Øving 2. a) I forelesningene har vi sett at det mekaniske svingesystemet i figur A ovenfor, med F(t) = F 0 cosωt, oppfyller bevegelsesligningen

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Veiledning: Mandag-Tirsdag 3-4. september. Innleveringsfrist: Mandag 10. september kl 12:00. Øving 2 A k b m F B V ~ q C q L R I a) I forelesningene har vi sett at det mekaniske svingesystemet i figur A ovenfor, med F(t) = F 0 cosωt, oppfyller bevegelsesligningen mẍ + bẋ + kx = F 0 cosωt, der x representerer massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0. Vis at Kirchhoffs spenningsregel anvendt på den elektriske svingekretsen i figur B, med V (t) = V 0 cos ωt, gir en tilsvarende differensialligning, L q + R q + 1 C q = V 0 cos ωt, for ladningen q på kondensatoren. Ved direkte sammenligning ser en at selvinduktansen L i det elektriske svingesystemet er analog til massen m i det mekaniske svingesystemet. (Ikke urimelig: m representerer treghet i det mekaniske systemet, dvs en motstand mot endringer i hastigheten; L representerer treghet i det elektriske systemet, dvs en motstand mot endringer i strømstyrken.) Hva er den elektriske svingekretsens analogier til størrelsene b, k, F 0, x og ẋ i det mekaniske systemet? 1

b) Siden den elektriske kretsen er analog til det mekaniske systemet, må ladningen på kondensatoren kunne skrives på formen q(t) = q 0 sin(ωt α), der vi antar at spenningskilden har stått på så lenge at en eventuell homogen løsning q h (t) av den tilsvarende homogene ligningen kan neglisjeres. (I forelesningene skrev vi x(t) = A sin(ωt + φ) for utsvinget til massen m i det mekaniske svingesystemet. Vi har med andre ord her valgt motsatt fortegn på fasekonstanten α i uttrykket for ladningen q(t). Dette er i tråd med det som vanligvis gjøres i forbindelse med elektriske svingekretser.) Sett inn det oppgitte uttrykket for q(t) i differensialligningen og vis at amplituden blir q 0 = V 0 ω R 2 + X 2, mens fasekonstanten er gitt ved ( ) X α = arctan. R Her er X = ωl 1/ωC den såkalte reaktansen til den elektriske svingekretsen. Anta at kretsen har følgende komponenter: V 0 = 10 V, R = 1.0Ω, L = 0.1 mh, C = 10 nf. Hva blir da halvverdibredden ω for resonanskurven q 0 (ω)? Hva blir kretsens Q-verdi ( godhetsfaktor ) Q = ω 0 / ω? Tegn opp ladningsamplituden q 0, strømamplituden ωq 0 og fasevinkelen α som funksjoner av vinkelfrekvensen ω. (Tips: Bruk f.eks. MATLAB, Octave eller gnuplot til å plotte disse tre funksjonene. Velg plotteintervall for ω slik at resonanstoppen kommer tydelig fram, og uten at den blir altfor smal på grafene.) Tips: Spenningsfall over motstand: RI; over kondensator: q/c; over induktans: L I. Du vil trolig få bruk for uttrykkene for sinus og cosinus til differansen mellom to vinkler. Videre kan det være lurt å tegne opp en rettvinklet trekant med utgangspunkt i at tan α = X/R, med tanke på at du har bruk for uttrykk for både sin α og cos α. 2

c) Vi betrakter nå frie og svakt dempede svingninger i det mekaniske systemet i figur A (dvs F = 0 og b/2m δ ω 0 k/m). Regn ut relativt energitap pr periode, E E E(t) E(t + T) =, E(t) og vis at godhetsfaktoren blir den samme, enten den defineres som Q 2πE/ E, eller som Q ω 0 / ω (der ω = 2δ er resonanstoppens halvverdibredde ved tvungne svingninger, som ovenfor). Tips: exp( z) 1 z dersom z 1. d) Vis at (midlere) tilført effekt, P = 1 T T 0 P(t)dt = 1 T T 0 F 0 cosωtẋ(t)dt, tilsvarer (midlere) tapt effekt på grunn av demping, i det mekaniske systemet i figur A. P d = F d ẋ = bẋ 2, 3

Oppgave 2. Frivillig (ikke nødvendig for godkjent øving). Kopling mellom to matematiske pendler. To identiske pendler med masse m og lengde l, er koplet ved hjelp av ei vannrett fjær med fjærkonstant k, som knytter sammen A 1 og A 2, se Figur 2. Ved likevekt, så har fjæra sin naturlige lengde l 0. De to pendlene er lokalisert ved enhver tid t, ved hjelp av sine vinkelutslag θ 1 og θ 2 (antatt små) mht sin vertikale posisjon ved likevekt. Gravitasjonskonstanten er g. A. Frie koplede svingninger. Normalmoder/egenmoder. 1. Skriv opp de andre-ordens koplede differensial ligningene for systemet, som funksjon av tilstandsvariablene θ 1 (t) og θ 2 (t). 2. Uttrykk som funksjon av g, k, l og m de to vinkelfrekvensene for normalmodene ω og ω, ved hjelp av de to metodene presentert i kurset a) determinant metoden og b) symmetrisk system løsning. 3. Beregn ω og ω, gitt at m = 0.1 kg, l = 0.8 m, k = 9.2 N/m og g = 9.8 m/s 2. 4. Pendel A 1 dras ut og slippes uten hastighet ved t=0 med initielle betingelser θ 1 (0) = θ 0 og θ 2 (0) = 0. a) Finn et utrykk for tidsutviklingen for både θ 1 (t)og θ 2 (t) for t > 0. b) Finn periodene T. Vi opplever her fenomenet svevning ( beat ), finn perioden T B til svevningene ( beat ). Lag en skisse av tidsutviklingen til θ 1 (t) og θ 2 (t). 4

B. Tvungne svingninger. Mekanisk impedans. La nå massen A 1 utsettes for en påtrykt kraft F = F 0 cos(ωt). 5) Skriv opp de nye differensialligningene for θ 1 (t) og θ 2 (t). 6) a) Skriv opp de komplekse relasjonene mellom de lineære hastighetene ṽ 1 og ṽ 2 til A 1 og A 2. b) Finn fra dette den komplekse mekaniske impedansen for systemet Z mek = F mek /ṽ 1. 5