Teksturanalyse og syntese basert på Markovfelt-metoder. Lars Aurdal,

Tekuranalye og ynee baer på Markovfel-meoder. Lar Aurdal, lau@ffi.no FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT

Overik Hva er en ekur? Ekempler på ekurer. Hvorfor analyere og yneiere ekurer. Tekuranalye, li hiorikk. Hiogrammeoden Problem Modell Algorime

Overik Singulærverdidekompoijon. Ekempler på ekuranalye og ynee. Øvinger: Tekuranalye. Tekurynee. Uredninger angående algorimer for ekuranalye. Penum.

Hva er en ekur? ekur-en,-er måe om noe (iær råder el. fibre er forbunde på; rukur [la. vevning ] ekural-, adj. ekurere -e; -ing krølle el. krue (kun-fiber: ekurer garn. fra Nork Ordbok, Kunnkapforlage.

Hva er en ekur? There i no univerally acceped definiion for exure. Par of he difficuly in giving a definiion of exure i he exremely large number of aribue of exure ha we would like o ubume under a definiion. We conider a exure o be a ochaic, poibly periodic, wo-dimenional image field. fra Markov Random Field Texure Model, George Cro og Anil Jain i IEEE Tranacion on Paern Analyi and Machine Inelligence.

Ekempler på ekurer Texure: A Phoographic Album for Ari and Deigner av Phil Brodaz, Dover publicaion. Gre Bark Pla Murein

Ekempler på ekurer Syneik Mur Takløk Tyriro

Hvorfor analyere og yneiere ekurer Bildeynee. Bildekomprimering. Bildeegmenering. Teoreik ineree.

Tekuranalye, li hiorikk Beag 974 Spaial Ineracion and he Saiical Analyi of Laice Syem Geman 984 Sochaic Relaxaion, Gibb Diribuion, and he Bayeian Reoraion of Image Derin 987 Modeling and Segmenaion of Noiy and Texured Image Uing Gibb Random Field Borge 999 On he Eimaion of Markov Random Field Parameer Benne 998 Mulipecral Random Field Model for Synhei and Analyi of Color Image Benne 999 Maximum Likelihood Eimaion Mehod for Mulipecral Random Field Image Model

Hiogrammeoden - problem Enkle ekurer. Binære (bare 2 nivåer. Sajonære (varierer ikke i plane.

Hiogrammeoden - modell Bilde er e endelig e S av punker. Ana a r og er punker i S På S definerer vi e naboyem ν om følger: ν { r S} r ν ν ν r

Hiogrammeoden - modell En klikk er e ube av punker lik a alle punkene i ubee er hverandre naboer (med henyn il de definere naboyeme. 4-nærmee naboer:

Hiogrammeoden - modell 8- nærmee naboer (8... (2 (4

Hiogrammeoden - modell Inerakjoner mellom punkene i en klikk urykke ved klikk poenial funkjoner. V C En klikk poenial funkjon er en funkjon av dekriporene (ypik gråoneverdiene il punkene om inngår i klikken. Energien i e punk er ummen av poenialfunkjonen for alle klikkene om dee punke inngår i. U c c V c

Hiogrammeoden - modell Beraker e 8-nærmee naboer yem, men bare klikker om beår av o punker.

Hiogrammeoden - algorime Definer: v u 2 v 2 u u 3 v 4 u 4 v 3 {u,u2,u3,u4,v,v 2,v3,v 4} g g er eikeen i punke og er vekoren av eikeer i punkene u,u 2,... ec.

Hiogrammeoden - algorime Definer følgende indikaorfunkjon: Ixy (, 0, x, x y y

Hiogrammeoden - algorime Definerer følgende energifunkjoner: v u u 2 v 2 u 3 v 4 u 4 v 3 U (g,g ; θ Vc β u u3 2 u2 u 4 c c β θ { I(g,g + I(g,g } + β { I(g,g + I(g,g }+ { Ig ( g Ig g } β { Ig g Ig g }, v + (, v + (, v + (, v 3 4 3 2 4 [ β, β, β, β ] 2 3 4 T

Hiogrammeoden - algorime U kan omkrive lik: U (g,g ; θ Vc β u u3 2 u2 u 4 c c β Φ { I(g,g + I(g,g } + β { I(g,g + I(g,g }+ { Ig ( g Ig g } β { Ig g Ig g }, v + (, v + (, v + (, v 3 4 T ( g,g 3 2 4 θ Φ Ig (, gu + Ig (, gu 3 Ig ( g + Ig g, u (, u 2 4 Ig ( g + Ig g, v (, v 3 Ig (, gv + Ig (, gv 2 4 θ β β β β 2 3 4

Hiogrammeoden - algorime La p(g,g være den imulane fordelingen il de okaike variablene g og g. La p(g være den imulane fordelingen il de okaike variablene g. Hammerley Clifford: p(g,g p(g p(g g e Q U e (g,g ; θ U ( g,g ; θ

