1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for lærere, men kan med fordel også brukes av interesserte elever. Innledning L97 har satt sannsynlighetsregning mer i fokus enn tidligere læreplaner (se.s.2) Dette innføringskurset ønsker å møte behovet for repetisjon og oppjustering for ungdomsskolens matematikklærere, både faglig og didaktisk. Oppbygningen av kurset viser først et mulig innføringsopplegg i sannsynlighetsregning for elever på 9. klassetrinn. Her settes elevaktivitet, gruppearbeid,drøfting og refleksjon i fokus uten å gi støtte i for mye teori. Etter introduksjonsfasen taes ulike problemstillinger opp til drøfting og sees i lys av teoristoffet som er samlet i et eget kapittel. Teoristoffet er primært innrettet mot lærer, slik at en del av dette går ut over grunnskolematematikken, men vil styrke lærerens teoretiske bakgrunn. Før en går i gang med sannsynlighetsregningen i klassen anbefales en rask gjennomgang av teoristoffet for egen oppdatering. Opplegget er basert på et konstruktivistisk læringssyn der vi bevisst søker å ta utgangspunkt og spille på elevenes egne refleksjoner i prosessen underveis og ved oppsummeringen når teoristoffet løftes fram. Et viktig stikkord er således - tid til refleksjon. I tråd med dette har læreren her en viktig rolle ved å gi de raskeste grupper nye utfordringer og ikke gå inn på eller gi løsninger for tidlig. Når problemstillingene drøftes er det viktig å gi plass til elevenes løsningsforslag og la drøftingen ta utgangspunkt i disse. En del oppgaver fra avgangsprøver, heldagsprøver med mer er tatt med for å gi muligheter for ekstra trening og differensiering i klassen. I oppsummeringsfasen trekkes nødvendig teoristoff inn, gjerne med utgangspunkt i elevenes egne forslag. Mengden av teori avhenger av klassens ståsted, tiden som avsettes til temaet, m.m - og avpasses av lærer. Emnet vil også kunne egne seg som tema / prosjektarbeid f.eks. om elevene tok utgangspunkt i ulike typer spill og sannsynlighet. ( kortspill / yatsee / spill som adm. av Norsk Tipping AS m.m.)
2 I GRUNNSKOLEMATEMATIKKEN L97 Temaet taes opp på ulike klassetrinn og i L97 finner vi under hovedemne Behandling av data følgende : I opplæringen skal elevene : 6. klasse - gjøre erfaringer med sannsynlighet ved å reflektere over og samtale om situasjoner fra dagliglivet, spill og forskjellige eksperimenter. 7. klasse - vurdere og etter hvert beskrive sannsynlighet som tall i området 0 til 1 - fra erfaringer i dagliglivet, i spill og ved eksperimenter. 9. klasse - arbeide med å utvikle mer presise begreper og uttrykksmåter for sannsynlighet og med å tallfeste sannsynligheter. - gjøre erfaringer med at relativ frekvens noen ganger må brukes som et anslag for sannsynlighet. - beregne sannsynligheter ut fra situasjoner hvor alle enkeltutfall har like stor sjanse. - undersøke situasjoner der det må regnes med usikkerhet, risiko og sjanse, for eksempel spill, forsikring, etterforskning og medisin. - prøve ut simulering av praktiske situasjoner der tilfeldighet inngår.
