NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 10.... Faglig kontakt under eksamen: Kjell Magne Mathisen, 73 59 46 74 Sensuren faller senest 10. januar (så fremt ikke noe uforutsett inntreffer) EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE Torsdag 16. desember 004 Tid: kl 09 00-13 00 Hjelpemidler: C Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Irgens, F. : Formelsamling Mekanikk. Rottmann: Matematisk Formelsamling. MERK: ALLE SKAL FØRE BESVARELSEN PÅ OPPGAVEARKENE!
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side av 10 Oppgave 1 (vekt ca 35 %) M T L/ L/ r m ε 45 o ε t ε 45 Figur 1: Tnnvegget rør med strekklapprosett Figur 1 viser et sirkulærslindrisk tnnvegget rør med lengde L 800 mm, konstant veggtkkelse t 0 mm og middelradius r m 390 mm. Røret er fast innspent i venstre nede og belastes fra spenningsfri tilstand med et bøemoment M og et torsjonsmoment T i høre ende. Røret er laget av et homogent isotropt lineært elastisk materiale med elastisitetsmodul E 50 GPa, tverrkontraksjonstall ν 0, 3 og fltegrense f 300 MPa. Midt på røret er det limt på en strekklapprosett som registrerer tre lengdetøninger ε, ε 45 og ε. a) Vis at skjærtøningen γ kan uttrkkes ved de tre lengdetøningene som følger. γ ε 45 ε ε
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 3 av 10 b) Beregn koordinatspenningene σ, σ og τ i partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i Figur 1 når det for en gitt belastning M og T 6 6 6 måles tøninger ε 600 10, ε 180 10, ε 730 10. 45 c) Tegn Mohr-diagrammet i figur for spenningstilstanden i partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. Ikke pensum TKT41 τ 10 MPa σ Figur : Rutenett for Mohr-diagram til bruk i spørsmål c), d) og e). d) Lokaliser og marker polen i Mohr-diagrammet i figur for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. Ikke pensum TKT41
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 4 av 10 e) Finn hovedspenningene og angi de tilhørende hovedspenningsretningene i Mohr-diagrammet i figur for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. TKT41: Bentt formler for hovedspenninger og hovedspenningsretninger f) Bestem sikkerhetsfaktoren n T mot fltning etter Tresca-kriteriet og sikkerhetsfaktoren n M mot fltning etter Mises-kriteriet for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. g) Bestem bøemomentet M og torsjonsmoment T som resulterer i de målte tøningene i b).
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 5 av 10 Oppgave (vekt ca 5 %) 0 00 5 5 60 10 130 85 370 Figur 3: THQ-profil. Mål i mm. Figur 3 viser et såkalt THQ-profil ( hatte-profil ). Slike tverrsnitt forekommer ofte i betongelementbgg, hvor elementene kan legges direkte på de utstikkende underflensene. a) Vis at tverrsnittets flatesenter (og nøtralaksen) er lokalisert 130 mm over nedre kant av underflensen. (Eksakt verdi er 130.6 mm, men bentt 130 mm i de videre beregningene.) b) Regn ut tverrsnittets. arealmoment I om -aksen. c) Tverrsnittet er påkjent av et bøemoment (om -aksen) M 300 knm. Finn den maksimale bøespenningen σ maks. Hvor i tverrsnittet opptrer σ maks?
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 6 av 10 d) Tverrsnittet er dessuten påkjent av en skjærkraft (i -retning) V 100 kn. Finn den akseparallelle skjærkraften som hver av sveisene må overføre. e) Finn den maksimale skjærspenningen τ maks på grunn av skjærkraften V 100 kn. Hvor i tverrsnittet opptrer τ maks?
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 7 av 10 Oppgave 3 (vekt ca 0 %) B a a C F D A a Figur 4: Statisk ubestemt ramme. Rammen ABCD i figur 4 er én gang statisk ubestemt. Den er fast innspent i punkt A og har forskvelig leddlager i punkt B. En vertikal last F virker i punkt D. Alle rammedeler har bøestivhet EI. a) Beregn og tegn momentdiagram og skjærkraftdiagram (med virkningssmbol) for rammen.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 8 av 10 b) Finn horisontalforskvningen av punkt C.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 9 av 10 Oppgave 4 (vekt ca 10 %) + T L Figur 5: Bjelke med uniform temperaturøkning T. Bjelken i figur 5 er laget av et rektangulært hulprofil med følgende tverrsnittsdata: A.86 10 3 mm, I 5.0 10 6 mm 4 og I 14.8 10 6 mm 4. Avstanden mellom oppleggene er L 6 m. Legg merke til at begge oppleggene er uforskvelige. Bjelken er produsert av stål, som har elastisitetsmodul E 10 000 N/mm og termisk lengdeutvidelseskoeffisient α 1. 10-5 K -1. Bjelken utsettes for en uniform temperaturøkning T over hele tverrsnittet og hele lengden L. Bestem den maksimale temperaturøkningen T bjelken kan utsettes for uten at knekning inntreffer. Anta at tverrsnittet var spenningsfritt før temperaturøkningen. Se bort fra egenvekt.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 10 av 10 Oppgave 5 (vekt ca 10 %) Svar kort og konsist på følgende teorispørsmål. Lag gjerne en skisse for å illustrere svaret. a) Superposisjonsprinsippet, som sier at total respons i et sammensatt lasttilfelle kan beregnes ved å summere responsen fra hver av del-lastene, er basert på to forutsetninger. Hvilke? b) Hva er tverrkontraksjon? c) Hva er en strekklapp?
