Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave 1 a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. La nn + 1 og mm + 1 være to vilkårlige oddetall der nn og mm er positive heltall. (nn + 1)(mm + 1) = 4nnnn + nn + mm + 1 = (nnnn + nn + mm) + 1 = qq + 1, der qq = nnnn + nn + mm et positivt heltall siden det består av sum og produkt av positive heltall. Vi har vist at produktet av to vilkårlige oddetall blir et nytt oddetall. b) Tallet 693 har tverrsummen 6 + 9 + 3 = 18. Tallet 693 er delelig med 9, og det er tverrsummen også. Bevis at et tresifret tall er delelig med 9 dersom tverrsummen er delelig med 9 (Hint: 100=99+1). Vi prøver med eksempelet først. 693 = 6 100 + 9 10 + 3 1 = 6 100 + 9 10 + 3 1 = 6 + 6 99 + 9 + 9 9 + 3 + 0 1 = 6 + 9 + 3 + 6 99 + 9 = 6 + 9 + 3 + 9(6 11 + 1). Vi ser at siste ledd er delelig med 9, og siden vi vet at tverrsummen også er delelig med 9 blir hele tallet delelig med 9. Vi prøver generelt. La aaaaaa være et vilkårlig tresifret tall, og at aa + bb + cc = 9kk, der k er et helt tall. Vi kan da skrive aaaaaa = aa 100 + bb 10 + cc 1 = aa + aa 99 + bb + bb 9 + cc + 0 1 = (aa + bb + cc) + aa 99 + bb 9 = 9kk + 9(aa 11 + bb) = 9qq, der qq = = kk + 11aa + bb et nytt heltall. Vi har vist at dersom tverrsummen til et tresifret tall er delelig med 9 så er også tallet det. Oppgave Ta for deg funksjonen f gitt ved f( x) ln ( x 1) =. a) Forklar at D f = 1,. 1
Funksjonen ln (x) er definert for x > 0. x 1 = 0 for x = 1, og f(x) er da definert for alle reelle tall større enn 1, som er det som står. b) Bestem nullpunktet til f. Nullpunktet er der f(x) = 0. Vi løser den likningen: ln( 1) = 0 ln( 1) = 0 1 = 1 = 1 Nullpunktet er = 1. c) Gitt at ln 0,7 og ln 3 1,1. Vis nødvendige beregninger, og skriv av og fyll ut tabellen. x 0,75 1 1,5 1,5 3,5 5 f( x) -1,4 0 0,8 1,4, 3,6 4,4 Viser en utregning. ln( 3,5 1) = ln 6 = ln( 3) = (ln + ln 3) (0,7 + 1,1) = 3,6 Her er det viktig at dere bruker tilnærmet likhetstegn, og at det står på riktig plass i utregningen. d) Tegn grafen til f. Oppgave 3 Sett hvis mulig inn ett av symbolene, eller mellom utsagnene. Glem ikke å begrunne svaret! a) ff() = 5 + ff () = 5 4 Funksjonen ff() = 5 + k har ff () = 5 4 som den deriverte, altså er det uendelig mange funksjoner som har ff () = 5 4 som den deriverte og vi har implikasjon mot høyre. b) + 1 = 5 + 5 = 0
Her gjør om på likningen + 1 = og får 1 = 1 = ( ) 1 = 4 + 4 5 + 5. Vi ser at vi har en implikasjon underveis. Vi finner så løsningene til 5 + 5 = 0, og får = 5± 5 og tester om begge er løsninger i den opprinnelige likningen. Kun en av løsningen er løsning til 5 + 5 og vi har implikasjon. c) n er et oddetall ingen pil n er et partall Lar nn = aa + 1 være et oddetall. nn = (aa + 1) = 4aa + 4aa + 1 = (aa + aa) + 1 = qq + 1, qq = aa + aa. Vi ser at nn er et oddetall og vi har innen sammenheng mellom de to påstandene. Oppgave 4 Løs likningene og ulikheten. a) Svar: x = ln 5 b) x x e 5e 0 = ee 5ee = ee (ee 5) = 0 ee = 0 v ee 5 = 0 ingen løsning v x = ln (5) x < 1 lg 7 43 1 lg 7 < 43 lg < 100 0 < < 10 100 c) 3 1 + 3 + 3 +1 = 48 3 1 + 3 + 3 +1 = 48 3 3 1 + 3 + 3 3 = 48 3 (3 1 + + 3) = 48 3 16 3 = 48 3 = 9 = d) (lg ) +lg lg +3 0 (lg ) + lg 0 lg + 3 (lg 1) (lg + ) 0 lg + 3 3
Vi tar litt mellomregning for å finne ut når de ulike faktorene blir lik null. lg 1 = 0 = 10, lg + = 0 = 10 = 0,01 og lg + 3 = 0 = 10 3 = 0,001. Vi fortegnsdrøfter x=0,001 x=0,01 x=10 (lg 1) -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++ (lg + ) -- - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++++ lg + 3 -- - 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ (lg 1) (lg + ) lg + 3 -- - - X ++++ 0 -- - - - 0 ++++++++ NB: plusstegnene betyr heltrukket linje. (lg ) +lg lg +3 0 for 0,001, 0,01] [10, Oppgave 5 Ta for deg polynomfunksjonen P gitt ved 3 Px ( ) = x 6x + 3x + 10. a) Vis at x = er ett av nullpunktene til P. Dersom PP() = 0 er et nullpunkt. PP() = 3 6 + 3 + 10 = 8 4 + 16 = 0 b) Skriv Px ( ) som et produkt av førstegradsfaktorer. Bruker polynomdivisjon på PP(): ( ) for å finne en andregradsfaktor, faktoriserer så videre ved bruk av abc-formel eller ved å se det. PP() = ( )( 4 5) = ( )( 5)( + 1) c) Løs ulikheten 6 + 3 + 10 1 x 3 x x x 0. Skriver opp ulikheten i faktorisert form, deretter bruker vi fortegnsskjema: ( )( 5)( + 1) (1 )(1 + ) 0 = 1 = 1 = = 5 ---------------------------------------------- 0 ++++++++++++++++++ 5 ------------------------------------------------------------------ 0 +++++++ 4
