Chpitre 6 Clcul intégrl 6. Eercices. Intégrles définies et indéfinies I. () Soit b >. Montrer que pour tout > l fonction F () = b rctn b est une primitive de f() = ( + b). (b) Pour R clculer (c) Pour R clculer t. +π sin d, +π cos d, (d) Clculer (e) Clculer +π +π sin d, sin cos d, +π +π ( ) 9 d. sin π cos π d cos d, sin cos d. 78
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 79 (f) * Soit f : R R une fonction continue de période T >. Soit F définie pr F () = f(t). Montrer que F est périodique vec période T si et seulement si. Intégrles indéfinies. T f(t) =. () (b) + cos t e t+ (c) (d) (e) (f) sinh t e t + cosh t e t cosh t rctn t (g) rctn( t) (h) rcsin t (i) t (j) t cos t (k) t cos t
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 (l) (m). Intégrles indéfinies. () + cos t + tn t cos t + e t (b) sin(ln t) (c) t ln t (d) ( + t) ln t (e) t ln t (f) ln t (g) t ln( + t) (h) (i) (j) ln t ( + t) + sin 7 t cos t (k) (l) + + cos t
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 (m) (n) (o) sin t cos t + sin t t t( + t) ( + t ) t (p) t 5 t (q) (r) (s) (t) t + t + t t t(4 t) t t 4. Integrles définies pour l règle du trpèze. Soient < b et µ = +b. Donner les intégrles suivntes : µ b ( ) ( )(b ) d b (b ) d + d µ 5. Fonction primitive de l fonction réciproque. Soient f une fonction inversible, f s fonction reciproque et F une primitive de f. Montrer que l fonction G() = f () F (f ()) est une primitive de f. En déduire les primitives de ln, rcsin, rctn.
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 6. Intégrles définies et indéfinies II. Formules utiles. b Clculer les intégrles : () (b) (c) (d) (e) 7. Intégrles générlisées I. () (b) (c) (d) (e) (f) d = rctn b rctn + t + t + t 5 + t + t 4 t + t 5 + t + t t 4 + t 4 + t t ln t + t t + 6t + t t(4t + ) t t
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 (g) (h) (i) 8. Intégrles générlisées II. () (b) (c) (d) (e) (f) (g) t t t t t( + t) e t ln t ln t t t e t cosh t rctn t + t rctn t t 9. Intégrles générlisées III - Étude de convergence. Discuter, en fonction du nombre réel α >, l convergence des intégrles générlisées suivntes () (b) t α t α
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 84 (c) (d) (e) (f) t α + t t α ln t ln t t α ln t t α
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 85. Intégrles générlisées et l fonction Gmm. L fonction Gmm - Formules utiles. Soit > et n N : Γ() = t e t Γ() = Γ( + ), Γ(n + ) = n!, Γ( ) = π Formule de Stirling. n! π n n+ e n i.e. lim n n! π n n+ e = n Intégrle de Guss. π e d = () Soient µ, σ deu nombres réels et σ >. Clculer les intégrles générlisées i. ii. iii. ( µ) e σ d πσ ( µ) e σ d πσ ( µ) e σ d πσ (b) Soient y > et n N. Clculer les intégrles (en terme de l fonction Gmm) i. (t n + )(t n )e yt ii. ( ln t) y iii. t e t (c) Soient > et k, n N. Clculer ( ) n ( ) k ( ) n k lim n k n n ( ) n n! où = k (n k)!k!. Idée : Utiliser l formule de Stirling pour n! et (n k)! et le fit que pour tout R lim n ( + n )n = e.
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 86 6. Corrigés. Intégrles définies et indéfinies I. Clculer les dérivées des fonctions suivntes uniqument à l ide de l définition de l dérivée : () Soit b >. Montrer que pour tout > l fonction F () = b rctn b est une primitive de f() = ( + b). (b) Corrigé. (c) Pour R (d) (e) Vérifier que F () = f(). +π +π +π +π +π t = { si si sin d = cos cos( + π) =, cos d = sin( + π) sin =, sin d = cos cos( + π) = cos, cos d = sin( + π) sin = sin +π sin cos d = sin sin cos d = sin +π +π ( ) 9 d = ( ) 4 sin π cos π d = ln( cos π) =, =, = = ln π. (f) * Soit f : R R une fonction continue de période T >. Soit F définie pr F () = f(t). Montrer que F est périodique vec période T si et seulement si T f(t) =.
