Institt for kjemisk prosessteknologi TK00 Strømning og transportprosesser Øving 8 Løsningsforslag Oppgave Starter med energiligningen på differensiell form d dp dl G + + f G = 0 Setter så inn for G= v ρ= v/, hvor er spesifikt volum i m /kg(invers tetthet), neglisjerer leddet for potensiell energi og deler på. Antar = konst. og integrerer mellom posisjon og + L + Δ G - + f G = 0 + Antar Re > 0 6 (bør sjekkes). ε/ oppgitt lik 0.000. ette gir f = 0.00 fra figur side 9 i Geankoplis. Antar gassen ideell m RT RT = nrt = = = n M mol kg/ mol M M 8. m = = 0.8 00000 0.08 kg Setter inn og får.+ 9. 00000.. 9 60 ( ) ( ) + - + 0.00 = 0. +. 0.8 π π ( ) = 0. m Sjekk av Re Re =G /(Aμ). (G [=] kg/s) Med viskositeten lik 0 - kg/ms fås 6 Re = 0. /(( π/ ) 0. 0 ) =. 0 (dette er ok) For å sjekke om det kinetiske leddet er neglisjerbart kan man sammenligne ΔL ( ) og f ette gir 0. mot., altså kan det kinetiske leddet såvidt neglisjeres her.
b) En bedre tiærming fås ved å erstatte med k hvor < k <. Sjekker om den beregnede diameteren da vil slippe gjennom mer eller mindre, eventuelt like mye. Stokker om på likningen og får k+ k k L G = (( ) ( ( ) )) / ( ( ) + f Δ ) + k k Setter inn en verdi av k som er mindre enn., feks. og får ny π G = ( ) G =.9 kg/s Altså går gjennomstrømningen noe ned, slik at man bør overdimensjonere røret noe. Matlabløsning % Øving 8 00 oppgave % Hoved program p = e; p =.e; Gm = ; % a % a % kg/s T = 0; % C L = 60; % m gamma =.; % - R = 8.; % J/mol K M = 0.09; % kg/mol e = 0.000; % - my = e-; % kg/ms % Spørsmål a) = R*(T+7.)/p/M; % m/kg f = 0.00; % ette er et tipp basert på Re>e6 % Må gi et første tipp for diameteren 0 = 0.; % m % iameteren finnes ved løsning av energiligningen, i funksjon iameter = fsolve(@diameter,0,optimset(display,off),gm,gamma,p,p,,f,l) % Tester for Re G = Gm/((pi/)*^); Re = G*/my % Spørsmål b) %Omformer ligninga til å gi G og velger ny gamma=k k =.; G = sqrt((k/(+k))*(p/)*(- (p/p)^((k+)/k))/((/k)*log(p/p)+*f*l/)); Gmny = (pi/)*^*g funtion resid=diameter(,gm,gamma,p,p,,f,l) % Beregner nødvendig diameter i løpsrør G = Gm/((pi/)*^); resid = G^*(/gamma)*log(p/p) + (gamma/(+gamma))*(p/)*((p/p)^... ((gamma+)/gamma)-) + *f*g^*l/; end
Oppgave a) ) Kritisk trykkforhold;. - 0. = = = = 0. ( + ). w ) Trykket i trangeste tverrsnitt = kritisk trykk, = w = (0. 0)bar = 0.6 bar Oppgitt = 0 bar T = 98 K =. M w = 9 g/mol Isentropisk strømning. ) Hastighet i trangeste tverrsnitt = sonisk hastighet, v v = ) Spesifikt volum ved innløp, RT 8 98 = = = 0.07 m /kg w 0 9 M 0 Har isentropisk strømning og = konst. = m = = 0.067 /kg Setter inn og får v =. 0.6 0 0.067 =.8 m/s b) Maksimal levering = levering mhp. trangeste tverrsnitt; A π 0,0 ρ = 0.067 G = v A v =.8 G = 9. kg/s
