FY100 Bølgefysikk Institutt for fysikk, NTNU FY100 Bølgefysikk, øst 007 Laboratorieøvelse 3 Materiebølger - Elektrondiffraksjon Oppgave Besteelse av Planck`s konstant ved elektrondiffraksjon. Forslag til fragangsåte 1. Beste Braggvinkelen til elektroner, so spres på grafitt krystallitter, so funksjon av akselerasjonspenningen.. Beregn bølgelengden til elektronene fra Braggvinkelen og frastill produktet av kvadrert bølgelengde og akselerasjonspenning so funksjon av akselerasjonsspenningen. 3. Beregn også produktet av ålt bølgelengde og elektronets ipuls for de ulike akselerasjonspenningene. Beregn Plancks konstant ed usikkeretsgrenser. 4. Beregn energien, ipulsen og farten til elektronene for en utvalgt akselerasjonspenning. Sett opp utrykket for ateriebølgen i dette tilfellet. Dette forsøket tar sikte på å vise bølgenaturen til elektroner, so vi vanligvis tenker på so punktpartikler. Elektroner so ateriebølger Når et elektron beveger seg ed fart v, vil den klassiske ipulsen (p) og kinetisk energi (E) til elektronet være: p v likning 1 E ( 1/ ) v likning der er assen til elektronet. I den bølgeekaniske beskrivelsen av elektronet vil ipulsen og energien være bestet av bølgetallet k og sirkelfrekvensen ω til ateriebølgen: p k (-strek, / π ) likning 3 E ω likning 4 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side 1
FY100 Bølgefysikk og ateriebølgen blir beskrevet slik: ψ ( x, A exp( i( kx ω) der A er aplituden til ateriebølgen og i er iaginær eneten. Den klassiske og den bølgeekaniske beskrivelsen er svært forskjellig, en de tallessige størrelsene for ipuls og energi å være like: k v, og når saenengen ello bølgetallet k og bølgelengden λ er: k π / λ, blir : λ likning 5 v Dette kalles også de Broglie relasjonen. Er farten til elektronene kjent, lar bølgelengden seg bestee ut fra denne likningen. Scrødingers likning Scrødingers likning for partikler uten potensiell energi (frie partikler, etter anode-katode orådet er den potensielle energien konstant og settes lik null) er: ψ ( x, x so ar løsningen: ψ ( x, i t ψ ( x, A exp( i( kx ω Når farten til elektronene er kjent, lar både p og E seg beregne (likning 1 og ), og derfor også k og ω, fra likningene 3 og 4. Bølgefunksjonen til aterie er ikke observerbar, en sannsynligetstetteten (ρ) er gjenstand for observasjon. Denne er knyttet til bølgefunksjon på følgende vis: ρ ( x ) ψ ( x, ψ ( x, A Sansynligetstetteten er kvadratet av aplituden for ateriebølgen. ρ, antallet elektroner pr. voluenet, lar seg vanskelig bestee i dette eksperientet, en strøtetteten (j) deriot, lar seg lettere åle. j er antallet partikler so passerer en enetsflate i tidseneten. Denne flaten er i vårt tilfelle den fosforiserende skjeren. Lysengden fra skjeren er proporsjonal ed antallet elektroner so treffer skjeren i tidseneten. Forbindelsen ello sannsynligetstettet og strøtettet er: j ρ v, og dered: ρ der v er farten til elektronene. Uttrykket sier at antallet partikler so strøer i tidseneten gjenno en av sideflatene i et avgrenset volu, er lik antallet partikler inne i voluet ultiplisert ed farten de ar. Tenker vi oss at j er ålt, kan ρ og dered A bestees (skal ikke gjøres). Alle størrelsene i bølgefunksjonen er dered fastlagt. j v 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side
FY100 Bølgefysikk Måleprinsipp Braggdiffraksjon Derso elektroner ar bølgenatur, vil dette vise seg i interferensoppstillinger. Skal vi etterprøve en teori, i vårt tilfelle at bølgelengden til elektronene er bestet av ipulsen, å bølgelengden åles. Dette gjøres i Bragg s diffraksjons eksperient. Vi vet at bølger kan interferere, og for å få fra interferensønstre å avstanden ello strukturene so sprer bølgene (spalter, plan, gitter) være otrent like stor so bølgelengden en ønsker å observere. Da denne er av størrelsesorden 1Å (1Å 10-10 ) for elektronene i dette eksperientet, å avstandene ello de spredende planene være av sae størrelsesorden. I krystallinsk fase er atoene ordnet i plan og avstanden ello naboplan er av denne størrelsesorden. Elektroner på vei inn ot et krystallinsk stoff betraktes so en plan bølge. Videre vil vert atoplan i krystallen virke so reflekterende speil. I følge refleksjonsloven vil utgangsvinkelen være lik innfallsvinkel, og bølgen so reflekteres fra ett atolag vil være i fase ed bølgen fra neste atolag når forskjellen i veilengde er lik ett elt antall bølgelengder (konstruktiv interferens). Dette kalles Braggbetingelsen for elektrondiffraksjon (se Figur): d sinϑ n