AREAL FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innlednin til areal..... A - Grunnleende om areal A - 3 Hvordan finne arealet til eometriske fiurer A - 3 3a arealet til kvadrat.. A - 6 3b arealet til rektanel A - 8 3c arealet til trekant A - 8 3d arealet til rombe. A - 11 3e arealet til parallelloram... A - 18 3f arealet til trapes. A - 19 3 arealet til sirkel.. A - 3
Innlednin til areal 1 INNLEDNING TIL AREAL Mane barn sliter med å finne arealet til en fiur. Det som er mest problematisk er å skille omkrets fra areal. Dette kommer som reel av to forold: 1. I de fleste lærebøker lærer man å finne omkrets o areal samtidi.. Fordi berepene kan virke reie o oversiktelie, kan det derfor ende at det ikke brukes nok tid på å i elevene mulieten til virkeli å forstå innoldet i de to berepene. I denne veiledninen ar je derfor valt å presentere omkrets o areal ver for se. Grunnleende om areal GRUNNLEGGENDE OM AREAL Når vi snakker om areal, snakker vi om flater. Skal vi måle arealet til en form, det være se en eometrisk fiur, en bolitomt, et land eller et kjøkken, måler Areal er det samme som vi todimensjonalt. En flate ar alltid en flatemål. lende o en bredde. Derfor må vi a en måleenet som både ar en lende o en bredde. Det reieste er å forestille se at den flaten vi skal måle er delt opp i mindre kvadrater, der kvadratene ar sider som tilsvarer 1 måleenet. Hvis vi for eksempel skal måle arealet av kjøkkenbenken, kan måleeneten være dm. 5 dm 1 m = 10 dm A -
På teninen av kjøkkenbenken på forrie side, ser vi at den er 1 meter lan o 5 dm bred. 1 meter = 10 dm. På teninen ved siden av er kjøkkenbenken delt inn i små kvadratiske ruter. Hvert kvadrat er 1 dm lant o 1 dm bredt. Vi kan telle vor mane slike små dm-kvadrater det er plass til på kjøkkenbenken, nemli 50. Altså ar kjøkkenbenken en flate som er 50 kvadratdesimeter stort. Vi skriver vanlivis 50 dm. O dette er i runnen ele prinsippet som brukes til å måle flater. Men det er tunvint å dele opp en flate i små kvadrater for deretter å telle dem ver an man skal finne arealet til en flate. Særli vis vi ar med flater å jøre som enten ar en form der slike kvadrater ikke elt passer inn, eller når vi ar store flater. Derfor ar vi noen teknikker som vi kan bruke for å rene ut arealet i stedet for å telle. 3 HVORDAN FINNE AREALET TIL GEOMETRISKE FIGURER De ulike eometriske fiurene er omtalt o forklart i kapitlet som eter Geometriske fiurer. Alle de fiurene som føler under, er presentert i det kapitlet. Dersom det er noe i forklarinene som føler nedenfor som du ikke elt forstår, så vil det være klokt å sjekke i Geometriske fiurer. Hvordan finne arealet til eometriske fiurer GRUNNPRINSIPPET FOR Å BEREGNE AREAL For å rene ut areal av en fiur er det reit å forstå runnprisippet for arealer. Det er kort o odt slik at vi deler opp fiuren i kvadrater. For å forklare det nærmere, bruker je et rektanel: A - 3
Et rektanel ar to o to sider som er like lane: Side 1 8 cm Side 4 Side 5 cm 5 cm Side 3 8 cm Du ser at side 1 o side 3 er like lane. Det er oså side o side 4. Når vi skal finne arealet av et rektanel, bruker vi litt andre betenelser. Da snakker vi om runnlinje o øyde. øyde 5 cm runnlinje 8 cm På denne teninen ar je brukt cm som måleenet. Nå tener je inn kvadratcentimetre på runnlinjen: øyde runnlinje Da ar vi fått en rekke med kvadratercentimetre. Til sammen er det 8 kvadratcentimeter. (cm ) Høyden på disse 8 cm er 1 cm. Men rektanlet ar jo en øyde på 5 cm. A - 4
