ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt mot seg, er det ikke mulig å se om det står JA eller NEI på forside. A. Ata kortstokke blir stokket godt og lagt ed på bordet i e buke med bakside opp. (i) Hva er sasylighete for at det øverste kortet i buke er et JA-kort? (ii) Hva er sasylighete for at de to øverste kortee i buke begge er JA-kort? 6 <<Svar: (i): / (ii): = 5 B. La geerelt A og B være to begiveheter. Da gjelder () A= ( A B) ( A B) (i) Forklar relasjoe () ved et Ve-diagram. (ii) Ata PA= ( ) og PB ( A ) =. Hva blir da PA ( B)? 5 (iii) Ata at sasylighetee oppgitt i (ii) fortsatt gjelder. Hvilke verdi må PB ( ) ha hvis A og B er uavhegige begiveheter? Hva blir i så fall PA ( B)? <<Svar: (ii): PA ( B) = PA ( ) PAPB ( ) ( A) = =. 5 5 5 (iii): Uavhegighet hvis PB ( ) = PB ( A) =. I så fall 7 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PAPB ( ) ( ) = + = + = =,85 5 5 5 C. Vi veder tilbake til situasjoe i pukt A. La J være begivehete at det øverste kortet i buke er et JA-kort, og J begivehete at det est øverste kortet er et JAkort. Forklar ituitivt, eller ved e beregig, at PJ ( ) = PJ ( ) =. << Svar: PJ ( ) = PJ ( ) PJ ( J) + PN ( ) PJ ( N) = + = (+ ) = 5 5 5
D. Kortstokke stokkes grudig og legges som før på bordet i e buke med bakside opp. Ett og ett kort åpes deretter fra toppe av buke og edover itil første JAkort dukker opp. La X være atall kort som må sus itil første JA-kort dukker opp. Hvis kortstokke er grudig ok stokket, vil alle mulige rekkefølger av kortee i buke ha samme sasylighet, og de stokastiske variabele X vil ha e fordelig gitt i tabell : Tabell Fordelige for X x 5 6 5 PX ( = x) 5 5 5 5 5 (i) Vis at PX= ( ) = som gitt i tabelle. 5 [Hit: Merk at begivehete ( X = ) er ekvivalet med begivehete N N J - dvs. der de to øverste kortee er NEI-kort og det tredje kortet ovefra et JA-kort (der begivehete N i betyr at i-te kort fra toppe er et NEI-kort).] (ii) Vis at 7 EX ( ) = og Var( X ) =. 9 << Svar: (i) PX ( = ) = PN ( ) PN ( N) PJ ( N N) = = = 6 5 5 5 (ii) 5 + + 5 7 5 + + 5 EX ( ) = = =, EX ( ) = = = 7 5 5 5 5 og 7 6 9 Var( X ) = 7 = = 9 9 E. Å stokke e kortstokk godt er vaskeligere e folk flest tror. Jes meer at ha valigvis stokker kortee godt ok, me er villig til å gjeomføre følgede test. Eksperimetet beskrevet i pukt D gjetas = gager. I hvert forsøk stokker Jes kortee så godt ha meer er tilstrekkelig, legger deretter kortee på bordet i e buke med bakside opp, åper ett og ett kort fra toppe og edover i buke itil første JA-kort dukker opp og registrerer til slutt hvor mage kort som må sus før JA-kortet viser seg. La for forsøk i X i betege atall kort som må sus itil det første JAkortet kommer ( i =,,,). Vi atar at X, X,, X er uavhegige og idetisk fordelt, med felles forvetig, EX ( i ) = µ og varias, Var( X i ) = σ. Hvis stokkige er god ok, er de felles fordelige kjet og gitt i tabell. Dette utgjør vår ull-hypotese. Hvis stokkige
