Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Transkript

1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater Test polære koordinater Calculus Uge

2 En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces Figur y D (x, y) f(x, y) 0 x D R 2, f : D R Calculus Uge

3 Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Calculus Uge

4 Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. D R 2 Calculus Uge

5 Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. Mængden af tal kaldes vœrdimœngden. D R 2 f(d) = {f(x,y) R (x,y) D} Calculus Uge

6 Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

7 Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(x,y) = 9 x 2 y 2 giver en funktion med definitionsmængde D = {(x,y) 9 x 2 y 2 0} = {(x,y) x 2 + y 2 3} som er cirkelskiven med centrum i 0 og radius 3. Calculus Uge

8 Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(x,y) = 9 x 2 y 2 giver en funktion med definitionsmængde D = {(x,y) 9 x 2 y 2 0} = {(x,y) x 2 + y 2 3} som er cirkelskiven med centrum i 0 og radius 3. Værdimængden er intervallet g(d) = [0, 3] R Calculus Uge

9 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? Calculus Uge

10 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? x + y + z = 1 V = xy(1 x y) D = {(x,y) x > 0,y > 0,x + y < 1} Calculus Uge

11 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? x + y + z = 1 V = xy(1 x y) D = {(x,y) x > 0,y > 0,x + y < 1} Bestem maksimum for funktionen V på mængden D. Calculus Uge

12 Graf og niveaukurve [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(x,y,z) (x,y) D,z = f(x,y)} er en flade i rummet R 3. Calculus Uge

13 Graf og niveaukurve [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(x,y,z) (x,y) D,z = f(x,y)} er en flade i rummet R 3. Niveaukurven(konturlinjen) af kote k for en funktion f : D R f 1 (k) = {(x,y) D f(x,y) = k} er en kurve i planen R 2. Koter k vælges fra værdimængden. Calculus Uge

14 Udseende saddel Figur [S] 11.1 Functions of several variables z x y Grafen af f(x,y) = x 2 y 2 Calculus Uge

17 Udseende saddel [S] 11.1 Functions of several variables Figur y y = ± x 2 4 x Niveaukurver for f(x,y) = x 2 y 2 Calculus Uge

20 Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

21 Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(x,y,z) x 2 + y 2 9,z = 9 x 2 y 2 } = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 9,z 0} Calculus Uge

22 Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(x,y,z) x 2 + y 2 9,z = 9 x 2 y 2 } = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 9,z 0} Niveaukurver er cirkler g 1 (k) = {(x,y) x 2 + y 2 9, 9 x 2 y 2 = k} = {(x,y) x 2 + y 2 = 9 k 2 } Calculus Uge

23 Globus Figur [S] 11.1 Functions of several variables z x y Grafen for g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

24 Breddegrader [S] 11.1 Functions of several variables Figur y x 2 + y 2 = 9 k 2 0 x Niveaukurver for g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

25 Top og dal Figur [S] 11.1 Functions of several variables z x Grafen af f(x,y) = y y 1 + x 2 + y 2 Calculus Uge

26 Top og dal Figur [S] 11.1 Functions of several variables y x Niveaukurver for f(x, y) = y 1 + x 2 + y 2 Calculus Uge

27 Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Calculus Uge

28 Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrykket f(x,y,z) = ln(z y) + xy sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(x,y,z) R 3 z > y} Calculus Uge

29 Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrykket f(x,y,z) = ln(z y) + xy sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(x,y,z) R 3 z > y} Værdimængden er f(d) = R Calculus Uge

30 Goddag igen til grænseværdier [S] 11.2 Limits and continuity 1 Definition Grænseværdien af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) f(x,y) L for (x,y) (a,b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (x,y) er tilstrækkeligt tæt på (a,b). Calculus Uge

31 Helt præcist 5 Definition Grænseværdien eksisterer, hvis [S] Appendix D - Functions of two variables lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) ǫ > 0 δ > 0 : (x a)2 + (y b) 2 < δ f(x,y) L < ǫ Calculus Uge

32 Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1 f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 har ingen grænseværdi for (x,y) (0, 0). Calculus Uge

33 Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1 f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 har ingen grænseværdi for (x,y) (0, 0). Løsning f(x, 0) = 1,x 0 f(0,y) = 1,y 0 Calculus Uge

34 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. Calculus Uge

35 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. Calculus Uge

36 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. Calculus Uge

37 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. Calculus Uge

38 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. 5. Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne. Calculus Uge

39 Kontinuitet på ny [S] 11.2 Limits and continuity 3 Definition Kontinuitet af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(x,y) = f(a,b) (x,y) (a,b) f(x,y) f(a,b) for (x,y) (a,b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a,b) D. Calculus Uge

40 Godt naboskab [S] 11.2 Limits and continuity Figur y D (x, y) (a, b) f(x, y) f(a, b) 0 x Kontinuitet Calculus Uge

41 Helt præcist Definition Kontinuitet hvis der gælder [S] Appendix D - Functions of two variables lim f(x,y) = f(a,b) (x,y) (a,b) ǫ > 0 δ > 0 : (x a)2 + (y b) 2 < δ f(x,y) f(a,b) < ǫ Calculus Uge

