Bestemmelse av gravitasjonskonstanten

Bestemmelse av gravitasjonskonstanten Skule Skjei, Helge Skarestad Sammendrag I dette forsøket ble gravitasjonskonstantent målt og anlsått. Dette ble gjort ved Cavendishmetoden. Gravitasjonskonstanten man til slutt endte opp med var G = (4,85 ± 0,46) 10 11 m 3 kg 1 s 2. 1. Innledning Gravitasjonsloven avhenger imidlertid av en konstant. En slik verdi blir først bestemt av den britiske vitenskapsmannen Henry Cavendish 100 år etter at Newton formu- Denne rapporten omhandler forsøket Gravitasjonskonstanten, et forsøk hvor gravitasjonskonstanten og dens tilhørende lerer sin gravitasjonslov. Dette utfører han ved Cavendisheksperimentet, som forøvrig også er den eksperimentelle usikkerhet skal beregnes ved Cavendishmetoden. Forsøket ble gjennomført på fysikklab B3-117 i realfagbygget på metoden som blir brukt i dette forsøket. NTNU Gløshaugen den 5. oktober, og rapporten vil bygge på måleresultater fra denne labøkten. Før dette, vil rapporten sette eksperimentet i et historisk perspektiv. Teks- Utfordringen ved bestemmelse av gravitasjonskonstanten Gravitasjonskraften påvirker selv de største himmellegemenes bevegelser. Til tross for dette, er gravitasjonsten vil ellers ta for seg teori, metode og feilkilder knyttet til forsøket og gi en endelig konklusjon til slutt. kraften svært liten sammenlignet med andre naturkrefter Hvordan man kan forklare ulike bevegelser som skjer og man trenger en veldig presis målemetode for å kunne finne en riktig verdi for denen kraften. Målingen må på jorden og i universet, er et sprøsmål mange har stilt seg. Vitenskapsmennene og tenkerne Aristoteles, Galilei, dessuten foregå på en slik måte at alle andre krefter som Descartes og Newton er noen eksempler. Aristoteles hevder at all bevegelse kommer av at ulike substanser søker sin virker på forsøksapparaturen er neglisjerbare. For å kunne måle gravitasjonskonstanten, må altså en rekke forhold naturlige plass. For han er det klart at når en stein faller være oppfylt. raskere mot bakken enn et blad, kommer dette av at stenen i større grad består av jord enn bladet[1]. Den kjente Cavendish løser dette problemet ved å benytte en torsjonsvekt. En torsjonsvekt er et svært følsomt apparatur. vitenskapsmannen Galilei hevder på sin side at Aristoteles Hvordan en torsjonsvekt fungerer, vil rapporten komme i sin beskrivelse av bevegelse forveksler bevegelse og akselerasjon. Galilei mener at det at en stein faller mot bakken, nærmere inn på senere. kommer av en tiltrekkende kraft som virker på den. Videre hevder han å kunne bevise at hvis alle friksjonskrefter er 2. Teori og metode neglisjerbare, så vil et blad, og alle andre legemeer, falle mot bakken med lik akselerasjon som en stein. Descartes og Newton bygger videre på Galileis forståelse. Descartes formulerer det som i dag er kjent som en av Beregningen av gravitasjonskonstanten tar utgangspunkt i Newtons gravitasjonslov. To masser m 1 og m 2 med avstanden b mellom tyngdepunktene tiltrekker hverandre med Newtons lover[1]. Newton er blitt stående som en viktig historisk person, særlig i sin beskrivelse av mekanikken F = G m 1m 2 b 2. (1) gjennom sine fysiske lover. Newton klarer å påvise en teoretisk sammenheng mellom krefter som virker på legemer Tabellverdien for gravitasjonskonstanten er og deres bevegelser eller akselerasjon. Newtons fysiske lover bidrar både til at man kan beskrive ulike bevegelser på jordoverflaten og beregne himmellegemeers