(d) f(v)dv = D f g(u) det v u du Calculus 2-26 Uge

39 Polære koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel For g(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) er det (x,y) = cos θ r sin θ (r,θ) = r. For en integrabel funktion sin θ r cos θ f : g(d) R gælder f(x, y)da = g(d) D f(r cos θ, r sin θ) rda Ved brug af Fubinis sætning på et polært rektangel R = g(d) fås R f(x, y) da = β α b a f(r cos θ, r sin θ) rdr dθ Calculus 2-26 Uge

40 Polære koordinater Eksempel figur θ [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix y β α D g g(d) (b cos α,b sin α) a b r x Calculus 2-26 Uge

41 Cylinder koordinater Eksempel [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix z Rummets beskrivelse ved cylinderkoordinater (r, θ, z) er givet ved transformationen z (x,y,z) (x, y, z) = g(r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) x θ r y (r cos θ,r sin θ) Calculus 2-26 Uge

42 Cylinder koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel fortsat Jacobimatricen er cos θ r sin θ sin θ r cos θ 1 og determinanten er det (x, y, z) (r, θ, z) = r Calculus 2-26 Uge

43 Cylinder koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel fortsat For en integrabel funktion f : g(d) R gælder f(x, y, z)dv = f(r cos θ, r sin θ, z) rdv g(d) D Ved brug af Fubinis sætning for en cylinder C = {(x, y, z) x 2 + x 2 R 2, z c} beskrevet i cylinderkoordinater D = {(r, θ, z) r R, θ 2π, z c} fås variabelskift c 2π R f(x, y) dv = f(r cos θ, r sin θ, z) rdr dθ dz C Calculus 2-26 Uge

44 Sfæriske koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel Rummets beskrivelse ved sfæriske koordinater (ρ, θ, φ) er givet ved transformationen (x, y, z) = g(ρ, θ, φ) = (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) ρ måler afstanden fra origo, θ er vinklen fra x-aksen til sigtelinjens projektion på (x, y)-planen og φ er vinklen fra lodret til sigtelinjen. Calculus 2-26 Uge

45 Sfæriske koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel figur z ρ cos φ (x,y,z) φ ρ x θ ρ sin φ (ρ cos θ sin φ,ρ sin θ sin φ) y Calculus 2-26 Uge

46 Sfæriske koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel fortsat Jacobimatricen er (x, y, z) (ρ, θ, φ) = cos θ sin φ ρ sin θ sin φ ρ cos θ cos φ sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ cos φ ρ sin φ og determinanten udregnes til det (x, y, z) (ρ, θ, φ) = ρ2 sin φ Calculus 2-26 Uge

47 Sfæriske koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel fortsat For en integrabel funktion f : g(d) R gælder f(x, y, z)dv = D g(d) f(ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) ρ 2 sin φ dv Calculus 2-26 Uge

48 Sfæriske koordinater [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel fortsat Ved brug af Fubinis sætning for en kugle C = {(x, y, z) x 2 + x 2 + z 2 R 2 } beskrevet i sfæriske koordinater D = {(ρ, θ, φ) ρ R, θ 2π, φ π} fås variabelskift f(x, y, z) dv = C π 2π R f(ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) ρ 2 sin φdρ dθ dφ Calculus 2-26 Uge