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side av 10 Oppgave 1 (vekt ca 35 %) M T L/ L/ r m ε 45 o ε t ε 45 Figur 1: Tnnvegget rør med strekklapprosett Figur 1 viser et sirkulærslindrisk tnnvegget rør med lengde L 800 mm, konstant veggtkkelse t 0 mm og middelradius r m 390 mm. Røret er fast innspent i venstre nede og belastes fra spenningsfri tilstand med et bøemoment M og et torsjonsmoment T i høre ende. Røret er laget av et homogent isotropt lineært elastisk materiale med elastisitetsmodul E 50 GPa, tverrkontraksjonstall ν 0, 3 og fltegrense f 300 MPa. Midt på røret er det limt på en strekklapprosett som registrerer tre lengdetøninger ε, ε 45 og ε. a) Vis at skjærtøningen γ kan uttrkkes ved de tre lengdetøningene som følger. γ ε 45 ε ε Tar utgangspunkt i uttrkkene for tøninger i en flate ifølge formelsamling s. : ε + ε ε ε ε 45 ε ( ϕ 45 ) + γ ε ε ε Q.E.D. 45 γ cos ϕ + ε + ε sin ϕ γ +
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 3 av 10 b) Beregn koordinatspenningene σ, σ og τ i partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i Figur 1 når det for en gitt belastning M og T 6 6 6 måles tøninger ε 600 10, ε 180 10, ε 730 10. Hooke s lov for isotropt lineært elastisk materiale ifølge formelsamling s. 5: 6 6 γ ε ε ε 730 600 + 180 10 1040 10 45 E σ 1 ν E σ 1 ν τ E 1 ( ) 6 50 10 [ ε + νε ] [ 600 0,3 180] 6 50 10 [ ε + νε ] [ 180 0,3 600] γ 50 10 1 0,3 1 0,3 1040 10 ( + ν ) ( 1+ 0,3) 6 6 10 10 100 MPa 45 6 6 150 MPa 0 MPa c) Tegn Mohr-diagrammet i figur for spenningstilstanden i partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. (0,100) τ 10 MPa σ σ σ 1 ϕ Pol ϕ 1 (150,-100) Figur : Rutenett for Mohr-diagram til bruk i spørsmål c), d) og e). d) Lokaliser og marker polen i Mohr-diagrammet i figur for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 4 av 10 e) Finn hovedspenningene og angi de tilhørende hovedspenningsretningene i Mohr-diagrammet i figur for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. Avlest fra Mohr-diagrammet : σ 1 00 MPa, σ Hovedspenninger σ 1 og σ ifølge formelsamling s. 19: 50 MPa σ + σ σ σ 150 150 σ1, ± 100 + + τ ± σ 75 + 15 00 MPa og σ 75 15 50 MPa 1 f) Bestem sikkerhetsfaktoren n T mot fltning etter Tresca-kriteriet og sikkerhetsfaktoren n M mot fltning etter Mises-kriteriet for partikkelen som befinner seg like under rosetten på overflaten av det tnnveggete røret i figur 1. Tresca-kriteriet for fltning samt maksimal skjærspenning ifølge formelsamling s. 19: 1 1 1 τ ma ( σ ma σ min ) ( σ1 σ ) [ 00 ( 50) ] 15 MPa f f 300 Tresca - kriteriet : τ ma nt 1,0 τ 15 Mises-kriteriet for fltning samt jevnføringsspenning ifølge formelsamling s. 1: Jevnføringsspenning : σ Mises - kriteriet j : σ f j n M f σ j ma 300 9,1 σ + σ σ σ + 3τ 1,31 150 + 3 100 9,1 MPa g) Bestem bøemomentet M og torsjonsmoment T som resulterer i de målte tøningene i b). Polart arealmoment og skjærspenning τ ifølge formelsamling s. 7, 65/7: I τ p πr T I p 3 m t π 390 r m T I r 3 p m 0 7,454 10 τ 7,454 10 390 9 9 mm 4 100 1,911 MNm Annet arealmoment og bøespenning σ ifølge formelsamling s. 8, 65: I σ 3 m πr t π 390 M I r m M 3 0 3,77 10 I r m 9 mm 3,77 10 σ 390 9 4 150 1,433 MNm
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 5 av 10 Oppgave (vekt ca 5 %) 0 00 5 5 60 10 130 85 370 Figur 3: THQ-profil. Mål i mm. Figur 3 viser et såkalt THQ-profil ( hatte-profil ). Slike tverrsnitt forekommer ofte i betongelementbgg, hvor elementene kan legges direkte på de utstikkende underflensene. a) Vis at tverrsnittets flatesenter (og nøtralaksen) er lokalisert 130 mm over nedre kant av underflensen. (Eksakt verdi er 130.6 mm, men bentt 130 mm i de videre beregningene.) Fra underkant av underflens: C A i A i Underflens Steg Overflens 10 370 5 + 5 30 15 + 0 00 50 10 370 + 5 30 + 0 00 130.6 mm 130 mm 50 15 5 C b) Regn ut tverrsnittets. arealmoment I om -aksen. Bentter Steiners teorem I ( Ii + Ai i ), og inkluderer alle bidrag: I 1 3 1 3 1 3 10 370 + 3700 15 + 30 5 1150 5 0 00 4000 10 1 + + + 1 1 Underflens 30.8 10 + 57.8 10 + 10.14 10 + 57.5 10 + 133.3 10 + 57.6 10 15.8 10 mm 3 6 6 3 3 6 6 4 Steg Overflens (Neglisjering av små bidrag fra flenser pga t << b (dvs ledd nr 1 og 5) samt evt. Steinerbidraget fra steget (dvs ledd nr 4) reduserer I med ca 0.16%.)