bevegelser. Newtons lover omfavner både nærkrefter og fjernkrefter. Newton er særlig kjent for sin gravitasjonslov. Denne loven beskriver hvordan to legemeer i en gitt avstand fra hverandre, vekselvirker. Newtons gravitasjonslov brukes til G = (6,674 28 ± 0,000 67) 10 11 m 3 kg 1 s 2 [2]. På jordoverflaten, dersom m 1 er 1 kg, m 2 er jordmassen og b er jordradiusen, er F jord omtrent 10 N. På Mars med m 1 = 1 kg, blir F Mars omtrent 3,7 N. Dette er en lavere verdi ettersom forholdet mellom masse og radius til Mars er lavere enn jordas[3]. Som sett, gir ikke Newtons generelle gravitasjonslov mening uten gravitasjonskonstanten, gitt å beregne hvordan ulike himmellegemer tiltrekker hverandre, eller hvordan jorden trekker på steinen og bladet som ved faller mot bakken og motsatt. G = F b2. m 1 m 2 (2) Preprint submitted to Veileder 19. desember 2013

Den franske fysikeren Coulomb var den første til å utnytte det faktum at dreiemomentet, τ, for en elastisk metalltråd er proposjonal med små utslagsvinkler og torsjonsstivheten, D [5], S τ = Dα. (3) I utregningen av gravitasjonskonstanten, er denne egenskapen nødvendig for å finne en sammenheng mellom vinkelutslaget, α, til vridningen av metalltråden og gravitasjonskraften, F, som forårsaker dreiemomentet. Så lenge α er tilstrekkelig liten, gjelder sammenhengen 2(α 1 + α 2 ) F r = D α (4) der r, halve avstanden mellom de små kulene, angir armen hvor dreiemomentet virker. For å finne kraften F trengs altså størrelser for dreiemomentet og utslagsvinkelen, i tillegg til den lett målbare r. Den trigonometriske sammenhengen sin(2(α 1 + α 2 )) = S/L kan leses av figur 3. Ettersom L S, er det rimelig å anta at S/L 2(α 1 + α 2 ). Dermed kan α elimineres fra ligning (4). b R x r α 2 α 1 h F = D S 8r L Newtons 2. lov for rotasjonsbevegelse gir (5) τ = I α (6) hvor treghetsmomentet til torsjonspendelen er oppgitt til å være I = 2mr 2 [4]. Kraften som virker fra torsjonstråden på pendelen er like stor og motsatt rettet som den kraften som gir dreiemomentet beskrevet i (3). Ved å sette sammen ligningene (3) og (6), finner man en differensialligning gitt ved α + D I α = 0 (7) som lar seg løse og gir D α(t) = α 0 sin I t (8) hvor D I er vinkelfarten, ω 0. Dermed kan torsjonsstivheten bestemmes for perioden T 2 = 4π 2 /ω 2 0. D = 4π2 I T 2. (9) Dette satt inn i ligning (2) sammen med ligning (5), kan forkortes til et uttrykk for gravitasjonskonstanten gitt ved G = π 2 Sb2 r T 2 LM. (10) I ligning 10 er alle størrelsene utenom b lett målbare. Avstanden mellom massesenteret til kulene, b, kan deles i delkomponenter; R, h og x (som vist i figur 1). Fra figur 1 kan man uttrykke tyngdepunktsavstanden som b = R + (h x), hvor (h x) er avstanden mellom de små kulenes 2 Figur 1: Oversikt over de ulike størrelsene som er nødvendige for å finne b. h) halve bredden til kammeret α) vinkelen mellom utslag og likevekt R) de store kulene sin radius r) avstand mellom vippepunkt og massesenter for små kuler x) avstand mellom massesenterene ved likevektslinja og maksutslag tyngdepunkt og veggen i kammeret. For å finne x gir figur 1 at sin α = x/r (11) og sin 2α = (S/2)/L (12) Ettersom α er liten gjennom hele eksperimentet, er det rimelig å anta at x = (Sr)/(4L). Ligningen for b legger til grunn at massesentrene til de små og de store kulene ligger i samme horisontalplan. En eventuell høydeforskjell vil føre til at den kraften som er antatt å virke horisontalt, egentlig virker på skrått i forhold