3 TIME 1 INTRODUKSJON Elevene grupperer seg i treer-grupper. Gruppen trenger følgende utstyr : GRUPPE : * 12 brikker - 3 ulike farger * 2 mynter * 2 terninger * 2 A4-ark med spillene : Double-toss og Sats på hester 1. Gruppene prøver de to spillene. Double-toss Elevene velger hvert sitt startfelt hhv. 0, 1 og 2. Notér opp posisjonene til brikkene når første brikke når mål. Prøv spillet 3 ganger og skift startfelt mellom hver gang. Drøft hvordan spillet fungerer og prøv å forklare hvorfor det blir slik. Svar her : Sats på hester Les først instruksjonen. Hver elev velger brikkefarge. Bestem startrekkefølge ved at hver elev gjør et terningkast. Den som har høyest terningøyne velger startfelt for sin første brikke, de øvrige i rekkefølge etter hva øynene viser. Fortsett i denne rekkefølge til alle brikkene er plassert på startfeltet. Prøv spillet og notér ned fra hvilken startposisjon vinnerbrikken kommer. Er dette tilfeldig? Prøv spillet påny og sjekk om resultatet gjentaes. Drøft erfaringene og gi svar på disse spørsmål : A. Hvilken hest bør du ikke velge om du vil komme først til mål? B. Hvilke hest / hester har størst sjanse til å vinne, og hvorfor? Svar her :
4 Double-toss TIME 1 Dere trenger : 3 brikker og 2 mynter. Spilleregler : 1. Plassér brikkene i startfeltene 0,1 og 2. 2. Kast med 2 mynter og flytt brikkene slik : A. Hvis resultatet er 2 mynt, flytt brikke 0 en rute fram. B. Hvis resultatet er 1 mynt og 1 krone, flytt brikke 1 en rute fram. C. Hvis resultatet er 2 krone, flytt brikke 2 en rute fram. Lykke til! MÅL 0 1 2 START
5 Sats på hester 12 hester (brikker) stiller i startfeltet nederst på siden. (Se INTRODUKSJON) TIME 1 Spilleregler : 1. Kast med to terninger. 2. Ved hvert kast viser summen av øyne nummeret på den hest som får flytte en rute framover. 3. Skift om å kaste terningene. Lykke til! MÅL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 Hva mener vi med begrepet sannsynlighet? TIME 2 *Start timen med en oppsummering fra time 1 Hva er elevenes forklaring på de to spillene? Vi skal nå se på en del sammenhenger der begrepet sannsynlighet dukker opp. Eksempler : 1. Kast mynt / krone og finn ut hvordan utfallet kan bli om vi : A. kaster 2 ganger. B. kaster 3 ganger Hvor mange muligheter har vi i tilfelle B? 2. Kast med en terning. Hva er sannsynligheten for ener? Hva mener vi med sannsynlighet? 3. Kast med to terninger og svar på følgende spørsmål : A. Hvilke verdier kan summen av øyne anta? B. Hvor mange ulike kombinasjoner har vi når vi kaster med 2 terninger? (for eksempel 3 5, treer i første kast,femmer i andre kast er én mulighet, osv.) C. Hva er sannsynligheten for to enere? 4. Kan du finne ut hva sannsynligheten er for 3 enere ved 3 kast? Drøfting : Om noen av eksemplene over ikke løses utfordre da elevene til å finne ut av dette til neste time. Bruk nå litt tid på å la elevene formulere sine forslag til hvordan sannsynligheten kan uttrykkes mest sannsynlig vil brøk bli nevnt, men kom også inn på sannsynligheten som et tall, mellom 0 og 1, og også muligheten for å uttrykke sannsynligheten i prosent. Til neste time kan elevene prøve å finne løsningen på følgende grublis : Grublis : En mattelærer på ungdomstrinnet hadde følgende opplegg for lekseprøve i muntlige fag : Om summen av øyne ved tre påfølgende terningkast blir mindre enn 8 skal elevene ha lekseprøve. Uten spørsmål fra lærer og uten bruk av hjelpemidler skal leksen da skrives. Vurdér sannsynligheten for lekseprøve ved et slikt opplegg. Begrunn svaret.