) Bruker energiligning mellom trangeste tverrsnitt og v dv + d = 0 v v = ( ( ) ) Finner et trykk for v v G G = = ( ) A A 9. 0.07 = ( 0 ( =.896 0 ( π 0. - - 6 6 ) ) ) Innsatt fås - 6. (.896 0 ) - (.8 ) = 0.6 0 0.067 -. - 0.6 0 6 (.896 0 ) + 97.86 = 98.6 Løsningen finnes ved prøving og feiling, eventuelt ved en Solve funksjon på lommekalkulatoren, eller i Matlab. en har to løsninger, en for subsonisk og en for supersonisk strømning i divergerende seksjon (se teori i delt hefte). Subsonisk = 9.7 bar Supersonisk = 0.6 bar d) Strømmen vil enten fortsette å være supersonisk i det divergente området og kun okkupere en del av dysearealet, eller en stasjonær sjokkbølge vil oppstå i divergent del og gir en plselig trykkøkning. Strømmingen endres da fra supersonisk til subsonisk. (se teori i delt hefte) MATLABLØSNING % Løsning på Øving 7, oppgave Gamma =.; % Cp/Cv = 0*00000; %Trykk i a T = 98; % K Mw = 9; % g/mol R = 8. % J/mol K = 0.0; % m = 0.; % m % a)******************************** % Kritisk trykkforhold w = (/(gamma+))^(gamma/(gamma-)) % Trykket i trangeste tverrsnitt = w*; %Spesifikt volum ved innløpet = 000*R*T//Mw; % Må gange på 000 for å få svaret i m/kg % i regner isentropisk strømning fra innløp til trangeste tverrsnitt
= *(/)^(/gamma); % Hastighet i trangeste tverrsnitt er sonisk v = sqrt(gamma**) % b) ******************************* % Maksimal levering = levering i trangeste tverrsnitt ved maks hast. dvs sonisk A = (pi/)*^; G= v*a/ % levering i kg/s % For å få supersonisk strømning, så må strømningen i trangeste tverrsnitt være sonisk % Hastigheten er da A = (pi/)*^; v = G*/A = G**(/)^(/gamma)/A; % ette kan settes inn i energiligningen integrert mellom trangeste tverrsnitt og % (eller mellom inn og, det blir det samme) % For å løse energiligninga kan man bruke FSOLE(minner svært om Fzero). Bruker den med en % FUNCTION se HEL FSOLE = fsolve(@fun,[ 0]*00000,optimset(fsolve),G,,A,gamma,,,,v) % Nå ønsker vi å generere en fil som vi senere skal skrive, som % presenterer resultatene på en grei måte. Se help fopen, flose og fprintf fid = fopen(oving7,w); fprintf(fid, Kritisk trykkforhold, w = %0.f,w); fprintf(fid,\n Trykk i trangeste tverrsnitt, = %0.f a,); fprintf(fid,\n Hastighet i trangeste tverrsnitt, v = %0.f m/s,v); fprintf(fid,\n ysens maksimale levering, G = %0.f kg/s,g); fprintf(fid,\n Baktrykk supersoniske forhold, sup = %0.f a,()); fprintf(fid,\n Baktrykk subsoniske forhold, sub = %0.f a,()); flose(fid); Så kommer funksjonen som kalles av FSOLE funtion resid=fun(,g,,a,gamma,,,,v); % Husk at ligningen har to løsninger, dvs at er en vektor med to elementer og % at array(element)-operatorene./ og.^ må brukes når ganges/deles på eller opphøyes % Legg også merke til at man trenger ikke løse ligningssettet helt slik det er gjort under ), men % heller bruke flere ligninger. en siste er da ligningen som skal bli 0 (resid =, presses til 0 av Fsolve) v = G**(./).^(/gamma)/A; resid = v.^-v^-(*gamma/(gamma-))***(-(/).^((gamma-)/gamma));