til planet de små kulene ligger i. Ved å bruke pytagoras teorem, får man en bedre verdi for avstanden mellom de store kulenes massesenter og overflaten til de små kulene gitt ved b ny = 2 b 2 gammel + z2. Her står z for den omtalte høydeforskjellen. Overslaget av usikkerheten i målingene baserer seg i hovedsak på systematiske utledninger ved hjelp av gauss lov, men også estimat. Denne tråden kommer til å bli tatt opp igjen under metodebeskrivelsen, men allerede nå er det mulig å ta høyde for en systematisk feil ved det endelige resultatet. Foruten gravitasjonskrafta mellom liten og

b F0' f Eksperimentell metode Oppsettet i forsøket er gjengitt i figur 3. En målestokk er plassert i horisontal avstand L fra et speil, 2), som ligger midt på en pendelakse mellom to små blykuler, 4). Pendelaksen som ligger i et kammer påvirkes av to store blykuler, 3), som ideelt sett er plassert slik at b) er parallell med L). At dette imidlertid ikke er tilfellet vil bli beskrevet senere i teksten. 2r 6 S1 S0 S2 5 F 0 Figur 2: G korr tar hensyn til krafta F 0 som virker mellom liten kule og stor kule på motsatt side. Størrelsen som studeres i eksperimentet er F 0 f. 3 2(α 1 +α 2 ) L nærmeste stor kule, vil det virke en betydelig tiltrekkende kraft fra den andre store kula. Denne kraften vil ha en komponent som virker i motsatt retning av den F som skal måles som vist i figur 2. Måleresultatet blir dermed mindre enn det faktiske fenomenet som blir undersøkt. Følgelig er det nødvendig å ta høyde for en reduserende faktor i forsøket. Den kan undersøkes teoretisk ved å se på de trigonometriske og geometriske sammenhengene mellom de små og store kulene. Kraften er gitt ved ligninga b 4 2 1 α 2 α 1 F 0 = G mm b 2 + 4r 2. (13) Det er imidlertid bare den ene komponenten av denne kraften som motvirker pendelbevegelsen. Denne er gitt ved f = F 0 sinθ = G mm b 2 + 4r 2 b 3 b2 + 4r = F 2 0 β (14) hvor β = b 3. (15) (b 2 + 4r 2 ) 3/2 I og med at komponenten av kraften vil virke i motsatt retning av kraften fra den store kula på den nærmeste lille kula, vil den kraften man eksperimentelt måler være gitt ved ligninga F = F 0 f = F 0 (1 β) (16) Den korrigerte verdien for G korr blir da G korr = G 1 β, (17) hvor G er gitt ved ligning 10. Det eksperimentelle ved Cavendishforsøket blir dermed å bestemme utslagene S 1 og S 2 med periode T, samt de analoge størrelsene b, r, L og massen M. 3 Figur 3: Gjengivelse av oppsettet for Cavendisheksperimentet 1) Torsjonstråd (vinkelrett på papirplanet) 2) Speil som ligger fastmontert på aksen mellom de små kulene 3) Store blykuler 4) Små blykuler som ligger på endene av torsjonspendelen 5) Laserstråle som er rettet mot speilet 6) Målestokk som viser utslagene til laserlyset L) Avstand mellom speil og målestokk b) Avstand mellom massesenterene til kulene α) Vinkel mellom utslag og likevektslinje Forsøket utføres ved at to store blykuler 3) posisjoneres i to ulike posisjoner i forhold til to små kuler 4), hvor de ulike posisjonene vil føre til ulik vridning i en torsjonstråd. Midt på pendelarmen er det plassert et speil 2) slik at det reflekterer laserstråler fra en kilde 5) til en meterstokk 6). Ved å lese av verdien som pekes ut av den reflekterte laserstrålen periodisk (hvert 30. sekund), kan man stadfeste pendelarmens bevegelse. Ut fra måledataene kan man videre beregne likevektslinje og peridode til pendelbevegelsen ved hjelp av regresjon på måledataene. S er gitt ved differansen mellom de to likevektslinjene som gis ved en regresjon av måledataene. Den tilhørende