7 Mer sannsynlighetsregning TIME 3 *Start timen med en oppsummering fra time 2 Hvor stor sannsynligheter det for lekseprøve? Vil noen prøve å forklare hvorfor det blir slik. Flere eksempler : 1. Forsøk : Ved å kaste en tom fyrstikkeske vil 3 utfall være mulige : - flatside - kant - ende Del opp klassen i toer-grupper og start med en demonstrasjon av forsøket. Gruppene skal deretter stille opp en hypotese for hvor stor sannsynlighet det er for hvert av de mulige utfall. Lærer registrerer de ulike gruppenes hypoteser. Videre skal gruppene gjøre følgende : a) Samarbeid på gruppen og gjør 100 forsøk. Lag en frekvenstabell og presentér resultatene i din gruppe? Finn også relativ frekvens. Hva blir sannsynlighetene i prosent? b) Alle grupperesultatene samles i en tabell for hele klassen. Drøft resultatet og si noe om grunnen til at gruppene hadde svært ulike resultater. Hvordan stemte hypotesene med samletabellen for hele klassen? 2. I en boks er det 5 kuler - 2 røde, 2 blå og 1 gul. Vi trekker ut en kule tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at vi trekker : a) en rød kule? b) en blå eller gul kule? c) en kule som ikke er gul? Utforskingsoppgave (til neste matematikk-time) På en norsk tippekupong er det 12 kamper. Finn ut hvor mange ulike kombinasjoner (rekker) vi maksimalt kan ha. Du leverer inn en rekke uten garderinger. Finn da ut, og angi svarene som brøk : a) Hvor stor sjanse har du for å få 12 rette? b) Cecilie fikk en gang 0 rette i tipping og sa da : Jeg fortjener sannelig en trøstepremie med dette resultatet. Kan du finne ut hvor mange tipperekker det hver gang er som gir resultatet 0 rette?
8 Mer sannsynlighetsregning TIME 4 43 *Start timen med en oppsummering fra time 3 Flere eksempler : 1. Gruppeoppgave Finn ut hvilke farger kulene har? I en sylinderformet metallboks med lokk ligger et ukjent antall fargete, men ellers like kuler. Læreren lar elevene etter tur trekke en kule som vises til alle før den legges tilbake i boksen. Etter at alle elever har trukket 2 ganger skal elevene i gruppen diskutere og finne ut hvor mange kuler av hver farge boksen inneholder. Oppgaven blir enklere om læreren opplyser hvor mange kuler totalt som finnes i boksen. En tom kakeboks og kinasjakk-kuler egner seg bra til denne oppgaven. 2. En familie har 4 barn. Hvor stor sannsynlighet er det for at det er 4 gutter? Her regner vi like stor sannsynlighet for gutt som for jente. Grublis : Ved en gjettelek i TV fikk en deltaker valget mellom 3 dører merket 1, 2 og 3. Bak en av dørene Grublis : sto en bil og bak de 2 andre en geit. Programlederen visste hvilken dør bilen var bak. Deltakeren valgte døren merket 2. Programlederen åpnet da en av de to andre dørene og viste fram en geit. Deltakeren fikk så tilbud om å holde på døren merket 2 eller å skifte til den andre døren som ikke var åpnet. Hva ville du gjort? Beregn sannsynligheten for å vinne bilen hvis du skifter til den andre døren. Tips : Det finnes 3 alternativer for bilens plassering : A B C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Bil Geit Geit Geit Bil Geit Geit Geit Bil Vi antar at alle tre alternativene er like sannsynlige. a) Hvis bilen er plassert som i A, vil programlederen åpne dør 3. b) Hvis bilen er plassert som i B, vil programlederen åpne dør 1 eller 3, hvilken spiller ingen rolle. c) Hvis bilen er plassert som i C, vil programlederen åpne dør 1
9 TIME 5 *Start timen med en oppsummering fra time 4 Treningsoppgaver 1. Hentet fra avgangsprøven 1997 (oppgv. 15). RV 6 RV 3 RV 3 A RV 9 En gruppe elever foretok en trafikkundersøkelse ved punktet A på riksvei 3 ( RV 3 ). I løpet av en time passerte det i alt 36 biler i pilens retning. Av disse var det : 10 biler som kjørte inn på RV 6 14 biler som kjørte inn på RV 9 12 biler som fortsatte langs RV 3 1 p a) Hva er sannsynligheten for at den første av de 36 bilene kjørte inn på RV 9? 2p b) Hva er sannsynligheten for at begge de to første av de 36 bilene kjørte inn på RV 6? 2. Ved normert prøve i 1993 (og i 1994), var oppgaven gitt som følger : To jenter og tre gutter som er på tur sammen, blir enige om at to av dem skal ta seg av oppvasken. Hvem det skal være, avgjøres ved loddtrekning hvor alle har like stor sjanse til å bli trukket ut. Hva er sannsynligheten for at det blir to gutter som skal vaske opp? Vis / forklar hvordan du kom fram til svaret : Svar :
10 TIME 6 43 Flere treningsoppgaver 3. Hentet fra avgangsprøven 1992 (oppgv. 15). Johanne har tre røde, to grønne og en blå blyant i pennalet sitt. Blyantene er helt like bortsett fra fargen. a) Hun tar ut en blyant uten å se på fargen. Hva er sannsynligheten for at den er grønn? b) Hun legger blyanten tilbake, og ber Kari ta ut to blyanter uten å se på fargene. Johanne mener at sannsynligheten for at begge blyantene er røde, vil være 5 1, mens Kari mener at sannsynligheten vil være 3 1. Har noen av de to rett? Begrunn svaret. 4. Per gjør ett kast med 2 terninger, en svart og en hvit. a) Hva er sannsynligheten for å få 3 på den hvite terningen? De to tallene (antall øyner) han får, multipliserer han med hverandre. b) Hva er sannsynligheten for å få oddetall til svar?