42 Test kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Test Hvis f(x,y) er en kontinuert funktion defineret i hele R 2, så er lim f(x,y) = f(0, 0). (x,y) (0,0) Afkryds: ja nej Calculus Uge

43 Test kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Test Hvis f(x,y) er en kontinuert funktion defineret i hele R 2, så er lim f(x,y) = f(0, 0). (x,y) (0,0) Løsning Dette er netop definitionen på kontinuitet i (0, 0). Afkryds: ja nej Calculus Uge

44 Test kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Test Hvis f(x,y) er en kontinuert funktion defineret i hele R 2, så er lim f(x,y) = f(0, 0). (x,y) (0,0) Løsning Dette er netop definitionen på kontinuitet i (0, 0). Afkryds: ja nej Calculus Uge

45 Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet Calculus Uge

46 Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. Calculus Uge

47 Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner er kontinuerte. sin, cos, tan, arcsin,...,exp, log,... Calculus Uge

48 Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner er kontinuerte. sin, cos, tan, arcsin,...,exp, log, Funktionsudtryk er kontinuerte, hvor de er definerede. Calculus Uge

49 Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet Calculus Uge

50 Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y Calculus Uge

51 Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y Kontinuert på R 2,x pπ cosy sinx Calculus Uge

52 Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y Kontinuert på R 2,x pπ 3. Kontinuert når x 2 + y 2 > 2 cosy sinx ln(x 2 + y 2 2) Calculus Uge

53 Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1, 6, 7 g(x,y) = { x 2 y 2, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(x,y) ingen grænseværdi har for (x,y) (0, 0). Calculus Uge

54 Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1, 6, 7 g(x,y) = { x 2 y 2, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(x,y) ingen grænseværdi har for (x,y) (0, 0). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(x,y) er kontinuert på mængden R 2 \{(0, 0)} af alle talpar fraregnet (0, 0). Calculus Uge

55 Hul i taget [S] 11.2 Limits and continuity Figur z x Ikke kontinuert i (0, 0) y Calculus Uge

56 Øvelse [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 4, 8 f(x,y) = { 3x 2 y, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Calculus Uge

57 Øvelse [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 4, 8 f(x,y) = { 3x 2 y, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Løsning viser, at x 2 f(x,y) = 3 y 3 y x 2 + y2 f(x,y) 0, når (x,y) (0, 0) Calculus Uge

58 Øvelse grafisk [S] 11.2 Limits and continuity Figur z x Kontinuert i (0, 0) y Calculus Uge

59 Udvid det hele til mange variable [S] 11.2 Limits and continuity Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Calculus Uge

60 Udvid det hele til mange variable [S] 11.2 Limits and continuity Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Eksempel Funktionen f(x,y,z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 er kontinuert på mængden R 3 \{(0, 0, 0)}. Calculus Uge

61 Populære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P O 1 θ Calculus Uge

62 Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer y-aksen. 2 y P(r cos(θ), r sin(θ)) 1 r O 1 θ x Calculus Uge

63 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x,y), x > 0 har polœre koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus Uge

64 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med polære koordinater har kartesiske koordinater (r,θ) = (2, 5π 4 ) x = r cosθ = 2 cos 5π 4 = 2 y = r sin θ = 2 sin 5π 4 = 2 (x,y) = ( 2, 2) Calculus Uge

65 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Figur y P(3,3) 5π/4 3 2 π/4 P( 2, 2) 2 1 x Calculus Uge

66 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med kartesiske koordinater har polære koordinater (x,y) = (3, 3) r = x 2 + y 2 = = 3 2 θ = tan 1 y x = tan = π 4 (r,θ) = (3 2, π 4 ) Calculus Uge

67 Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge

68 Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning y (1,1) 0 1 x Calculus Uge

69 Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) y (1,1) r = x 2 + y 2 = = x tanθ = y x = 1 1 = 1 θ = π 4 Calculus Uge

70 Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) y (1,1) r = x 2 + y 2 = = x tanθ = y x = 1 1 = 1 θ = π 4 Calculus Uge

71 Delmængder i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel y 0 a b x Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. Calculus Uge

72 Delmængder i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel y 0 a b x Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. I kartesiske koordinater ved {(x,y) a x 2 + y 2 b, 0 y} Calculus Uge

73 Delmængder i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel y 0 a b x Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. I kartesiske koordinater ved {(x,y) a x 2 + y 2 b, 0 y} I polære koordinater ved {(r,θ) a r b, 0 θ π} Calculus Uge

74 Funktioner i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel En funktion g : R 2 \{0} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (x,y) x2 y 2 x 2 + y 2 Calculus Uge

75 Funktioner i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel En funktion g : R 2 \{0} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (x,y) x2 y 2 x 2 + y 2 I polære koordinater x = r cos(θ), y = r sin(θ) er funktionen g givet ved (r,θ) (r cos θ)2 (r sin θ) 2 (r cosθ) 2 + (r sin θ) 2 = (cosθ) 2 (sinθ) 2 = cos(2θ) Calculus Uge