usikkerheten beregnes ved å anvende gauss lov på formelen for S, S = S 1 S 2. Perioden man benytter videre i rapporten er gjennomsnittet av de to målingenes periode, også her er usikkerheten beregnet ved gauss lov. Videre måles avstanden mellom speil og meterstokk. Dette utføres ved å bruke et elastisk måleband, noe som fører med seg usikkerhetsmomenter som svai i målebånd, høydeforskjell mellom målepunkter og usikkerhet i selve målebåndet. Usikkerheten må nødvendigvis anslås til å være relativt stor i forhold til usikkerheten i målebåndet selv. Deretter måles massene til de to store kulene, M. Ut fra disse resultatene beregnes en gjennomsnittsmasse som brukes videre i rapporten. Her er usikkerheten anslått ved å benytte signifikante sifre i målevekten, innsatt i gauss lov for utregningen av M. Ettersom det er vanskelig utføre nøyaktige målinger på innsiden av kammeret, er størrelsen r oppgitt på forhånd [4]. Usikkerheten i denne størrelsen antas å falle inn under feilen i gjeldende siffer. Avstanden mellom kulenes massesentre, b, blir videre beregnet ved å benytte ligningene utledet i teorien. Her er de store kulenes radius beregnet ved først å finne kulenes diameter. Diameteren måles med en skyvelære i tre ulike retninger på begge kulene, dette for å ta høyde for at kulene faktisk ikke er perfekte kuler. Deretter beregnes en snittverdi for hver av disse kulene, før man til slutt beregner gjennomsnittet av disse snittverdiene. Snittradiusen, R, er gitt ved denne snittverdien dividert med 2. Usikkerheten i målingen anslås å være lik differansen mellom største og minste måling, ettersom andre måter som gauss og gjeldende siffer gir urimelig små verdier. Delkomponenten h blir beregnet ved å måle kammerets bredde, og antas være halvparten av denne bredden. Denne antagelsen legger til grunn at pendelen vil ligge midt i kammeret i likevektstilstand. Usikkerheten i den korrigerte b beregnes ved hjelp av gauss lov, hvor usikkerheten i opprinnelige b beregnes ved å anvende gauss lov på den opprinnelige lingingen for avstanden. Da x b, er usikkerheten x neglisjerbar. 3. Resultat og diskusjon Svingeutslag, S(t) [mm] 700 680 660 640 620 600 Målte verdier Tilpasningskurve S(t) = S 0 + Ae αt sin(2πt/t +φ) Likevektslinje Innhyllingskurver 580 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Tid, t [s] Figur 4: Regresjon av måleserie 1 plottet med utslag som funksjon av tid sammen med enkeltmålingene. Svingeutslag, S(t) [mm] 800 780 760 740 720 700 680 660 Målte verdier Tilpasningskurve S(t) = S 0 + Ae αt sin(2πt/t +φ) Likevektslinje Innhyllingskurver Figur 4 og 5 viser hvordan de avleste utslagene i eksperimentet fordeler seg over tidsintervallet. Tilpasningskurven som vises er en regresjon som er gjort med hensyn på målingene. Figuren viser dermed hvordan vridningen av torsjonstråden følger en dempet svingning om en likevektslinje med en konstant svingeperiode. Over lengre tid vil tilpasningskurven jevne seg ut og tilslutt ligge parallelt med likevektslinja. På bakgrunn av tabell 2, gir ligning (10), den eksperimentelle verdien for G. Usikkerheten blir beregnet ved gauss lov med verdiene for usikkerhet i tabell 2, slik at den fullstendige størrelsen er G = (4,79 ± 0,46) 10 11 m 3 kg 1 s 2. Videre kan den korrigerte verdien for G finnes ved hjelp av (17). 4 640 620 600 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Tid, t [s] Figur 5: Regresjon av måleserie 2 plottet med utslag som funksjon av tid sammen med enkeltmålingene. (G korr + G korr ) (G + G) 0, 923 = (4,85 ± 0,05) 10 11 m 3 kg 1 s 2. (18)