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 87 Corrigé. Si F est périodique vec période T, lors Si T = F (T ) F () = f(t) =, on note que d (F ( + T ) F ()) d T i.e. F ( + T ) F () est constnte. Donc F ( + T ) F () = F (T ) F () = f(t). = f( + T ) f() =, T pour tout, i.e. F est périodique vec période T.. Intégrles indéfinies. f(t) = () (b) = ln( + cos ) + cos t e t+ = + s e s ds = ( + )e + (c) Noter que (d) donc sinh t e t + = e t et e t + = e t sinh t + e e t = + e cosh t = + s ds = rctn(e ). (e) Noter que e = cosh + sinh donc (f) rctn t = e t cosh t = + sinh = + ln(cosh ) cosh t (t) t rctn t = rctn + t = rctn ln( + )
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 88 (g) (h) rctn( t) = s rctn s ds rcsin t = (t) rcsin t = (s ) rctn s ds = rctn( ) s + s ds = rctn( ) + s ds = rctn( ) + rctn( ) = rcsin t rc t (i) On voit que = rcsin ( t ) rc = rcsin + t rcsin t = rcsin + rcsin t cos = ou bien pr un chngement de vrible s = t : t = sin s ds = cos. (j) Pr une intégrtion pr prtie et l eercice précedent t cos t = t ( ) = sin t = sin + cos ou pr un chngement de vrible et une intégrtion pr prtie t cos t = = s cos s = sin ds s(sin s) ds = sin + cos sin s ds
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 89 (k) Pr deu intégrtions pr prtie successives : I := t cos t = t cos t() = cos sin t cos t + t sin t = cos sin t(sin t) + t ( cos t) = cos sin sin + sin t + t I = cos sin sin + sin cos vec le résultt du cours pour sin t. Pr conséquent, t cos t = cos sin sin sin cos + (l) Noter que + tn t = cos, donc (m) + cos t + tn t = cos t + cos t et pr conséquent + cos t + tn t = ln( + cos ) cos t + + I +. Les intégrnds contennts des fonctions trigonométriques R(, cos t, tn t, cot t) peuvent être trnsformê dns des intégrnds lgébriques pr le chngement de vrible En effet, nous vons z = tn t = cos t = tn t cos t = z + z, cos t = cos t t sin = z + z tn t = z z et d t d z = + z. Donc tn ( z R(, cos t, tn t, cot t) = R + z, z + z, z z, z ) z + z dz
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 En prticulier, tn cos t + = + z ( z) + z dz. Intégrles indéfinies. tn = z dz = ln tn () Pr deu intégrtions pr prtie (voir cours) on trouve que e t = e (sin cos ). (b) Avec le chngement de vrible s = ln t i.e. t = e s et l eercice precedent ln sin(ln t) = e s (sin(ln ) cos(ln )) sin s ds =. (c) t ln t = t ln t (t ) ln t = 4 (d) (e) = ln 4 4 = ln 8 t t ( + t) ln t = (( + t) ) ln t = ( + t) ln t ( + t) t = ( + t) ln t ln t t t t t ln t = (t ) ln t = ln = ln = ln = ln t ln t (t ) ln t 9 ln + t 9 9 ln 9 + 7
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 (f) ln t = (t) ln t (g) (h) = ln ln t =... = ln ln + 6 ln 6 t ln( + t) = (t ) ln( + t) = ln( + ) = ln( + ) = ln( + ) ln( + ) t + t t + + t ln t ( + t) = (( + t) ) ln t = ln + + = ln + + = ln ln( + ) + 4 + t( + t) t + t (i) Soit pr le chngement de vrible de l eercice donné pr z = tn t, i.e. = z donc + z tn + = 4z ( + z) ( + z ) dz tn = + z ( + z) dz = tn + z + rctn z = + tn +
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 ou bien pr une intégrtion pr prtie + = ( cos t) + d ou on déduit que = cos + sin cos t ( + ) = cos + sin + = cos + sin + + cos = + + sin + et pr conséquent que + = cos = + + + sin. (j) (k) sin 7 t cos t = sin8 8 + = cos t + = cos t 4 cos t + = sin 4 ln( + sin ) (l) En utilisnt le chngement de vrible s = cos t on trouve cos + cos t = + s ds Un deuième chngement de vrible s = z (idélment on fit les deu chngements de vrible en un temps) nous donne cos + cos t = ( + z ) dz = rctn( cos ) (m) Pr le chngement de vrible s = : sin t cos t sin + sin t = s ds = sin rctn(sin ) + s (n) Pr le chngement de vrible t = s : t t( + t) = + s ds = rctn
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 (o) ( + t ) t = + 7 7 (p) Pr le chngement de vrible t = s : t 5 t = s s ds = = ( ) / 9 (q) Pr le chngement de vrible t = s : t + = t (r) Pr une intégrtion pr prtie ( s) / ( s) / ds t + + = + + ( ) 5/ 5 t t + + s ds = + rctnh + + t t = ( t ) + t = + = + + + t + rcsinh (s) (t) = = rcsin ( ) t(4 t) 4 (t ) t t = ln + 4. Integrles définies pour l règle du trpèze. Soient < b et µ = +b. Donner les intégrles suivntes : µ ( ) b ( )(b ) d = (b ). b (b ) (b ) (b ) (b ) d + d = + = µ 48 48 4