For å finne ut vor mane små kvadrater rektanlet dekker, må vi altså sette inn 4 slike runnlinjer til. Hver runnlinje som settes inn får sin een fare for å jøre det tydeli. Høyde = 5 cm Grunnlinje = 8 cm Nå er det lett å se at rektanlet består av 5 rekker, der ver rekke ar 8 kvadrater. Nå kunne vi jo si at arealet består av 8 cm + 8 cm + 8 cm + 8 cm. Men det vil bli en veldi vanskeli måte å rene på. Særli fordi vi må a et system som oså kan brukes på desimaltall. Et slikt addisjonssystem vil rett o slett ikke funere for et rektanel der runnlinja er 6,45 cm o øyde er 4,6 cm! Derimot vil det alltid funere dersom du multipliserer. Da blir skrivemåten slik: Areal = runnlinjen øyden. I vårt eksempel vil det bli: Areal = 8 cm 5 cm = 40 cm. NB! DET ER VIKTIG Å PASSE PÅ Å SKRIVE RIKTIG BENEVNING!! Det lille to-tallet viser at vi vet at vi ar renet ut et areal. BRUK AV FORMLER I alle bereniner i forbindelse med eometriske fiurer bruker vi formler. En formel er i runnen ikke noe annet enn en modell. Den viser vordan du skal rene ut en oppave. Men den viser noe mer: Den viser vordan du skal rene ut ALLE oppaver av samme type. A - 5
I formler brukes det bokstaver i stedet for tall. Poenet med å bruke formler er at du setter de nødvendie tallene inn i stedet for bokstavene. I formlene for areal brukes følende bokstaver: a betyr areal (liten bokstav) betyr runnlinje (Liten bokstav) betyr øyde (liten bokstav) s side (liten bokstav) (Gjelder kvadrat) r radius (liten bokstav) (Gjelder sirkler) Hvis du er usikker på vordan formlene skal brukes, er dette nærmere forklart i kapitlet som eter Formler. Arealet til kvadrat 3a AREALET TIL KVADRAT Et kvadrat består av fire like lane sider. Side cm Side Side cm cm Side cm Skal du finne arealet av et kvadrat, trener derfor ikke å måle alle sidene. Det er nok å måle en av sidene. Du finner arealet til et kvadrat slik: 1. Ved multiplikasjon: Du kan ane en av sidene med en annen av sidene. A - 6
Metoder for å finne arealet til et kvadrat: Metode 1: Multiplikasjonsmetoden: Areal = Side side I en formel vil vi jerne forkorte ordene. Areal blir til a o Side blir til s. Da blir formelen slik: Formel 1: a = s s Formelen skrives vanlivis slik: Formel 1: a = s På teninen overfor ar kvadratet en side som er cm. For å rene ut arealet til dette kvadratet jør vi slik: Formel 1: a = s a = cm cm = 4 cm Le merke til at du først skriver formelen på en linje, o så setter du tall inn i formelen på en ny linje. På den måten viser du vordan du tenker på en oversikteli måte. Hvis vi tener dette eksemplet, blir svaret tydeli. Her er kvadratet først tenet med de riktie målene. Siden vi ar cm i benevninen, deler vi kvadratet i små kvadrater på 1 cm. Vi ser at et er plass til 4 slike kvadratcentimeter: cm cm cm cm A - 7
Arealet til rektanel 3c AREALET TIL REKTANGEL Hvordan du rener ut arealet til et rektanel er nøye forklart i kapittel 3 Hvordan finne arealet til eometriske fiurer. Der er rektanel brukt som eksempel. Her skal je bare presentere formelen for areal til rektanel: Det er bare en metode for å finne areal til rektanel. Metode 1: Multiplikasjonsmetoden: Areal = runnlinje øyde Formelen blir slik: Formel 1: a = Arealet til trekant 3f AREALET TIL TREKANT For å forklare vordan man finner arealet til en trekant, skal je beynne med et rektanel: øyde runnlinje Arealet til et rektanel finner vi ved å ane runnlinjen med øyden. A - 8
For å nærme oss arealet av en trekant deler vi rektanlet i to ved jelp av en diaonal: øyde runnlinje Da deler vi rektanlet i elt like deler. Diaonalen laer eentli trekanter. øyde runnlinje Siden vi nå ar delt rektanlet i to like store deler, vil ver av trekantene a et areal som er alvparten så stort som rektanlet. Det kan du se dersom vi setter inn kvadrater i rektanlet: øyde runnlinje Hvis du teller kvadrater, vil du se at rektanlet ar 18 kvadrater, mens ver av trekantene ar 9 (6 ele o 6 der to o to til sammen blir en el). A - 9
Så kommer det morsomme: Både rektanlet o de to trekantene ar like stor runnlinje (6 kvadrater) o like stor øyde (3 kvadrater). For å finne arealet av rektanlet anet vi runnlinjen med øyden. Det jør vi når det jelder trekanten oså. Men siden trekanten er alvparten av rektanlet (rektanlet er jo delt i to for å lae trekanter), så må vi dele på når vi rener oså. Da blir formelen for å finne arealet av trekanten: Formel 1: a = Enda morsommere blir det fordi dette jelder absolutt alle trekanter. Her er noen eksempler, som viser at en trekant er alvparten av et rektanel: Du ser at det er et rektanel (rosa) o en trekant (rød) på ver trekant. Rektanlet o trekanten ar den samme runnlinja o den samme øyden. A - 10