Tabell 1: Middelverdi og periode for de to dataseriene som er vist i henholdsvis figur 4 og figur 5. a 1 ± a 1 a 2 ± a 2 Likevektslinje (mm) 640,92 ± 0,35 701,09 ± 0,21 Periode (s) 650,3 ± 2,1 656,52 ± 0,81 Tabell 2: En oppsummering av måleverdiene fra eksperimentet med tilhørende usikkerhet. Størrelse (enhet) b b S (mm) 60,17 ± 0,42 b (mm) 47,50 ± 0,11 r (mm) 50,00 ± 0,05 L (mm) 2266 ± 10 T (s) 653,40 ± 2,25 M (g) 1506,30 ± 0,04 Denne beregningen øker verdien av G med en faktor på 7,7 % og gir en endelig verdi som ligger nærmere tabellverdien. Gjennom den eksperimentielle gjennomføringen har man prøvd å minimere usikkerheten for gravitasjonskonstanten slik at den skal harmonere så godt som mulig med tabellverdien. Den eksperimentielle utledede verdien utgjør til tross for dette kun 73% av den laveste tabellverdien, noe som peker mot en eller flere systematiske feil. En av de viktigste målingene som ble utført i dette forsøket er registreringen av torsjonstrådens vridning. Eventuelle systematiske feil her vil kunne føre med seg store forurensninger på resultatet. For å påvise eventuelle feilmålinger, er det å se på plottene av målingene og en tilhørende regresjon en mulighet. Ved å se figur 4 og figur 5, er det mulig å påvise disharmoni mellom målingene og regresjonen. I figur 4 finner man at plottene og regresjonsfunskjonen disharmonerer med hverandre, særlig målingene gjort etter 1200 sek. Målingene faller her nedenfor tilpasningskurven. Den systematiske disharmonien kan indikere at den tilnærmingen til middelverdien for denne måleserien er høyre enn hva den kunne vært basert på målingene fra 1200 sekunder og utover. Dette kan begrunnes ved at tilpasningskurven ser ut til å ligge høyere enn enkeltplottene her. En lavere tilpasningskurve og følgelig lavere middelverdi ville ha gitt en høyere verdi for S og dermed en større G. Ved å anslå fra figur 4 at likevektslinja kunne ha ligget 6 mm lavere, gir det en råverdi G 5, 195. Selv om dette er en antatt korreksjon og dermed ikke eksperimentelt grunngitt, er det åpenbart at en slik systematisk feil har betydelig innvirkning på det endelige resultatet. Disharmonien i måling 1 begynner altså ved ca 1200 sekunder. Hva denne disharmonien kommer av, er vanskelig å si. En mulighet er at man har skumpet borti stativet 5 som holder målestokken i ro. En eventuell ny posisjonering av denne målestokken, vil føre til at de verdiene man leser av, ikke stemmer overens med de tidligere verdiene. Amplituden vil slik sett ikke bli påvirket, noe likevektslinja utvilsomt vil bli. Til tross for dette, kan man ikke bare skjære ned på måleresultatene. Det faktum at måling 2 er utført etter denne målingen, vil dessuten føre med seg at en eventuell forflytting av målestokken som beskrevet ovenfor, også vil påvirke måling 2. I og med at måleapparatet som brukes er svært sensitivt for krefter, kan man også tenke seg at masser i omgivelsene til apparatet kan påvirke torsjonsvekta. En masse i avstand 1 meter fra den lille blykulen, vil for eksempel tiltrekke den lille kulen med en kraft lik F = 1.0005 10 11 N. Selv om det bare er den horisontale komponenten av denne som vil påvirke resultatet, er det ingen tvil om at massen tiltrekker den lille kula. En slik masse vil dessuten også tiltrekke seg den andre kula med ei tilnærmet