R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx Eventuelt: h x sin x cosx sin x b) ) Delvis integrasjon: x cosxdx x sin x sin x x sin x cosx C ) Delbrøksoppspalting: x x x x dx x dx x Eventuelt: ln x x x C ln ln D ln D x x x ) Variabelskifte: u cosx du dx sin x cos xdx sin x u C cos x dx ln x ln x C ln x x C du sin x sin x dx du sin x u du u C (Alle integrasjonene kan kontrolleres ved å derivere svarene og se om vi kommmer tilbake til utgangspunktet.) c) Aritmetisk rekke med a og differanse d. Direkte summering gir: S, S, S 9, S 6 Vi ser det velkjente resultatet; summer av ulike tall blir kvadrattall. Forutsetter vi dette, får vi S Vi bør kanskje vise at dette resultatet er riktig: S n a a n n n n n H.-P Ulven.6. av 7 R_H_ls.tex
R 9.. d) Direkte summering gir: S, S 8, S 7, S 6 Vi ser at summene er kubikktall, altså at S n n Dette gir: S (Å vise dette resultatet er vanskelig og utenfor R-pensum. På delen med hjelpemidler kunne vi tatt utganspunkt i at differansene til følgen er av første grad, følgen er derfor av andre grad og summene av tredje grad. Kurvetilpasning av et tredjegradspolynom (ax bx cx d) til tabellen: 8 7 6 vil da gi: S n n.) e) ) Amplitude: a fmax f min 5 Likevektslinje: d fmax f min 5 Perioden avlsest fra, til 5., : T 6. Det gir: c. T 6. ) Så langt har vi: f x sin x Da c. er faseforskjellen, som kan leses av på likevektslinjen mellom, og,, altså f x sin x f) Kan bruke integrerende faktor eller separere: y, y 5 (Triviell løsning, inkludert i endelig løsning lenger ned.) y 5 y som gir: dx dx dy dx y 5 y 5 Integrasjon gir: ln y 5 x C ln y 5 x C y 5 e x C y 5 C e x y 5 C ex y 5 Cex (Generell løsning.) Initialbetingelse: y 5 C C ): y e x 5 (Spesiell løsning.) g) AB,,, AC 6,, H.-P Ulven.6. av 7 R_H_ls.tex
R 9.. ) AB AC e x e y e z 6, 8, ) AB AC AB, 8,,, 8 6 AB AC AC, 8, 6,, (Dette er som vi vet en del av definisjonen av vektorprodukt; at det skal stå normalt på begge vektorene vi lager vektorprodukt av.) Del - Med hjelpemidler Oppgave a) b) sin x vil variere i området,, så største verdi må bli: f max 5 9 og minste verdi: f min 5 Minimalverdier når: x k x k ): x. 5 x. 5 Maksimalverdier når: x k x k ): x. 79 x 5. 9 c) Flere muligheter her: H.-P Ulven.6. av 7 R_H_ls.tex
R 9.. I cosinus-funksjon faseforskjøvet. 79 mot høyre: f x cos x 5 cos x 5 II Utregning: f x cos x 5 for eksempelvis punktet, f, 5 5 cos 5 cos k k Velger og får: f x cos x 5 III Omforming med formlene: sin u cos u og cos u cosu sin x cos x cos x cos x cos x (Amplitude og likevektslinje som før.) Oppgave x x x..., x a) Geometrisk rekke med a og kvotient k x. b) Konvergens: k, og dessuten x! x x (Ikke multipliser med x og mist løsninger!) x x Tall-linjer gir: x x x x x x Tall-linjer gir: x x Slår vi sammen alle kravene får vi konvergensområdet: L,, Noen foretrekker å gjøre slik: k k x x x x x x Tall-linjer gir igjen: L,, c) S x a k x x, x,, (Utenfor konvergensområdet er formelen meningsløs.) d) Vanlig hyperbelfunksjon...dette klarer dere selv. Grafen bør bare tegnes i definisjonsområdet,,. e) S x x x x (Forkastes da utenfor konvergensområdet/definisjonsområdet.) Da x ikke er i konvergensområdet, blir ikke summen S lik, slik ligningen krever. Dette ser vi også H.-P Ulven.6. av 7 R_H_ls.tex
R 9.. av den opprinnelige følgen:... 6 8... som ikke på noen måte konvergerer mot... S x x x x x x Denne ligningen gir mer mening, x er i konvergensområdet, så summen konvergerer nå mot.... Oppgave a) b) f x g x x x x x x x x x x x x x S, f, 7 S, f, S, f, 7 c) A f x g x dx x x dx x x A g x f x dx x x dx x x Vi ser at arealene blir det samme. Vi ser også at dette skyldes at skjæringspunktene ligger symmetrisk om y-aksen, hvilket sammen H.-P Ulven.6. 5 av 7 R_H_ls.tex
R 9.. med det faktum at utregningene bare har andre og fjerde potenser fører til at fortegnene ikke spiller noen rolle, slik at svarene blir like i begge utregningene. Dette studeres litt mer i detalj i d)... d) Tilsvarende regning som i b) og c): Skjæringspunkter: f x h x x cx x x c x c x x c x c A c x c cx f x h x dx x cx dx c c c c c c c A c h x f x dx c x cx dx c x c x c c c c c c ): A A QED Oppgave 5 a) Lager fulle kvadrater: x x y 6y 9 z 6z 9 9 9 x y z 6 ): Sentrum: S,,, Radius: R 6 b) Koordinatene fra l innsatt i kuleligningen gir: t t t 6 t 6t 6t 6 6t 6 t Skjæringspunkter: A,,, 7, B,,,, 7 c) Planene har samme normalvektor, parallell med retningsvektoren for linjen l, r,,, så vi velger n,, ( r ) : (Gjennom A) x, y 7, z,, x y z 6 : (Gjennom B) x, y, z 7,, x y z H.-P Ulven.6. 6 av 7 R_H_ls.tex
R 9.. (Kontroll: Avstander til origo fra planene: d ax by cz d og d, slik at vi får: d d 6 a b c d n 6, som stemmer med at dette må være det samme som diameteren i kulen; R 6. ) Oppgave 6 a) Endringshastigheten er negativ, da vannstanden avtar, og proporsjonal med kvadratroten til vannstanden; Endringsfart - const Vannstanden eller mer matematisk: y k y [enhet???], t, [minutter], k b) Separerer: y y k, y (Triviell løsning) y y dt kdt Kjerneregel gir: y dy kdt Integrasjon: y kt C y kt C y C kt Kvadrering gir: y C kt QED (Egentlig er også y en del av den generelle løsningen!) (Kvadrering kan gi falske løsninger, men kravene i oppgaven gjør at disse ikke er noen problem, kravet til k, initialbetingelser og virkelighetens krav eliminerer disse uansett.) y h h C C h (h følger av settingen.) (Oppgaven har valgt den positive, da den negative gir løsninger hvor vannstanden stiger (!).) y h h h k h k h k h h k h h 5 k h h k (Oppgaven har valgt den første.) Tanken er tom når: y t h h t h h t t t [minutter] (Ikke på eksamen, men når man studerer denne oppgaven hjemme i fred og ro, bør man lage skyvere av C, k og h i GeoGebra og eksperimentere litt for å se hvordan dette påvirker løsningen, og visualisere teoretiske løsninger som kan opptre når vi ser bort fra de praktiske kravene i det fysiske tilfellet.) H.-P Ulven.6. 7 av 7 R_H_ls.tex