3b AREALET TIL ROMBE En rombe består av fire like lane sider. Arealet til rombe Side Side Side Side Skal du finne arealet av en rombe, er det ikke nok å kjenne sidene. Vi må vite vor øy romben er oså. Her er det vikti å skille mellom siden til romben o øyden. Høyden er den korteste avstanden mellom de parallelle sidene. Den korteste avstanden vil alltid være den som står vinkelrett på:,7 m I dette tilfellet er øyden,7 m Før vi laer formelen for å rene ut arealet av en rombe, må det litt forklarin til. Det er nemli minst åter å tenke på for å finne ut vordan vi skal kunne finne arealet. Tenkemåte 1: Hvis du ser etter, vil du se at øyden deler romben i ulike former, en trekant o et trapes. Her er trekanten faret rød, for å jøre det tydeliere.,7 m A - 11
Hvis vi nå flytter denne trekanten over på den andre siden.,7 m vil vi få et rektanel.,7 m Arealet til rektanlet er nøyakti like stort som arealet til romben vi beynte med. Vi ar jo bare flyttet en liten bit fra den ene siden til den andre. Derfor blir formelen for arealet av en rombe nøyakti den samme som for rektanel: Metode 1: Rektanel-metoden: Arealet = runnlinjen øyden Det ir denne formelen: Formel 1: a = Tenkemåte : Vi år tilbake til den opprinnelie romben:,7 m A - 1
Hvis vi deler romben med en diaonal, vil vi se at den deles i trekanter. Disse trekantene er nøyakti like, bortsett fra at den ene står på odet:,7 m Ser du på de to trekantene ver for se, vil du se at runnlinjen er o øyden er,7 m på bee to. Dermed kan vi finne arealet av romben ved å rene ut arealet av de to trekantene: Metode : Trekantmetode 1: runnlinje n øyden Arealet = + runnlinje n øyden Det ir denne formelen: Formel : a = + Tenkemåte 3: Nok en an år vi tilbake til den opprinnelie romben.,7 m A - 13
Tenk de at du deler den ene siden nøyakti på midten.,7 m Fra det ene jørnet trekker du en linje jennom det nye punktet.,7 m Da vil linjen dele romben i fiurer, der den ene fiuren, den øverste, er en trekant.,7 m Hvis vi nå dreier denne trekanten rundt det punktet vi tenet inn på rombens ene side, vil følende skje: A - 14
,7 m,7 m,7 m,7 m,7 m Vi ar nå flyttet denne trekanten slik at de to delene lier ved siden av verandre o danner en stor trekant.,7 m Så jelder det å uske på at dette opprinneli var en rombe der alle sidene var like lane.,7 m Når vi nå ar rotert den øverste trekanten, ar selvføleli den siden som er fult med. Den lier nå som en del av runnlinjen til den store trekanten. A - 15
,7 m Nå ar vi altså en trekant der runnlinjen er like stor som sider, o en øyde som er,7 m. Dermed kan vi finne arealet av romben ved å rene ut arealet av den store trekanten: Metode 3: Trekantmetode : ( side side) øyden Arealet = Det ir denne formelen: Formel 3: a = ( s s) Nå trener vi å oppsummere litt: Det er tre måter å tenke på når det jelder å rene ut arealet av en rombe: Metode 1: Rektanel-metoden: Arealet = runnlinjen øyden Metode : Trekantmetode 1: runnlinje n øyden Arealet = + Metode 3: Trekantmetode : ( side side) øyden Arealet = runnlinje n øyden A - 16
Disse tre metodene ir 3 ulike formler: Formel 1: a = Formel : a = + Formel 3: a = ( s s) Nå kan vi rene ut arealet av romben ved jelp av de tre formlene: På teninen som vi ar brukt som eksempel ar romben en side som er o en øyde på,7 m. For å rene ut omkretsen til denne romben jør vi slik: Formel 1: a = a =,7 m = 8,1 m Formel : a = + 3m,7m 3m,7m a = + a = 4,05 m + 4,05 m = 8,1 m Formel 3: a = a = ( s s) ( 3m 3m),7m 6m,7m a = = 16,m = 8,1 m A - 17