lik kraft. Den tilnærmede like kraften som virker på de to kulene vil i og med at kraften er så liten som den er, tilnærmet kanselere hverandre. Som man ser, vil en eventuell beregning hvor man tar høyde for ulike masser i rommet, omfatte uendelig mange mellomberegninger. En slik beregning er altså ikke foretatt i dette forsøket, og vil derfor kunne påvirke resultatet, men dog i en svært liten grad på grunn av de store kulenes masse. En siste potensiell systematisk feilkilde er avlesningsprosessen av verdiene på meterstokken. Til syvende og sist bygger hele det eksperimentielle ved forsøket på verdiene man leser av her. Uriktige avlesninger vil i varierende grad påvirke den eksperimentelle verdien av gravitasjonskonstanten. En slik feil kan komme av at man leser av på ulik måte på den noe ufokuserte laserstrålen for hvert intervall. Laserstrålens bevegelse under avlesningen, vil føre til at man i svært liten grad kan etterprøve resultatene man leser inn. I og med at skriptet baserer seg på 62 målinger, vil denne feilen jevne seg ut over intervallet og derfor ikke påvirke resultatet dramatisk. Andre feil som kan forekomme, er forsøkt bakt inn i utledningen av konstanten med dens tilhørende usikkerhet, gjennom bruk av gauss lov og enkelte estimater. På enkelte punkter har gruppa riktignok foretatt forenklinger. Foreksempel er usikkerheten i avstanden b mellom kulesentrene beregnet uten å ta hensyn til usikkerheten til x, noe som er blitt gjort på grunn av at usikkerheten i x er en neglisjerbare størrelse i forhold til usikkerheten i b. I beregningen av α, ble det dessuten antatt at buelengden er tilnærmet likt den avstanden man registrerer på målestokken. Selv om dette gir en god tilnærming av vinkelen, er den ikke helt riktig. En større α vil øke lengden x og dermed minske verdien for b. Tar man høyde for dette, vil man ende opp med en mindre verdi av gravitasjonskonstanten. Det vil altså ikke føre gruppa nærmere tabellverdien. Beregningen av usikkerheten i den korrigerte verdien for G, blir gjennomført på lignende måte. Her vil en beregning ved gauss lov føre med seg en neglisjerbar økning i usikkerheten i G.

4. Konklusjon I dette forsøket har man beregnet et estimat for gravitasjonskonstanten og dens usikkerhet. Dette har man gjort ved å gjennomføre Cavendisheksperimentet, og ved å behandle resultater ut i fra dette. Til tross for at man i dette forsøket har tatt høyde for ulike usikkerhetsmomenter, har man kommet ut med en verdi som skiller seg betydelig fra tabellverdien. G = (4,85 ± 0,46) 10 11 m 3 kg 1 s 2 utgjør bare 80% av tabellverdien regnet med gunstig usikkerhet. Det å eliminere ulike usikkerhetsfaktorer viste seg å bli det viktigste og det vanskeligste ved bestemmelsen av gravitasjonskonstanten. Resultatverdien gruppa ender opp med har et klart forbedringspotensiale i forhold til tabellverdien. 5. Kildeliste [1] D. D. Dybvig og M. Dybvig. Det tenkende mennesket, filosofi- og vitenskapshistorie med vitenskapsteori, Tapir akademisk forlag, 2011. [2] P.J.Mohr, B.N. Taylor og D.B.Newell, Rev. Mod. Phys. 80, 633 (2008) [3] J. Haugan og E.Aamot. Gyldendals tabeller og formler i fysikk, Gyldendal 2009 [4] E. V. Herland, I. B. Sperstad, K. Gjerden, M. H. Farstad, T. A. Bojesen, A. G. Gjendem og T. B. Melø. Laboratorium i emnene TFY4145 Mekanisk fysikk, FY1001 Mekanisk fysikk, NTNU, 2011. [5] Ø. Grøn. Store norske leksikon, Torsjonsvekt, http://snl.no/torsjonsvekt, lastet ned 19. oktober 2012. 6