+ 1 --------- 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 +++++++++++++++++ 0 ------------------------------------------------- 1 + --------- 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++ X ++++ X ------ 0 ++++ 0 ----------- ( )( 5)( + 1) (1 )(1 + ) ( )( 5)(+1) (1 )(1+) Oppgave 6 0 har løsningen, 1 1, 1 [,5] På figuren ser du grafen til en funksjon f, der D f = 0, 40. For hvilke verdier av x er f diskontinuerlig, og for hvilke verdier av x er f ikke deriverbar? ff() er diskontinuerlig for = 0 for her gjør grafen til funksjonen et hopp, og ikke deriverbar for {10, 0, 30}. Dersom den er diskontinuerlig så kan den ikke være deriverbar, derfor = 0, og grafen har knekkpunkt for = 10 og = 30. Del Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 7 Vi tar en flaske brus ut av kjøleskapet. Temperaturen i brusen (målt i C) som funksjon av tiden (målt i minutter) er gitt ved ( ) 0 16 0,91 t t 0, 60. Tt =, [ ] a) Tegn grafen til T og bestem temperaturen i brusen etter fem minutter. b) Hva er likningen til den horisontale asymptoten? c) Når er temperaturen på brusen 15? d) Bestem T (5). Hva forteller svaret om temperaturen i brusen? 5
Oppgave 8 Når grafen til en polynomfunksjon tangerer x-aksen i x = a, har funksjonen minst to like (sammenfallende) nullpunkter i x = a. Figuren viser grafen til en tredjegradsfunksjon f. Grafen tangerer x-aksen ved = 11, krysser x-aksen ved = og krysser y-aksen ved yy = 44. Bestem funksjonsuttrykket for f. Gi svaret på formen 6 3 f ( x) ax bx cx d = + + +. Vi har et dobbelt nullpunkt i = 11 som gir en faktor ( 11), et nullpunkt i = som gir en faktor ( + ) også kan vi ha en konstant foran som vi kaller a. Vi får da:
ff() = aa( 11) ( + ) Bruker skjæringspunktet med y-aksen til å bestemme a. Og vi får ff(00) = aa(00 11) (00 + ) = = 44, som gir aa = ff() = ( 11) ( + ) = 33 + 6666 44 Oppgave 9 Ta for deg den rasjonale funksjonen g gitt ved gg() = 18. +3 Hele denne oppgaven skal gjøres ved regning. a) Finn definisjonsmengden og eventuelle nullpunkt til gg(). Nevneren er null for + 3 = ( + 3) = 0 = 0 v = 3, dermed er definisjonsmengden DD gg = RR \{ 3, 0}. Nullpunktene er der telleren er lik null. 18 = ( 9) = ( + 3)( 3) = 0 som gir svarene = 3 og = 3, men kun = 3 er nullpunkt grunnet definisjonsmengden. b) Bestem likningen for eventuelle horisontale og vertikale asymptoter for grafen til g. Vi ser at vi har et felles nullpunkt i telleren og nevneren, vi faktoriserer og forkorter. gg() = 18 + 3 = ( 3)( + 3) ( + 3) = ( 3) Vi har en vertikal asymptote med likning = 0. For å finne eventuelle horisontale asymptoter ser vi på grenseverdien når x går mot ± uendelig. ( 3) ( 3) 1 lim = lim 3 ± ± 1 = lim = ± 1 Og vi har en horisontal asymptote for yy =. c) Er funksjonen kontinuerlig i definisjonsmengden? Rasjonale funksjoner er kontinuerlig i sin definisjonsmengde. Bruddene ligger for x-verdier som er utenfor definisjonsmengden. d) Er funksjonen deriverbar i definisjonsmengden? En rasjonal funksjon uten delt forskrift har ingen bruddpunkter, og vi vet at den er kontinuerlig. Derfor er den deriverbar i sin definisjonsmengde. Oppgave 10 På figuren ser du grafen til funksjonen f gitt ved ff() = aa bb, der aa > 0 og bb > 0. 7
Under grafen er det innskrevet en likebeint trekant OAB med høyde h, der 0 < < h. a) Vis at lengden av grunnlinja AB i trekanten OAB er aaaa bbh bb b) Bestem høyden h i OAB når arealet av trekanten er størst. = aa h bb. 8