11 Terminologi Kombinatorik LÆRER 1 Stokastisk - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Kaster vi f.eks. med terning har vi seks ulike muligheter for antall øyne terningen viser. En liste over alle mulighetene kaller vi forsøkets utfallsrom, terningøyne 3 og 4 betegnes som utfall, hvorav terningøyne 3 representerer det vi kaller et enkeltutfall. EKSEMPEL 1. For å klargjøre begreper og betegnelser studerer vi kast med en terning. Om vi får oddetall slipper vi oppvasken, får vi partall tar vi oppvasken. Begivenhet Det vi regner ut sannsynligheten for kalles ofte en begivenhet. Begivenheten A definerer vi som : A : Terningens øyne viser oddetall. Begivenheten A = {1, 3, 5 } gir 3 gunstige utfall av det totale 6 mulige. Utfallsrommet S = {1,2,3,4,5,6 } viser at vi totalt har 6 mulige antall gunstige utfall = antall mulige utfall 3 Sannsynlighet Sannsynligheten P( A) = = 0, 50 Relativ frekvens EKSEMPEL 2. I et statistisk forsøk kaster Ole og Anne med terning og noterer ned hver gang terningens øyne viser 6. Resultatene er vist i tabellen under. Antall kast Antall seksere Relativ frekvens a n a n 100 19 0,19 300 48 0,16 500 81 0,16 6 Relativ frekvens defineres som antall gunstige utfall (a) dividert med antall mulige utfall (n).
12 De store talls lov Terminologi Tenk deg at vårt mynt / krone- forsøk fra time 2 utvides slik at elevene arbeider i grupper på to og to og at hver gruppe gjør 100 kast. 30 elever i klassen gir oss 15 forsøksgrupper. Sannsynligheten er like stor for krone som mynt. Likevel kan vi ikke forvente nøyaktig 50 % krone og 50 % mynt. Hvorfor ikke? La elevene være aktive om du tar opp dette spørsmålet til diskusjon i klassen. Stopp forsøket når alle grupper har gjort 5 kast og registrer resultatet. Plott resultatet inn i et diagram som viser antall kast på x-aksen og % eller sannsynlighet som brøk eller desimaltall på y- aksen. Resultatene vil vise at når antall kast i forsøket vårt øker og blir svært stort vil sannsynligheten nærme seg 0.5 i forsøket vårt. Dette er i samsvar med de store talls lov som kan formuleres slik : Dersom en rekke identiske forsøk gjøres, vil andelen av en bestemt hendelse nærme seg en bestemt verdi når antall forsøk gjøres stadig større. Denne verdien kalles for sannsynligheten for den bestemte hendelsen, og kan uttrykkes slik : LÆRER 2 sannsynligheten = Antall ganger en registrerer hendelsen Antall ganger forsøket ble gjort når antall ganger forsøket ble gjort er et stort tall Hva som menes med et stort tall må videre avklares. Ta utgangspunkt i den verdien klassen finner når hele forsøket avsluttes og la dette være en anledning til å komme inn på begrepet uendelig ( la antallet gå mot uendelig ). Geometrisk sannsynlighetsmodell Et eksempel på en slik modell kan være en terning. Om dette er det vi kaller en hederlig terning er sannsynligheten like stor for å få ener som et hvilket som helst annet av tallene fra 2 til og med seks. Geometrien tilsier at alle sider har like stor sannsynlighet derfor navnet geometrisk modell. La elevene foreslå andre eksempler på geometriske modeller. Uniform sannsynlighetsmodell Et klassisk eksempel er trekning av fargete, men ellers identiske kuler fra en boks (se TIME 4 eks. 1 ). Her vil alle utfallene ha samme sannsynlighet for å inntreffe, vi har det vi kan betegne et symmetrisk utfallsrom. Da vil sannsynligheten for en bestemt hendelse være gitt som : sannsynligheten = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall
13 Teori - Kombinatorikk LÆRER 3 Kombinatorikk er den gren av statistikken som tar for seg ordning og gruppering av elementer og kommer fram til hvor mange ulike kombinasjoner et bestemt statistisk forsøk har. Et sentralt prinsipp innen kombinatorikken er multiplikasjonsprinsippet, eller multiplikasjonsregelen som den også kalles. Multiplikasjonsprinsippet Vi starter opp med å betrakte et eksempel. Eksempel 1 På en kafé kan du velge mellom 3 ulike middagsretter og 2 desserttyper. Hvor mange ulike kombinasjoner av middag og dessert har du totalt. Figuren under gir svar på problemet. A a b 1 2 B C Figur 1. Oversikt over middag / dessert kombinasjoner. a b a b 3 4 5 6 3 middagsretter og 2 typer dessert gir 3 2 = 6 ulike kombinasjoner. Figuren over kalles et trediagram og gir en grei oversikt over antall kombinasjoner. Multiplikasjonsprinsippet : Dersom et statistisk forsøk har r trinn og n 1 muligheter i første trinn, n 2 muligheter i andre trinn, og n r muligheter i r te trinn, vil vi totalt ha n 1 n 2 n r muligheter.
14 Eksempel 2 Hvor mange ulike måter kan 4 personer, A, B, C, og D stille i kø på? Systematiserer vi og starter med A først vil figur 2 under gi oss en oversikt over problemet. LÆRER 4 A B C D A B D C A C B D A C D B 6 A D B C A D C B B A C D B A D C B C A D B C D A 6 B D A C B D C A C A B D C A D B C B A D 6 C B D A D A B C D A C B 6 --------------------------------------- Figur 2. Oversikt over totalt antall køkombinasjoner. Figuren over viser klart at vi totalt har 6 4 = 24 ulike kombinasjoner. En annen måte å se dette på er følgende : 1. Først i køen kan hhv. A, B, C og D stå. Antall muligheter = 4 2. Når den første i køen er valgt er det 3 igjen til plass nr. 2 Antall muligheter = 3 3. Når de to første er valgt er det 2 igjen til plass nr. 3 Antall muligheter = 2 4. Når de tre første er valgt er det kun 1 mulighet på plass 4 Antall muligheter = 1 Totalt skulle dette gi : 4 3 2 1 = 24 mulige køkombinasjoner. Dette kan vi skrive som 4! ( 4 fakultet ). Øker vi antall personer i køen til 5 vil vi totalt få 5! = 5 4 3 2 1 = 120 ulike kombinasjoner. Overnevnte eksempel
15 representerer en kategori som betegnes : et ordnet utvalg uten tilbakelegging. LÆRER 5 Et utvalg uten tilbakelegging vil si at et objekt som er trukket ut ikke legges tilbake før trekningen foretas påny og følgelig kun kan opptre en gang i utvalget. Ved LOTTO-spill trekkes 7+2 nummererte kuler ut uten tilbakelegging. Dersom rekkefølgen i utvalget er avgjørende, har vi et ordnet utvalg og tilsvarende om rekkefølgen ikke spiller noen rolle har vi et ikke ordnet utvalg. LOTTO-spill er et eksempel på ikke-ordnet utvalg hvor rekkefølgen av de uttrukne vinnertallene ikke spiller noen rolle. Ordnet og uordnet utvalg uten tilbakelegging Eksempel 3 Av 4 bokstaver A, B, C og D skal 2 bokstaver trekkes ut. Hvor mange måter kan dette gjøres på? Oppstilles mulighetene i en figur har vi : ORDNET IKKE-ORDNET UTVALG UTVALG AB AC AB AD AC BA AD BC BD BC CA BD CB CD DA CD DB DC Figur 3. Antall mulige kombinasjoner av 2 uttrukne bokstaver av et utvalg på 4. Ved første trekning har vi 4 bokstaver å velge blant, ved neste trekning har vi 3. Dette gir totalt 4 3 = 12 kombinasjoner ved et ordnet utvalg. Ser vi bort fra rekkefølgen, dvs. vi har et uordnet utvalg reduseres antall kombinasjoner til 6. Ved et ordnet utvalg kan vi generalisere overstående til : Skal vi trekke s elementer utfra en total populasjon på n vil antall mulige kombinasjoner være gitt ved : n (n-1) (n-2) (n-(s-1)) Overstående antall kan vi ved å multiplisere med (n-s)! og deretter dividere med (n-s)!