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 6 av 10 c) Tverrsnittet er påkjent av et bøemoment (om -aksen) M 300 knm. Finn den maksimale bøespenningen σ maks. Hvor i tverrsnittet opptrer σ maks? Bøespenningsformelen, se formelsamling side 8: σ maks (trkk) σ maks 6 M 300 10 maks 130 310 MPa 6 I 15.8 10 130 Siden avstanden fra -aksen er 130 mm til tterkant av både over- og underflensen, opptrer σ maks 310 MPa både i overkant av overflens og underkant av underflens. σ maks (strekk) 130 d) Tverrsnittet er dessuten påkjent av en skjærkraft (i -retning) V 100 kn. Finn den akseparallelle skjærkraften som hver av sveisene må overføre. 1. arealmoment av underflens ( utenforliggende areal): S' da A 3700 15 46.5 10 mm underflens underflens A ' Akseparallell skjærkraft, se formelsamling side 8: V 3 100 10 3 K S' 46.5 10 K 184 N/mm 6 I 15.8 10 3 3 (Faktoren skldes at to sveiser overfører spenninger mellom underflensen og resten av tverrsnittet.) e) Finn den maksimale skjærspenningen τ maks på grunn av skjærkraften V 100 kn. Hvor i tverrsnittet opptrer τ maks? Maksimal skjærspenning opptrer i nøtralaksen ( 0). 1. arealmoment av tverrsnitt under nøtralaksen: 3 S ' 46.5 10 + ( 10 5 60) Underflens, se d ) Ett steg, nedre del τ maks 534.5 10 mm 3 3 Skjærspenning, se formelsamling side 9: V 3 100 10 3 τ S ' 534.5 10 4.5 MPa 6 It 15.8 10 5 + 5 ( ) Kommentar: Hvis S beregnes fra arealet over NA, fås S 540.5 10 3 mm 3 og τ 43.0 MPa. Avviket skldes tilnærmelsen i spørsmål a), hvor C 130.6 mm ble satt til 130 mm i stedet.
Eksamen i emne TKT 4100 Fasthetslære, 16.1.004 Side 10 av 10 Oppgave 5 (vekt ca 10 %) Svar kort og konsist på følgende teorispørsmål. Lag gjerne en skisse for å illustrere svaret. a) Superposisjonsprinsippet, som sier at total respons i et sammensatt lasttilfelle kan beregnes ved å summere responsen fra hver av del-lastene, er basert på to forutsetninger. Hvilke? Superposisjonsprinsippet forutsetter lineær (1. ordens) teori: (1) Små deformasjoner, slik at all likevekt kan relateres til udeformert geometri () Lineært elastisk materialoppførsel, dvs Hookes lov er gldig b) Hva er tverrkontraksjon? Tverrkontraksjon vil si at et legeme endrer dimensjon også i retningene normalt på kraftretningen ved belastning. Eksempel: Når vi strekker en stav, vil den forlenge seg, men den blir også tnnere. Tverrkontraksjonen kvantifiseres med tverrkontraksjonstallet ν, som er forholdet mellom tverrtøning og aksialtøning: ν ε t /ε N N Tverrkontraksjon Forlengelse c) Hva er en strekklapp? En strekklapp måler tøninger. Den består av elektrisk ledende foldninger (tråd) som er lagt inni et tnt plastskikt. Strekklappen limes på den overflaten hvor tøningen skal måles. Når strekklappen tøes, endres den elektriske motstanden i foldningene (trådene), og denne motstandsendringen kan måles og omregnes til tøning. Det finnes flere tper strekklapper: Noen måler tøninger kun i én retning, mens andre (strekklapprosetter) måler tøninger i flere retninger, jfr. strekklappen i Oppgave 1. (Løsningsforslaget på dette spørsmålet (5c) er noe mer detaljert enn hva som ble forventet i en eksamensbesvarelse.)