ikke er god ok, vil de felles fordelige være ukjet med ukjet forvetig og varias. Gjeomsittlig X-verdi for de stokke-forsøkee til Jes ble,98. Sett opp og gjeomfør (basert på dette resultatet) e test med sigifikasivå 5% for hypotese: 7 H : µ = =, mot H : µ, Bereg p-verdie for teste og formuler e koklusjo. 7 [Hit: Bruk setralgreseteoremet. Merk at både µ = og σ = er 9 kjete uder H, som i dette tilfellet er det eeste vi treger å vite for å kue berege kritiske verdier og p-verdi. ] <<Svar: To-sidig test. Alterativer: Testobservator Observert verdi Nedre kritisk verdi Øvre kritisk verdi X,98, (,96) =,95, + (,96) =,7 9 9 X 7 Z = 9, 77 -,96,96 P-verdi = P ( Z > z ) = P ( Z >,77) = P( Z <,77) =,8 =,768 H obs H H forkastes ikke på 5% Oppgave Et problem ved spørreudersøkelser er å få pålitelige svar på sesitive spørsmål. For å sikre aoymitete beytter e forsker følgede itervju-metode. Ata spørsmålet er, "Har du kjøpt smuglersprit i år?". Forskere viser respodete (dvs. persoe som blir itervjuet) e kortstokk av samme type som i oppgave der JA står på av kortee og NEI på. Respodete får opplyst hvor mage av kortee som har JA og hvor mage som har NEI. Respodete blir bedt om ikke å svare direkte på spørsmålet, me i stedet å trekke et kort og si om det som står på kortet stemmer eller ikke. For eksempel hvis respodete faktisk ikke har kjøpt smuglersprit og trekker et kort med NEI på, så svarer vedkommede at det som står på kortet stemmer. Deretter blir kortet lagt tilbake i kortstokke ute at forskere får se hva som står på det.
For ekelthets skyld vil vi i dee oppgave se bort ifra de tilfellee der respodete ekter å svare eller lyver, og atar i stedet at alle gir et av to mulige svar, det stemmer, eller det stemmer ikke, og at alle sakker sat. A. Metode brukes på et ret tilfeldig utvalg av vokse persoer fra befolkige. Gjør rede for at atall persoer i utvalget som svarer, "det som står på kortet stemmer", ka atas å være biomisk fordelt. B. La q være de relative adele som ville ha svart, "det som står på kortet stemmer", dersom forskere hadde itervjuet hele de vokse befolkige. La p være adele i befolkige som har kjøpt smuglersprit. Det ka vises (jfr. pukt D) at sammehege mellom p og q er gitt ved () p q = La X være atall som svarer "det som står på kortet stemmer" i et tilfeldig utvalg på vokse. Forklar hvorfor pˆ = X er e forvetigsrett estimator for p. Vis at stadardavviket (SD) for ˆp er (uttrykt ved q): ( ) SD( ˆ) q p = q << Svar: Opplagt. X C. (i) Kostruer et 95% kofidesitervall for p basert på qˆ =. [Hit: Ta utgagspukt i et 95% kofidesitervall for q, som vi ka skrive ( AB, ), der A og B er stokastiske variable som oppfyller PA ( q B) =,95 (tilærmet). Dette itervallet ka du så overføre til et itervall for p ved å vise at begivehete ( A q B) er ekvivalet med begivehete ( B p A). ] qˆ( qˆ) <<Svar: KI for q: qˆ ± (,96) qˆ( qˆ) KI for p: qˆ ± (,96)
5 (ii) Hvor mage observasjoer tregs for at legde, L = B A, på kofidesitervallet for q ikke skal overskride,6? Bereg også hvor mage observasjoer som tregs for at legde på itervallet for p ikke skal overskride,6. <<Svar: For q: Formel i boka der vi ikke vet oe om q: (,96,6) = 67 For p: Her er legde L = ( B A) =,6 B A=,,96, = 96 ( ) D. Vis relasjoe () i pukt B. [Hit: Betrakt itervju-situasjoe med e tilfeldig trukket respodet og ifør begivehetee: K = Respodete har kjøpt smuglersprit i år S = Respodete svarer at det som står på kortet stemmer J = Det står JA på kortet som respodete trekker N = Det står NEI på kortet som respodete trekker Gjør rede for og utytt at S = ( K J) ( K N), som er e disjukt uio. Merk også at det som står på kortet, åpebart er uavhegig av om respodete har kjøpt smuglersprit eller ikke. ] << Svar: p q= PS ( ) = PK ( J) + PK ( N) = PKPJ ( ) ( ) + PKPN ( ) ( ) = p + ( p) =