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 94 5. Fonction primitive de l fonction réciproque. Soient f une fonction inversible, f s fonction reciproque et F une primitive de f. Montrer que l fonction G() = f () F (f ()) est une primitive de f. En déduire les primitives de ln, rcsin, rctn. G () = f () + d f () d f () f(f ()) = f (). d d () ln : G() = ln e ln = ln. (b) rcsin : (c) rctn : G() = rcsin + cos(rcsin ) = rcsin +. G() = rctn + ln(cos(rctn )) = rctn + ln(cos (rctn )) = rctn ln( + tn (rctn )) = rctn ln( + ). 6. Intégrles définies et indéfinies II. () (b) (c) t + t + = t + t + t + = ln( + ) + rctn t 5 + t + = t + t + t + = t t t t + = t t t t + + t t + = ln( + ) + rctn ( ) t 4 t + = (t 4 + t) (t + ) + t + = t t t + + t + t t t + = t t t + + t + t t t + = rctn ( ) + ln( + ) 6 ln( + )
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 95 (d) (e) t 5 + t + t t 4 + = t + t t 4 + = + 4 ln(4 + ) t 4 + t = t t t + = ln() ln( + ) 7. Intégrles générlisées I. () (b) (c) t ln t = (t ) ln t = = lim + t rctn + t = 4 lim rctn = π + t + 6t + = + (t + ) + = + t = π (d) t + t(4t + ) = 4t + t + 4t 4t + = rctn(t) + ( ln t + ln(4t + )) = rctn(t) + ln ( 4t + ) t = π 4 rctn() + ln() ln(5) (e) (f) (g) t t = t = π = t t = t + t = 8
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 96 (h) Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s + : + t t = + s ds = π (i) Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s : 8. Intégrles générlisées II. + = t( + t) + s ds = π () Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s : (b) (c) e t = ln t = ln t t = (d) Pr deu intégrtions pr prtie se s ds = Γ() = (t) ln t = ln t( t ) = = t = t e t = 5 e (e) Pr le chngement de vrible s = e t, i.e. t = ln s : + cosh t = e t = + et + s = (π π 4 ) = π (f) (g) rctn t t rctn t + t = rctn t = rctn t t = π 8 + t( + t ) = π 4 + ln 9. Intégrles générlisées III - Étude de convergence. Discuter, en fonction du nombre réel α >, l convergence des intégrles générlisées suivntes () converge si α < est diverge sinon. t α
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 97 (b) (c) (d) (e) (f) converge si α > est diverge sinon. t α t α + t converge si < α < est diverge sinon. t α ln t converge si < α est diverge sinon. ln t t α converge si α < est diverge sinon. ln t t α converge si α > est diverge sinon.. Intégrles générlisées et l fonction Gmm. L fonction Gmm - Formules utiles. Soit > et n N : Formule de Stirling. Γ() = t e t Γ() = Γ( + ), Γ(n + ) = n!, Γ( ) = π n! π n n+ e n i.e. lim n n! π n n+ e = n Intégrle de Guss. π e d = () Soient µ, σ deu nombres réels et σ >. Clculer les intégrles générlisées i. ii. ( µ) e σ d πσ ( µ) e σ d πσ
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 98 iii. ( µ) e σ d πσ Corrigé. On utilise l intégrle de Guss π e d =. Pr le chngement de vrible y = µ σ, i.e. = σy + µ : ( µ) e σ d = πσ = ( µ) e σ d = πσ = cr l fonction intégrble σy e y R est zéro. πσ e ( µ) σ d = = πσ e y d dy dy π e y dy = πσ (σy + µ) e y π µ e y dy = µ d dy dy est impir, donc son intégrle sur πσ (σy + µ) e y π (σ y + µ ) e y d dy dy cr l fonction intégrble σy e y est impir, donc son intégrle sur R est zéro. Pr une intégrtion pr prtie dy π y e y dy = y d π dy = y e y + ( ) e y dy π e y dy =, donc (b) Soient y > et n N. πσ e ( µ) σ d = σ + µ i. Pr le chngement de vrible s = yt on (t n + )(t n )e yt = (t n )e yt = y n s n e s ds y e s ds = y n Γ(n + ) y
CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 99 ii. Pr le chngement de vrible s = ln t, i.e. t = e s on ( ln t) y = = = y s ds ds s y e s ds s y e s ds = Γ(y) iii. Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s +, on t e t = s e s = Γ( )e = Γ( )e = (c) Soient > et k, n N. Clculer ( ) n ( ) k ( ) n k lim n k n n ( ) n n! où = k (n k)!k!. Idée : Utiliser l formule de Stirling pour n! et (n k)! et le fit que pour tout R Corrigé. fie et Donc ( n k Avec ) ( n lim ( + n n )n = e. π e Pr l formule de Stirling nous vons pour n et k n! π n n+ e n (n k)! π (n k) n k+ e n+k ) k ( ) n k n n+ k n (n k) n k+ n k e k k! k ( = ( k n )n k+ e k k! n ( ) n k n ) n k lim ( k n n )n k+ = lim ( k n n )n = e k et lim ( n n )n k = lim ( n n )n = e nous obtenons ( ) n ( ) k ( ) n k k e lim = n k n n e k e k k! = k e. k!
Annee A Dérivées et primitives de fonctions usuelles
Annee B Intégrles générlisées