λ, Braggdiffraksjon i krystall der d er avstanden ello to atoplan og θ er vinkelen ello innfallsretningen (forplantnigsretningen) til elektronbølgen og gitterplanet. λ er bølgelengden. Når d er kjent og θ er ålt, lar bølgelengden seg bestee. Eksperientet gjøres ved at innfallsvinkelen endres, og når betingelsen over er oppfylt, vil ange elektroner reflekteres fra krystallen. Ved å observere vinklene so gir Braggtopper, vil bølgelengden bestees fra likningen over. Akselerasjon av elektroner For at elektroner skal få en viss fart, å de først akselereres. Også dette skjer i vakuurøret, før de treffer krystallene. Derso akselerasjonsspenningen ello katode og anode er V, vil vi ifølge prinsippet o energi konservering a: e V ( 1/ ) v likning 8 er assen til elektronet. Vi ar regnet ed at elektronet var i ro ved katoden (se Figur). Måler vi akselerasjonsspenningen V, vil den konstante farten v elektronene ar etter at de ar forlatt katode-anode orådet bli: 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side 3
FY100 Bølgefysikk e V v likning 9 Saenstillinger Kobinasjon av likning 5 og 9 gir: Elektrondiffraksjon vakuurøret λ v ev ev Denne relasjonen kan ofores til: λ, eller: ev λ V e Denne likningen sier at produktet av kvadratet av bølgelengden og akselerasjonspenningen er en konstant. I følge de Broglie relasjonen er: λ, eller: λ p p slik at produktet av bølgelengde og ipuls er Plancks konstant. Regn ut iddelverdien og standardavvik i bestet fra de forskjellige spenningene (se senere tabell; bruk EXCEL). Oppgitte størrelser: e (elektronets ladning) 1.60 10-19 C (elektronets asse) 9.108 10-31 kg 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side 4
FY100 Bølgefysikk Måleoppstilling Måleoppstillingen er vist nedenfor: elektron blende krystall avbøyd sentral skjer kilde stråle stråle Prinsippskisse av vakurøret Katodeaterialet glødes (glødespenning 6.3 V), og rundt dette vil det være en sky av elektroner (terisk frigjøring). Disse akselereres opp ot anoden, so er utstyrt ed blende slik at elektronstrålen blir avgrenset. Dessuten blir de akselererte elektronene fokusert elektrostatisk i orådet ello anode og katode (derfor dobbeltkatode). Denne strålen, kalt sentralstrålen, treffer en saling tilfeldig orienterte ikrokrystallitter (så krystaller), vor Braggdiffraksjonen skjer. Noen av elektronene i sentralstrålen går rett gjenno krystallittene og treffer idt på den fosforiserende skjeren. Når elektronene treffer ett fosforiserende stoff på skjeren, lyser den opp (grøn. For å tilfredsstille Braggbetingelsen, å krystallen orienteres i forold til innfallende stråle. Dette er praktisk vanskelig når krystallen er inne i vakuurøret. Men når vi ar en liten aug av tilfeldig orienterte ikrokrystaller (så krystaller) inne i røret, vil det alltid finnes noen so er riktig orientert ed ensyn på Braggbetingelsen (Debye-Scerrer etoden). Da vil interferensønsteret bak ikrokrystallene bli aksialsyetrisk o sentralstrålen, og en vil se konsentriske ringer på skjeren. Ut fra ikrokrystallene vil det bli en kjegle, ed sentralstrålen so akse, av Braggspredte elektroner (se figuren under). 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side 5
FY100 Bølgefysikk Diffraksjonsringer Fra forrige figur vil en se at følgende relasjon gjelder ello radius i ringen på skjeren for intensitets aksiu R, avstand ello ikrokrystallene og skjer (L) og den dobbelte Braggvinkel vil bli: R ϑ (R er avstand langs glassoverflaten, vinkel er bue delt på radius) L For så vinkler gjelder tilnærelsen: ϑ sin(ϑ ) sinϑ Bruk av Braggbetingelsen gir videre: d R λ d sinϑ, L For første diffraksjonsaksiu er n 1. De øyere ordens interferensene er ikke synlige. I dette vakuu røret er L 13.5 c. R åles ed illieterpapir. I grafitt, so ikrokrystallene består av, er det to forskjellige naboplan so vil tjene so reflekterende speil. Disse avstandene er; d 1 1.3 Å og d.13 Å (se figur). Den inste avstanden gir den største diaeteren, og ovendt (du ser to diaetre, en for ver planavstand). Strukturen til grafitt 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side 6
FY100 Bølgefysikk Den praktiske oppstillingen er vist nedenfor: Vakuurør ed spenningstilførsel Forslag til føring av resultatene i EXCEL diagra: Spenning, Diaeter Bølge- V, kvolt R, c lengde, d R λ, L n Produktet λv Fart, v /s ev Ipuls p v kg/s Plancks konstant λ p Beste so iddelverdien av resultatene fra denne tabellen, ed tilørende standardavvik. 3: Materiebølger - Elektrondiffraksjon. Side 7