Det er nok vanlist å bruke formel 1, men de to andre er tatt med er for å vise at det er flere måter å tenke på. Alle de tre tenkemåtene er elt ok. Det viktiste er at den formelen du bruker viser vordan du tenker. Vi finner i alle tilfeller ut at arealet er 8,1 m. Le merke til at du først skriver formelen på en linje, o så setter du tall inn i formelen på en ny linje. Deretter bruker du en ny linje for vert ste du år i prosessen. På den måten viser du vordan du tenker på en oversikteli måte. Skriv først formelen. Deretter setter du rikti tall inn på rikti plass i formelen. Arealet til parallelloram 3d AREALET TIL PARALLELLOGRAM Et parallelloram består av to o to like lane sider. Side 1 4 m Side 4 Side Side 3 4 m For å finne arealet til et parallelloram tenker vi akkurat på samme måte som for en rombe. Je viser derfor til forklarinene der. Her er det tilstrekkeli å jenta de tre metodene o de tre formlene: Metode 1: Rektanel-metoden: Arealet = runnlinjen øyden Metode : Trekantmetode 1: runnlinje n øyden Arealet = + runnlinje n øyden A - 18
Metode 3: Trekantmetode : ( side side) øyden Arealet = Disse tre metodene ir 3 ulike formler: Formel 1: a = Formel : a = + Formel 3: a = ( s s) 3e AREALET TIL TRAPES I et trapes ar vi to parallelle sider. De to andre sidene er ikke parallelle. Arealet til trapes Side 1 4 m Side 4 Side m Side 3 6 m Høyden i trapeset er avstanden mellom de parallelle sidene. I dette trapeset er det side 4 som blir øyden. Side 3 blir runnlinjen. Her kunne det vært fristende å bruke formelen for arealet til et rektanel: runnlinje øyden. Men det år dessverre ikke, for da er det en liten trekant som vi får med på kjøpet, o den er det sjelden lett å bli kvitt. A - 19
Så dermed må vi bruke en annen metode: Vi beynner med å dele den skrå linjen (side ) på midten: Det neste vi jør er å trekke en diaonal fra det ene jørnet o tvers jennom midtpunktet som vi fant. Da ar det dannet se en trekant i den øverste delen av trapeset. A - 0
Den trekanten lar vi rotere rundt den vinkelen som lier på delinspunktet for side 3. På den siste teninen på forrie side, ser vi at vi ar endret fiuren fra et trapes til en trekant, ved å dreie den øverste delen av trapeset. A - 1
Opprinneli så trapeset slik ut: Side 1 Side 4 Side Side 3 Den siden som opprinneli et side 1, ar lier nå som en forlenelse av side 3. Side 4 er fortsatt øyden, oså i trekanten. Side 4 Side 3 Side 1 Formelen for å finne arealet til en trekant er: a = Her ar vi altså en trekant, som vi ar laet av et trapes, der runnlinja i trekanten er side 1 o side 3 i trapeset. Altså kan vi lae denne formelen for arealet av trapeset: Formel 1: a = ( s1 s3) Som reel kaller vi de to parallelle sidene i et trapes for a o b, så den endelie formelen blir: Formel 1: a = ( a b) A -
Denne formelen jelder for alle trapeser. Det er vikti å uske at øyden i et trapes er den vinkelrette avstanden mellom de parallelle sidene. Det er ikke nødvendivis slik at side eller side 4 står vinkelrett på siden 1 o. Dette er nærmere forklart i kapitlet Geometriske fiurer o i kapitlet omkrets. 3 AREALET TIL SIRKEL Hvordan vi finner arealet til en sirkel er litt vanskeliere å forklare nøyakti, men en beynnelse vil kunne sette oss på sporet av en forklarin. Da er det vikti å uske foroldstallet 3,14 (som vi kaller pi, o som vi skriver slik: ). Arealet til sirkel En annen størrelse som det er vikti å kjenne, er radius. Radius er avstanden mellom sirkelens sentrum o sirkellinja. Se på teninen: Sentrum X radius For å finne arealet av en fiur, trener vi en bredde o en øyde. Arealet finner vi når vi aner bredden med øyden. På sirkelen vår ar vi bare en linje, nemli radius. A - 3
X radius Vi kan tenke oss at vi laer et kvadrat, der siden i kvadratet er radius i sirkelen. X radius Da vil du oppdae to tin: 1. Kvadratet opptar en firedel av sirkelen. Vi kan altså lae tre slike kvadrater til.. Kvadratet år utenfor sirkelflaten. Derfor er fire slike kvadrater større enn sirkelflata. Det er er (pi) kommer inn. Det viser se nemli at du kan ane denne kvadraten med! O det er er forklarinene stopper. Dette er nok noe vi bare må odta. Formelen for arealet av en sirkel blir derfor: Areal = radius radius A - 4
På formelform blir det: Formel 1: a = radius radius Men dette er ikke formelform. Vi må jøre noe med den: Trinn 1 Vi forkorter radius til bare r Formel 1: a = r r Trinn Vi erstatter r r med r Formel 1: a = r Trinn 3 Vi lar o r bytte plass: Formel 1: a = r O dette blir den endelie formen: Formel 1: a = r A - 5