16 Da får vi : n ( n 1)... ( n ( s 1) ( n s) ( n ( s + 1)... 3 2 1 n! n (n-1) (n-(s-1)) = = ( n s)! ( n s)! Overstående uttrykk lar seg lettere beregne med lommeregner hvor fakultetsfunksjon er tilgjengelig. Telleren er fakultetet av antall elementer vi totalt har til rådighet mens nevneren er fakultetet av de elementer som ikke skal trekkes ut. Eksempel 4 Utvider vi eksempel 3 til å trekke 3 bokstaver utfra totalt 4 vil følgende muligheter fremtre : LÆRER 6 ORDNET ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB IKKE- ORDNET ABC ABD ACD DAB DAC DBA BCD DBC DCA DCB Figur 4 Ordnet og ikke-ordnet utvalg i eksemplets kombinatoriske forsøk. Antall ordnete utvalg blir (se eksempel 2) : 4 3 2 = 24. Den første av de ikke-ordnete kombinasjonene over, ABC, gir utgangspunkt for 3! = 6 ordnete kombinasjoner. 3! får vi fordi dette representerer totalt antall muligheter å kombinere 3 bokstaver. Økes antallet
til 4 bokstaver, ABCD, får vi 4 3 2 1 = 4! (se eksempel 2). Antall ikke-ordnete kombinasjoner i overnevnte eksempel finnes ved : 17 LÆRER 7 Antallordneteutvalg Ant. måteråordne3bokst. på 4 3 2 4 3 2 = = = 4 3 2 1 3! 4 Overnevnte oppstilling betegnes : 3 og leses 4 over 3. Generelt kan vi si : Skal vi trekke s elementer uten tilbakelegging av en populasjon på n vil antall uordnete utvalg være gitt ved : n n! n ( n 1)... ( n ( s 1)) = = s s!( n s)! s! Eksempel 5 LOTTO Ved LOTTO-spill trekkes 7 tall ut av en populasjon på 34 tall i alt. Dette er en ikke-ordnet trekning uten tilbakelegging og antall mulige kombinasjoner kan finnes ved : 34 34! 34 33 32 31 30 29 28 = = = 5.379.616 7 7!27! 7 6 5 4 3 2 1 En del interessante opplysninger vedrørende overnevnte spill fremgår av tabellen under, som er opplysninger fra Norsk Tipping AS. Premie Kombinasjoner Sannsynlighet Ant.vinnerrekker Premie % Gj.snittlig premiebeløp 7 rette 1 1 : 5.379.616 4,6 30 % 2.420.827 6+1 rette 21 1 : 256.172 97,3 15 % 57.639 6 rette 168 1 : 32.022 778,6 15 % 7.205 5 rette 7.371 1 : 730 34.161,0 20 % 219 4+1 rette 31.535 1 : 171 146.149,4 20 % 51 I LOTTO trekkes det 7 vinnertall + 3 tilleggstall.. 1.03.99 koster hver rekke ved innlevering kr. 3,-