Hiogrammeoden - algorime θ θ Q ;,g (g U ; U ( g,g e e g p(g p(g,g p(g ; k,g (g U ; j,g (g U ; k,g (g U ; j,g (g U e e e k,g p(g j,g (g p θ + θ θ θ

Hiogrammeoden - algorime ; k,g (g U ; j,g (g U ; k,g (g U ; j,g (g U e e e k,g p(g j,g (g p θ + θ θ θ θ θ k,g p(g j,g p(g ln j,g ; (g U k,g ; (g U

U FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Hiogrammeoden - algorime (g k,g ; θ U (g j,g ; θ p(g p(g ln p(g T p(g j,g [ Φ(g k,g Φ(g j,g ] θ ln k,g j,g k,g Φ Ig (, gu + Ig (, gu 3 Ig ( g + Ig g, u (, u 2 4 Ig ( g + Ig g, v (, v 3 Ig (, gv + Ig (, gv 2 4 θ β β β β 2 3 4

Hiogrammeoden - algorime p(g T p(g j,g [ Φ(g k,g Φ(g j,g ] θ ln k,g Venreiden i denne ligningen kan le beemme for en gi j, k og. Derom vi, på en eller annen måe, kan eimere høyreiden, får vi e (or e lineære ligninger i β β 2 Vi kal arbeide med binære ekurer der hver pixel bare kan ana o verdier (f. ek. 0 og. Hvordan er dee ligningee u?,,...

Hiogrammeoden - algorime p(g T p(g j,g [ Φ(g k,g Φ(g j,g ] θ ln Se k0 og j. T [gu,gu,gu,gu,gv,gv,gv,gv ] 0,0,0,0,0,0,0, 0 g 2 3 4 2 3 4 Φ Ig (, gu + Ig (, gu 3 Ig ( g + Ig g, u (, u 2 4 Ig ( g + Ig g, v (, v 3 Ig (, gv + Ig (, gv 2 4 2β + 2β + 2β + 2β θ p(g ln p(g [ ] T β β β β 2 3 4,g 0,g 2 3 4 k,g 0 0 [0,0,0,0,0,0,0,0] [0,0,0,0,0,0,0,0] 0 0 0 0 0 0 0,

Hiogrammeoden - algorime p(g T p(g j,g [ Φ(g k,g Φ(g j,g ] θ ln Se k0 og j. T [gu,gu,gu,gu,gv,gv,gv,gv ],,0,,0,,0, 0 g 2 3 4 2 3 4 Φ Ig (, gu + Ig (, gu 3 Ig ( g + Ig g, u (, u 2 4 Ig ( g + Ig g, v (, v 3 Ig (, gv + Ig (, gv 2 4 0β 2β + 2β 0β θ p(g ln p(g β β β β [ ] T,g 0,g 2 3 4 2 3 4 k,g 0 [,,0,,0,,0,0] [,,0,,0,,0,0] 0 0 0 0,

Hiogrammeoden - algorime Ig (, gu + Ig (, gu 3 + Φ Ig (, gu Ig (, gu 2 4 p(g k,g Ig ( g + Ig g, v (, v 3 Ig (, gv + Ig (, gv 2 4 T p(g j,g [ Φ(g k,g Φ(g j,g ] θ ln θ β β β β 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β β + 0β β p(g ln p(g,g 0,g 2 3 4 [...] [...]

Hiogrammeoden - algorime Probleme kylde ymmeriene i klikk-poenialene. Den beingede annynligheen for å få en ener med følgende naboer er lik: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Inkoniene ligninge.

Hiogrammeoden - algorime De finne bare 3 4 8 mulige vekorer Φ {0,} {0,} Ig (, g u + Ig (, g u {0,,2} 3 Ig ( g + Ig g, u (, u {0,,2} 2 4 Ig ( g + Ig g, v (, v {0,,2} 3 Ig (, g v + Ig (, g v 2 4 {0,,2} Ergo må vi løe makimal 8 ligninger i 4 ukjene. Vi ier a punke, med eike k (d.v. g k har indek (uavhengig av poijon derom (,i,i,i,i...i { 0,,2 } i 2 3 4 4 Φ(g k,g i i i i 2 3 4

Hiogrammeoden - algorime 0 0 0 0 0 0 0 Φ 0,g g ( Φ 2 2,g g (

Hiogrammeoden - algorime Iedenfor å løe: T p(g j,g [ Φ(g k,g Φ(g j,g ] θ ln p(g k,g løer vi: T T p(g Φ j, (g j,g [a,a2,a3,a 4] [ Φ g k,g Φ(g j,g ] θ ln p(g k,g ( T k, Φ(g [b,b 2,b3,b4]

Hiogrammeoden - algorime Derom nevneren i høyreiden i die ligningene er null, må elvfølgelig denne ligningen ryke fra de oale ee (på 8 ligninger: T T p(g Φ j, (g j,g [a,a2,a3,a 4] [ Φ g k,g Φ(g j,g ] θ ln p(g k,g ( T k, Φ(g [b,b 2,b3,b4] Uane vil yeme vi får være erk overbeem, de vil i a vi har flere ligninger enn ukjene. Hvordan løe dee?

