NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI OG ANVENDT GEOFYSIKK Oppgave SIG445 Geofysisk Signalanalyse ving 5 En seismisk kilde er plassert pa endybde d ivann, hvor lyd-hastightet er V : d Figure : Direkte signal og reeksjon fra overaten Kilden sender ut et signal s (t). Den delen av energien som treer overaten blir delvis reektert, med reeksjonskoesient (for trykk) c, slik at det totale signalet som sendes nedover bestar av det direkte kildesignalet pluss reeksjonen fra overaten. a) I praksis har vi c ';. Forklar hvorfor. b) Hva er det totale signalet s(t) som blir sendt nedover langs den vertikale aksen? c) Spektret til kilden kalles S (!). Hva er spektret S(!) til det totale signalet s(t)? d) Den reekterende overaten kan betraktes som et lter (kalt "ghost"), som gir output S(!) nar input er S (!): S(!) = G(!)S (!), hvor G(!) er frekvensresponsen til ghostlteret. Gi uttrykket for G(!) og for amplitude spektret jg(!)j til ghostlteret. Skisser jg(!)j i tilfellet hvor c = ;. e) Gi amplituden til s(t) nar s (t) =sin(! t)erensinus funksjon med amplitude og frekvens!,hvor.! = V d
.! = V d f) Vi antar at S(!) inneholder hovedsakelig frekvenser mellom 5 og Hz. Velg dybden d hvor kilden ma plasseres, slik at s (t) blir minst deformert og dempet av ghostlteret. (Hint: Bruk guren du tegnet i forrige sprsmal). Oppgave Ta utgangspunkt i oppgave,der vi sa hvordan havets overate kan modisere formen til signalet som blir sendt ned ved en seismisk underskelse. Hvordan havets overate pavirker signalet har vi beskrevet ved hjelp av et sakalt ghostlter. Vi nsker naa lage et enkelt inverslter forakompensere for ghosteekten (som jo delegger signalet). I hele oppgaven skal svarene vre basert pa tolkning av gurer, og ikke pa matematiske utledninger! Vi antar at lydhastigheten i vannet er V =5 m/s, og at dybden til kilden er d=6 m. I forrige oppgave antok vi at reeksjonskoesient for trykk mellom sjvann og luft er -. Denne antakelsen holder bra nar sjen er rolig. Nar vi har kraftige blger blir havets overate ruere, og vi far litt mindre reeksjon. Vi har grovt tegnet amplitudespektret til ghostlteret jg(!)j i tilfellene hvor reeksjonskoesienten er - (gur ), -,9 (gur ) og -,6 (gur 3)..5 Ghost amplitude spectrum d=6 m V=5 m/s c=.5 5 5 5 3 Figure : Amplitude-spektret til ghost-ltret jg(!)j for c=- a) La oss kalle F (!) frekvens-responsen til inverslteret. F (!) skal tilfredsstille F (!)G(!)=.
.5 Ghost amplitude spectrum d=6 m V=5 m/s c=.9.9.5. 5 5 5 3 Figure 3: Amplitude-spektret til ghost-ltret jg(!)j for c=-,9.5 Ghost amplitude spectrum d=6 m V=5 m/s c=.6.5.6.4 5 5 5 3 Figure 4: Amplitude-spektret til ghost-ltret jg(!)j for c=-,6 3
.5 Amplitude spectrum of noise.5 5 5 5 3 Figure 5: Amplitude-spektret til sty Hvilket problem far vi nar c=-? Skisser jf (!)j nar c=-,9 og c=-,6. Hva er fasen ' F (!) til inverslteret, i forhold til fasen ' G (!) til ghostlteret? b) Kilden sender ut et signal s (t) denert som s (t) =sin(f t)+sin(f t) () hvor f =6Hzog f =35Hz. Skisser amplitudespektret til s (t). c) Vi antar at det totale signalet som blir sendt nedover er hvor w(t) er sty, og hvor s(t) er denert som s T (t) =s(t) +w(t) () s(t) = s (t)+r(t) (3) = s (t)+cs (t ; d=v ) (4) Skisser amplitudespektret til s(t) for c=-,9 og c=-,6. Vi antar at w(t) har samme fasespektrum som s(t) og har et amplitudespektrum med maksimum amplitude, og gjennomsnittlig amplitude,, slik som vist pa gur 4. Skisser amplitudespektret" til s T (t)(husk at Fourier transformasjonen er liner, og at fasespektrene til w(t) og s(t) er antatt identiske). 4
d) Na anvender vi et inverslter i de to tilfellene hvor c=-,9 og c=-,6. Skisser jf (!)jjs(!)j Skisser jf (!)jjw (!)j Skisser endelig jf (!)jjs T (!)j Hva slags problem innfrer lteret nar signalet er utsatt for sty? e) Kan du relatere dette problemet til delay-egenskapene til g(t) (hvor g(t) er invers Fourier transformen til G(!))? Oppgave 3 I seismikk sender man et signal ned i jorda, og mottar pa overaten reeksjonene til signalet fra de forskjellige lagene. I det som flger neglisjerer vi multipler, dempning og S-blger. Vi antar at det bare nnes plane lag i var jordmodell, og at kilde og mottaker er pa samme sted (null-oset). Mottakerne maler trykket. Jorda kan betraktes som et enkelt lter. Impulsresponsen til dette lteret er trasen vi ville mottat hvis kilde-signalet var delta-funksjonen. Trasen vi mottar er den linere konvolusjonen til impulsresponsen til jorda med signalet som kilden har generert. Vi betrakter jordmodellen beskrevet i tabellen. Lag V P d kg=m 3 m=s m I 5 3 II 5 66 III 7 8 4 IV 3 36 a) Beregn og skisser impulsresponsen til jorda (ikke glem transmisjon nar du beregner de normaliserte amplitudene!). Vi antar at trasen er grovt diskretisert med tidsintervaller s (i praksis er det mye tettere diskretisering). b) Beregn og skisser den seismiske trasen, antatt et enkelt seimisk signal (4 ; ). Hva kan du si om opplsningen? c) Foresla noe for a fa bedre opplsning. 5
Oppgave 4 Denne oppgave er frivillig. X(!), Y (!) og Z(!) er de komplekse spektrene til x(t), y(t) og z(t). Vis at z(t) =x(t) y(t) er ekvivalent med Z(!) =X(!)Y (!) hvor den linere konvolusjonen er denert som x(t) y(t) = Z ; x()y(t ; )d : (5) Har vi ogsa ekvivalens mellom multiplikasjon i frekvens-domenet og konvolusjon i tidsdomenet for diskrete signaler og spektre, hvor spektrene og signalene er relatert til hverandre gjennom den Diskrete Fourier transformen (DFT)? 6