Singulærverdidekompoijon Derom vi har e ligninge med M ligninger i N ukjene, der M>N (og der de M ligningene er lineær uavhengige, kan yeme bare løe i en mine kvadraik avvik forand. De vil i a vi kan finne e punk i de N-dimenjonale romme om har den mine euklidke avand (kvadrer il amlige M hyperplan. En måe å finne like løninger på er baer på åkal ingulærverdidekompoijon av marien om ilvarer de M ligningene.

Singulærverdidekompoijon Teorem: Enhver M*N marie A kan fakoriere om følger: A T Q ΣQ 2 der kolonnene i Q og Q 2T er orhogonale, og Σ er diagonal. Teorem: Løningen på yeme Axb med min norm er gi ved: x Q 2 Σ + Q T b

Ekempler på ekuranalye og ynee. Benyer MATLAB funkjonen genmarkov.m for å generere ekurer. Nlevel Tcoeff MinChange Kall: imgenmarkov(2,,0.95,[ - -],0,00,64; Tini bea ier ize genmarkov.m er en Meropoli ampler

Ekempler på ekuranalye og ynee. Nlevel Tcoeff MinChange Kall: imgenmarkov(2,,0.95,[ - -],0,00,64; Tini bea ier ize bea[- - 0 0], ier20 bea[- - 0 0], ier00

Ekempler på ekuranalye og ynee. Nlevel Tcoeff MinChange Kall: imgenmarkov(2,,0.95,[ - -],0,00,64; Tini bea ier ize bea[- - - -], ier20 bea[- - - -], ier00

Ekempler på ekuranalye og ynee. Nlevel Tcoeff MinChange Kall: imgenmarkov(2,,0.95,[ - -],0,00,64; Tini bea ier ize bea[ - 0 0], ier20 bea[ - 0 0], ier00

Ekempler på ekuranalye og ynee. Nlevel Tcoeff MinChange Kall: imgenmarkov(2,,0.95,[ - -],0,00,64; Tini bea ier ize bea[0 0 0 -], ier20 bea[0 0 -], ier00

Ekempler på ekuranalye og ynee. Benyer MATLAB funkjonen anamarkov.m for å analyere ekurer. ize Kall: imgenmarkov(im,n; exure

Ekempler på ekuranalye og ynee. beaanamarkov(im,... bea [-0.450,-0.8866,0.786,-.2664] imgenmarkov(,[- - -],,00, imgenmarkov(,bea,,00,

Ekempler på ekuranalye og ynee. beaanamarkov(im,... bea [0.5375,0.95,-0.6084,-0.4000] imgenmarkov(,[ - -],,00, imgenmarkov(,bea,,00,

Ekempler på ekuranalye og ynee. beaanamarkov(im,... bea [-0.6585,-0.8738,-0.627,-0.2339] imgenmarkov(,[- - 0 0],,30, imgenmarkov(,bea,,30,

Ekempler på ekuranalye og ynee. beaanamarkov(im,... bea [0.46,-0.7722,0.693,0.9500] imgenmarkov(,[ - 0 0],,00, imgenmarkov(,bea,,00,

Øvinger Generer e anall ekurer med genmarkov. Analyer en ekur, finn bea og regenerer ekuren. Hvilke ulemper har hiogrammeoden? Hvordan kal vi kunne beemme, på forhånd, hvor mange ierajoner om må bruke i genmarkov?

Øvinger 00*00

Øvinger ImgenMarkov(,[- - 0 0],,20, ImgenMarkov(,[- - 0 0],,40, ImgenMarkov(,[- - 0 0],,60,

Øvinger hp://www.idi.nnu.no/~lau/index.hml Denne og gårdagen preenajon (Powerpoin-filene markov.pp og markov2.pp. Vær oppmerkom på mulige endringer i formler mellom nork og engelk NT. Malab-filene genmarkov.m, anamarkov.m og README (rene acii ekfiler. En del ekra Malab-filer om kalle fra funkjonene over. Tekurbilde om kal analyere (oving.ma.

Penum Modeling and Segmenaion of Noiy and Texured Image uing Gibb Random Field, Haluk Derin og Howard Ellio, IEEE Tranacion on Paern Analyi and Machine Inelligence, vol. 9, nr., januar 987. Avni, 2 og 5. On he Eimaion of Markov Random Field Parameer, Carlo Borge, IEEE Tranacion on Paern Analyi and Machine Inelligence, vol. 2, nr. 3, mar 999. Avni, 2 og 3..